Potência em circuitos trifásicos - DSEE

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EA611 – Circuitos II
Capı́tulo 3
Potência em circuitos trifásicos
Carlos A. Castro
DSE/FEEC/UNICAMP
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
1/90
Conceitos
Considere duas cargas trifásicas ligadas em Y e em ∆:
a
Za
a
b
Zb
b
Zab
n
c
Zc
Carga em Y
Carlos A. Castro
Zca
c
Zbc
Carga em ∆
EA611 – Potência
2/90
Conceitos
A potência total fornecida a uma carga trifásica é igual à soma das
potências entregues individualmente a cada impedância da carga
Para a carga em Y:
S3Y = Sa + Sb + Sc = V̂an Îa + V̂bn Îb + V̂cn Îc
(1)
Para a carga em ∆:
+ V̂bc Î + V̂ca Î S3∆ = Sab + Sbc + Sca = V̂ab Îab
ca
bc
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
(2)
3/90
Conceitos
As equações (1) e (2) são gerais, ou seja, são válidas para
qualquer carga trifásica
Considere o caso particular de cargas equilibradas. Considere
também que as tensões aplicadas sobre as cargas sejam
(sequência de fases ABC):
\0Æ V
V̂bn = Vf \ ( 120Æ )
V̂cn = Vf \120Æ V
em que V` =
Carlos A. Castro
p
\30Æ V
V̂bc = V` \ ( 90Æ )
V̂ca = V` \150Æ V
V̂ab = V`
V̂an = Vf
V
V
3Vf
EA611 – Potência
4/90
Conceitos
No caso de cargas equilibradas, as impedâncias são
representadas por:
Z = j Z j \ Ω
Para a carga em Y:
a
Za
b
Zb
n
c
Carlos A. Castro
Zc
\ ( ) A
Îb = V̂bn =Z = I` \ ( 120Æ ) A
Îc = V̂cn =Z = I` \ ( + 120Æ ) A
Îa = V̂an =Z = I`
EA611 – Potência
5/90
Conceitos
A potência trifásica fornecida pela fonte à carga em Y será igual a:
\0Æ I` \ + Vf \ ( 120Æ) I` \ ( + 120Æ) +
Vf \120Æ I` \ ( 120Æ )
= 3Vf I` \
V`
=3 p
I` \
S3Y = Vf
=
Carlos A. Castro
p
3
3V` I`
\ VA
(3)
EA611 – Potência
6/90
Conceitos
Para a carga em ∆:
a
b
Zab
c
Zbc
\ (30Æ ) A
Îbc = V̂bc =Z = If \ ( 90Æ ) A
Îca = V̂ca =Z = If \ (150Æ ) A
Îab = V̂ab =Z = If
Zca
A potência trifásica fornecida pela fonte à carga em ∆ será igual a:
\30Æ If \ ( 30Æ + ) + V` \ (
\150Æ If \ ( 150Æ + )
= 3V` If \
I`
= 3V` p
\
S3∆ = V`
V`
=
Carlos A. Castro
p
3V` I`
90Æ ) If
\ (90Æ + ) +
3
\ VA
(4)
EA611 – Potência
7/90
Conceitos
Para cargas trifásicas equilibradas, a potência total fornecida é
igual a:
p
S3 = 3V` I` \ VA
para conexões em Y e em ∆
A potência total fornecida a uma carga trifásica equilibrada
depende dos valores de tensão e corrente de linha e do ângulo da
impedância de carga
As potências ativa e reativa totais valem:
P 3 =
Q 3 =
p
p3V`I` cos W
3V` I` sen var1
1
Unidade segundo a Resolução n.12, de 12 de outubro de 1988, do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e
Qualidade Industrial (CONMETRO).
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
8/90
Conceitos
Exemplo
Uma carga indutiva trifásica equilibrada é alimentada por uma fonte de
tensão trifásica de 220 V de linha. A corrente de linha medida é de 5 A
e a potência ativa total fornecida é de 900 W.
A
5A
a
A
b
B
F ONTE
+
220
V
C
−
N
Carlos A. Castro
C ARGA
c
900 W
EA611 – Potência
9/90
Conceitos
1
Obtenha as potências aparente, complexa, reativa e o fator de
potência da carga.
2
Determine as impedâncias por fase para os casos em que a carga
está conectada em Y e em ∆.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
10/90
Conceitos
As grandezas pedidas são calculadas por:
j S 3 j =
p
3V` I` =
p
3 220 5 = 1905;3 VA
fp = cos = P3 = j S3 j= 900=1905;3 = 0;47
= cos
1
(fp) = cos
1
(0;47) = 61;8Æ
S3 = j S3 j \ = 1905;3 \61;8Æ VA
Q3 = j S3 j sen = 1679;3 var
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
11/90
Conceitos
Considerando que a carga esteja conectada em Y:
ZY =
=
V̂an
Îa
V̂an
V̂an
!
p 2
2
Vab = 3
Van
= =
Sa
S3 =3
2
Vab
2202
=
= 25;4 \61;8Æ Ω
S3
1905;3 \ ( 61;8Æ )
Para conexão em ∆:
Z∆ =
=
Carlos A. Castro
V̂ab
Îab
V̂ab
V̂ab
!
