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BC0209–Fenômenos Eletromagnéticos
Terceiro quadrimestre de 2013
Prof. José Kenichi Mizukoshi
Aula 8 (versão 28/11/2013)
Energia acumulada em um capacitor
carregado
■
Considere um capacitor de capacitância C conectado a
uma bateria com diferença de potencial ∆V . Para um
dado instante de tempo t < tf , o capacitor está sendo
carregado. Neste instante, a carga no capacitor é q ′ < q
(q é a carga máxima que o capacitor pode armazenar) e a
diferença de potencial é
q′
′
∆V =
C
C
q′
−q ′
∆V
Por outro lado, quando o capacitor estiver completamente carregado (para
t > tf ), tem-se que
q
∆V =
C
■
Para t < tf , o trabalho realizado pela bateria para transferir uma carga dq ′
para o capacitor é dado por
dWbateria = +dU = dq ′ ∆V ′
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Energia eletrostática armazenada em um
capacitor
■
A energia eletrostática total armazenada no capacitor é
Z
Z q
Z q
1
q2
′
′
′ ′
∆V
q dq
⇒ U=
U = dU =
|{z} dq = C
2C
0
0
′
= q /C
Como q = C∆V ,
(C∆V )2
U=
2C
■
Para um capacitor de placas paralelas, C = ε0
1 A
U = ε0 (Ed)2
2 d
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⇒
1
U = C∆V 2
2
⇒
A
e ∆V = Ed. Logo,
d
1
U = ε0 E 2 Ad
2
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Energia eletrostática armazenada em um
capacitor
■
Observe que Ad é o volume do espaço entre as placas do capacitor,
~
preenchido pelo campo elétrico E.
energia
Definindo u como sendo a densidade de energia, dada por u ≡
,
volume
temos que
1
u = ε0 E 2
2
➠ A expressão acima foi deduzida para um capacitor de placas paralelas,
mas o resultado é geral. Se existe um campo elétrico numa região do espaço,
há uma energia acumulada por unidade de volume associada a ele, dada pela
expressão acima.
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Capacitores com dielétricos
■
Em 1837, Faraday observou que um capacitor preenchido por um dielétrico
armazenava mais carga elétrica do que um capacitor similar, preenchido a
vácuo e sob a mesma diferença de potencial.
■
Vamos considerar uma situação similar ao experimento de Faraday, onde um
capacitor com vácuo, de capacitância C, está ligado a uma bateria com
diferença de potencial ∆V . Quando o capacitor estiver completamente
carregado, possuirá carga q.
Se inserirmos um material dielétrico entre as placas do capacitor, mantendo a
bateria conectada, observa-se que a nova carga no capacitor será q ′ > q e a
capacitância passa a ser C ′ .
vácuo
C
+q
′
material
dielétrico
∆V
∆V
−q
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C
+q
′
−q ′
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Capacitores com dielétricos
■
Como o capacitor mantém-se sempre ligado à bateria,
q′
q
= ′
∆V =
C
C
⇒
′
q
C ′ = C = κe C
q
➠ κe é a constante dielétrica do material.
Listamos na tabela abaixo o valor da constante dielétrica para alguns
materiais. Para o vácuo, tem-se que κe = 1.
Material
Ar (seco)
Papel
Vidro pirex
Borracha de neopreno
Silı́cio
Água (20◦ C)
Titanato de estrôncio
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constante dielétrica κe
1,00059
3,7
5,6
6,7
12
80,4
310
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Capacitores com dielétricos
■
Vamos agora inserir o material dielétrico entre as placas do capacitor,
desconectando-se a bateria. Inicialmente, o capacitor é carregado com carga
completa q por meio de uma bateria com diferença de potencial ∆V .
vácuo
C
C
+q
∆V
∆V
−q
Ao se inserir o material dielétrico, a capacitância muda para C ′ = κe C,
a carga no capacitor permanece constante e a diferença de potencial passa a
ser ∆V ′ . Logo,
′
q = C∆V = |{z}
C ∆V
= κe C
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+q
material
dielétrico
′
−q
■
′
′
⇒
∆V
∆V =
κe
′
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Capacitores com dielétricos
■
Como
∆V = V+ − V− = −
Z
+
~ · d~ℓ
E
−
tem-se que
κe ∆V ′ = −
Z
+
−
~ · d~ℓ
E
⇒
∆V ′ = −
Z
~
E
·d~ℓ
κe
| {z }
+
−
~′
≡E
➠ Com a bateria desconectada, o campo elétrico diminui na presença do
dielétrico. Veremos mais adiante porque isso ocorre.
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Capacitores com dielétricos – exemplos
Ex. 1 Obtenha a capacitância do capacitor de
placas paralelas preenchido com dois dielétricos, de
constantes dielétricas κe,1 e κe,2 , conforme indicado
na figura ao lado.
Solução
O capacitor acima pode ser pensado como um conjunto de dois capacitores,
cada um preenchido com um tipo de dielétrico,
ligado em série.
■
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Temos que ∆V = ∆V1 + ∆V2 e


