Lista 03 - Lei de Gauss

Exercícios sobre Lei de Gauss
Exercícios para serem entregues: 2, 4, 10, 13, 16 e 18
1. Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão:
!
E = ayxˆ + bzyˆ + cxzˆ ,
onde a, b e c são constantes.
Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície retangular contida no plano xy e
com dois lados indo de x = 0 até x = w e y = 0 até y = h.
2. Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R1 e comprimento L, carregada com carga
Q1 = +q, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e mesmo comprimento L, carregada com uma
carga Q2 = -2q. Use a lei de Gauss para determinar:
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial r > R2;
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial R1 < r < R2;
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca.
3. Uma carga está distribuída uniformemente através do volume de um
cilindro muito longo de raio R.
a) mostre que para uma distância r do eixo do cilindro e com r < R, temos :
ρr
E=
,
2ε 0
onde ρ é a densidade volumétrica de cargas no cilindro.
b) Escreva uma expressão para E quando r > R .
4. Uma placa espessa plana de espessura d possui uma densidade de carga
volumétrica uniforme ρ. Determine a intensidade do campo elétrico em todos os
pontos do espaço:
a) tanto dentro
b) quanto fora da placa, em termos de x, com esta distância medida a partir do
centro da placa.
5. Uma superfície fechada com dimensões a = b = 0,4 m e c = 0,6 m
está localizada como na figura ao lado. O campo elétrico nessa região é
!
não-uniforme e é dado pela expressão E = (3,0 + 2,0 x 2 ) xˆ N/C, onde x em
metros. Calcule:
a) o fluxo de φE através da superfície;
b) a carga elétrica total contida na superfície.
6. A figura mostra o módulo do campo elétrico do lado de dentro e
do lado de fora de uma esfera com uma distribuição de cargas positivas
em função da distância ao centro da esfera. A escala do eixo vertical é
definida por Es = 5,0 x 107 N/C. Qual a carga da esfera?
7. Em uma região específica da atmosfera da Terra, o campo
elétrico acima da superfície foi medido e registraram-se os seguintes
valores: 150 N/C orientado para baixo a uma altitude de 250 m e 170 N/C
orientado para baixo a uma altitude de 400 m. Calcule a densidade
volumétrica de carga da atmosfera admitindo que seja uniforme entre 250
e 400 m. (Pode-se desprezar a curvatura da Terra? Por quê?)
()
nˆ ˆj
400 m
!
Ei
h
250 m
!
Ef
A
()
− nˆ ˆj
Terra
8. A figura ao lado mostra a seção reta de duas esferas de raio R, com
distribuições volumétricas uniformes de cargas. O ponto P está sobre a reta que
liga os centros das esferas e se encontra a uma distância R/2 do centro da
esfera 1. Se o campo elétrico no ponto P é zero, qual é a razão q1/q2 entre a
carga da esfera 1 e a carga da esfera 2?
9. Um antigo (incorreto) modelo do átomo de hidrogênio, sugerido por J. J. Thompson,
propunha que uma nuvem positiva de carga +e era uniformemente distribuída no volume de uma
esfera de raio R, com uma carga negativa puntiforme –e no centro da esfera.
a) utilizando a lei de Gauss, mostre que o elétron estaria em equilíbrio no centro da esfera e, se
fosse deslocado do centro a uma distância r < R, ficaria sujeito a uma força restauradora do tipo
F = − Κ r, onde Κ é uma constante;
k e2
;
R3
c) ache uma expressão para a frequência f de oscilações harmônicas simples que um elétron de
massa me executaria se fosse deslocado de uma pequena distância do centro da esfera e abandonado;
d) calcule o valor numérico de R que produziria numa frequência de vibração igual a 2,47 x 1015
Hz, que é a frequência da luz da linha mais intensa do espectro do átomo de hidrogênio.
b) mostre que Κ =
10. Uma esfera não condutora de raio 2a tem uma densidade de cargas uniforme
ρ. Uma cavidade esférica de raio a é removida da esfera, como mostrado na figura
ao lado. Mostre que o campo elétrico dentro da cavidade é uniforme e é dado por
ρa
Ex = 0 e E y =
. (sugestão: utilize o princípio da superposição).
