Séries – 7. Séries de Taylor e de Maclaurin Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista – UNESP [email protected] Séries de Potência: Construção Construindo uma série: Seja f uma função representada por uma série de potências: f (x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + c3(x − a)3 + · · · + cn(x − a)n + · · · (1) Tomando x = a, obtemos: f (a) = c0 + c1(a − a) + c2(a − a)2 + · · · + cn(a − a)n + · · · f (a) = c0 (2) Diferenciável: Como a função (1) é diferenciável, seja: f 0(x) = c1 + 2c2(x − a) + 3c3(x − a)2 + · · · + ncn(x − a)n−1 + · · · (3) Tomando x = a, obtemos: f 0(a) = c1 + 2c2(a − a) + 3c3(a − a)2 + · · · + ncn(a − a)n−1 + · · · f 0(a) = c1 (4) Série de Taylor: mais derivadas ... Diferenciação de 2a ordem: Derivando a equação (3): f 00(x) = 2c2 +2·3c3(x−a)+3·4c4(x−a)2 +· · ·+n·(n−1)cn(x−a)n−2 +· · · (5) Fazendo x = a em (5): f 00(a) = 2c2 (6) Diferenciação de 3a ordem: Derivando a equação (5): f 000(x) = 2·3c3 +2·3·4c4(x−a)+· · ·+n·(n−1)·(n−2)cn(x−a)n−3 +· · · (7) Fazendo x = a em (7): f 000(a) = 2 · 3c3 = 3!c3 (8) Série de Potência: Padrão nas derivadas! n-ésima derivada: Se continuarmos a diferenciar e substituir x = a, otemos: f (n) = 2 · 3 · 4 · · · · · ncn = n!cn Resolvendo essa equação para o n-ésimo coeficiente, obtemos: f (n) cn = n! Como 0! = 1 e f (0) = f , esta fórmula é válida para n = 0. Teorema: Se f tiver uma representação (expansão) em série de potências em a: ∞ X f (x) = cn(x − a)n, |x − a| < R n=0 então seus coeficientes são dados pela fórmula: f (n) cn = n! (9) Séreis de Taylor e de Maclaurin: Definição Definição: Substituindo o coeficiente cn, obtido por (9), na função f como em (1), em a, temos: f (x) = ∞ X f (n)(a) cn(x − a)n n! f 00(a) f (n)(a) f 0(a) 2 (x − a) + (x − a) + · · · + (x − a)n + · · · = f (a) + 1! 2! n! (10) conhecida como série de Taylor da função f em x = a (ou ao redor de a ou ainda, centrada em a). Para o caso especial a = 0 a série de Taylor tem a forma: n=0 f (x) = ∞ X f (n)(0) xn n! f 0(0) f 00(0) 2 f (n)(0) n = f (0) + x+ x + ··· + x + ··· 1! 2! n! n=0 conhecida como série de Maclaurin. (11) Exemplo Exemplo (1): Encontre a série de Maclaurin da função f (x) = ex e seu raio de convergência. Polinômio de Taylor Idéia: A Linearização de uma função diferenciável em x = a é: P1(x) = f (a) + f 0(a)(x − a) Se a função f (x) for diferenciável em a para ordens superiores, então podemos ter aproximações de ordem mais elevada. Definição: Seja f (x) uma função com derivada de ordem k para k = 1, 2, . . . , N , em algum intervalo contendo a. Então, para n ∈ [0, N ], o Polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio: f 00(a) f (n)(a) 2 Pn(x) = f (a) + f (a)(x − a) + (x − a) + · · · + (x − a)n 2 n! 0 Exemplo (2): Encontre o polinômio de Taylor para f (x) = sen x em a = 0. Resto de um Polinômio de Taylor Conceito: f (x) = Pn(x) − Rn(x), onde f (x) é o valor real, Pn(x) o valor aproximado e Rn(x) é chamado de erro. Teorema: Se f for derivável até a ordem n + 1 num intervalo I com a ∈ I, então para cada x ∈ I, ∃c entre x e a tal que: f (n)(a) f 00(a) 2 (x − a) + · · · + (x − a)n + Rn(x) f (x) = f (a) + f (a)(x − a) + 2! n! 0 onde: f (n+1)(c) Rn(x) = (x − a)n+1 (n + 1)! Teorema para estimativa de erro: Se existirem constantes positivas M e r tais que: |f (n+1)(t)| ≤ M rn+1, ∀t ∈ [a, x] então rn+1|x − a|n+1 |Rn(x)| ≤ M (n + 1)! Exemplos Exemplo (3): Estime o erro do polinômio de Taylor para f (x) = sen x em a = 0. ex − 1 − x Exemplo (4): Avalie lim . x→0 x2 Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2 Páginas 72 à 74; Exercı́cios: 1 à 56.