=
2
2
Vab
Vab
=
Sab
S3 =3
2
3Vab
3 2202
=
= 76;2 \61;8Æ Ω = 3 ZY
S3
1905;3 \ ( 61;8Æ )
EA611 – Potência
12/90
Conceitos
Exemplo
A figura a seguir mostra um circuito em que uma fonte trifásica de
13;8 kV de linha alimenta uma carga trifásica equilibrada em Y de
impedância Zc = 200 + j 50 Ω por fase através de uma linha de
transmissão de impedância ZL = j 10 Ω por fase.
L INHA
DE TRANSMISS ÃO
F ONTE
A
ZL
a
Zc
B
ZL
b
Zc
+
C 13;8 kV
−
ZL
c
Zc
N
Carlos A. Castro
C ARGA
n
EA611 – Potência
13/90
Conceitos
Pede-se:
1
a corrente de linha.
2
a tensão na carga e a queda de tensão na linha.
3
a potência aparente entregue à carga.
4
a potência aparente fornecida pela fonte.
5
as potências ativa e reativa consumidas pela linha.
6
o fator de potência da carga e o fator de potência visto pela fonte.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
14/90
Conceitos
Como a carga é equilibrada, pode-se calcular somente as tensões e
correntes para uma das fases.
As tensões e correntes das outras fases podem ser obtidas
simplesmente levando em conta as defasagens apropriadas, já que
seus valores eficazes são os mesmos.
Assim, basta definir uma das tensões de fase, como por exemplo:
V̂AN =
13;8
p
3
\0Æ kV
Corrente na fase A:
p
V̂AN
13;8 103 = 3 \0Æ
ÎA =
=
= 38;16 \ ( 16;7Æ ) A
Zc + ZL
j 10 + (200 + j 50)
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
15/90
Conceitos
Tensão de fase sobre a carga:
V̂an = Zc ÎA = 7;87 \ ( 2;66Æ ) =
13;62
p
3
\ ( 2;66Æ)
kV
Queda de tensão na linha de transmissão:
V̂L = V̂AN
V̂an = ZL ÎA = 381;6 \73;3Æ V
Diagrama fasorial para a fase A:
2;66Æ
16;7Æ
V̂AN
V̂an
V̂L
ÎA
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
16/90
Conceitos
Potência aparente entregue à carga:
j Sc j= 3Van IA = 900;2 kVA 0;9 MVA
Potência aparente fornecida pela fonte:
j SF j= 3VAN IA = 912;1 kVA 0;91 MVA
Potência complexa consumida pela linha de transmissão:
SL = 3V̂L ÎA = 43;7 \90Æ kVA
ou seja:
PL = 0
QL = 43;7 kvar 0;04 Mvar
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
17/90
Conceitos
Naturalmente, não há consumo de potência ativa pela linha já que ela é
composta somente por uma reatância.
A perda de potência na linha corresponde a pouco mais de 4% da
potência fornecida pela fonte.
O fator de potência da carga é igual ao co-seno do ângulo de
defasagem entre a tensão da fase A e a corrente pela fase A:
fpc = cos
h \ V̂an
= cos [( 2;66Æ )
Carlos A. Castro
\
i
ÎA
( 16;7Æ )] = 0;970
EA611 – Potência
18/90
Conceitos
O fator de potência da carga também corresponde ao co-seno do
ângulo da impedância da carga:
fpc = cos tg
= cos tg
Xc
Rc
50
1
= 0;970
200
1
Fator de potência visto pela fonte:
fpF = cos
h \ V̂AN
= cos [0Æ
Carlos A. Castro
\
i
ÎA
( 16;7Æ )] = 0;958
EA611 – Potência
19/90
Conceitos
O fator de potência visto pela fonte é igual ao co-seno do ângulo da
impedância da carga em série com a impedância da linha.
