CES – Centro de Ensino Superior de C. Lafaiete Faculdade de

CES – Centro de Ensino Superior de C. Lafaiete
Faculdade de Engenharia Elétrica
Fundamentos de Mecânica
Prof. Aloísio Elói
Análise Dimensional
1. Grandezas Fundamentais
Na mecânica, adotam-se a massa (M), o comprimento (L) e o tempo (T) como grandezas fundamentais.
Pode-se expressar qualquer grandeza física G, de natureza mecânica, em função de M, L e T, obtendo-se, assim, a equação
dimensional da grandeza G.



Desse modo, a equação dimensional de G, que é indicada pela notação [G], será dada por [G]  M L T . Os expoentes α, β e γ
são chamados dimensões físicas da grandeza G em relação às grandezas fundamentais M, L e T, também chamadas de dimensões.
Assim, pode-se escrever todas as grandezas da mecânica em função de L, M e T variando os valores de α, β e γ.
Exemplos:
S
L
, mas  S   L e  t   T   v    v   L1M 0T 1
t
T
1
0 1
v
LM T
2. Aceleração: a 
 a 
  a   L1M 0T 2
t
T
1. Velocidade: v 
3. Força:
F  ma   F   ma  ML1M 0T 2  L1M 1T 2
4. Trabalho e Energia:
5. Potência: P 

t
  Fd      F d   L1M 1T 2 L  L2 M 1T 2
  L2 M 1T 2 2 1 3
  P 
 t 

T
LM T
p  mv   p  mv  ML1M 0T 1  L1M 1T 1
mm
7.A força de ação gravitacional é dada por F  G 1 2 2 . Determine a dimensão da constante G.
d
6. Momento linear (Quantidade de movimento):

 
L1M 1T 2 L1
m1m2
Fd 2
G 
 G  
Resolução: F  G
d2
m1m2
MM
2
L1M 1T 2 L2

 L3 M 1T 2
2
M
2. Homogeneidade Dimensional
Uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente homogênea.
Traduzindo a frase acima, notamos que as dimensões de um membro da equação devem ser iguais às dimensões do outro membro.
Seria completamente errada a expressão:
80 quilogramas = 30 metros + x metros.
Notamos ainda que a homogeneidade dimensional em uma equação é uma condição necessária mas não suficiente para a legitimidade
física. Uma equação física pode ser dimensionalmente homogênea mas não ser verdadeira sob outros aspectos.
Exemplo: Uma força que age numa partícula é dada em função do tempo de acordo com a expressão: F = A + Bt
Quais as dimensões de A e B para que a relação seja dimensionalmente homogênea?
Resolução:
1
1 2

 A   F   L M T
F  A  Bt   F    A   Bt   
1
1 2
1
1 2
1
1 3

 Bt    F    B t   L M T   B .T  L M T   B   L M T
3. Previsão de Fórmulas
A análise dimensional é um poderoso instrumento auxiliar na previsão de fórmulas físicas.
Exemplo: Um estudante, fazendo experiências num laboratório, verifica que o período (T) de oscilação de um pêndulo simples
depende do comprimento do fio (l) e do módulo da aceleração da gravidade (g). Daí conclui-se que:
T  kL g 
em que k é uma constante adimensional e α e β são números reais. Lembrando o princípio da homogeneidade, temos que:
T k

g   T   
Então, T  k
1/ 2
 g



2  1    1/ 2
 T 1  L  LT 2   T 1  L L T 2   
    0    1/ 2  0    1/ 2
g 1/ 2  T  k
g
As constantes adimensionais não podem ser obtidas na análise dimensional.
Para o estudo da termologia adota-se como grandezas fundamentais, além de LMT, a temperatura .
Para o estudo da eletricidade adota-se como grandezas fundamentais, além de LMT, a corrente elétrica I com fundamental. Assim,
podemos dar alguns exemplos de grandezas da termologia e da eletricidade:
Temperatura – [t] = M0L0T0
1
Coeficiente de dilatação – [ ] =M0L0T0
–1
Quantidade de calor – [Q] = M1L2T–2 = [ ]
Calor específico – [c] = M0L2T–2
–1
Capacidade térmica – [C] = M1L2T–2
–1
Calor latente – [L] = M0L2T–2 0
Carga elétrica – [q] = M0L0T1I1
Ddp – [U] = M1L2T–3I–1
Campo elétrico – [E] = M1L1T–3I–1
Resistência elétrica – [R] = M1L2T–3I–2
Capacidade eletrostática – [C] = M–1L–2T4I2
Fluxo magnético – [Φ] = ML2T–2I–1
Exercícios:
01. O quociente da unidade de força dividida pela unidade de velocidade pode ser utilizado para medir:
a) potência
b) trabalho
c) vazão volumétrica de gás
d) vazão volumétrica de líquidos e) vazão de massas
02. A intensidade (F) da força que age em uma partícula é dada em função do tempo (t) conforme a expressão F = A + Bt onde A e
B são parâmetros constantes e nulos. Adotando como fundamentais as grandezas massa (M), comprimento (L) e tempo (T), obtenha as
equações dimensionais dos parâmetros A e B.
03. Na expressão F = Ax2, F representa força e x um comprimento. Se MLT-2 é a fórmula dimensional da força onde M é o símbolo
da dimensão massa, L da dimensão comprimento e T da dimensão tempo, a fórmula dimensional de A é:
a) ML-1T-2
b) ML3T-2
c) L2
d) MT-2
e) M
04. Um físico apresentou uma teoria reformulando alguns conceitos nas leis de Mecânica Newtoniana. Um jornal, pretendendo
reproduzir essa teoria, apresentou como expressão da intensidade da força gravitacional (F) entre duas partículas de massas m1 e m2,
separadas por uma distância r, a relação: F 


