Probabilidade III

Probabilidade III
Ulisses U. dos Anjos
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Período 2014.1
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
1 / 42
Sumário
1
Apresentação do Curso
2
Vetores Aleatórios
Função de Distribuição conjunta
Função de Probabilidade Conjunta
Função Densidade de probabilidade Conjunta
3
Distribuição Condicional
4
Independência entre variáveis aleatórias
5
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Multinomial
Distribuição Uniforme multivariada
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
2 / 42
Apresentação do Curso
Conteúdo Programático
1. Vetores aleatórios n-dimensionais.
2. Função de distribuição conjunta. Vetor aleatório discreto:
função de probabilidade conjunta. Vetor aleatório contínuo:
densidade conjunta. Distribuições marginais. Densidades
condicionais a n variáveis. Critérios de independência para
vetores aleatórios independentes
3. Funções de variáveis aleatórias: método da integral de
convolução, Distribuição da soma de variáveis aleatórias, caso
discreto e contínuo
4. Funções de variáveis aleatórias: método do jacobiano,
Distribuição do produto e do quociente de variáveis aleatórias.
5. Estatísticas de ordem. Definições. Distribuição das
estatísticas de ordem, Distribuição conjunta das estatísticas
de ordem. Algumas funções das estatísticas de ordem
(amplitude amostral e mediana). Função de distribuição
empírica.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
3 / 42
Apresentação do Curso
Conteúdo Programático
6. Esperança de funções de vetores aleatórios. Propriedades.
Momentos mistos e covariância. Propriedades básicas da
covariância. Coeficiente de correlação: Propriedades.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Função geradora de
momentos conjunta.
7. Esperança condicional. Variância condicional. Propriedades
mais importantes da esperança e variância condicionais.
8. Função de regressão.
9. Esperanças de vetores aleatórios e matrizes de covariância.
Propriedades mais importantes.
10. Distribuição normal multivariada. Distribuição condicional
normal multivariada. Distribuição marginal.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
4 / 42
Vetores Aleatórios
Vetores Aleatórios
Definição 2.1 (Vetor Aleatório)
Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Então uma função
X : Ω → <m é denominado um vetor um vetor aleatório se a imagem
inversa de todo Boreliano, B = (B1 , . . . , Bm ), do <m for um elemento de
F, isto é,
n
o
X−1 (B) = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B ∈ F
A Definição 2.1 significa que a função
X(ω) = X1 (ω), . . . , Xm (ω)
é tal que, para todo i = 1, . . . , m e todo Bi ⊂ <, tem-se Xi−1 (Bi ) ∈ F.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
5 / 42
Vetores Aleatórios
Vetor Aleatório
Observação 2.1
Da Definição de 2.1 segue que,
m n
o \
n
ω ∈ Ω : X1 (ω) ≤ x1 , . . . , Xm (ω) ≤ xm =
ω ∈ Ω : Xi (ω ≤ xi }
i=1
n
também é um evento. De fato, pois ω ∈ Ω : Xi (ω ≤ xi } é um evento
para todo i = 1, . . . , m, pois Xi−1 (Bi ) ∈ F, e a interseção de eventos é
também um evento, visto que qualquer σ−álgebra é fechada para uniões e
interesecções.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
6 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Distribuição conjunta
Função de Distribuição Conjunta
Definição 2.2
A função distribuição conjunta de um vetor aleatório X, representada por
FX ou simplesmente F , é definida por
F (x) = F (x1 , . . . , xm ) = P X1 ≤ x1 , . . . , Xm ≤ xm
para qualquer x ∈ <m .