q = C∆V
q
q
q
⇒
+
=
q = C1 ∆V1

C
C
C2
1

q = C2 ∆V2
∆V
+q
+
~ =0
+q
E
+ + + + + + +
x
κe,1
d
κe,2
− − − − − − − −
−q
área A
~ =0
E
~ =0
E
+ + + + + +
+
∆V1
κe,1
−q − − − − − − − −
+q +
+
+ + +
+ + +
x
+
∆V2
κe,2
−q − − − − − − − −
~ =0
área A
E
d−x
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Capacitores com dielétricos – exemplos
Portanto,
■
1
1
1
+
=
C
C1 C2
Como se tratam de capacitores de placas paralelas preenchidas por materiais
dielétricos,
ε0 κe,1 A
ε0 κe,2 A
C1 =
e
C2 =
x
d−x
Logo,
C=
C1 C2
=
C1 + C2
ε0 κe,1 A ε0 κe,2 A
x
d−x
ε0 κe,2 A
ε0 κe,1 A
+
x
d−x
∴
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ε0 A
C=
d
⇒
ε0 Aκe,1 κe,2
x(d − x)
C=
1
κe,1 (d−x)+κe,2 x
x(d−x)
κe,1 κe,2
κe,1 (d−x)
d
+
κe,2 x
d
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Capacitores com dielétricos – exemplos
Ex. 2 Um capacitor é construı́do a partir de duas placas quadradas de lados ℓ e separação d, com ℓ ≫ d.
Um material de constante dielétrica κ é inserido a uma
distância x no capacitor, como mostra a figura ao lado.
Obtenha a capacitância do capacitor.
Solução Neste caso, o capacitor com dielétrico
+q1
é equivalente a um conjunto com dois capacitores ligados em paralelo, visto que a diferença
∆V
de potencial entre as placas é igual em todos os
pontos.
−q1
■ Temos que