m1m2
1  V 2  r.a , onde V é a intensidade da velocidade relativa e a é intensidade
2
r
da aceleração relativa entre os corpos. A respeito desta expressão assinale a opção correta:
a) A expressão pode estar correta apenas quando V = 0 e a = 0.
b) A expressão é dimensionalmente correta.
c) A expressão é dimensionalmente absurda pois só podemos somar parcelas que tenham a mesma equação dimensional, além disso,
mesmo no caso em que V = 0 e a = 0, o segundo membro não tem equação dimensional de força.
d) A expressão estaria dimensionalmente correta se o conteúdo dos parênteses fosse:
1
V2
r.a
e) A expressão está correta.
05. Um estudante de física resolvendo certo problema chegou à expressão final: F = 2(m1 + m2) vt2 onde F representa uma força,
m1 e m2 representam massas, v é uma velocidade linear, t é tempo. Outro estudante resolvendo o mesmo problema chegou à
expressão: F = 2(m1 + m2) vt-1. Mesmo sem conhecer os detalhes do problema você deve ser capaz de verificar qual das respostas
acima obviamente deve estar errada. Explique qual delas é certamente errada.
06. A variação da massa M com o tempo t, de uma esfera de naftalina que sublima, é dada por M = M0e-Kt, válida no Sistema
Internacional de Unidades. Quais as unidades de M0 e K?
Sabe-se que e é a base dos logaritmos neperianos.
07. Se na equação P = V2K, V é velocidade, então para que P seja pressão é necessário que K seja:
a) massa
b) massa específica
c) vazão mássica
d) peso
e) peso específico
08. Na expressão seguinte, x representa uma distância, v uma velocidade, a uma aceleração, e k representa uma constante
adimensional.
xk
vn
. Qual deve ser o valor do expoente n para que a expressão seja fisicamente correta?
a
09. Na análise de determinados movimentos, é bastante razoável supor que a força de atrito seja proporcional ao quadrado da
velocidade da partícula que se move. Analiticamente f = Kv2. A unidade da constante de proporcionalidade K no S. I. é:
10. Num movimento oscilatório, a abscissa (x) da partícula é dada em função do tempo (t) por x = A + B cos (CT), onde A, B e C
são parâmetros constantes não nulos. Adotando como fundamentais as dimensões M (massa), L (comprimento) e T (tempo), obtenha
as fórmulas dimensionais de A, B e C.
11. Para efeito de análise dimensional, considere as associações de grandezas apresentadas nas alternativas e indique qual delas não
tem dimensão de tempo. Sejam: R = resistência elétrica, C = capacitância, M = momento angular, E = energia,
B = indução magnética, S = área e I = corrente elétrica.
(A) R.C
(B) BS/ IR
(C) M/E
(D) BSC
(E) todas as alternativas têm dimensão de tempo
I
12. Um novo sistema de unidades foi criado com as grandezas fundamentais: volume (V), força (F) e tempo (T). Mostre que, nesse
novo sistema, a equação dimensional da potência é P  FV
T 1 .
1/ 3
13. Considerando as grandezas fundamentais, massa M, comprimento L e tempo T, a dimensão do trabalho de uma força é:
a) MLT
b) ML2T2
c) MLT-2
d) ML2T-2
e) ML-2T2
14. Como resultado de um trabalho experimental, um estudante obtém 30 kg/m∙s2. A grandeza obtida foi:
a) força.
b) pressão.
c) aceleração.
d) energia.
e) impulso.
15. O kg∙m2/s2 é uma unidade de:
a) força.
b) aceleração.
c) potência.
d) trabalho.
16. A equação dimensional da grandeza G, definida pela igualdade:
G = velocidade x trabalho x pressão x tempo é:
a) ML2T-3
b) L2T4
c) ML2T-4
d) M2L2T-4
e) velocidade.
e) M3L2T-2
17. A unidade comumente utilizada para o campo elétrico é obtida da divisão entre as unidades da força elétrica e da carga elétrica,
resultando o N/C. Esta unidade, representada em função das unidades de base do Sistema Internacional (SI), é:
a) kg∙m∙A-1∙s-3 b) kg∙m∙A∙s2
c) kg2∙m∙A-1∙s3
d) kg-1∙m-1∙A∙s-2
e) kg-1∙m∙A∙s-1
18. A eletrodinâmica é o ramo da Física que estuda as cargas elétricas em movimento. O movimento das cargas elétricas ocorre em
circuitos elétricos, que podem ser constituídos de geradores, resistores, capacitores e indutores. Considere o produto resistência x
capacitância (R x C), com o resistor apresentando resistência em Ω (ohm) e o capacitor, capacitância em F (farad). Pode-se afirmar