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
7 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Distribuição conjunta
Função de Distribuição Conjunta: Propriedades
Seja X um vetor aleatório em (Ω, F, P) então, para qualquer x ∈ <m , F (x)
satisfaz as seguintes propriedades:
(P1) F (x) é não decrescente em cada uma de suas coordenadas;
De fato, considere um j qualquer fixo, e aj ≤ bj então
o n
o
\n
ω ∈ Ω : Xi (ω) ≤ xi ∩ ω ∈ Ω : Xj (ω) ≤ aj
i6=j
está contido em,
o n
o
\n
ω ∈ Ω : Xi (ω) ≤ xi ∩ ω ∈ Ω : Xj (ω) ≤ bj
i6=j
Logo, F (x1 , . . . , aj , . . . , xm ) ≤ F (x1 , . . . , bj , . . . , xm ).
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
8 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Distribuição conjunta
Demonstração
(P2) F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas;
Isto significa que,
lim F (x1 , . . . , yj , . . . , xm ) = F (x1 , . . . , xj , . . . , xm )
yj ↓xj
(P3) Se para algum j, xj → −∞, então
lim F (x1 , . . . , xj , . . . , xm ) = 0
xj →−∞
e se para todo i, xi → ∞, então
lim F (x1 , . . . , xm ) = 1
xi →∞
(P4) F (x) é tal que, para todo ai , bi ∈ <, tal que ai ≤ bi , temos
que,
P a1 < X1 ≤ b1 , . . . , am < Xm ≤ bm , ≥ 0
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
9 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Distribuição conjunta
Exemplo
Exemplo 2.3
Considere uma central de reservas de uma companhia aérea e, para uma
chamada ao acaso estamos interessados em duas quantidades aleatórias:
X1 é o tempo de espera e X2 é o tempo de atendimento, ambas em
minutos. Suponha que o comportamento conjunto dessas variáveis seja
representada pela função de distribuição abaixo:
(
F (x1 , x2 ) =
0
1 − exp
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
se x1 < 0 ou x2 < 0;
− x1
− exp
− 2x2
+ exp
Probabilidade III
− (x1 + 2x2 )
se x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Período 2014.1
(1)
10 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Distribuição conjunta
Função de Distribuição Marginal
Definição 2.4
Seja F (x) a função de distribuição de (X1 , . . . , Xm ). Para cada k,
k = 1, . . . , m, definimos a Função de Distribuição Marginal de Xk por;
F (xk ) =
lim
xi →∞,∀i6=k
F (x)
Exemplo 2.5
Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3:
n
0
F (x1 , x2 ) = 1 − exp − x1 − exp − 2x2 + exp − (x1 + 2x2 )
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
se x1 < 0 ou x2 < 0;
se x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Período 2014.1
11 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Distribuição conjunta
Continuação Exemplo 2.5
Assim,
F (x1 ) = lim F (x1 , x2 ) = 1 − exp − x1
x2 →∞
e
F (x2 ) = lim F (x1 , x2 ) = 1 − exp − 2x2
x2 →∞
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
12 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Probabilidade Conjunta
Função de Probabilidade Conjunta
Definição 2.6
Seja X for um vetor aleatório discreto, então a Função de Probabilidade
Conjunta é definida por,
PX (x) = P(X1 = x1 , . . . , Xm = xm )
e deve satisfazer as seguintes propriedades:
(i) P(X1 = x1 , . . . , xm ) ≥ 0, ∀ x ∈ <m ;
P
(ii)
x∈<m P(X1 = x1 , . . . , Xm = xm ) = 1
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
13 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Probabilidade Conjunta
Exemplo
Exemplo 2.7
Duas moedas honestas são lançadas de forma independente e considere as
seguintes variáveis aleatórias:
X : número de caras;
Y : função indicadora de faces iguais
Assim a função de probabilidade conjunta é dada por:
P(X = x, Y = y ) =

