Inequação do Primeiro Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2
Inequação do Primeiro
Grau
Lucas Gomes- Engenharia de Produção
6º período
Definição
Equação x Inequação
• Uma equação é uma igualdade entre dois
membros e por isso usa-se o sinal de igual entre eles.
• Uma inequação é uma desigualdade, então, em
vez de um sinal de igual, usa-se sinais de:
Inequação
Inequação
Nas inequações utiliza-se a mesma linguagem das
equações: membro, termo, incógnita e solução.
Inequação
Assim, na desigualdade x+2 > 4, tem-se:
Incógnita - x
1º membro - x + 2
2º membro - 4
Numa inequação temos muitas soluções:
5 é solução de 5 + 2 > 4
3 é solução de 3 + 2 > 4
OBS: Uma inequação está resolvida quando se determina o
conjunto solução da mesma.
Inequação
Toda sentença matemática que contém um ou mais
elementos desconhecidos e que representa uma
desigualdade é denominada inequação.
não é inequação: 5² + 5 > 3² - 2
é uma equação: 3x + 1 = 45 - 4x
Princípios Das Desigualdades
Métodos de resolução
Adição
Multiplicação
Princípio Aditivo
Se numa balança tivermos 3kg num prato e 5kg no
outro, e se acrescentarmos 2kg a cada um dos
pratos, a situação não se altera.
Matematicamente
5>3
5+2>3+2
ou
5–2>3-2
Princípio Multiplicativo
Multiplicação por um número positivo:
Observando que 2 é menor que 3 matematicamente
escrevemos:
2<3
Podemos multiplicar ambos os membros por
qualquer número positivo, que a desigualdade não
se alterará:
2x6<3x6
2 x 0,01 < 3 x 0,01
Princípio Multiplicativo
Multiplicação por um número negativo:
Tendo que: 2 < 3, se multiplicarmos ambos os lados
por -1 verifica-se que:
(-1) x 2 = -2
e
(-1) x 3 = -3
Nota-se que -2 é maior que -3, por isso ao
multiplicarmos uma inequação por um número
negativo, deve-se inverter o sinal da desigualdade.
2 x (-1) < 3 x (-1)
-2 > -3
Inequações
Exemplo 1:
Um retângulo tem y metros de comprimento e x
metros de largura, enquanto um triângulo equilátero
tem 3 m de lado. Qual a sentença matemática que
podemos escrever para expressar o fato de o
perímetro do retângulo ser maior que o perímetro
do triângulo equilátero?
Inequações
Resolução 1:
Sendo P o perímetro do retângulo e p o perímetro
do triângulo, temos:
P= 2x + 2y
e
p= 9
Como, de acordo com a situação, devemos ter P > p,
a sentença matemática pedida é: 2x + 2y > 9
Inequações do Primeiro Grau
Exemplos:
Resolver as inequações:
3x – 5 > 4;
5 (x + 3) – 2 (x + 1) ≤ 2x + 3;
𝑥+2
3
–
𝑥 −1
2
< x.
ESTUDO DO SINAL DE
UMA INEQUAÇÃO
Inequações Do Primeiro Grau
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por
meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau,
com o seguinte procedimento:
1.Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme os exemplos
Inequações Do Primeiro Grau
Exemplo:
-2x + 7 > 0 x (-1)
2x - 7 < 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
Exemplo:
2x – 6 < 0
2x – 6 = 0
x=3
Inequações Do Primeiro Grau
Exemplo:
Resolva a inequação (x+3) > (-x-1).
x+3 > -x-1 ⇔
x + x + 3 + 1 > 0 ⇔ 2x + 4 > 0
Seja y = 2x + 4
⇔
2x + 4 = 0
⇔
Estudando os sinais da função:
x = -2
SISTEMAS DE
INEQUAÇÕES
DO PRIMEIRO GRAU
Sistemas De Inequações do 1º Grau
Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução
satisfaz a todas, simultaneamente.
