Capacitores e Dielétricos

Quarta Lista - Capacitores e Dielétricos
FGE211 - Fı́sica III
Sumário
• Um capacitor é um dispositivo que armazena carga elétrica e, consequentemente, energia potencial eletrostática. A capacitância C de um
capacitor é a razão entre a carga armazenada nas placas do capacitor
e a diferença de potencial entre eles:
C=
Q
|∆V |
Sistema
Capacitância
Esfera isolada e carregada com raio R
C = 4π0 R
Capacitor de placas paralelas com área A e separação d
Capacitor cilı́ndrico de raio interno a e externo b e comprimento L
Capacitor esférico de raio interno a e externo b
C=
C=
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+ ... (serie)
Ceq = C1 + C2 + C3 + ... (paralelo)
• O trabalho realizado para armazenar uma carga Q em um capacitor
é:
Q2
1
1
= Q|V |2 = C|V |2 ,
U=
2C
2
2
que é igual a energia potencial armazenada no capacitor.
1
2π0 L
ln(b/a)
ab
C = 4π0 b−a
• As capacitâncias equivalentes de capacitores conectados em série e
paralelo são
1
Ceq
0 A
d
• A energia potencial também pode ser pensada como armazenada no
campo elétrico. A densidade de energia por unidade de volume é
1
ue = 0 E 2 .
2
A densidade de energia ue é igual a pressão eletrostática em uma superfı́cie.
• Quando um material dielétrico com uma constante dielétrica κe é
inserida dentro de um capacitor, sua capacitância aumenta por um
valor
C = κe C0
• O vetor de polarização P~ é a densidade de momentos de dipolo elétrico
por unidade de volume:
N
1 X
P~ =
p~i
V i=1
• A densidade superficial de carga induzida no dielétrico está relacionada
com o vetor de polarização através de:
~ · n̂
σb = P
• Define-se o vetor de deslocamento elétrico como sendo:
~ = 0 E
~ +P
~
D
• A lei de Gauss na presença de dielétricos pode ser escrita como:
I
~ · n̂dA = Qint (livre)
D
• Em materiais lineares, o vetor de polarização é proporcional ao
campo elétrico:
~ = χe 0 E,
~
P
onde χe é a susceptibilidade elétrica do material.
• Com isso, o vetor de deslocamento para materiais lineares pode ser
escrito como
~ = 0 (1 + χe )E
~ = 0 Ke E
~ = E,
~
D
onde Ke = 1 + χe é a constante dielétrica do material e = 0 Ke
a sua permissividade elétrica.
2
• Na presença de um dielétrico de constante dielétrica Ke , o campo
elétrico dentro de um capacitor de placas paralelas se torna:
E=
σf
0 Ke
e a capacitância
C=
0 A
Ke
d
Estratégia para resolução de problemas
Para calcular a capacitância de diferentes capacitores, os passos abaixo podem ser úteis:
1. Identifique a direção do campo elétrico usando simetrias.
2. Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
3. Calcule a diferença de potencial ∆V .
4. Obtenha a capacitância através da relação C = Q/V .
Questões conceituais
1. As cargas nas placas de um capacitor de placas paralelas tem a mesma
magnitude e sinais opostos. Ou seja, elas se atraem. Para aumentar a
separação entre as placas, o trabalho realizado por um agente externo
é positivo ou negativo? O que acontece com esse trabalho realizado?
2. Como muda a energia armazenada em um capacitor se a diferença de
potencial entre o capacitor triplica?
3. A presença de um dielétrico aumenta ou diminui a voltagem máxima
de operação de um capacitor?
4. Se um capacitor preenchido com um dielétrico é resfriado, o que acontece com sua capacitância?
Problemas fundamentais
Estes problemas dizem respeito aos resultados obtidos na tabela da primeira página. Ou seja, o cálculo da capacitância de um capacitor esférico,
cilı́ndrico e plano. Use esta tabela para conferir os seus resultados. Estes
problemas são de suma importância e são o ponto de partida para os outros
problemas.
3
• Calcule a capacitância de um sistema composto por duas placas paralelas de área A e carga ±Q separadas por uma distância d tal que
d2 << A.
• Calcule a capacitância de um sistema composto por duas cascas esféricas
de raio a e b (a < b) e carregadas com cargas +Q e −Q respectivamente. Considere as cargas distribuı́das uniformemente sobre a esfera.
• Calcule a capacitância de um sistema composto por dois cilindros
concêntricos de raios a e b (a < b) e carregadas uniformemente com
cargas +Q e −Q. Assuma que o cilindro tem comprimento L.
Problemas gerais
1. Capacitância equivalente
Considere o circuito descrito na figura 1 onde todos os capacitores tem
capacitância C. Calcule a capacitância equivalente.
