Séries de Potências

Séries de Potências
Séries de Potências
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Francisco Beltrão
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 3B
Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Cálculo Diferencial e Integral 3B
Séries de Potências
Séries de Potências
Definição
A série do tipo
P
an (x − c)n é denominado de série de potências.
Dado uma série de potências, existe R na qual a série converge
para |x − c| < R (no interior do intervalo de raio R com centro em
C ) e diverge para |x − c| > R. Este valor R é denominado de raio
de convergência. Quanto mais próximo do centro, a convergência
será mais rápida e quanto mais próximo dos extremos, a
convergência mais lenta.
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Séries de Potências
Raio e Intervalo de Convergência
Uma forma de obter o raio de convergência R é aplicar o teste da
razão ou da raiz, incluindo potências de (x − c) para determinar
valores de x na qual a série converge.
Definição
O intervalo de convergência é o intervalo I com centro em c e
raio R tal que a série de potências converge se, e somente se,
x ∈ I.
Como convergência é garantido em
|x − c| < R
⇒
−R < x − c < R
⇒
c −R <x <c +R
e a divergência é análoga, o intervalo é similar a [c − r , c + R] com
cada extremo, aberto ou fechado dependendo da série, o que
requer testes.
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Séries de Potências
Intervalo de Convergência
Teorema
(Abel) A série de potências é contı́nua no intervalo de
convergência.
Exemplo
Obter o raio e o intervalo de convergência da série
X n
x 3n+5 .
en
Exercı́cio 1
Obter o intervalo de convergência da série
X n
n+1
(x − 1) 2 .
n
2
Exercı́cio 2
Obter o raio e o intervalo de convergência da série
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X
n
(2x − 1) 2 .
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Séries de Potências
Exemplo
Determine o intervalo de convergência de
X xn
n
.
Exercı́cio 3
Determine o intervalo de convergência das seguintes séries:
(a)
∞
X
n
n
n (x − 3)
n=0
∞
X
x 2n+1
(b)
(−4)n
n=0
∞
X
(c)
(−1)n+1 x n
n=0
Respostas:
(a) {3}
(b) (−2, 2)
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(c) (−1, 1)
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Séries de Potências
Derivadas e Integrais
Derivadas e integrais das séries de potências são efetuadas
termo a termo.
Deve se ter atenção quando obtêm-se a derivada, pois o
termo constante vai sumir (an x n para n = 0). Caso não se
observar isto, poderá aparecer potências negativas!
Na derivada, pode se perder a convergência nos extremos e na
integral, poderá ganhar convergência nos extremos, mas o raio
de convergência não muda.
Exemplo
∞
X
xn
Considerando que e x =
, determine a representação em série
n!
n=0
Z
2
de potência da função
e x dx.
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Séries de Potências
Exercı́cio 4
Calcule a integral da série de potências
∞
X
(n + 1)x n
no intervalo [−1,1].
2n
n=0
Exercı́cio 5
Considerando que f (x) = ln(1 + x) =
∞
X
(−1)n x n+1
para −1 < x ≤ 1,
n+1
n=0
determine:
(a) f 0 (x)
Z
(b)
f (x) dx
Exercı́cio 6
Considerando que que f (x) = tg −1 x =
∞
X
(−1)n x 2n+1
para −1 ≤ x ≤ 1,
2n + 1
n=0
determine:
(a) f 0 (x)
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Z
(b)
f (x) dx
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Séries de Potências
Série de Taylor
A Série de Taylor é importante pois serve para aproximar funções por
polinômios numa vizinhança do ponto a.
Série de Taylor
f (x) =
∞
X
f (n) (a)
(x − a)n
n!
n=0
No caso particular da Série de Taylor quando a = 0, temos a Série de
Maclaurin.