que esse produto tem dimensão de:
a) energia [joule].
b) potência [watt].
c) corrente [ampère].
d) tempo [segundo].
e) tensão [volt].
19. No Sistema Internacional, a unidade da constante de gravitação universal deve ser:
a) m3∙s2∙kg-1
b) m3∙kg∙s-2
c) s2∙kg-1∙m-3
d) kg∙m-3∙s-2
e) m3∙kg-1∙s-2
20. A medida de uma grandeza física G é dada pela equação
A grandeza G1 tem dimensão de massa, a grandeza G2 tem dimensão de comprimento e a grandeza G3 tem dimensão de força. Sendo k
uma constante adimensional, a grandeza G tem dimensão de:
a) comprimento.
b) massa.
c) tempo.
d) velocidade.
e) aceleração.
21. Representando o comprimento por L, a massa por M e o tempo por T, as dimensionais LMT-2, L2MT-3 e L-1MT-2
representam, respectivamente:
a) o trabalho, a força e a massa específica.
b) a potência, a aceleração e a pressão.
c) a força, a potência e a pressão.
d) o peso específico, a aceleração e a potência.
e) a tensão, a potência e a energia.
22. Se p é pressão, m é massa e d é densidade absoluta (ou massa específica), então o termo m∙p/d tem as dimensões da grandeza:
a) força.
b) potência.
c) velocidade.
d) aceleração.
e) trabalho.
23. O quociente da unidade de força dividida pela unidade de velocidade pode ser utilizado para medir:
a) potência.
b) trabalho.
c) vazão volumétrica de gás.
d) vazão volumétrica de líquidos.
e) vazão de massas.
24. Uma certa grandeza "P" tem por expressão
em que m = massa; E = energia cinética; c = velocidade da luz.
Em unidades do Sistema Internacional, a grandeza "P" é expressa em:
a) m∙kg∙s-1
b) m∙kg∙s
c) m2∙kg∙s2
d) m∙kg2∙s
e) m∙kg-1∙s-2
25. Considerando as grandezas físicas, comprimento, massa, tempo e carga elétrica e suas respectivas unidades de medida no
Sistema Internacional, podemos dizer que a unidade ohm (Ω) é igual a:
a) 1 kg2∙m/C∙s
b) 1 kg∙m2/C2∙s
c) 1 kg∙m/C∙s
d) 1 kg2∙m2/C2∙s2
e) 1 C/s
26. Determinar a equação dimensional da permeabilidade magnética μ0 num sistema cujas grandezas fundamentais são
comprimento (L), massa (M), tempo (T) e corrente elétrica (I).
27. Um sistema de unidades é de base LMT. Se forem multiplicadas por a/b, com a e b números positivos, as unidades
fundamentais de comprimento, massa e tempo, como se alterarão as unidades de velocidade, aceleração, força e quantidade de calor?
28. Num dado sistema de unidades, multiplicam-se por um mesmo fator K as unidades de comprimento, velocidade e força. Por que
fatores serão multiplicadas as unidades de tempo, massa e energia?
29. O Sistema Internacional de Unidades, SI, compreende sete unidades de base: o metro, o quilograma, o segundo, o ampère, o
kelvin, o mol e a candela, representativos das grandezas: comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica,
quantidade de matéria e intensidade luminosa., respectivamente. Para efeito de análise dimensional, usamos os seguintes símbolos
associados às grandezas: L = comprimento, M = massa, T = tempo e I = corrente elétrica.
Determine a equação dimensional da carga elétrica, da tensão elétrica e da resistência elétrica.
30. Se, num determinado sistema de unidades, forem multiplicadas por K as unidades de comprimento, massa e tempo, então a
unidade de força desse sistema será multiplicada por:
a) K-2
b) K-1
c) K0
d) K1
e) K2
Nº Resposta
01
03
05
07
09
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
27
GABARITO
Nº Resposta
E
02 [A] = LMT-2; [B] = LMT-3
A
04 C
A 1ª, pois é dimensionalmente incorreta.
06 São kg e Hz, respectivamente.
B
08 n = 2
D
10 [A] = LM0T0; [B] = LM0T0; [C] = L0M0T-1
E
12 Demonstração.
A (?)
14 B
D
16 D
A
18 D
E
20 C
C
22 E
E
24 A
B
26 LMT-2I-2
Ver abaixo.
28 Por 1, 1 e k2, respectivamente.
2 -3 -1
2 -3 -2
[Q] = IT; [U] = ML T I ; [R] = ML T I
30 C
A velocidade e a força não se alteram; a aceleração fica multiplicada por b/a e a quantidade de
calor fica multiplicada por a/b.
Fontes:
www.mspc.eng.br; [email protected] ; www.coladaweb.com.
Observação: As respostas acima foram obtidas nos sites citados e ainda não foram conferidas
em sua totalidade. Se sua resposta divergir, converse com o professor ([email protected]).