0


1



4

1
2

0




0

1
4
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
se
se
se
se
se
se
Probabilidade III
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
0, y
0, y
1, y
1, y
2, y
2, y
=
=
=
=
=
=
0
1
0
1
0
1
(2)
Período 2014.1
14 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Probabilidade Conjunta
Continuação Exemplo 2.7
Considere as seguintes regiões para a Função de distribição Conjunta de X
eY
Quadro 2.1
y <0
0≤Y <1
Y ≥1
X <0
0
0
0
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
0≤X <1
0
0
1≤X <2
0
1
4
0
1
2
Probabilidade III
X ≥2
0
0
1
4
Período 2014.1
15 / 42
Vetores Aleatórios
Função de Probabilidade Conjunta
Continuação Exemplo 2.7
Assim, analisando o a função de distribuição conjunta é dada por:


0 se x < 0 ou y < 0





0 se 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1



1


 4 se 0 ≤ x < 1, 0y ≥ 1
F (x, y ) = P(X ≤ x, Y ≤ y ) = 12 se 1 ≤ x < 2, 0 ≤ y < 1


 3 se 1 ≤ x < 2, y ≥ 1


4


1

se x ≥ 2, 0 ≤ y < 1


2


1 se x ≥ 2, y ≥ 1
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
(3)
16 / 42
Vetores Aleatórios
Função Densidade de probabilidade Conjunta
Função Densidade de probabilidade Conjunta
Definição 2.8
Seja X um vetor aleatório contínuo, então dada a função de distribuição
conjunta F (x) associada a X, existe um função f : <m → <+ denominada
função densidade de probabilidade conjunta (fdpc), tal que,
Z x1
Z xm
F (x) =
···
f (x)dy1 · · · dym .
−∞
−∞
Da Definição 2.8 segue que
f (x) =
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
∂m
F (x)
∂x1 · · · xm
Probabilidade III
(4)
Período 2014.1
17 / 42
Vetores Aleatórios
Função Densidade de probabilidade Conjunta
Função Densidade de probabilidade Conjunta
Proposição 2.1 (Propriedades da Função Densidade de probabilidade
Conjunta)
Seja f uma função que satisfaz as condições da Definição 2.8, então
(P1) f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ <m ;
R∞
R∞
(P2) −∞ · · · −∞ f (x)dx1 · · · dxm
A função densidade de probabilidade marginal é dada por
Z ∞
Z ∞
f (xk ) =
···
f (x)dxi1 · · · dxim−1 , ∀ij 6= k
−∞
(5)
−∞
ou da Definição de Função de distribuição Marginal, segue que
f (xk ) =
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
∂
F (xk )
∂xk
Probabilidade III
(6)
Período 2014.1
18 / 42
Vetores Aleatórios
Função Densidade de probabilidade Conjunta
Exemplo
Exemplo 2.9
Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3
n
0
F (x1 , x2 ) = 1 − exp − x1 − exp − 2x2 + exp − (x1 + 2x2 )
se x1 < 0 ou x2 < 0;
se x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
A função densidade de probabilidade conjunta é dada por
∂
F (x1 , x2 ) = exp − x1 − exp − (x1 + 2x2 )
∂x1
logo
f (x1 , x2 ) =
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
∂2
F (x1 , x2 ) = 2 exp − (x1 + 2x2 )
∂x1 x2
Probabilidade III
Período 2014.1
19 / 42
Vetores Aleatórios
Função Densidade de probabilidade Conjunta
Continuação Exemplo 2.9
As funções de distribuição marginais de X1 e X2 foram calculadas no
Exemplo 2.5, logo as densidades marginais são dadas por
f (x1 ) =
e
f (x2 ) =
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
∂
1 − exp − x1 = exp − x1
∂x1
∂ = 2 exp − 2x2
1 − exp − 2x2
∂x2
Probabilidade III
Período 2014.1
20 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional
Definição 3.1
Sejam X e Y duas variáveis em (Ω, F, P) e B1 e B2 ∈ < com
P(Y ∈ B2 ) > 0. Então, a probabilidade condicional de X dado Y ∈ B2 é
dado por
P ({X ∈ B1 } ∩ {Y ∈ B2 })
P X ∈ B1 | Y ∈ B2 =
P Y ∈ B2
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
(7)
21 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional: Y v.a. discreta
Se Y for uma variável discreta e y ∈ < tal que P(Y = y ) > 0, então para
X uma variável aleatória qualquer, tem-se que
P(X ∈ B1 | Y = y ) =
P ({X ∈ B1 } ∩ {Y = y })
P Y =y
Logo, pelo teorema da Probabilidade total segue que a distribuição
marginal de X é dada por
X
P(X ∈ B1 ) =
P(X ∈ B1 | Y = y )P(Y = y )
(8)
(9)
y ∈<
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
22 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional: Y v.a. discreta
