ANÁLISE DIMENSIONAL

ANÁLISE DIMENSIONAL
Grandezas Físicas Fundamentais
Grandeza
Física
Símbolo da
Símbolo da Unidade
Unidade no SI
Dimensão
no SI
Comprimento
L
metro
m
Massa
M
quilograma
kg
Tempo
T
segundo
s
kelvin
K
I
ampère
A
I0
candela
cd
N
mols
mol
Temperatura
termodinâmica
Corrente
elétrica
Intensidade
luminosa
Quantidade
de matéria
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EXEMPLOS
ALGUMAS FÓRMULAS DIMENSIONAIS
Velocidade:
Aceleração:
Força:
Trabalho:
Energia:
Torque:
Potência:
Momento:
Velocidade angular:
Freqüência:
[v]=LT-1
[a]=LT-2
[F]=MLT-2
[E]=ML2 T-2
[E]=ML2 T-2
[E]=ML2 T-2
[Pot]=ML2 T-3
[Q]=ML T-1
[ω]=T
[f]=T-1
elétrica
:
Campo elétrico
:
Potencial elétrico :
Resistência elétrica:
Campo magnético:
Fluxo magnético
Carga
[q]=IT
[E]=MLT-3I
[U]=ML2T-3I-1
[R]=ML2T-3I-2
[B]=MT-2I-1
[Ф]=ML2T-2I-1
específico:
[c]=L2 T-2 θ-1
Coeficiente de dilatação [ α ]= θ-1
Fluxo de calor:
[ Ф ]= ML2 T-3
Intensidade sonora
[I]=MT-3
Calor
GRANDEZAS FÍSICAS ADIMENSIONAIS
Coeficientes
de atrito
Índice de refração
Rendimento
Nível de intensidade sonora
Principais usos:
Verificação
da homogeneidade de
fórmulas;
Previsão de equações físicas;
Mudança de unidades;
TEOREMA DE BRIDGMAN
Toda
grandeza secundária pode ser
expressa por um produto de potências
das grandezas primárias.
Suponhamos
que uma grandeza
secundária G seja uma função das
grandezas primárias A, B,C ... Z. O
teorema de Bridgman diz que se poderá
escrever:
G=KAαBβCγ...Zω
ATENÇÃO!!!
Todo arco é adimensional.
Toda função trigonométrica é adimensional
Todo expoente é adimensional.
Toda grandeza definida pela razão de duas
grandezas físicas, de mesma dimensão, é
adimensional.
Só podemos somar e subtrair grandezas
físicas de mesma dimensão.
HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL
Uma
equação física verdadeira deve ser
dimensionalmente homogênea, isto é,
dever ter em ambos os membros a
mesma fórmula dimensional.
Homogeneidade das equações
Num movimento oscilatório, a abscissa (x)
da partícula é dada em função do tempo
(t) por: X= A + B cos(Ct). Sendo [X]=L,
obtenha a fórmula dimensional de A, B e
C.
Resolução...
X=
A + B cos(Ct)
0
0
A
=
M
LT
[ ]
sendo...[Ct ] = M 0 L0T 0
0 0 0
C
t
=
M
L T = [C ] T
[ ][ ]
[C ] = M 0 L0T −1
sendo...cos(ct ) = adnensional
0
0
B
M
LT
=
[ ]
exemplos
a 2
S = S0 + V0 t + t
2
V2 = V02 + 2a∆S
a 2
[S] = [S0 ] + [V0 t] + [ t ]
2
−1
−2
L = L + LT T + LT T
L =L +L +L
2
[V2 ] = [V02 ] + [2a∆S]
(LT−1)2 = (LT−1)2 + LT−2L
2
LT
−2
=LT
2
−2
+L T
2
−2
exemplos
Teorema
do Impulso
I = ∆Q
F∆t = mVF − mV0
[F∆t] = [mVF ] − [mV0 ]
−2
MLT T = MLT
MLT
−1
= MLT
−1
−1
− MLT
− MLT
−1
−1
Previsão de fórmulas
A
intensidade da resultante centrípeta é
função apenas da massa, da velocidade
e do raio da trajetória. Por análise
dimensional obter, a menos da
constante adimensional(K), a expressão
da intensidade da força centrípeta.
Resolução
 Fcp  = K m x v y r z
M LT
−2
= K (M
)
x
( LT ) ( L )
−1
y
z
M LT − 2 = K M x L y + z T − y
x = 1

 y + z = 1 ⇒ x = 1; y = 2; z = − 1
 − y = −2

Fcp = K m 1 v 2 r − 1
Fcp
mv2
=K
r
Previsão de fórmulas
Um
cientista, fazendo experiências em
um laboratório, verifica o período(t) de
oscilação de um pêndulo simples
alterando o comprimento do fio(L), a
massa(m) e considerando a
gravidade(g) local. Como pode ele,
usando análise dimensional, obter uma
fórmula para calcular t, isto é, uma
função do tipo t=f(L,m,g).
Resolução
t = Km x l y g z
[t ] = M 0 L0T 1 = ( M ) x ( L) y ( LT −2 ) z
M 0 L0T 1 = M x Ly + zT −2 z
x = o
1
1