Como a impedância da linha é puramente indutiva, sua presença
resulta em um fator de potência visto pela fonte menor do que o fator
de potência da carga.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
20/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 4 fios
Carga trifásica em Y com neutro (a 4 fios), para a qual deseja-se
medir a potência ativa total consumida:
C ARGA
A
a
Za
B
b
Zb
C
c
Zc
N
n
F ONTE
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
21/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 4 fios
A potência ativa total consumida pela carga é igual à soma das
potências ativas consumidas em cada fase:
P 3 = P A + P B + P C
= VAN IA cos A + VBN IB cos B + VCN IC cos C
em que A , B e C são os ângulos das impedâncias das fases
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
22/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 4 fios
A potência ativa consumida por uma impedância pode ser medida
através da conexão de um wattı́metro:
Bobina de potencial
(BP)
Bobina de corrente
(BC)
I
I
+
V
Z
−
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
23/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 4 fios
Voltando ao circuito trifásico, a potência ativa consumida pela
impedância da fase A é obtida através da colocação de um
wattı́metro:
C ARGA
ÎA
A
Wattı́metro
BC
BP
a
Za
+
F ONTE
V̂AN
−
N
n
Pela bobina de corrente BC circula a corrente de linha ÎA e sobre a
bobina de potencial BP é aplicada a tensão de fase V̂AN . Então:
n
o
PA = VAN IA cos A = < V̂AN ÎA
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
24/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 4 fios
Se dois wattı́metros adicionais forem ligados às outras fases da
carga, a potência ativa total será dada pela soma das leituras dos
três wattı́metros:
C ARGA
A
a
Za
b
Zb
c
Zc
W1
B
W2
F ONTE
C
W3
N
n
Em particular, se a carga for equilibrada, basta ligar um wattı́metro,
que medirá um terço da potência total, e multiplicar a leitura por
três para obter a potência total consumida.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
25/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Para cargas cujas impedâncias estão conectadas em ∆ ou Y sem
neutro, a ligação dos wattı́metros é feita da seguinte forma:
A
a
W1
b
B
W2
F ONTE
o
C
c
C ARGA
∆ OU Y
W3
N
n
Não há conexão entre o neutro da carga e o neutro da fonte.
Assim, o ponto comum dos wattı́metros o permanece em um
potencial arbitrário
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
26/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
As indicações dos três wattı́metros serão:
A
a
W1
b
B
W2
F ONTE
C
o
c
C ARGA
∆ OU Y
W3
N
Carlos A. Castro
n
EA611 – Potência
o
n
P1 = < V̂Ao ÎA
n
o
P2 = < V̂Bo ÎB
n
o
P3 = < V̂Co ÎC
27/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Fase A do circuito trifásico:
C ARGA
A
a
Za
A
a
W1
BC
+
F ONTE
BP
o
n
o
Za
V̂An
V̂Ao
−
N
+
−
+
V̂on
− n
Para a malha mostrada tem-se:
V̂on + V̂Ao
Carlos A. Castro
V̂An = 0
)
EA611 – Potência
V̂Ao = V̂An
V̂on
28/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Expressões semelhantes são obtidas para as demais fases:
V̂Bo = V̂Bn
V̂on
V̂Co = V̂Cn
V̂on
A soma das leituras dos três wattı́metros será:
3
X
i=1
o
n
Pi = P1 + P2 + P3 = < V̂Ao ÎA + V̂Bo ÎB + V̂Co ÎC
Carlos A. Castro
n
= < V̂An V̂on ÎA + V̂Bn
n
= < V̂An ÎA + V̂Bn ÎB + V̂Cn ÎC
V̂on ÎB + V̂Cn V̂on ÎC
o
V̂on Î + Î + Î EA611 – Potência
A
B
o
C
29/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Como a soma das correntes de linha é igual a zero, chega-se
finalmente a:
3
X
i=1
o
n
Pi = < V̂An ÎA + V̂Bn ÎB + V̂Cn ÎC = P3
Assim, a soma das leituras dos três wattı́metros fornece a potência
ativa total entregue à carga, independentemente do potencial do
ponto o
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
30/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Como o potencial do ponto o não tem influência no resultado final,
pode-se atribuir a ele um potencial em particular. Portanto,
pode-se conectar o ponto o a uma das fases, como por exemplo, à
fase b. Neste caso, o wattı́metro 2, que originalmente media:
n
o
P2 = < V̂Bo ÎB
passará a indicar potência nula, pois não haverá diferença de
potencial aplicada em sua bobina de potencial (BP)
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
31/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Portanto, o wattı́metro 2 pode ser retirado do circuito:
A
a
W1
B
b
C
c
F ONTE
C ARGA
∆ OU Y
W3
n
N
A soma das leituras indicadas pelos wattı́metros 1 e 3 será:
n
o
P1 + P3 = < V̂AB ÎA + V̂CB ÎC
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
32/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Considerando que:
V̂AB = V̂An
V̂Bn
V̂CB = V̂Cn
V̂Bn
tem-se:
P1 + P3 = <
n





V̂An
V̂Bn ÎA + V̂Cn
o
V̂Bn ÎC





V̂Bn ÎA + ÎC +V̂Cn ÎC


| {z }


V̂An ÎA




= ÎB
n
o
= < V̂An ÎA + V̂Bn ÎB + V̂Cn ÎC = P3
=<
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
33/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
É possı́vel medir a potência ativa total consumida por uma carga a
4 fios utilizando 3 wattı́metros. No caso de uma carga a 3 fios,
apenas 2 wattı́metros são suficientes
Em geral, a potência ativa total entregue a uma carga com n fios
pode ser obtida através da utilização de (n 1) wattı́metros
Teorema de Blondel ou método dos (n
1) wattı́metros
Se a energia é fornecida a uma carga polifásica por n fios, a potência total na
carga é dada pela soma algébrica das leituras de n wattı́metros, ligados de tal
maneira que cada um dos n fios contenha uma bobina de corrente de um
aparelho, estando a bobina de potencial correspondente ligada entre este fio e
um ponto comum a todas as bobinas de potencial. Se este ponto estiver sobre
um dos n fios, bastam (n 1) wattı́metros
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
34/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Exemplo
A figura abaixo mostra uma fonte de tensão de 220 V de linha que
alimenta uma carga trifásica desequilibrada em Y cujas impedâncias
das fases valem Za = 100 Ω, Zb = 200 Ω e Zc = 100 Ω.