q1 = C1 ∆V
⇒ q1 + q2 = C1 ∆V + C2 ∆V
q2 = C2 ∆V


q = C∆V
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+q2
ℓ−x
d
−q2
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Capacitores com dielétricos – exemplos
Como q1 + q2 = q, segue que
κε0 ℓx ε0 ℓ(ℓ − x)
C = C1 + C2 =
+
d
d
⇒
ε0 2
C = [ℓ + ℓx(κ − 1)]
d
Se a diferença de potencial entre as placas for ∆V , obtenha a energia armazenada
no capacitor.
Solução Como
1
U = C∆V 2
2
temos que
1 ε0 ∆V 2 2
U=
[ℓ + ℓx(κ − 1)]
2 d
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Capacitores com dielétricos – exemplos
Se o capacitor é mantido a uma diferença de potencial de ∆V , obtenha a força
exercida sobre o dielétrico.
Solução Do item anterior, vemos que a energia potencial eletrostática é função de
~ (Aula 5, pág. 22) temos que neste caso,
x: U = U (x). Como F~ = −∇U
dU
~
ı̂
F =−
dx
⇒
2
1
ε
∆V
0
F~ = −
ℓ(κ − 1) ı̂
2 d
➠ A força sobre o dielétrico é horizontal e para à esquerda.
É necessário que um
agente externo empurre o dielétrico até uma distância x, aumentando a energia
potencial do capacitor com o dielétrico, em relação ao capacitor com vácuo.
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Dielétricos e a lei de Gauss
■
Nos materiais dielétricos não há elétrons livres, como no caso dos condutores.
E apesar de neutros, as moléculas geralmente possuem momento de dipolo
elétrico não nulo e estão distribuı́das aleatoriamente em todas as direções.
■
~ 0 faz com que as moléculas se
A presença de um campo elétrico externo E
alinhem parcialmente a esse campo – elas passam a ser polarizadas;
■
As moléculas polarizadas produzem um excesso de cargas negativas e positivas
(cargas induzidas) nas superfı́cies do material;
■
As cargas superficiais induzidas produzem um campo elétrico de polarização
~ ind , que é paralelo a E
~ 0 , mas em sentido contrário.
(ou campo induzido), E
~ ind
E
~0
E
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~0
E
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Dielétricos e a lei de Gauss
■
O campo elétrico resultante no material é dado por
~ =E
~0 + E
~ ind
E
⇒
E = E0 − Eind (✻)
ou seja, o campo elétrico resultante dentro do material dielétrico é menor do
que o campo externo aplicado.
■
Para muitos materias, chamados de materiais lineares, o campo de
polarização aumenta proporcionalmente ao campo externo. Usando a Eq.
(✻), podemos escrever
1
E = E0
κe
onde κe é a constante dielétrica do material.
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Dielétricos e a lei de Gauss
■
■
Considere um capacitor de placas paralelas de
área A, separadas por uma distância d. Se a
carga no capacitor é q, as placas terão uma
densidade superficial de carga, cujo módulo é
σ = q/A.
z
~0 = 0
+q
E
S
+ + + + + + + +
~0
E
d
− − − − − − − −
−q
área A
~0 = 0
E
Desprezando-se os efeitos de borda, vimos que o campo externo ao capacitor
é nulo e que no seu interior possui valor constante. Logo, pode-se utilizar a
lei de Gauss para calcular esse campo:
Z
σA⊥
~
~
E0 · d A =
ε0
S
onde tomamos a superfı́cie gaussiana S como um cilindro de área transversal
A⊥ . Segue que
q
E0 A⊥ = σA⊥ ⇒ E0 =
ε0 A
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Dielétricos e a lei de Gauss
■
■
Com a presença do dielétrico entre as placas
do capacitor, haverá uma carga induzida q ′ na
superfı́cie do material dielétrico.
z
~ =0
+q
E
S
+ + + + + + + +
′ − − − − − − − −
−q ~
A⊥
E
d
′
+q + + + + + + + +
− − − − − − − −
−q
área A
~ =0
E
Aplicando a lei de Gauss para um cilindro de área transversal A⊥ :
Z
′ )A
′ )A
′
(σ
−
σ
(σ
−
σ
q
−
q
⊥
⊥
~ · dA
~=
E
⇒ EA⊥ =
⇒ E=
ε0
ε0
ε0 A
S
1 q
1
,
Temos que, como E = E0 =
κe
κ e ε0 A
q′
1 q
q−
=
κ e ε0 A
ε0 A
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⇒
1
′
q =q 1−
κe
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Dielétricos e a lei de Gauss
■
Temos também que
q
q−q =
κe
′
⇒
σ
σ−σ =
κe
′
Portanto, a lei de Gauss na presença do dielétrico fica
Z
′ )A
σA⊥
(σ
−
σ
⊥
~
~
=
E · dA =
ε0
κ e ε0
S
onde σA⊥ é a carga livre q dentro da superfı́cie gaussiana S e
ε0 κ e ≡ ε
é a permissividade do material.
■
Aula 8
De uma forma geral, a lei de Gauss na presença de um material dielétrico é
dada por
I
~ · dA
~ = qlivre
E
ε
S
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Referências
Aula 8
■
R. A. Serway, e J. W. Jewett Jr., Princı́pios de Fı́sica, Vol. 3, Cengage
Learning;
■
D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane, Fı́sica, Vol. 3, LTC;
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