Lista No2 - Cálculo Diferencial e Integral II - ICEB-UFOP

Lista No2 − Cálculo Dif erencial e Integral II
10 de dezembro de 2012
Sequências e séries de números reais.
1. Determine se as seguintes sequências são convergentes ou divergentes. Caso sejam convergentes, calcule
o seu limite.
a. (en /n)n≥1
b. (tgh n)n≥1
√
√ c.
n − 1 − n n≥1
d. (1 + n2 )n n≥1
e. cnn n≥1 ; onde c > 1
2. Mostre que as sequências
n2
n−3
e
n≥1
n2
n+4
divergem; porém, a sequência
n≥1
n2
n−3
convergente.
3. Prove que se |r| < 1, a sequência (nrn )n≥1 converge para zero.
4. Determine se as seguintes sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótonas.
a. (cos nπ
3 )n≥1
b. (n2 + (−1)n n)n≥1
n!
c. 1.3.5...(2n−1)
n≥1
1.3.5...(2n−1)
d.
2n n!
n≥1
5. Determine se as seguintes sequências são limitadas.
a. (3 − (−1)n−1 )n≥1
2
+3
b. ( nn+1
)n≥1
1
−
n2
n+4
é
n≥1
6. Dê um exemplo de uma sequência que seja limitada e convergente, porém não-monótona.
7. Uma bola cai de uma altura de 12m. Cada vez que ela bate no chão, sobe a una altura de três quartos
da altura da queda anterior. Determine a distância percorrida pela bola até o repouso.
8. Determine uma série geométrica infinita cuja soma é 6 e tal que cada termo seja quatro vezes a soma
de todos os termos que o sucedem.
9. Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se a série for convergente, determine
a sua soma.
a.
P+∞
b.
P+∞
c.
P+∞
d.
P+∞
e.
P+∞
cos nπ
f.
P+∞
√1
n
n=1
ln
n
n+1
2
n=1 5n−1
2n+1
n=1 n2 (n+1)2
n!
n=1 5n
n=1
n=1
10. Dê um exemplo para mostrar que mesmo sendo
P∞
n=1 an bn seja convergente.
P+∞
n=1
an e
P+∞
n=1 bn
divergentes, é possı́vel que
11. Determine se as séries são convergentes ou divergentes
a.
P+∞
n+1 n
2n .
b.
P+∞
n 32n+1
n2n .
c.
P+∞
n=1 (−1)
n=1 (−1)
1
n=1 [ln(n+1)]n .
12. Dada a série
+∞
X
n=1
1
2n+1+(−1)n
mostre que o teste da razão falha para esta série, mas que é possı́vel usar o teste da raı́z para determinar
a convergencia ou divergencia desta série.
13. Determine o intervalo de convergencia das séries dadas.
n x2n
n=1 (−1) (2n)!
a.
P+∞
b.
P+∞
c.
P+∞
d.
P+∞
n=1
ln n(x+5)n
n+1
n!xn
n=1 nn
n=1
(−1)n+1 1.3.5...(2n−1) n
x
2.4.6...(2n)
2
14. Se a e b são inteiros positivos, determine o raio de convergência da série de potências
+∞
X
(n + a)! n
x .
n!(n
+ b)!
n=1
15. Obtenha uma série de potências que represente 1/(x − 1)2 .
16. Obtenha uma série de potências que represente e−x .
17. Seja a função f definida por
+∞
X
f (x) :=
(−1)n
n=0
xn
.
+ 2)
3n (n
a. Ache o dominio de f .
0
0
b. Ache f (x) e determine o dominio de f .
18. Sejam as funções J0 e J1 como
J0 (x) :=
+∞
X
(−1)n
n=0
x2n
n!n!22n
∧ J1 (x) :=
+∞
X
(−1)n+1
n=0
x2n+1
.
n!(n + 1)!22n+1
As funções J0 e J1 são chamadas de funções de Bessel da primeira espécie de ordem zero e um,
respectivamente.
a. Mostre que ambas, J0 e J1 , convergem para todo valor real de x.
b. Mostre que y = J0 (x) é uma solução da equação diferencial
x
d2 y
dy
+
+ xy = 0.
2
dx
dx
c. Mostre que y = J1 (x) é uma solução da equação diferencial
x2
d2 y
dy
+x
+ (x2 − 1)y = 0.
2
dx
dx
0
d. Mostre que J0 (x) = −J1 (x).
e. Mostre que
d
dx (xJ1 (x))
0
= xJ0 (x).
19. Ache a representação em série de potências das seguintes integrais.
a.
Rx
b.
Rx
c.
R4
dt
0 t2 +4
0
ln(1 + t)dt
dt
2 4−t
20. Dado cosh x =
x2n
n=0 (2n)!
P+∞
para todo x, obtenha uma representação em série de potências para senh x
integrando termo a termo de 0 a x a série dada.
3
21. Ache uma representação em série de potências para ln(1 + ax), integrando termo a termo de 0 a x a
representação em série de potências para
1
1+at .
22. Ache uma representação em série de potências para tgh−1 x, integrando termo a termo de 0 a x a
representação em série de potências para (1 − t2 )−1 .
23. Integrando termo a termo de 0 a x uma representação em série de potências para ln(1 + t), mostre que
+∞
X
(−1)n
= 2ln2 − 1.
(n + 1)(n + 2)
n=0
24. Prove que a série
P+∞
n=0
(−1)n x2n
(2n)!
representa cosx para todos os valores de x.
25. Obtenha a série de Maclaurin para a função co-seno, derivando a série de Maclaurin para a função
seno.
26. Ache a série de Taylor para ex em 3, usando a série de Maclaurin para ex .
27. Ache a série de Maclaurin para sen2 x (sugestão: use sen2 x = 21 (1 − cos2x)).
28. Determine an (n = 0, 1, 2, 3, 4) de tal modo que o polinômio
f (x) = 3x4 − 17x3 + 35x2 − 32x + 17
possa ser escrito da forma
f (x) = a4 (x − 1)4 + a3 (x − 1)3 + a2 (x − 1)2 + a1 (x − 1) + a0 .
4