Série de Maclaurin
f (x) =
∞
X
f (n) (0) n
x
n!
n=0
Exemplo
Encontre as séries de Maclaurin para as funções:
(a) f (x) = e x
(b) f (x) = cos x
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(c) f (x) = sen x
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Exercı́cio 7
Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
(a)
(b)
∞
X
n(x − 1)2n
32n−1
n=0
∞
X
n=2
(c)
(−1)n x n
n ln n
∞
X
(x + 5)n−1
n2
n=1
(d)
∞
X
n!x n
(g)
n=0
(e)
(f)
∞
X
2n 2n
x
(2n)!
n=0
∞
X
(3 − x)n−1
√
n
n=1
(h)
∞
X
(1 − x)n
(n + 1)3n
n=1
∞
X
(−1)n 2n x n
n=1
(i)
(n + 1)3
∞
X
(−1)n+1 x 2n−1
(2n − 1)!
n=1
Respostas:
(a) (−2,4)
(b) (−1,1]
(c) [−6, −4]
(d) {0}
(e) (−∞, ∞)
(f) (2,4]
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(g) (−2,4]
1
(h) [ −1
2 , 2]
(i) (−∞, ∞)
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Séries de Potências
Exercı́cio 8
∞
X n
1
=
x , válida para |x| < 1, obtenha uma série de
1−x
n=0
potências de x para representar cada uma das funções abaixo. Em cada caso,
especique o conjunto de valores de x onde a representação é válida.
Usando a fórmula
x
2 − 3x
1
(h)
(1 − x)2
1
1 − x4
1
(e)
2+x
x
(f)
1 − x2
1
1 − 4x
1
(b)
1 − x2
1
(c)
1 + x2
(g)
(d)
(a)
Respostas:
(a)
∞
X
4n x n , |x| <
n=0
(d)
∞
X
n=0
x 4n , |x| < 1
1
4
∞
X
(−1)n x n
,x <2
2n+1
n=0
∞
X
(f)
x 2n+1 , |x| < 1
(e)
(g)
∞
X
3n x n+1
, |x| <
2n+1
n=0
n=0
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2
3
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Exercı́cio 9
Usando uma série de potências adequada, aproxime cada integral
dada abaixo com 4 casas decimais:
Z
(a)
1
3
0
Z
(b)
1
2
Z
dx
1 + x6
(c)
1
2
3
e −x dx
0
arctan(x 2 ) dx
0
Z
(d)
0
1
sen (x)
dx
x
Respostas:
(a) 0,3299
(b) 0,0413
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(c) 0,4849
(d) 0,9460
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Exercı́cio 10
Encontre a Série de Maclaurin de cada função dada a seguir:
(a) f (x) = e −x
2
(d) f (x) = ln(1 + x 2 )
(g) f (x) = sen (4x)
2
(b) f (x) = x sen x
(e) f (x) = cos x
(c) f (x) = sen 2 x
(f) f (x) = e 4−x
(h) f (x) =
sen x
x
Respostas:
(a)
(b)
(c)
∞
X
(−1)n x 2n
n!
n=0
∞
X
(−1)n x 2n+2
n=0
∞
X
n=1
(2n + 1)!
(−1)n+1 (2x)2n
2(2n)!
∞
X
(−1)n x 2n+2
n+1
n=0
∞
X
(−1)n (2x)2n
(e) 1 +
2(2n)!
n=1
∞
n n
X
(−1)
x
(f) e 4
n!
n=0
(d)
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(g)
(h)
∞
X
(−1)n 42n+1 x 2n+1
(2n + 1)!
n=0
∞
X
(−1)n x 2n
n=0
(2n + 1)!
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Exercı́cio 11
Encontre uma série de potências que represente as funções:
(a) ln(1 + x)
(b) arctan(x)
(c) arccotg (x)
Exercı́cio 12
Z x
2
2
Em estatı́stica a função E (x) = √
e −t dt recebe o nome de
π 0
Função Erro. Encontre a Série de Maclaurin da função E (x).
Resposta:
∞
2 X (−1)n x 2n+1
E (x) = √
n!(2n + 1)
π
n=0
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