 y + z = 0 ⇒ x = 0; z = − ; y =
2
2
−2 z = 1

1
0 2
t = Km x l y g z = Km l g
l
T =K
g
1
−2
EXERCÍCIOS
(ITA-2009) Sabe-se que o momento angular
de uma massa pontual é dado pelo produto
vetorial do vetor posição dessa massa pelo
seu momento linear. Então, em termos das
dimensões de comprimento (L), de massa (M),
e de tempo (T), um momento angular qualquer
tem sua dimensão dada por dada por
a) L0MT–1. b) LM0T–1. c) LMT–1.
d) L2MT–1. e) L2MT–2.
resolução
EXERCÍCIOS
(Ita 2008) Define-se intensidade I de uma onda como a razão
entre a potência que essa onda transporta por unidade de área
perpendicular à direção dessa propagação. Considere que para
uma certa onda de amplitude a, freqüência f e velocidade v, que
se propaga em um meio de densidade ›, foi determinada que a
intensidade é dada por:
Indique quais são os valores
adequados para x e y, respectivamente.
a) x = 2; y = 2
b) x = 1; y = 2
c) x = 1; y = 1
d) x = - 2 ; y = 2
e) x = - 2; y = - 2
Resolução
Exercícios
01- Determine a equação dimensional de
Capacitância de um capacitor.
Q
C = ֏ Q = is = IT
U
J ML2T −2
w s
T
→ Pot = Ui → U = = =
A A
I
[U ] = ML2T −3 I −1
[C ] =
IT
−1 −2 4 2
M
L T I
=
2 −3 −1
ML T I
Exercício 02
(Mackenzie) No estudo de um fenômeno
da natureza foram envolvidas as
grandezas A, B,C e D, diferentes entre
2 −2
A
=
BC
D
si. A relação entre as grandezas é:
Se B tem dimensão de massa, C de
comprimento e D dimensão de tempo, a
unidade de medida de A no Sistema
internacional de Unidade é:
a)m/s b) N.s c)J/m d)N e)J
resolução
2
A=BC D
−2
2
−2
[A]=[B][C] [D]
[A] = ML T
2
−2
Portanto “A” representa energia e sua unidade no Sistema
Internacional é o Joule (J)
Resposta E
Exercício 03
Com relação as grandezas fundamentais
MLTθI, determine as equações
dimensionais das seguintes grandezas:
a)Constante Universal dos gases perfeitos
(R).
b)Resistência elétrica (R).
resolução
a)PV=nRT
[PV]=ML2 T -2 (trabalho)
ou
F
3
[PV] =
V(m
) = N.m = τ
2
A(m )
[n] = a dim ensional
PV=nRT
MLT -2 = [R]Θ
[R] = ML2 T -2 Θ −1I0
2
P=Ri
En
2
= Ri
∆t
2 −2
ML T
2
= [R]I
T
2 −3 −2 0
[R] = ML T I Θ
exercício
(FUVEST)Um estudante está prestando
vestibular e não se lembra da fórmula
correta que relaciona o módulo da
velocidade V de propagação do som, com
a pressão P e a massa específica ρ, num
gás. No entanto, ele se recorda que a
fórmula é do tipo (vide eq. ao lado) , em V α
que C é uma constante adimensional.
Após um exame da equação dimensional
ele conclui que os expoentes α e β valem
respectivamente:
a)1;2
b)1,1
c)2,1
d)2,2
e) 3,2
C.Pβ
=
ρ
resolução
V
α
C .P β
=
ρ
[ρ ] = M L − 3
F
M LT
[P ] =
=
A
L2
s u b s t it u i n d o
[L T
−1
Lα T
−α
−2
] α = [M L − 1 T
= M L−1 T
−2
= M β −1L − β + 3 T
−2
] β [M L − 3 ] − 1
−2 β
β − 1 = 0

 − β + 3 = α ⇒ β = 1; α = 2
−2β = −α

r e s p.C
ITA-2000
A figura abaixo representa um sistema
experimental utilizado para determinar o volume de
um líquido por unidade de tempo que escoa
através de um tubo capilar de comprimento L e
seção transversal de área A. Os resultados
mostram que a quantidade desse fluxo depende da
variação da pressão ao longo do comprimento L do
tubo por unidade de comprimento (∆P/L), do raio do
tubo (a) e da viscosidade do fluido (η) na
temperatura do experimento. Sabe-se que o
coeficiente de viscosidade (η) de um fluido tem a
mesma dimensão do produto de uma tensão (força
por unidade de área) por um comprimento dividido
por uma velocidade. Recorrendo à análise
dimensional, podemos concluir que o volume de
fluido coletado por unidade de tempo é
proporcional a
resolução