A
a
W1
B
b
C
c
F ONTE
C ARGA
Y
W3
N
n
Calcule a potência ativa total consumida pela carga. Obtenha também
as leituras de cada wattı́metro e a potência ativa total medida.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
35/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Considere que as tensões fornecidas pela fonte de tensão sejam:
V̂AN = 127 \0Æ V
V̂BN = 127 \ ( 120Æ) V
V̂CN = 127 \120Æ V
V̂AB = 220 \30Æ V
V̂BC = 220 \ ( 90Æ ) V
V̂CA = 220 \150Æ V
A tensão entre os pontos neutros da carga e da fonte será:
V̂nN =
Carlos A. Castro
Ya V̂AN + Yb V̂BN + Yc V̂CN
= 25;4 \60Æ V
Ya + Yb + Yc
EA611 – Potência
36/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Tensões de fase aplicadas sobre carga:
V̂An = V̂AN
V̂Bn = V̂BN
V̂Cn = V̂CN
V̂nN = 116;4 \ ( 10;9Æ ) V
V̂nN = 152;4 \ ( 120Æ ) V
V̂nN = 116;4 \130;9Æ V
Correntes de linha:
ÎA = V̂An =Za = 1;164 \ ( 10;9Æ ) A
ÎB = V̂Bn =Zb = 0;762 \ ( 120Æ ) A
ÎC = V̂Cn =Zc = 1;164 \130;9Æ A
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
37/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Potências por fase e a potência total:
PA = RA IA2 = 135;5 W
PB = RB IB2 = 116;2 W
PC = RC IC2 = 135;5 W
P3 = PA + PB + PC = 387;2 W
Leituras indicadas por cada wattı́metro:
n
o
P1 = < V̂AB ÎA = VAB IA cos (30Æ + 10;9Æ ) = 193;6 W
o
n
P3 = < V̂CB ÎC = VCB IC cos (90Æ 130;9Æ ) = 193;6 W
P3 = P1 + P3 = 387;2 W
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
38/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Considere novamente o circuito trifásico a 3 fios mostrado a seguir.
A
a
W1
b
B
F ONTE
C
c
C ARGA
∆ OU Y
W3
n
N
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
39/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
As leituras dos wattı́metros 1 e 3 serão iguais a:
o
n
P1 = < V̂AB ÎA
= VAB IA cos \ V̂AB
\ ÎA
= VAB IA cos 1
o
n
P3 = < V̂CB ÎC
= VCB IC cos \ V̂CB
= VCB IC cos 3
\
ÎC
Dependendo da caracterı́stica da carga e, portanto, dos ângulos
de defasagem entre as tensões e correntes (1 e 3 ), P1 e P3
poderão apresentar valores positivos ou negativos
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
40/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Caso sejam utilizados wattı́metros analógicos, valores negativos
de potências farão com que os ponteiros tendam a defletir em
direção ao lado negativo da escala
Digital
Analógico
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
41/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Nestes casos, deve-se inverter a ligação de uma das bobinas (de
corrente ou de potencial, sendo mais comum a inversão da última)
A potência total fornecida à carga é dada pela soma algébrica das
leituras dos wattı́metros
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
42/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Diagrama fasorial contendo as tensões e correntes na fonte de
tensão, para o caso particular em que a carga é equilibrada
(Za = Zb = Zc ):
V̂CB
A
V̂CN
a
W1
b
B
F ONTE
C
c
ÎC
C ARGA
∆ OU Y
30Æ
30Æ
W3
N
n
ÎB
V̂AB
V̂AN
ÎA
V̂BC
V̂BN
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
43/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Considerando que a sequência de fases seja ABC e que a tensão
da fase A seja tomada como referência angular, as leituras dos
wattı́metro serão:
n
o
P1 = < V̂AB ÎA
= < VL \30Æ [IL \ ( )]
= < fVL IL
\ ( + 30Æ )g
= VL IL cos ( + 30Æ )
n
o
P3 = < V̂CB ÎC
= < VL \90Æ [IL
= < fVL IL
\ (
= VL IL cos (
Carlos A. Castro
\ (120Æ )]
30Æ )g
30Æ )
EA611 – Potência
(5)
(6)
44/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Nota-se que os valores de potência indicados pelos wattı́metros
podem ser positivos ou negativos dependendo do ângulo da
impedância, ou seja, do fator de potência da carga
Se > 60Æ ou <
60Æ , uma das leituras será negativa
Então, se o fator de potência da carga for menor que 0;5 (ou seja,