Tomando B1 = (− inf, x] na Relação (8), obtemos a função de
distribuição condicional de X dado = y
P ({X ≤ x} ∩ {Y = y })
FX |Y x | Y = y =
P Y =y
(10)
Consequentemente, a Relação (9) nos fornecerá a função de distribuição
marginal de X
X F x | Y = y P(Y = y )
(11)
FX (x) =
y ∈<
Da Relação (10) segue que a função de distribuição conjunta é dada por,
X
FX ,Y (x, y ) =
P Y =y F x |Y =k
(12)
k:k≤y
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
23 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional
Se ambas as variáveis forem discretas então a função de probabilidade
condicional é dada por
P(X = x | Y = y ) =
P(X = x, Y = y )
P(Y = y )
(13)
Se ambas as variáveis forem contínuas então a função densidade de
probabilidade condicional é dada por
fX |Y (x | y ) =
fX ,Y (x, y )
fY (y )
(14)
Da Relação (14) segue que
Z
x
FX |Y (x | y ) =
fX |Y (z | y )dz
(15)
−∞
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
24 / 42
Distribuição Condicional
Distribuição Condicional
Da Relação (15) segue que
Z
y
fY (t)FX |Y (x | t)dt
FX ,Y (x, y ) =
(16)
−∞
e
Z
∞
fY (y )FX |Y (x | y )dy .
FX (x) =
(17)
−∞
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
25 / 42
Distribuição Condicional
Exemplo
Exemplo 3.2
Considere duas variáveis aleatórias: X discreta e Y contínua, com função
mista de probabilidade conjunta dada por
( x−1
xy
se x ∈ {1, 2, 3}, 0 ≤ y ≤ 1
3
f (x, y ) =
(18)
0
caso contrário.
1
Verifique que é de fato uma função de probabilidade;
2
Determine suas marginais;
3
Determine suas condicionais;
4
Determine sua função distribuição conjunta.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
26 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Independência entre variáveis aleatórias
Definição 4.1
Seja X = (X1 , . . . , Xm ) um vetor aleatório m-dimensional definido em
(Ω, F, P). Então as variáveis X1 , . . . , Xm serão independentes se a sua
distribuição conjunta é dada por
PX (X1 ∈ B1 , . . . , Xm ∈ Bm ) =
m
Y
P(Xi ∈ Bi ).
i=1
para qualquer B = (B1 , . . . , Bm ) ∈ <m .
Segue da Definição 4.1 que para qualquer sub-família de X as variáveis
também serão independentes, pois se tomarmos algums Bi = <, a
Definição 4.1 continuará sendo válida.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
27 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Independência entre variáveis aleatórias
Observação 4.1
Se X = (X1 , . . . , Xm ) um vetor aleatório discreto então
PX (X1 = x1 , . . . , Xm = xm ) =
m
Y
P(Xi = xi )
i=1
Se X = (X1 , . . . , Xm ) um vetor aleatório contínuo então,
fX (x1 , . . . , xm ) =
m
Y
f (xi )
i=1
Em ambos os casos a função de distribuição será dada por
FX (x1 , . . . , xm ) =
m
Y
F (xi )
i=1
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
28 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Exemplo
Exemplo 4.2
Sejam X e Y a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos. suponha
que a função densidade conjunta seja dada por
fX ,Y (x, y ) = e −(x+y ) I[0,∞) (x)I[0,∞) (y )
Verifique se X e Y são independentes.
As marginais são dadas por
Z ∞
∞
fX (x) =
e −(x+y ) I[0,∞) (x)dy = −e −x e −y = −e −x (0 − 1) = e −x
0
0
do mesmo modo, fY (y ) = e −y I[0,∞) (y ), portanto,
fX (x)fY (y ) = e −x I[0,∞) (x)e −y I[0,∞) (y ) = e −(x+y ) I[0,∞) (x)I[0,∞) (y ) = f (x, y )
Logo, X e Y são independentes.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
29 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Exemplo
Exemplo 4.3
Suponha que a densidade conjunta de X e Y é dada por
fX ,Y (x, y ) = 8xy I[0,1] (x)I[x,1] (y )
Verifique se X e Y são independentes.
As marginais são dadas por
Z 1
Z
fX (x) =
8xy I[0,1] (x)dy = 8xI[0,1] (x)
x
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
1
ydy = 4x(1 − x 2 )I[0,1] (x)
x
Probabilidade III
Período 2014.1
30 / 42
Independência entre variáveis aleatórias
Exemplo
Para determinar a marginal para Y, primeiro note que,
I[0,1] (x)I[x,1] (y ) = I[0,1]×[x,1] (x, y ) = I[0,y ]×[0,1] (x, y ) = I[0,y ] (x)I[0,1] (y )
Assim,
Z
f (Y ) =
y
Z
8xy I[0,1] (y )dx = 8y I[0,1] (y )
0
y
xdx = 4y 3 I[0,1] (y )
0
Portanto,
