3a LISTA DE EXERCÍCIOS DE Fis311/403 — F´ısica Geral II — 1

3a LISTA DE EXERCÍCIOS DE Fis311/403
— Fı́sica Geral II —
2o Semestre de 2009.
DFQ/ICE/UNIFEI
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Questões
1) As placas de um capacitor estão ligadas aos terminais de uma bateria. a) Por que elas recebem exatamente
(a menos de sinal) a mesma quantidade de carga? b) Será isso ainda verdade, se as placas forem de tamanhos
diferentes?
2) Pode haver uma diferença de potencial entre dois condutores vizinhos que possuam a mesma carga positiva?
3) Esperaria você uma variação da constante dielétrica com a temperatura para substâncias contendo moléculas
de dipolos elétricos permanentes?
4) Uma placa dielétrica é parcialmente introduzida num dos extremos de um capacitor de placas paralelas
carregado (as placas do capacitor são horizontais e a bateria que o carregou já foi retirada). Descreva o que
acontece, desprezando o atrito, se a placa dielétrica for abandonada nesta posição.
2
Problemas
1) Uma chapa de cobre de espessura 𝑏 é introduzida exatamente no meio das placas de um capacitor plano,
que estão separadas pela distância 𝑑 (veja a figura 1).
a) Qual o valor da capacitância antes (𝐶0 ) e depois (𝐶) da introdução da placa?
b) Determine, em termos de 𝐶0 o trabalho necessário para introduzir esta chapa de cobre, supondo que se
mantenha constante: (i) a carga e (ii) a diferença de potencial entre as placas.
2) a) Determine a densidade de energia 𝑢 entre as placas de um capacitor cilı́ndrico consistindo de duas placas
condutoras coaxiais, de raios 𝑎 e 𝑏 (𝑏 > 𝑎).
𝑑𝑈
b) Determine a energia 𝑈 armazenada neste capacitor, usando a relação 𝑢 = 𝑑𝑉
, onde 𝑑𝑉 é um elemento de
volume.
3) Um capacitor esférico consiste de duas camadas esféricas condutoras concêntricas, de raios respectivamente
iguais a 𝑎 e 𝑏 (𝑏 > 𝑎).
a) Mostre que sua capacitância é igual a
𝑎𝑏
𝐶 = 4𝜋𝜀0
𝑏−𝑎
.
b) Determine a densidade de energia entre as placas do capacitor em termos da carga 𝑞.
c) Encontre a a energia armazenada neste capacitor.
4) Um condensador sintonizador de rádio tem uma capacitância máxima de 100 pF que, por rotação das
placas móveis, pode ser reduzida para 10 pF. Considere que o capacitor é carregado a uma ddp de 300 V com
a capacitância máxima. O botão de sintonia é então girado até a posição de mı́nima capacitância. Quais são
os valores inicial e final da diferença de potencial? Qual o trabalho mecânico necessário para se girar o botão?
Resp: 𝑉𝑖 = 300 V,
𝑉𝑓 = 3000 V,
𝑊 = 4,05.10−5 J.
5) A constante dielétrica do polietileno vale 2,3 e sua rigidez dielétrica é igual a 50 kV/mm.
a) