Medidas e Erros

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
Campus de Bauru
EXPERIMENTO 1 - MEDIDAS E ERROS
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1. Objetivos:
•
•
Propiciar ao estudante a compreensão dos conceitos básicos de medidas;
Avaliação e propagação de erros experimentais.
2. Fundamentos Teóricos:
Os trabalhos de laboratório normalmente são realizados com o objetivo de se medir
grandezas de interesse prático, ou ainda, para se determinar a relação de interdependência
entre duas ou mais grandezas que intervém em um fenômeno, isto é, para a investigação de
uma lei.
O objetivo imediato da operação de medir uma grandeza é verificar quantas vezes ela
contém a grandeza de mesma espécie, adotada como padrão. Estes procedimentos
normalmente envolvem o uso de aparelhos, com os quais se efetuam medidas.
O valor numérico de uma grandeza, em relação a uma unidade, será sempre
determinado aproximadamente, devido à ocorrência inevitável dos erros de medida. Os fatores
que intervêm na medida de uma grandeza podem ser de ordem objetiva (natureza do objeto de
medida, qualidade dos instrumentos utilizados) ou de ordem subjetiva (escolha do método de
medida, habilidade do operador).
• Erros:
Chamamos de valor verdadeiro de uma grandeza, aquele que seria obtido se a medida
fosse feita de maneira perfeita e com instrumentos perfeitos. Isto é impossível de ser
conseguido, mesmo sendo o mais cuidadoso possível. Devemos esperar então que exista
sempre uma discordância entre o valor obtido no resultado da medida e o valor verdadeiro. A
essa discordância, chamaremos erro absoluto.
Com relação a sua origem, podemos classificar os erros de duas maneiras:
♦ erros acidentais: são aqueles que ocorrem ao acaso, não dependendo da
habilidade do operador.
♦ erros sistemáticos: são aqueles que dependem da habilidade do operador.
• Estimativa de Erros:
Para minimizar os possíveis erros que ocorrem na execução de um experimento,
tomamos várias vezes a mesma medida e segundo as leis da Estatística, admitimos que o valor
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mais provável da grandeza a ser medida, X*, seja a média aritmética de todos os valores
encontrados, isto é:
X* =
1 n
∑ Xi
n i =1
(1)
A seguir, definimos o desvio da medida, ∆Xi, como sendo a diferença entre o valor
medido (Xi) e o valor mais provável (X*), isto é:
∆Xi = Xi - X*
(2)
Devemos notar, que os desvios ora possuirão sinal positivo e ora negativo. Segundo as
regras da Estatística, a soma de todos os desvios da medida deve ser nula.
Definimos agora, o desvio médio, como o valor médio dos valores absolutos dos
desvios das medidas, isto é:
∆X * =
1 n
∑ Xi − X *
n i =1
(3)
Com base no exposto acima, convencionamos representar corretamente a medida de
uma grandeza na forma de um intervalo:
X = ( X* ± ∆X* ) u
(4)
onde: u é a unidade de medida da grandeza.
Isto significa que um outro observador, quando medir a mesma grandeza, tomando os
mesmos cuidados, obterá um valor de X dentro daquele intervalo.
É muito útil ainda definirmos o desvio relativo, que é um número puro que caracteriza
a precisão da medida, como:
r%=
∆X *
X 100 (%)
X*
(5)
Um parâmetro que dá uma medida mais apropriada da dispersão das observações é o
desvio padrão, definido como:
τ =
1 n
( X i − X *)2
∑
n i =1
(6)
Um erro acidental não deve possuir módulo maior que três vezes o desvio padrão. A
este valor, chamamos de desvio tolerável e seu cálculo nos indica se estamos dentro de uma
faixa de segurança aceitável.
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EXEMPLO:
Vamos tomar como exemplo, algumas medidas efetuadas na determinação do peso atômico do
carbono:
x1=12,0080
x4=12,0101
x7=12,0107
x2=12,0095
x5=12,0102
x8=12,0116
x3=12,0097
x6=12,0106
x9=12,0129
Obtenha a partir dos dados acima, o valor mais provável; o desvio médio; o desvio relativo; o
desvio padrão; o desvio tolerável e escreva a medida na forma correta.
• Algarismos Significativos:
São algarismos significativos do resultado de uma medida, todos aqueles que temos
razões para aceitar que são corretos, acompanhados do primeiro algarismo duvidoso. Os
resultados das medidas, devem ser apresentados apenas com seus algarismos significativos.
Por exemplo, quando efetuamos a média dos valores da tabela acima, encontramos o
valor 12,0103667 e o desvio médio 0,000962963. Todos os algarismos do desvio, a partir da
vírgula, que são zero são considerados corretos. O primeiro diferente de zero é considerado
duvidoso. Ora, se temos dúvida neste algarismo, os subsequentes serão mais duvidosos ainda.
Então, os demais devem ser desprezados e os algarismos significativos são os zeros e o 4.
Assim, o valor mais provável deve possuir o mesmo número de casas após a vírgula que o
desvio, isto é:
X = ( 12,010 ± 0,001 ) u.m.a.