f (x)f (y ) = 4x(1 − x 2 )I[0,1] (x)4y 3 I[0,1] (y ) = 16(x − x 3 )y 3 I[0,1] (x)I[0,1] (y )
que é diferente de fX ,Y (x, y ) = 8xy I[0,1] (x)I[0,1] (y ), logo X e Y não são
independentes.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
31 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Multinomial
Distribuição Multinomial
Definição 5.1
Considere um experimento que é repetido n vezes de modo independente,
com m possíveis resultados ou eventos de interesse
P Ai , cada um com
probabilidade pi = P(Ai ) ≥ 0, i = 1, . . . , m e m
i=1 pi = 1. Seja
X1 , . . . , Xm variáveis aleatórias que correspondem ao número de ocorrências
de cada um dos m possíveis resultados nas n repetições do experimento.
Desta forma, o vetor aleatório X = (X1 , . . . , Xm ) segue o modelo
multinomial com função de probabilidade conjunta dada por,
P(X1 = x1 , . . . , Xm = xm ) =
se 0 ≤ xi ≤ m,
Pm
i=1 xi
n!
xm
p x1 . . . pm
x1 ! · xm ! 1
= n. e
P(X1 = x1 , . . . , Xm = xm ) = o
caso
Ulissescontrário.
Umbelino (DE-UFPB)
(19)
Probabilidade III
(20)
Período 2014.1
32 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Multinomial
Distribuição Multinomial: marginais
Se X = (X1 , . . . , Xm ) segue o modelo multinomial, com parâmetros
n, p1 , . . . , pm , então Xi ∼ Bin(n, pi ), logo E (Xi ) = npi e
Var (Xi ) = npi (1 − pi ).
Demonstração.
De fato, como o experimento é repetido n vezes de modo independente e
cada evento de interesse Ai pode ocorrer com probabilidade pi , segue da
definição da distribuição de binomial que cada Xi possui distribuição
binomial com parâmetros n e p.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
33 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Multinomial
Exemplo
Exemplo 5.2
Uma barra de comprimento especificado é fabricada. Admita-se que o
comprimento real X (polegadas) seja uma variável aleatória uniformemente
distribueid sobre [10, 12]. Suponha-se que somente interesse saber se um
dos três eventos seguintes terá ocorrido:
A1 = {X < 10, 5} A2 = {10, 5 ≤ X ≤ 11, 8} A3 = {X > 11, 8}
Dado que 10 barras foram fabricadas, qual a probabilidade de cinco serem
menor que 10,5 e duas serem maior que 11,8?
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
34 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Uniforme multivariada
Distribuição Uniforme multivariada
Definição 5.3
Dizemos que um vetor é uniformemente distribuído sobre uma região A,
A ⊂ <m , se
f (x1 , . . . , xm ) = c IA (x1 , . . . , xm )
em que,
c=R
1
.
··· dx1 · · · dxm
R
A
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
35 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Uniforme multivariada
Exemplo
Exemplo 5.4
0.8
1.0
Suponhamos que o vetor aleatório X = (X1 , X2 ) seja uniformemente
distribuido sobre a região delimitada pelas curvas x2 = x1 e x2 = x12 para
0 ≤ x1 ≤ 1 e 0 ≤ x2 ≤ 1, conforme figura abaixo:
0.4
x1
0.6
x2 = x1
0.0
0.2
x2 = x21
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x2
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Figura : Uniforme Multivariada
Probabilidade III
Período 2014.1
36 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Uniforme multivariada
Exemplo
1
2
3
Para x1 < 0 ou x2 < 0 tem-se F (x1 , x2 ) = 0;
Para 0 ≤ x1 ≤ 1 e x12 ≤ x2 ≤ x1 tem-se
x2 x3
F (x1 , x2 ) = 6 x1 x2 − 2 − 1 = 6x1 x2 − 3x22 − 2x13 = p(x1 , x2 )
2
3
Para 0 ≤ x1 ≤ 1 e x2 < x12 ou x1 > 1 e 0 ≤ x2 ≤ 1, portanto para
x1 > 0 e 0 ≤ x2 ≤ min(x12 , 1) tem-se
3
√
√
√
F (x1 , x2 ) = p( x2 , x2 ) = 6 x2 x2 − 3x22 − 2 x2 3 = 4x22 − 3x22
4
Para 0 ≤ x1 ≤ 1 e x2 > x1 tem-se
F (x1 , x2 ) = p(x1 , x1 ) = 6x1 x1 − 3x12 − 2x13 = 3x12 − 2x13
5
Para x1 > 1 e x2 > 1 tem-se F (x1 , x2 ) = 1.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
37 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Uniforme multivariada
Distribuição Normal multivariada
Dizemos que um vetor aleatório X segue o modelo normal multivariado se
sua densidade de probabilidade conjunta é dada por
t
− p − 1
1
f (x) = 2π 2 Σ 2 exp − x − µ Σ−1 x − µ
2
para −∞ < xi < ∞, i = 1, . . . , p. Notação: X ∼ Np µ, Σ . Em que




