a b C1 C2 S1 S2 -- -

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CCT-Unidade Acadêmica de Fı́sica
Solução da 2a prova de Eletricidade e Magnetismo
Disciplina:1108083
Prof. Adriano de A. Batista
06/03/2014
1)(2.0) Na figura abaixo, as capacitâncias são dadas por C1 = 1, 0µF e C2 = 4, 0µF, e os dois
capacitores são carregados com diferenças de potencial de 100V com polaridades opostas. Em
seguida, as chaves S1 e S2 são fechadas. (a) Qual a nova diferença de potencial entre os pontos
a e b? (b) Quais as novas cargas dos capacitores C1 e C2 ?
a
S1
----- C
2
C1 ++ ++
-- --
++++++
b
S2
Solução:
A carga inicial no capacitor 1 é q10 = 1, 0 × 10−4 C e no capacitor 2 é q20 = 4, 0 × 10−4 C. Como as
polaridades estão opostas a carga final total do capacitor equivalente é q = q20 −q10 = 3, 0×10−4 C.
A capacitância equivalente da combinação em paralelo dos circuitos é Ceq = C1 + C2 = 5, 0 × µF.
3,0×10−4
(a) Logo, a ddp entre o ponto b e o ponto a é Vb − Va = q/Ceq = 5,0×10
−6 V = 60V .
(b) As cargas finais em cada capacitor são q1 = C1 (Vb − Va ) = 6, 0 × 10−5 C = 60µC e q2 =
C2 (Vb − Va ) = 240µC.
2) (2.0) (a) Determine a corrente em um fio condutor ôhmico de raio a e comprimento ` ao
qual se aplica uma diferença de potencial V entre suas extremidades. O fio é composto por uma
mistura de metais de tal forma que a condutividade depende da distância r do centro do fio e é
dada por σ(r) = σ0 r/a. Despreze efeitos de borda nas extremidades do fio. (b) Qual a potência
dissipada no fio?
Solução:
(a) A densidade de corrente é dada por J(r) = σ(r)E, onde E = V /`. Enquanto, a corrente é
Ra 2
Ra
2
0V
0a V
r dr = 2πσ3`
.
dada por I = 0 J(r)2πrdr = 2πσ
a`
0
2 2
(b) A potência dissipada é Rigual à potência
de
entrada
V
I = 2πσ03`a V . Podemos checar isso com
R
o seguinte cálculo Pdiss = vρEd3 r = V J(r)dA = V I, onde v é a velocidade de deriva média
e ρ é a densidade de carga.
3) (2.0) Qual a resistência equivalente do circuito abaixo: (a) entre os pontos a e b? (b) entre os
pontos c e d?
R
R
c
a
R
b
R d
R
Solução:
(a) Por simetria vê-se que se aplicarmos uma ddp entre os pontos ”a” e ”b” do circuito acima
a corrente no resistor entre ”a” e ”c” é a mesma que a corrente entre ”a” e ”d”, logo Vc = Vd ,
assim não há corrente entre os pontos ”c” e ”d”. Portanto, podemos abrir o circuito entre ”c” e
”d” ou então colocar em curto a conexão entre ”c” e ”d”, que as correntes no circuito não serão
alteradas. Assim o circuito inicial é equivalente a dois conjuntos em paralelo de dois resistores
associados em série. Concluimos então que a resistência equivalente é simplesmente Req = R.
(b) Na figura abaixo vemos a sequência de operações para obtermos a resistência equivalente
entre os pontos ”c” e ”d” do circuito, que é Req = R/2.
2R
c
R
d
R
R/2
c
d c
d
R
2R
(1)
(2)
(3)
4) (2.0) Na figura abaixo à esquerda, os dois capacitores, com capacitâncias iguais C1 = C2 =
1µF, são carregados com diferenças de potencial V1 = 100V e V2 = 50V de mesma polaridade.
Em seguida, as chaves S1 e S2 são fechadas. Os dois capacitores são ligados através de uma
resistência R. (a) Qual a diferença de potencial final entre os pontos a e b? (b) Qual a energia
dissipada no resistor R?
a
S1
R
r1
C1
++++++
+ + +
-----
---
b
r2
C2
12V
+ 12V +
−
−
R
S2
Solução:
(a) As cargas iniciais são q10 = C1 V1 = 10−4 C e q20 = C2 V2 = 0, 5 × 10−4 C. Por conservação
de carga, a carga final acumulada no arranjo de capacitores é q = q10 + q20 = 1, 5 × 10−4 C, já
que os capacitores têm a mesma polaridade. A capacitância equivalente dos capacitores (em
paralelo) é Ceq = 2C1 = 2, 0µF . Logo a diferença de potencial final entre os pontos ”a” e ”b” é
−4
C
Vf = Va − Vb = q/Ceq = 1,5×10
= 75V .
2µF
(b) A energia dissipada no resistor R é dada pela diferença entre a energia inicial acumulada nos
capacitores e a energia final. Assim obtemos,
Ceq Vf2
C1 V12
C2 V22
(V 2 + V22 )C1
+
−
= 1
− Vf2 C1
2
2
2
2
1, 25 × 10−2
=
J − 0, 752 × 10−2 J = 6, 25 × 10−4 J
2
Ediss =
(1)
(2)
5) (2.0) Na figura acima à direita, duas fontes de força eletromotriz E = 12V e resistências
internas r1 = 0, 3Ω e r2 = 0, 5Ω. (a) Qual o valor de R em que a potência dissipada no resistor
é máxima? (b) Qual o valor dessa potência dissipada?
r1
r2
R
12V
+
−
Solução:
O circuito desse problema pode ser simplificado para o desta figura acima. Assim vemos que a
resistência equivalente interna das baterias é
req =
0, 3 × 0, 5
r1 r2
=
Ω = 0, 15/0, 8Ω = 0, 1875Ω ≈ 0, 2Ω
r1 + r2
0, 3 + 0, 5
Portanto, a potência dissipada é máxima na carga quando R = req . Isso pode ser provado da
seguinte forma. A tensão aplicada em R é VR = reqRE
+R . Logo, pela lei de Joule, a potência
dissipada no resistor R é Pdiss = VR2 /R =
RE 2
(req +R)2 .
Podemos variar R até obtermos o valor
máximo de Pdiss , isso ocorre quando
= 0. Isso resulta na equação (reqE+R)2 − (r2RE
3 = 0,
eq +R)
cuja solução é R = req .
max
(b) Substituindo esse valor de volta na equação para a potência dissipada, obtemos Pdiss
=
dPdiss
dR
req E 2
2
4req
=
E2
4req
= 192W .
2
2