cos 60Æ ), um dos wattı́metros tenderá a defletir para o lado
negativo da escala
Assim, deve-se inverter a ligação de uma das bobinas do mesmo
para a leitura de medida
No entanto, para a obtenção da potência ativa total, deve-se
lembrar que a leitura daquele wattı́metro é negativa
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
45/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Através das expressões de P1 e P3 dadas pelas equações (5) e (6)
verifica-se que, no caso de um dos wattı́metros acusar leitura
negativa, deve-se inverter uma de suas bobinas e a potência total
será dada por:
(potência total) = (maior leitura)
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
(menor leitura)
46/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Exemplo
Um motor de indução2 trifásico opera em vazio, ou seja, sem carga
mecânica acoplada ao seu eixo. Ele está conectado a uma rede
elétrica cuja tensão de linha é igual a 220 V:
M OTOR
A
a
W1
B
b
Z
c
Z
R EDE
C
W3
N
n
Z
Note que o motor é
modelado como uma carga
trifásica equilibrada em
triângulo. A impedância do
motor é igual a 50 \80Æ Ω
por fase. A sequência de
fases é ABC.
Obtenha os valores das potência lidas em cada wattı́metro analógico e
a potência ativa total consumida pelo motor.
2
Motor largamente empregado na prática devido à sua robustez de operação e baixo custo.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
47/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Corrente de linha fornecida pela rede ao motor:
IL =
p
3
p 220
p
VL
= 3
= 4;4 3 A
jZ j
50
Potências lidas em cada wattı́metro:
p
p
P1 = VL IL cos ( + 30Æ ) = 220 4;4 3 cos (80Æ + 30Æ ) =
P3 = VL IL cos (
30Æ ) = 220 4;4 3 cos (80Æ
573;4 W
30Æ ) = 1077;7 W
Potência total consumida pelo motor:
P 3 = P 1 + P 2 =
573;4 + 1077;7 = 504;3 W
Como P1 apresenta valor negativo, deve-se inverter a conexão de uma
das bobinas para que a leitura seja feita adequadamente. Nota-se que
a leitura de menor valor é aquela cujo sinal resultou negativo.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
48/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Exemplo
Considere novamente o circuito a seguir, em que uma fonte cuja tensão
de linha é 220 V alimenta uma carga trifásica conectada em estrela e
que tem as impedâncias por fase iguais a
Za = Zb = Zc = j Z j \ = 100 \ Ω.
A
a
W1
B
b
C
c
F ONTE
C ARGA
Y
W3
N
n
A sequência de fases é ABC. Obtenha as leituras dos dois wattı́metros
e a potência trifásica total para 90Æ 90Æ .
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
49/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
O valor eficaz da corrente de linha fornecida pela fonte independe do
ângulo da impedância e vale:
IL =
p
VL
=
3 jZ j
p 220 = 1;27 A
3 100
As leituras dos wattı́metros e a potência total são dadas por:
P1 = VL IL cos ( + 30Æ ) = 220 1;27 cos ( + 30Æ ) = 279;4 cos ( + 30Æ )
P3 = VL IL cos (
30Æ ) = 220 1;27 cos (
P3 = P1 + P3 = VL IL [cos ( + 30Æ ) + cos (
=
p
30Æ ) = 279;4 cos (
30Æ )
30Æ )]
3VL IL cos = 483;9 cos Carlos A. Castro
EA611 – Potência
50/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Gráfico das curvas de P1 , P2 e P3 em função de :
P3
483;9 W
450
P1
P2
300
150
0
60
30
0
30
60
90
150
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
51/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Tabela com leituras dos wattı́metros e a potência total para alguns
valores de :
(Æ )
90
60
30
0
30
60
90
Carlos A. Castro
P1 (W)
139;70
241;97
279;40
241;97
139;70
0;0
139;70
P3 (W)
139;70
0;0
139;70
241;97
279;40
241;97
139;70
EA611 – Potência
P3 (W)
0;0
241;97
419;10
483;94
419;10
241;97
0;0
52/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Pode-se notar que:
As potências totais para igual a 90Æ e 90Æ são iguais a zero,
caracterizando cargas puramente reativas (capacitiva e indutiva,
respectivamente).
A leitura de um dos wattı́metros é nula quando o valor absoluto de
é 60Æ . Este é o ponto de mudança na deflexão dos wattı́metros.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
53/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
O maior consumo de potência ativa ocorre para uma carga
puramente resistiva, ou seja, para = 0Æ . Para cada fase, a
potência ativa consumida é:
P = R (IL )2
em que IL é a corrente de linha e R é a resistência da respectiva
fase, sendo dada por:
R =j Z
j cos A corrente de linha é constante para este exemplo e R atinge seu
valor máximo para igual a zero.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
54/90
Medição de potência ativa em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 3 fios
Exercı́cio
Carga
Determine as potências lidas nos
wattı́metros 1 e 2 e as potências
ativa e reativa totais consumidas
pela carga do circuito abaixo,
alimentado por uma tensão de
230 V de linha, sequência de fases
ABC.
Resp.:
511;5152 W ; 1389;4429 W ; 877;9277 W ; 3292;5560 var
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
55/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
A potência reativa total de uma carga trifásica é igual à soma das
potências reativas de cada fase, e pode ser medida através de
wattı́metros convenientemente conectados ao circuito
O esquema de ligação será deduzido a partir do tipo mais geral de
carga, que é a desequilibrada em estrela sem neutro, e será válido
para todo tipo de carga, equilibrada ou desequilibrada, a três ou
quatro fios
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
56/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
A potência reativa total é dada por:
Q 3 = Q A + Q B + Q C
= VAn IA sen A + VBn IB sen B + VCn IC sen C
n
n
n
o
o
o
= = V̂An ÎA + = V̂Bn ÎB + = V̂Cn ÎC
em que se considera que existe uma diferença de potencial entre o
neutro da carga n e o neutro da fonte N (deslocamento de neutro)
Conforme mostrado anteriormente, as tensões de fase da carga se
relacionam com as tensões de fase da fonte através de:
V̂An = V̂AN
Carlos A. Castro
V̂nN
V̂Bn = V̂BN
V̂nN
EA611 – Potência
V̂Cn = V̂CN
V̂nN
57/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
A expressão de Q3 fica:
o
n
Q3 = = V̂An ÎA + V̂Bn ÎB + V̂Cn ÎC
n
= = V̂AN V̂nN ÎA + V̂BN V̂nN



= = V̂AN ÎA + V̂BN ÎB + V̂CN ÎC V̂nN


n
o
= = V̂AN ÎA + V̂BN ÎB + V̂CN ÎC
n
n
n
o
o
= = V̂AN ÎA + = V̂BN ÎB + = V̂CN
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
ÎB + V̂CN
V̂nN





ÎA + ÎB + ÎC 
{z
} 
|


Î C
o
=0
ÎC
o
58/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
Considerando as tensões da fonte como equilibradas, na
sequência ABC e com referência angular na fase a, tem-se:
V̂AN = VAN \0Æ = VF \0Æ V
V̂BN = VBN \
120Æ = VF \
120Æ V
V̂CN = VCN \120Æ = VF \120Æ V
e:
V̂AB = VAB \30Æ =
V̂BC = VBC \
p
p
p 3 VF \
90Æ =
V̂CA = VCA \150Æ =
Carlos A. Castro
3 VF \30Æ V
90Æ V
3 VF \150Æ V
EA611 – Potência
59/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
A relação entre as tensões V̂AN e V̂BC é:
V̂AN
V̂BC
=
V F \0 Æ
1
= p \90Æ
3 VF \ 90Æ
3
p
Da mesma forma:
V̂BN
V̂CA
Carlos A. Castro
=
p1 \90Æ
3
e
V̂CN
V̂AB
EA611 – Potência
=
p1 \90Æ
3
60/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
Substituı́ndo as tensões na expressão de Q3 :
Q 3 =
o
n
o
n
oi
h n
V̂BC ÎA \90Æ + = V̂CA ÎB \90Æ + = V̂AB ÎC \90Æ
p1 =
3
Tomando somente um dos termos da expressão de Q3 tem-se:


n
o
= V̂BC ÎA \90Æ = VBC IA sen \ V̂BC \ ÎA +90Æ
|
{z
}
= VBC
= VBC
Carlos A. Castro
IA [ sen cos 90Æ + sen 90Æ cos ]
n
o
IA cos = < V̂ Î BC A
EA611 – Potência
61/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
Assim, a expressão de Q3 fica:
Q 3 =
n
n
o
o
oi
h n
V̂BC ÎA + < V̂CA ÎB + < V̂AB ÎC
p1 <
3
1
= p [W1 + W2 + W3 ]
3
em que W1 , W2 e W3 são as leituras de três wattı́metros ligados
convenientemente!
