revisitando thales

X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
REVISITANDO THALES
Leandro Ferreira da Silva
Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE
[email protected]
Alexandre Marcelino de Lucena
Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE
Resumo: Neste artigo pretendemos mostrar como um teorema pode ser demonstrado de
várias formas, usando áreas diferentes da matemática. O nosso intuito é demonstrar que
a matemática, mesmo evoluindo com o tempo, tem seus resultados elementares válidos.
Isso mostra uma estrutura lógica consolidada dentre na matemática através dos tempos e
que foi muito importante para seu desenvolvimento.
Palavras-chave: Thales; Demonstração; Geometria Plana; Geometria Analítica;
Cálculo Vetorial.
Um dos grandes matemáticos de toda a história foi Thales de Mileto, que sua
juventude trabalhou como mercador, onde acumulou riqueza suficiente para dedicar a
parte final da sua vida as suas viagens e a matemática.
Segundo o historiador grego Herótodo ele nasceu em Mileto por volta do ano de
640 A.C e entrou para a história como o primeiro matemático, pois foi o primeiro a dar
um tratamento dedutivo a matemática, em especial a geometria.
Um historiador grego Proclus(420-485 D.C) publicou um livro de comentários
sobre o primeiro livro dos elementos de Euclides onde atribui a Thales a demonstração
de cinco teoremas elementares da geometria plana, que são:
1. Qualquer diâmetro efetua a bissecção do circulo em que é traçado;
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais;
3. Ângulos opostos pelo vértice são iguais;
4. Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles
respectivamente iguais, então esse triângulos são iguais
5. Um ângulo inscrito no semi-circulo é reto.
Neste trabalho pretendemos demonstrar os teoremas 2 e 5, usando geometria
plana elementar, geometria analítica e calculo vetorial, pretendemos com isso mostrar
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que resultados elementares podem ser provados usando áreas mais avançadas dentro da
matemática e como essas áreas se interligam entre elas.
Inicialmente provaremos o teorema 5 e posteriormente o teorema 2.
O teorema sobre o feixe de paralelas conhecido como teorema de Thales só essa
denominação pela primeira vez no final Sec. XIX na França no Livro Éléments de
géométrie de Rouche e Comberousse, por isso não trataremos dele neste artigo.
TEOREMA 5
___
Se AB é um diâmetro e C é um ponto qualquer da circunferência, distintos de A e B,
então o
AB C é retângulo em C, isto é, C é reto.
Figura 1
Daremos três soluções para esse problema, abordando três áreas diferentes da
matemática.
1° SOLUÇÃO (GEOMETRIA PLANA)
Considere a seguinte figura
Os Triângulos
CE
y
CEA e
EA(raios ) e EA
m ,pelo
teorema
EAD são isósceles, pois
ED(raios ) ,então
do
ângulo
externo
e
temos
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z
et
2
y m
2 y , logo,
t
z
180
t
z
2
2y
,
Substituindo t z na segunda equação temos:
2
2 y 180 ( 2)
y
90
2° SOLUÇÃO (GEOMETRIA ANALÍTICA)
Considere a figura ao lado.
Primeiramente iremos calcular o coeficiente
angular da reta formada pelos pontos (-c,0) e
(a,b) que chamarei de m1 , após calcularemos o
coeficiente angular da reta formada o pelos
pontos (a,b) e (c,0) que chamarei de m 2 .
Figura 3
Calculando temos
m1
b
c
a
e m2
b
c a
Outro resultado importante a considerar é os pontos (a,b) e (c,0) são eqüidistantes do
centro,vistos que essas distâncias representam raio.
a2
b2
c2
a2
b2
c 2 (1)
.
Para duas retas serem perpendiculares o produto dos coeficientes angulares tem que ser
-1.
m1 .m2
m1 .m2
b
b
(
)(
)
c a c a
b2
b2
b2
, mas (1) c 2
2
2
c a
a2
b 2 . Então teremos:
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3° SOLUÇÃO (CALCULO VETORIAL)
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Considere a figura ao lado, sendo u,v e w
vetores. Dois vetores são perpendiculares quando
o
produto interno entre eles é zero.
v u, v u
v
2
v
2
u
2
0 .Visto
que
2
u (raio da circunferência)
Figura 4
TEOREMA 2
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais
Figura 5
1° SOLUÇÃO (GEOMETRIA PLANA)
Figura 6
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Dado o
ABC isósceles, sendo AB
BC .