Figura 1: Circuito com capacitores
2. Capacitor preenchido com três dielétricos diferentes
(a) Três dielétricos com constantes dielétricas κ1 , κ2 e κ3 preenchem
partes de um capacitor de placas paralelas com mesmo volume
como mostra a figura 2. A área das placas é A e a separação
entre elas é d. Calcule a capacitância do sistema. Dica: considere este sistema como se fosse um sistema equivalente de três
capacitores acoplados em paralelo. Não se esqueça de justificar
esta afirmativa. Avalie também o limite κi → 1.
(b) Considere agora que os três dielétricos estão dispostos como mostra a figura 3. Use a lei de Gauss para achar o campo em cada
dielétrico e então calcule ∆V ao longo de todo o capacitor. Verifique o que ocorre no limite κi → 1. Você poderia ter assumido
que este sistema é equivalente a um de três capacitores acoplados
em série?
4
Figura 2: Capacitor de placas paralelas preenchido com três dielétricos diferentes, um do lado do outro ocupando volumes iguais.
Figura 3: Capacitor de placas paralelas preenchido com três dielétricos diferentes, um sobre o outro ocupando volumes iguais.
3. Capacitor esférico com dielétricos
Considere um capacitor esférico de raio interno a e raio externo c.
Suponha que o espaço entre as cascas esféricas é preenchido com dois
dielétricos, um de constante κ1 indo de a até b e outro de constante κ2
indo de b até c (vide figura 4). Determine a capacitância do sistema.
Figura 4: Capacitor esférico preenchido com dois dielétricos diferentes.
4. Capacitor conectado a uma mola
Considere um capacitor de placas paralelas (preenchido com ar) onde
uma das placas é conectada a uma mola com constante de força k e a
outra placa é fixa como mostra a figura 5. Se a carga nas placas a e b
é Q e −Q respectivamente, qual o deslocamento da mola?
5. Lei de Gauss na presença de um dielétrico
Considere uma casca esférica de raio R1 e carga Q que está envolta por
uma segunda casca esférica de raio R2 e carga −Q. Entre as cascas
5
Figura 5: Capacitor de placas paralelas onde uma das placas está conectada
a uma mola de constante k.
Figura 6: Capacitor esférico preenchido com um dielétrico de constante
dielétrica κ.
há um dielétrico cuja constante dielétrica é κ. O sistema está imerso
em ar (κar ' 1) e isolado de qualquer outro condutor como mostra a
figura 6.
~ em todo o espaço.
(a) Calcule o vetor de deslocamento D
~ em todo o espaço.
(b) Calcule o campo elétrico E
6. Força entre as placas de um capacitor
As placas de um capacitor de placas paralelas tem área A e carga
induzida ±Q (figura 7). Neste problema, quero que estudem a força
2
atrativa entre as placas. O resultado que devem obter é F = 2Q0 A
(o mesmo usado no problema 4). Isso será feito de duas maneiras
diferentes.
(a) Primeiramente, calcule a força total na placa da esquerda devido
ao campo elétrico da placa da direita usando a lei de Coulomb e
ignorando efeitos de borda.
(b) Agora considere isso: se você afastar as placas, contra sua atração,
você estará realizando trabalho e esse trabalho é automaticamente
transformado em mais energia potencial. Calcule a força necessária para aumentar a separação das placas de x até x + dx
equacionando o trabalho realizado (F~ · d~s) com o aumento da
6
Figura 7: Capacitor de placas paralelas.
energia eletrostática, assumindo que a densidade de energia é
1
2
2 0 E e que a carga Q se mantêm constante.
(c) Uma vez obtida a expressão para a força, mostre que a força
por unidade de área (pressão eletrostática) atuando em cada capacitor é 0 E 2/2. Este resultado é verdadeiro para um condutor
~ em sua
de qualquer forma na presença de um campo elétrico E
superfı́cie.
(d) A pressão atmosférica vale 101341 N/m2 . Qual deveria ser a magnitude do campo elétrico para produzir esta pressão? (resposta:
151 MV/m). Note que acaleradores do tipo Van de Graaf podem
pruduzir campos de até 100 MV/m no seu limite o que mostra
que, nessas situações extremas, campos elétricos chegam perto da
pressão atmosférica mas não a ultrapassam por muito.
7. Densidade de energia em um capacitor preenchido com um
dielétrico
Considere o caso em que um dielétrico de constante dielétrica κe preenche completamente o espaço entre as placas de um capacitor de placas
paralelas. Mostre que densidade de energia do campo entre as placas
é
1~ ~
ue = E
· D.
2
Para tal siga os passos abaixo:
~ ·D
~ em termos de E
~ e κe (ou seja,
(a) Escreva a expressão ue = 12 E
~
eliminando D).
(b) Dado o potencial e o campo elétrico de um capacitor com uma
carga q, calcule o trabalho realizado para carregar o capacitor de
q = 0 para q = Q.
(c) Encontre ue .
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