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
62/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
A
a
W1
b
B
W2
R EDE
C ARGA
C
c
W3
N
Carlos A. Castro
n
EA611 – Potência
63/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
Em particular, se a carga for equilibrada, os três termos da
expressão de Q3 serão iguais e somente um wattı́metro é
necessário
Por exemplo, mantendo-se o wattı́metro 1, a expressão da
potência reativa total fica:
Q 3 =
p1
3
[W1 + W2 + W3 ] =
ou seja, a potência reativa total é
wattı́metro
Carlos A. Castro
p
p1
3
[3 W1 ] =
p
3 W1
3 vezes maior que a leitura do
EA611 – Potência
64/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
Se o método dos dois wattı́metros estiver sendo utilizado para a
medição de potência ativa em cargas equilibradas, é possı́vel obter
a potência reativa total utilizando a mesma conexão
Considerando o circuito da figura:
A
a
W1
b
B
F ONTE
C
c
C ARGA
∆ OU Y
W3
N
Carlos A. Castro
n
EA611 – Potência
65/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
Realizando a operação:
P3
P1 = VL IL cos (
p
30Æ )
VL IL cos ( + 30Æ )
3
1
cos + sen 2
2
!
p
3
1
cos + sen 2
2
= VL IL
= VL IL sen =
Q 3
p
3
É possı́vel então obter o ângulo da impedância da carga:
#
"p
3 (P3 P1 )
1 Q 3
1
= tg
= tg
P 3
P1 + P3
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
66/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
Exemplo
O método dos dois wattı́metros foi utilizado para medir a potência
total entregue a um motor trifásico e as leituras foram:
P1 = 1100 W
e
P3 = 2200 W
Se a tensão de linha e a corrente de linha medidas são 220 V e
10 A respectivamente, obter as potências ativa, reativa e aparente
totais consumidas pelo motor. Obter também o fator de potência do
motor.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
67/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
Potência ativa total consumida pelo motor:
P3 = P1 + P3 = 3300 W
Potência reativa total:
Q 3 =
p
3 (P3
P1 ) = 1905;3 var
Ângulo da impedância do motor:
"p
#
)
(P
3
P
1
3
= tg 1
= 30Æ
P1 + P3
que corresponde a um fator de potência 0;866 indutivo.
Potência aparente total:
S 3 =
Carlos A. Castro
3300
P 3
=
= 3810;5 VA
fp
0;866
EA611 – Potência
68/90
Medição de potência reativa em circuitos trifásicos
Medição das potências ativa e reativa em um motor trifásico
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
69/90
Correção do fator de potência
Exemplo
Considere novamente a fábrica alimentada em 380 V, 60 Hz (tensão de
linha) com as seguintes cargas conectadas:
1
2
Carga 1, formada por três impedâncias de 250 VA, fp 0;7 indutivo,
220 V
Carga 2, formada por três impedâncias de 550 W, fp 0;8 indutivo,
380 V
Especifique um banco de capacitores para a correção do fator de
potência para 0;92, se necessário.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
70/90
Correção do fator de potência
De acordo com as especificações, o circuito é:
A
B
C
N
Carga 1
Carlos A. Castro
Carga 2
EA611 – Potência
71/90
Correção do fator de potência
Carga 1: S1 = 3 250 \ cos
Carga 2: S2 = 3 550
\ cos
0;8
1
0;7 = 750 \45;6Æ VA
1
0;8 = 2062;5 \36;9Æ VA
Carga total: ST = S1 + S2 = 2174;1 + j 1774;2 = 2806;2 \39;2Æ VA
fp = cos 39;2Æ = 0;77
Carlos A. Castro
!
correção necessária
EA611 – Potência
72/90
Correção do fator de potência
Fator de potência desejado:
fp0 =
PT
= 0;92
ST0
!