3ε 0
11. Uma esfera de raio R envolve uma partícula de carga Q, localizada no seu centro.
a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com
meio-ângulo θ ( figura ) é igual a:
Q
φE =
(1 − cosθ )
2ε 0
b) Qual é o fluxo para θ = π/2?e para θ = π?
12. Uma carga puntiforme Q está sobre o eixo de um disco de raio R a
uma distância b do plano do disco, conforme figura ao lado. Mostre que se ¼
do fluxo do campo elétrico da carga atravessa o disco, então R = 3b .
(sugestão: use o resultado do problema anterior)
13. Um fio infinitamente longo, tendo uma densidade linear de cargas λ ,
está a uma distância d de um ponto O, como na figura ao lado. Determine o
fluxo total do campo elétrico produzido pelo fio através da superfície de uma
esfera de raio R, centrada no ponto O. Considere ambos os casos: R < d e R > d.
14. Considere uma esfera e uma camada esférica concêntricas, ambas
condutoras. A camada externa é oca e tem inicialmente uma carga de -7Q. A esfera interna é
maciça e tem carga de +2Q.
a) Como é a distribuição da carga na camada? Isto é, quais os valores das cargas nas suas
faces interna e externa da camada?
b) Calcule o campo entre elétrico entre a esfera e a camada.
c) Suponha que um fio condutor seja conectado entre a esfera e a camada. Após o
equilíbrio eletrostático ser estabelecido, qual o valor da carga na camada esférica?
d) Aterrando-se a camada externa com um fio condutor (antes da conexão do item c) e,
em seguida desconectando-a, qual o valor total da carga na camada?
e) Quais serão os novos valores das cargas nas faces interna e externa da camada?
15. A figura mostra uma camada esférica com uma densidade volumétrica de cargas
uniforme ρ = 1,8 nC/m3, raio interno a = 10 cm e raio externo b = 20 cm.
Determine o módulo do campo elétrico em:
a) r = 0;
b) r = a;
c) r = 1,5a;
d) r = b;
e) r = 3b.
16. Uma esfera sólida isolante de raio a está carregada com densidade
volumétrica ρ uniforme e carga total Q. Concêntrica a esta esfera existe uma
camada condutora de raios b e c, conforme figura ao lado.
a) Calcule o vetor campo elétrico para as seguintes regiões: r < a, a < r < b, b
< r < c e r > c;
b) Determine a carga induzida por unidade de área sobre as superfícies interna
e externa da camada condutora.
17. Uma esfera sólida condutora de raio a tem uma carga positiva igual 2Q.
Uma camada condutora de raio interno igual a b e raio externo igual a c é
concêntrica à esfera, conforme figura ao lado. Esta camada possui uma carga
igual a – Q.
a) Usando a lei de Gauss, calcule o vetor campo elétrico nas regiões 1, 2, 3,
e 4;
b) Determine a distribuição de carga nas superfícies interna externa da
camada, quando o sistema está em equilíbrio eletrostático.
18. Na figura ao lado temos uma esfera central isolante de raio a e carga 3Q. Concêntrica a esta
esfera temos uma camada, também isolante, com raios interno e externo iguais respectivamente a b e
c e carregada com uma carga igual –Q. Usando a lei de Gauss calcule o vetor campo elétrico para:
a) r < a;
b) a < r < b;
c) b < r < c;
d) r > c.
19. a) Mostre que num plano infinito de cargas e numa superfície esférica, o
campo elétrico é descontínuo na região das cargas superficiais, e a descontinuidade é σ / ε 0 .
b) Prove que, em geral, quando há uma densidade superficial de carga σ , a descontinuidade do
campo vale σ / ε 0 .
Faça a demonstração construindo uma superfície gaussiana cilíndrica, com as faces planas de um e
outro lado da superfície e a parte cilíndrica normal à superfície. Utilize a lei de Gauss para calcular
!
E2 − E1 , onde E2 e E1 são as componentes normais de E de um lado e de outro da superfície.