Traçando uma bissetriz do ângulo B ,obtemos os triângulos ABD e CDB. Esses
triângulos são congruentes, pois :
BD é um lado comum aos dois triângulos (lado).
AB D
AB
D B C , pois BD é bissetriz (ângulo)
BC , pois é um triângulo isósceles.
Pelo critério de congruência LAL os triângulos ABD e CDB são congruentes, logo os
ângulos B A D e B C D são iguais.
2° SOLUÇÃO (GEOMETRIA ANALÍTICA)
Dado o triângulo isósceles abaixo, demonstrar que α β.
Figura 7
Na geometria analítica quando queremos encontrar um ângulo entre duas retas usamos a
expressão:
tg
m2 m1
1 m2 .m1
Onde m1 e m2 são os coeficientes angulares das retas que formam o ângulo.
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Inicialmente calcularemos o coeficiente angular das retas que dão suporte aos
seguimentos que formam o triângulo isósceles.
Reta suporte do segmento formado pelos pontos (0,0) e (c,b).
m1
b 0
c 0
b
c
Reta suporte do segmento formado pelos pontos (a,0) e (c,b)
m2
b 0
c 0
b
c a
Reta suporte do segmento formado pelos pontos (0,0) , (a,0)
m3
0 0
a 0
0
a
0
Calculando a tg α e tg β ;
m3 m1
1 m3 .m1
tg
m3 m 2
1 m3 .m2
tg
b
c
b
1 0.
c
0
b
c
b
0
c a
b
1 0.
c a
b
c a
Sabemos que o segmento formado pelos pontos (0,0) e (c,b) e o segmento (c,b) e (a,0)
são iguais pois o triângulo é isósceles.
(c 0) 2
(b 0) 2
c2
b2
a2
2ac ( a)
a
a2
2ac c 2
(a c) 2
(0 b ) 2
b2
2c.
Substituindo na tg β temos:
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b
tg
b
c 2c
c a
b
c
b
c
Com isso provamos que:
tg
tg
3ª SOLUÇÃO (CALCULO VETORIAL)
Usando os
vetores u,v e w,
iremos
demonstrar que
α β.
u
(c, b) (0,0)
( c, b )
w
(a,0) (0,0)
(a,0)
v
(c, b) (a,0)
(c a, b )
Para calcular o ângulo entre dois vetores usaremos a expressão;
w, t
w.t
cos
Calculando;
Ângulo entre os vetores u e w.
cos
(c, b), (a,0)
( c, b ) ( a , o )
c a b 0
c2
b2
a2
c a
c2
b2
a2
;
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Ângulo entre os vetores w e –v (vide figura 8).
cos
a c a2
(a,0), (c a, b)
(a,0) (c a, b)
a2
Por outro lado sabemos que u
(c a ) 2
a c a2
b2
a2
c2
2ac a 2
b2
v ,pois o triângulo formado pelos vetores v,w e u
é isósceles;
u
c2
v
b2
(c a ) 2
c2
b2
(c a ) 2
c2
b2
c2
a2
2ac
Usando esse resultado na expressão e cos
c cos
a c a2
a2
c2
2ac a 2
b2
b2
2ac a 2
b2
teremos,
a c 2ac
b2
a2
c2
a2
a2
c a
b2
c2
b2
a2
CONCLUSÕES
Um dos pilares da matemática é o raciocínio lógico-dedutivo,pois na matemática
nada é teológico,ou seja, onde acreditamos pelo poder da fé, por isso é muito importante
que nossos alunos tenham a oportunidade de demonstrar,mesmo algo simples, como
esse teorema matemático,pois a demonstração mostra estrutura lógica da matemática e
pode até tornar mais atraente a matéria para os discentes.
REFERÊNCIAS
Bongiovanni,v. Teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico.
Revista Eletrônica de Educação Matemática. V2.5, p. 94-106, UFSC: 2007.
Eves, H.Introdução á história da Matemática. CAMPINAS: Editora Unicamp, 2008.
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Loureiro C., Bastos R., Demonstração – uma questão polêmica. Encontro da Sociedade
Portuguesa de ciências da Educação. p.105-128,2000. Disponível em
http://www.spce.org.pt/sem/CL.pdf. Acesso 26/06/2009.
Iezzi,G.,Dolce, O.,Machado, A. Matematica e Realidade 7ª Serie. São Paulo.Editora
Atual, 2005.
Dante,L. R.Tudo é matemática 7ª Serie.São Paulo. Editora ática,2007.
Editora Moderna. Projeto Araribá.São Paulo, Editora Moderna, 2006.
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