ST0 = 2363;2 VA
Potência reativa fornecida ao circuito após a correção do fator de
potência:
q
QT0 =
ST0 2
PT 2 = 926;3 var
Potência requerida pelo banco de capacitores:
QC = QT0
Carlos A. Castro
QT =
847;9 var
EA611 – Potência
73/90
Correção do fator de potência
Considere um banco de capacitores em Y:
SC = 3 V̂f Îf = 3 V̂f
A
B
C
N
Vf2
V̂f
=
3
ZC
ZC
Vf2
2202
=3
= j 171;2 Ω
SC
j 847;9
1
1
CY =
=
! jZC j 377 171;2 = 15;5 F
ZC = 3 Carga 1
Carga 2
Banco Y
! Banco de capacitores de 15;5 F; 220 V
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
74/90
Correção do fator de potência
Considere agora um banco de capacitores em ∆:
V̂ V2
SC = 3 V̂` Îf = 3 V̂` ` = 3 `
ZC
ZC
A
B
C
N
V`2
3802
= j 510;9 Ω
=
3
SC
j 847;9
1
1
CY =
=
! jZC j 377 510;9 = 5;2 F
ZC = 3 Carga 1
Carga 2
Banco ∆
! Banco de capacitores de 5;2 F; 380 V
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
75/90
Correção do fator de potência
=
QT
ST
QT0
ST0
PT
<
QC
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
76/90
Demanda e curva de carga
A potência ativa consumida por uma instalação elétrica é variável,
sendo função do número de cargas ligadas e da potência
consumida por cada uma delas, a cada instante
Para a análise de uma instalação é mais conveniente trabalhar
com o conceito de demanda (D), que corresponde ao valor médio
da potência ativa (P) em um intervalo de tempo ∆t especificado
(no Brasil é oficializado o intervalo de tempo de 15 minutos), isto é:
1
D=
∆t
Carlos A. Castro
Z
t
t+∆t
P dt
EA611 – Potência
77/90
Demanda e curva de carga
A definição indica que a demanda é medida em unidades de
potência ativa (W, kW). Pode-se também definir uma demanda
reativa DQ (var, kvar) e uma demanda aparente DS (VA, kVA)
A área hachurada entre a curva P(t) e o eixo dos tempos
corresponde à energia consumida pela instalação no intervalo
considerado:
E = D ∆t
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
78/90
Demanda e curva de carga
Curva de carga – demanda em função do tempo, para um dado
intervalo de tempo (T )
É constituı́da por patamares, sendo, no entanto, mais comum
apresentá-la como uma curva, resultando da união dos pontos
médio das bases superiores do retângulo de largura ∆t
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
79/90
Demanda e curva de carga
Demanda máxima DM – ordenada máxima da curva no intervalo T
Energia total consumida no perı́odo ET – área entre a curva e o
eixo dos tempos:
ET =
Carlos A. Castro
Z
T
0
D dt
EA611 – Potência
80/90
Demanda e curva de carga
Demanda média Dm – altura de um retângulo cuja base é o
intervalo T e cuja área é a energia total ET :
Dm =
Carlos A. Castro
ET
T
EA611 – Potência
81/90
Demanda e curva de carga
Exemplo
O gráfico a seguir mostra uma curva de carga diária tı́pica de uma
indústria.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
82/90
Demanda e curva de carga
Estime:
1
a energia elétrica consumida por dia.
2
a demanda máxima solicitada.
3
a potência mı́nima do transformador de entrada.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
83/90
Demanda e curva de carga
A energia elétrica consumida por dia pela indústria corresponde à área
abaixo da curva de carga (integral da curva de carga). Esta pode ser
aproximada pela soma das áreas limitadas pelas retas:
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
84/90
Demanda e curva de carga
A energia elétrica consumida por dia pela indústria corresponde à área
abaixo da curva de carga (integral da curva de carga). Esta pode ser
aproximada pela soma das áreas limitadas pelas retas:
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
85/90
Demanda e curva de carga
A energia elétrica pode ser calculada por:
Energia = 250 24 +
1
(20 + 8) 2750 = 44500 kWh
2
A demanda máxima corresponde ao valor máximo registrado na curva
(pico), que vale aproximadamente 3440 kW.
A especificação da potência nominal do transformador de entrada
depende de muitos fatores, mas, para responder exclusivamente à este
exemplo, a potência mı́nima do transformador de entrada pode ser
estimada em 3500 kW, pois assim ele suportará a demanda máxima.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
86/90
Medição da energia elétrica
A medição da energia elétrica é necessária para possibilitar à
concessionária o faturamento adequado da energia elétrica
consumida por cada usuário, segundo uma tarifa preestabelecida
O instrumento que possibilita esta medição é o medidor de energia
elétrica, popularmente conhecido como relógio de luz:
Ponteiros
Carlos A. Castro
Registrador
Smart
ciclométrico
meter
EA611 – Potência
87/90
Medição da energia elétrica
O medidor eletromecânico é constituı́do, essencialmente, pelos
seguintes componentes:
Bobina de tensão (ou de potencial), com muitas espiras de fio
fino de cobre, ligada em paralelo com a carga
Bobina de corrente, com poucas espiras de fio grosso de
cobre, ligada em série com a carga
Núcleo de material ferromagnético (ferro-silı́cio), composto de
lâminas justapostas, isoladas entre si
Conjunto móvel ou rotor constituı́do de disco de alumı́nio de alta condutividade, com
liberdade para girar em torno do seu eixo de suspensão, ao qual é solidário
Parafuso com rosca-sem-fim fixado ao eixo, que aciona um sistema mecânico de
engrenagens que registra, num mostrador, a energia elétrica consumida
Ímã permanente para produzir um conjugado frenador no disco
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
88/90
Exercı́cios propostos
G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de
corrente alternada: fundamentos e prática, Oficina de Textos, 2012
– capı́tulo 7.
C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um
curso introdutório, Unicamp, 1995 – capı́tulo 4.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
89/90
Referências
P. Cardieri, notas de aula.
M.C.D. Tavares, notas de aula.
C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um curso
introdutório, Unicamp, 1995.
G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de corrente
alternada: fundamentos e prática, Oficina de Textos, 2012.
Carlos A. Castro
EA611 – Potência
90/90