Processo Estocástico - Lista II

IFBA/Introdução aos Processos Estocásticos/ Prof. Fabrı́cio Simões
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Lista 2: Densidade Espectral de Potência e Autocorrelação
1. Os processos x(t) e y(t) são conjuntamente estacionários no sentido amplo. Defina
z(t) = x(t) cos(ωc t) + y(t) sin(ωc t)
Quais as condições, em termos de médias e funções de correlação de x(t) e y(t), para que z(t) seja estacionário
no sentido amplo?
2. Calcule a correlação cruzada entre os processos u(t) = x(t) + y(t) e v(t) = x(t) − y(t), dado que x(t) e y(t)
têm média zero e são estatisticamente independentes.
3. Dois processos estacionários e independentes têm funções amostrais X(t) e Y (t) com funções de autocorrelação dadas por
Rx (τ ) = 25e−10|τ | cos(100πτ )
Ry (τ ) = 16
sen50πτ
50πτ
Encontre a função de autocorrelação de Z(t) = X(t) + Y (t) e as potências AC e DC de Z(t).
4. A variável aleatória c é unforme no intervalo (0, T ). Encontre a correlação Rx (t1 , t2 ) de x(t) = δ(t − c).
5. Um sinal aleatório tem uma densidade espectral de potência dada por
Sx (ω) =
πV 2
πV 2
δ(ω + ωc ) +
δ(ω − ωc )
2
2
Determine a potência deste sinal.
6. A função amostral do processo estocástico x(t) tem a forma
x(t) = M, |t| ≤ T
A variável aleatória M é uniformemente distribuı́da no intervalo [−6, 18].
a) Encontre o valor médio de x(t);
b) Encontre a transformada de Fourier da função amostral;
c) Encontre o valor esperado da transformada de Fourier;
7. Um processo estacionário tem a densidade espectral de potência dada por
Sx (ω) = 1 −
|ω|
8π
Encontre o valor médio quadrático do processo.
8. Encontre o valor médio quadrático de um processo estocástico estacionário com densidade espectral de
potência dada por
Sx (ω) = 8πδ(ω) + 2πδ(ω − 3) + 2πδ(ω + 3)
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9. Um sinal digital x(t) tem a autocorrelação a seguir
2
Rx (τ ) = A
|τ |
1−
[u(τ + Tb ) − u(τ − Tb )],
Tb
em que Tb é o tempo de bit. Esboce a função de autocorrelação e determine a potência AC do sinal. Calcule
e esboce a densidade espectral de potência do sinal.
10. Calcule a correlação entre o sinal de entrada e o de saı́da do filtro abaixo, dado que a entrada tem autocorrelação Rx (τ ) = δ(τ ) e o filtro tem resposta em freqüência dada por H(ω) = u(ω + ωm ) − u(ω − ωm ).
11. O movimento térmico e aleatório de elétrons em um resistor com resistência R gera uma tensão aleatória nos
seus terminais. Essa tensão n(t) é chamada de ruı́do térmico. Sua densidade espectral de potência Sn (ω) é
praticamente plana sobre uma largura de banda até 1000GHz em temperatura ambiente. Matematicamente,
a densidade espectral de potência é dada por
Sn (ω) = 2kT R,
no qual k é a constante de Boltzmann (1,38 × 10−23 ) e T , temperatura em Kelvin.
O ruı́do gerado pelo resistor R é modelado por uma fonte, conforme Figura 1. Calcule o valor médio
quadrático na saı́da a-b do circuito RC. Para isso, determine a resposta em freqüência do circuito.
Fig. 1: Circuito RC
12. Um processo estacionário v(t) com autocorrelação Rv (τ ) = qδ(τ ) (ruı́do branco) é aplicado em t = 0 a um
sistema linear com
h(t) = e−ct u(t)
Calcule a autocorrelação de saı́da.
13. O sinal recebido por uma antena pode ser representado matematicamente por
y(t) =
N
X
αk x(t − tk )
k=1
O sinal transmitido x(t) tem média nula. Os coeficientes αi e αj são independentes para i 6= j e tem média
nula. E N número de percursos. A equação acima representa um ambiente de propagação formado por multipercursos. Determine a densidade de espectral de potência do sinal recebido considerando a autocorrelação
Rx (τ ) dada por
Rx (τ ) = e−|τ |
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14. O filtro casado é um sistema linear e invariante no tempo que maximiza a relação sinal-ruı́do de saı́da. A
sua resposta ao impulso é dada por
h(t) = sinc((π/Tb )t),
Considere a aplicação de um ruı́do branco na entrada do filtro e determine a potência de saı́da.
15. Dois sinais x1 (t) e x2 (t) independentes e aleatórios são aplicadas ao circuito RC da Figura 2. As suas
respectivas densidades espectrais de potência são dadas abaixo:
Sx1 (ω) = K
Sx2 (ω) =
α2
2α
+ ω2
Fig. 2: Circuito RC
Encontre a densidade espectral de potência e a potência de y(t).
Respostas
1. Rz (t2, t1) depende de t1 + t2 . Não é possı́vel obter um processo estacionário no sentido amplo.
2. Ru,v (τ ) = Rx (τ ) − Ry (τ )
3. Rz (τ ) = 25−10|τ | cos(10πτ ) + 16 sen50πτ
50πτ
PDC = 0 W
PAC = 41 W
4. Rx (t2 , t1 ) =
1
T δ(t2
5. Pot. total =
V2
2
− t1 )
W
6. a)6, b)X(ω) = 2T M sinc(ωT ) c)12T sinc(ωT )
7. E[x(t)2 ] = 4 W
8. E[x2 ] = 6 W
9. PAC = A2
A2 Tb sinc2 (ωTb /2)
10. Rxy (τ ) =
11. PT =
kT
C
ωm
π sinc(ωm τ )
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12. Ry (τ ) =
qe−cτ
2c
13. Sy (ω) =
PN
14. Pout =
No T
2
15. Sy (ω) =
Py =
2
2
k=1 E[αk ] 1+ω 2
K
54
W
2K(α2 +ω 2 )+9α
18(9ω 2 +1)(α2 +ω 2 )
+
3α−1
4(9α2 −1)
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