Física Mecânica – Roteiros de Experiências 90 Estudo Teórico
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FísicaMecânica–RoteirosdeExperiências 90 UNIMONTE,Engenharia–LaboratóriodeFísicaMecânica EstudoTeóricoSobreAnáliseDimensional Turma:_________________________________________Data:_______________:Nota:______________ Nome:_________________________________________________________ RA:______________________ Introdução A análise dimensional é um assunto fundamental que estuda as grandezas físicas em geral, com respeito às duas dimensões. Como as grandezas físicas sempre estão associadas a dimensões e unidades, podemos dizer o estudo de análisedimensionalestáemtodososramosdaFísica. Estudaremososconceitosiniciaissobrecomoapartirdeumnúmerolimitado de grandezas físicas fundamentais podemos criar outras grandezas derivadas, e como utilizar princípios fundamentais de análise dimensional pode nos ajudar a entendereatépreveroformatodefórmulasenvolvendograndezasfísicas. Denominamos grandezas físicas fundamentais um grupo limitado de grandezas que vão nos servir como base para escrevermos outras grandezas. Na Mecânica,porexemplo,definimosasgrandezasfundamentaiscomosendomassa, comprimentoetempo,poisessassãograndezasquenãonecessitamdeoutraspara serem definidas. As outras grandezas da mecânica, como velocidade, aceleração, etc.,serãoescritascomoumacombinaçãodasgrandezasfundamentais,conforme veremos. O Sistema Internacional de Unidades define sete grandezas fundamentais, e associa a cada uma delas uma dimensão, representada por uma letra.Sãoelas: GrandezadeBase 1 Símbolodadimensão1 Massa M Comprimento L Tempo T Correnteelétrica I Inmetro, 2013 FísicaMecânica–RoteirosdeExperiências 91 Temperaturatermodinâmica ⁄ Quantidadedesubstância(moles) N Intensidadeluminosa J Os números puros que aparecem nas fórmulas, assim como ™, L, seno, cossenos, tangente, são adimensionais. Nas fórmulas dimensionais, que veremos adiante,elesaparecemcomoiguaisa“1”. Paraindicarquenosreferimosàdimensãodeumagrandeza,colocamosessa grandezaentrecolchetes.Vejaessesexemplos: 3 ⇒ 3CEEC 3 ⇒ ≠∫3L-EãB≠C3CEEC = , R[ ⇒ ≠LEFB2C3L-HB R[ ⇒ ≠∫3L-EãB≠B≠LEFB2C3L-HB = O © ⇒ ©L3IBºGLG3Iê-≠GFBFLJCICAC≠CAG3CBE2∫FCçãB2B3IFLHC ILAíB≠B © ⇒ ≠∫3L-EãB≠BILAíB≠B = © FórmulaDimensional Todas grandezas físicas além das fundamentais podem ser expressas matematicamente em função das grandezas físicas fundamentais, através de uma fórmuladimensional. NaFísicaMecânica,porexemplo,umagrandezamecânica(X),quedependeda massa, do comprimento e do tempo, tem sua fórmula dimensional escrita da seguinteforma: ‘ = ’w ∙ ÷◊ ∙ ÿŸ ondea,b,crepresentamdimensõesdasgrandezas;oscolchetesidentificamuma equaçãodimensional,devemoscolocaragrandezaentrecolchetes. Exemplo1:Determineafórmuladimensionaldavelocidadeescalarlinear. Solução:A fórmula da velocidade é uma fórmula dimensional. Logo,para definirmosafórmuladimensionaldeJ,devemosfazer: J = R[ O ⇒ J = ⇒ J = O5 ∙ © î5 BG J = ,\ O5 © î5 RH © FísicaMecânica–RoteirosdeExperiências 92 Observeque,sópodemossomargrandezasdemesmadimensão,ousejaL+L, M+M,eT+T,eassimpordiante.Aresultadodasomaseráamesmadimensão. Porexemplo,sejaafórmulaparacalcularadistânciaDcompostaportrêstrechos A,BeC: 4 = ! + € + Ω Afórmuladimensionalserá: 4 = ! + € + [Ω] O = O + O + O Por que não escrevemos 3L? Porque não estamos lidando com os comprimentos em si, mas com a dimensão dos comprimentos. A soma de três comprimentos resulta também em um comprimento. Assim, na análise dimensional,teremosque: O + O = O © + © = © , + , = , ExercíciosdeAplicação Utilizando-sedossímbolosdimensionaisdasgrandezasfundamentaisdoS.I., determineasfórmulasdimensionaisdaseguintesequações: C)!2LFLACçãBF∫-LCA:C = RJ RH ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ D)ÇBAçC:Ç = 3 ∙ C ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ FísicaMecânica–RoteirosdeExperiências 93 2)?-LAÑ∫C2∫-éH∫2C:?Ü = 3 ∙ J8 2 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ≠)©ACDCFℎB: û = Ç ∙ R[ ∙ cos ∞ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ Ç L)ÉALEEãB:É = ! ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ g)ÁALC≠BHACIéfl∫B:! = €+D ∙ ℎ 2 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ Ñ)ÁALC≠B2íA2GFB:! = ™ ∙ ≠8 4 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ FísicaMecânica–RoteirosdeExperiências 94 ............................................................................................................................................................................ ℎ)ÉLAí3LHAB≠C2∫A2G-gLAê-2∫C:É = ™ ∙ ≠ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ∫)ΩB-EHC-HLLFáEH∫2C≠C3B≠C:á = Ç R[ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ Homogeneidade Dimensional Uma equação que traduz uma lei física é homogênea. Isso significa que as parcelas que constituem os dois membros da igualdade apresentam os mesmos símbolosdimensionais,tendorespectivamenteasmesmasdimensões. Exemplo 2: Verifique se há homogeneidade na equação definida da energia potencialgravitacional?ó = 3 ∙ Ñ ∙ ℎ Solução: Comparamos a fórmula dimensional do primeiro membro com a do segundo: 1ºmembro→ ?ó = , ∙ O8 . © 8 2ºmembro→ 3 ∙ Ñ ∙ ℎ = , ∙ ‡ ´ ·n ∙ O = , ∙ O ∙ © 8 ∙ O = , ∙ O8 ∙ © 8 Afórmuladimensionaldeambososmembroséigual,demodoqueaequação analisadaédimensionalmentehomogênea. Ahomogeneidadedimensionaldeumaequaçãoécritériodeverificaçãodesua validade, ou seja, é uma das condições necessárias para que uma equação seja correta. FísicaMecânica–RoteirosdeExperiências 95 ExercíciosdeAplicação Verifiqueseháhomogeneidadenasequaçõesabaixo: C)[8 = [5 + J ∙ RH ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ D)Ç = 3 ∙ a ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ 2)? = 3. 2 8 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ CΔH 8 ≠)[8 = [5 + J5 ΔH + 2 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ L)J88 = J58 + 2 ∙ C ∙ R[ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ FísicaMecânica–RoteirosdeExperiências 96 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ g)J8 = J5 + C ∙ RH ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ Teorema de Bridgman Com esse teorema, é possível determinar qual a fórmula que rege um fenômeno a partir das variáveis que o afetam. Ele diz que se, experimentalmente for constatado que uma determinada grandeza física ‚ depende das grandezas !, €, Ω, LH2,independentes entre si, então a grandeza ‚ pode ser expressa da seguinteforma: ‚ = ä ∙ !l ∙ €≥ ∙ Ω Ü … . ondeKéumfatornumérico,cujovalorédeterminadomedianteexperiências. Exemplo3:Numaexperiência,verifica-sequeoperíodo©deoscilaçãodeum sistemamassa-moladependesomentedamassa3docorpoedaconstante elásticaäú‰ damola.Então,peloTeoremadeBridgman: ≥ ‚ = ä ∙ !l ∙ €≥ ∙ Ω Ü … . ⇒ © = ä ∙ 3l ∙ áú‰ Deseja-se calculara o valor de C e D. Para isso, aplica-se a homogeneidade dimensionalnafórmulaobtidapeloTeoremadeBridgman.ComoTéoperíodode oscilação,trata-sedetempo.Portanto: © = ©, BG © = ,\ O\ © 5 Dooutroladodaigualdadetemos: l ä∙3 ∙ ≥ áú‰ l = 1 ∙ , ∙ ,∙ O ‡ ´n ≥ O 1 =, ∙ ,∙ 8∙ © O l ≥ ä ∙ 3l ∙ áú‰ = ,lπ≥ ∙ © î8≥ Comoosdoisladosdevemseriguais,faremos: ≥ = ,l ∙ ,≥ ∙ © î8≥ FísicaMecânica–RoteirosdeExperiências 97 ,\ ∙ O\ ∙ © 5 = ,lπ≥ ∙ O\ ∙ © î8≥ Igualandoosexpoentes,podemosdeterminarCeD: C+D =0 −2D = 1 Resolvendoessesistema,temosque: 1 1 D = − LC = 2 2 ≥ Substituindoem© = ä ∙ 3l ∙ áú‰ ,teremos:  n î  n © = ä ∙ 3 ∙ äú‰ ⇒ © = ä ∙ 3 áú‰ Comasexperiências,verifica-sequeä = 2™.Assim,afórmulafinalfica: © = 2™ ∙ 3 áú‰ ExercíciosdeAplicação 1.AforçacentrípetaÇÜõ dependedamassa3davelocidadeescalarJdoobjetoe doraioAdaórbitadomovimento.Determinaraequaçãodaforçacentrípeta. ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ 2.Determineosvaloresde[, keflparaqueaequação:(força)x(massa)y= (volume)(energia)zsejadimensionalmentecorreta. ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ FísicaMecânica–RoteirosdeExperiências 98 ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ 3.Naequaçãodimensionalhomogênea[ = C ∙ H 8 − D ∙ H³,emque[tema dimensãodecomprimentoOeHtem©,asdimensõesCeDsão,respectivamente iguaisa? ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................ ExercíciosPropostos 1. O quociente da unidade de força dividida pela unidade de velocidade pode ser utilizadoparamedir: a)potência b)trabalho c)vazãovolumétricadegás d)vazãovolumétricadelíquidos e)vazãodemassas 2.AintensidadeÇdaforçaqueageemumapartículaédadaemfunçãodotempoH conformeaexpressãoÇ = ! + €Honde!e€sãoparâmetrosconstantesenão nulos.Adotandocomofundamentaisasgrandezasmassa,comprimentoOe tempo©,obtenhaasequaçõesdimensionaisdosparâmetros!e€. 3.NaexpressãoÇ = 