Resolução
• Resolvemos individualmente cada inequação;
• O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da
intersecção das inequações resolvidas individualmente.
Sistemas De Inequações Do 1º Grau
Exemplo: Achar o conjunto-solução do sistema
A solução da desigualdade é S= {𝑥 ∈ ℝ /
4
3
3𝑥 + 4 > 0
−𝑥+4 ≥0
< 𝑥 ≤ 4}
Inequações Simultâneas
São sentenças matemáticas que tem mais de uma desigualdade.
-3 < x < 4
Nessa inequação, os valores de x variam de –3 até 4.
Resolução
1. Separamos a inequação em duas desigualdades;
2. Achamos as soluções individuais;
3. A solução procurada é determinada pela intersecção das
respostas individuais.
Inequações Simultâneas
Exemplo: Ache o conjunto solução da inequação
simultânea
- 3 < x+ 2 ≤ 5
S = {x∈ IR | -5 < x ≤ 3} = ]-5, 3)
Inequação Simultâneas
Exemplo: Ache o conjunto solução da inequação
simultânea
- 2x + 3 ≤ x+ 6 < 2x
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
Continuando:
A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das
soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação 1 e 2:
1 ∩ 2 = {x∈ IR | x ≥ 1} ∩ {x∈ IR | x > 6}= {x∈ IR | x > 6}
Assim, a solução da desigualdade é S = {x∈ IR | x >6}
Inequações Produto
e Quociente
Inequações Produto e Quociente
Sentenças
matemáticas
constituídas
por
desigualdades com produto ou quociente de
funções.
Essas inequações em geral, tem sua solução baseada
no estudo da variação do sinal de uma função do 1o
grau e nas propriedades dos sinais do produto e do
quociente dos números reais.
Inequação Produto
Encontre o conjunto solução da inequação produto do
1º grau (x-4) (x+2)>0
Resolvendo:
Cada um dos fatores (x-4) e (x+2) representa uma função do 1o grau.
Assim, iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões que
chamaremos de f(x) e g(x), respectivamente.
Para f(x) = x-4 e g(x) = x+2 temos:
(1) Se f(x) = x - 4, então sua raiz é
obtida
fazendo x - 4 = 0 ⇔ x = 4.
(2) Se g(x) = x+2 então sua raiz é
obtida fazendo x + 2 = 0 ⇔ x = -2.
Inequação Produto
Continuando:
(1)
(2)
A solução da inequação produto é obtida a partir da
integração das análises das variações de sinais de f(x) e g(x),
representadas acima. Após, aplicamos a regra de sinais do
produto dos números reais e analisamos o resultado final
encontrado.
Inequação Produto
Continuando:
f(x)
g(x)
f(x).g(x)
Assim, a inequação produto (x-4) (x+2)>0 está
definida no intervalo real
{ x ∈ IR | x < -2 ou x > 4}
Inequação Quociente
Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação
quociente do 1º grau:
<0
Resolvendo:
A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação
produto pois no conjunto dos números reais, a divisão ou
multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de sinais.
Assim, cada termo do quociente representa uma expressão do 1o
grau. Iniciamos pelo estudo dos sinais dessas expressões que
chamamos de a e b, respectivamente.
Inequação Quociente
Continuando:
Para f(x) = x-1 e g(x) = x+5 temos:
(1) Se f(x) = x-1 então sua raiz é obtida
fazendo x-1 = 0 ⇔ x = 1.
(2) Se g(x) = x+5 então sua raiz é
obtida fazendo x+5 ≠ 0 ⇔ x ≠ -5.
A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das análises
das variações de sinais das expressões f(x) e g(x), representadas acima. Após,
aplicamos a regra de sinais do quociente dos números reais e analisamos o
resultado final encontrado.
Inequação Quociente
Observe:
Assim, a inequação quociente
< 0 está definida no
intervalo real
{ x ∈ IR | -5 < x < 1}
Obrigada pela atenção!
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