µ1
σ11 σ12 . . . σ1p
 µ2 
σ21 σ22 . . . σ2p 
 

µ= . eΣ=
. . . . . . . . . . . . . . . .
 .. 
σp1 σp2 . . . σpp
µp
é o vetor de médias e a matriz de covariâncias, respectivamente.
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
38 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Uniforme multivariada
Distribuição normal multivariada
Utilizando o teorema da decomposição espectral, a função densidade da
normal multivariada pode ser expressa como,
"
!
#
p
− p − 1
t X
1
1
f (x) = 2π 2 Σ 2 exp − x − µ
e i e ti
x −µ
2
λi
i=1
"
#
p
X
− p − 1
t
1
1
t
= 2π 2 Σ 2 exp −
x − µ ei ei x − µ
2
λi
i=1
#
"
p
h
X
t i 2
− p − 1
1
1
x − µ ei
= 2π 2 Σ 2 exp −
2
λi
i=1
Se com exceção da diagonal principal, todos os elementos de Σ forem zero,
isto é, todas as covariâncias forem zero, as p componentes de X serão
independentes, pois nesse caso teremos(verificar!),
f (x) = f1 (x1 )f2 (x2 ) · · · fp (xp ).
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
39 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Uniforme multivariada
Distribuição normal multivariada
O contorno de uma densidade de probabilidade constante é a superfície de
um elipsóide centrado em µ e é igual ao conjunto de pontos,
n
o
t
x ∈ Rp : x − µ Σ−1 x − µ = c 2 .
√
Esses elipsóides têm eixos ±c λi e i , onde (λi , e i ) é um par√de
autovalor-autovetor da matriz Σ. De fato, para x − µ = c λi e i tem-se
que, para i = 1,
p
p
X
t i 2 X
t −1
1 h
1 h p t i2
c λi e 1 e i
x − µ ei =
x −µ Σ x −µ =
λi
λi
i=1
i=1

2

2
1 2  t 
1
=
c λ1 e 1 e 1 + c 2 λ2 e t1 e 2 
| {z }
| {z }
λ1
λ2
=1
=0
= c2
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
40 / 42
Modelos Probabilísticos Multivariados
Distribuição Uniforme multivariada
Distribuição normal multivariada
Para i = 2,
p
t −1
X
1 h p t i2
x −µ Σ x −µ =
c λi e 2 e i
λi
i=1

2

2
1 2  t 
1 2  t 
=
c λ1 e 2 e 1 + c λ2 e 2 e 2
| {z }
| {z }
λ1
λ2
=0
=1
= c2
Ulisses Umbelino (DE-UFPB)
Probabilidade III
Período 2014.1
41 / 42