(7)
É regra prática, que ao se abandonar algarismos significativos, deve-se elevar de uma
unidade o valor do último algarismo conservado sempre que o primeiro abandonado for 5 ou
mais.
Vimos que o desvio deve ser expresso com um único algarismo (o primeiro), então em
resultados do tipo:
X = (6300 ± 400) m
(8)
X = (6,3 ± 0,4) x 103 m
(9)
devem ser escritos na forma:
Uma observação que devemos ter sempre em mente é que o desvio deve sempre estar
no intervalo 0 < ∆X* < 1.
• Propagação de Erros:
Na maioria dos casos obtém-se o valor da medida de uma determinada grandeza
através de cálculos nos quais se utilizam os valores de medidas de outras grandezas. Neste
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caso, diz-se que a medida é indireta. Se as grandezas utilizadas nos cálculos são afetadas de
desvios, temos que saber a maneira de operar com estas grandezas.
Suponhamos que duas grandezas A e B foram medidas com seus respectivos desvios,
tendo sido obtidos os resultados:
A = (A* ± ∆A* ) u
B = (B* ± ∆B* ) u
(10)
Somamos ou subtraímos grandezas e seus respectivos desvios, de acordo com as
seguintes regras:
(A* ± ∆A* ) + (B* ± ∆B* )= (A* + B*) ± (∆A + ∆B )
(A* ± ∆A* ) - (B* ± ∆B* )= (A* - B*) ± (∆A + ∆B )
(11)
(12)
Multiplicamos ou dividimos grandezas e seus respectivos desvios, de acordo com as
seguintes regras:
(A* ± ∆A* ) . (B* ± ∆B* )= (A* . B*) ± (B* . ∆A + A* . ∆B )
(13)
(A* ± ∆A* ) / (B* ± ∆B* )= (A* / B*) ± (B* . ∆A + A* . ∆B ) / B2
(14)
3. Material Utilizado:
• Régua Milimetrada.
4. Procedimento Experimental:
1. Meça, com o auxílio da régua, o tampo da bancada, considerando-o como um bloco
uniforme;
2. Tome as medidas necessárias para obter o volume do tampo da mesa utilizando a teoria
dos erros;
3. Para cada dimensão, meça em pelo menos cinco regiões diferentes do tampo;
4. Para cada grandeza (dimensão) medida, encontre o seu valor mais provável, o desvio
médio, o desvio relativo e o desvio padrão. Escreva cada grandeza na forma correta;
5. Encontre o volume do tampo da mesa, acompanhado do respectivo desvio. Apresente-o na
forma correta.
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5. Referências Bibliográficas:
• ALBUQUERQUE, W.A. et al.; Manual de Laboratório de Física. São Paulo: McGraw
Hill, 1980.
• BAILEY, W.C.; Laboratory Manual for General Physics. New York: Kendall/Hunt
Publishing Company. 1993.
• BERNARD, C.H.; EPP, C.D.; Laboratory Experiments in College Physics, 7th edition.
New York: John Wiley & Sons. 1994.
• CUTNELL, J.D.; Physics Laboratory Instructions - Mechanics. New York: John Wiley &
Sons. 2001.
• FEYNMAN, R.P.; LEIGHTON, R.B.; SANDS, M.; The Feynman Lectures in Physics, vol.
nd
1, 2 . Ed. New York: Addison Wesley Publishing Co. 1988.
• HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos de Física, vol. 1. São Paulo: Livros
Técnicos e Científicos. 1993.
• LOYD, D.H.; Physics Laboratory Manual, 2nd edition. New York: International Thomson
Publishing. 1997.
• NUSSENZVEIG, H.M.; Curso de Física Básica: Mecânica. São Paulo: Edgard Blücher.
1993.
• KITTEL, C.; KNIGHT, W.D.; RUDERMAN, M.A.; Curso de Física de Berkeley Mecânica. São Paulo. Edgard Blücher. 1973.
• TIPLER, P., Física, vol. 1, Rio de Janeiro: Guanabara Koogan. 1995.
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Nome: ______________________________________________ RA: ______________
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Data: ___/ ___/ ______
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•
Dados obtidos:
X1 (mm) ∆X1 (mm)
X2 (mm) ∆X2 (mm)
X3 (mm) ∆X3 (mm)
1
2
3
4
5
média
•
Grandeza X1: ____________________________
Valor mais provável: ____________________
Desvio médio:
____________________
Desvio relativo:
____________________
Desvio padrão:
____________________
Forma correta:
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•
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Grandeza X2: ____________________________
Valor mais provável: ____________________
Desvio médio:
____________________
Desvio relativo:
____________________
Desvio padrão:
____________________
Forma correta:
•
_______________________
Grandeza X3: ____________________________
Valor mais provável: ____________________
Desvio médio:
____________________
Desvio relativo:
____________________
Desvio padrão:
____________________
Forma correta:
•
_______________________
Volume:
Forma correta:
_______________________
OBS: Anexe todos seus cálculos numa folha à parte.
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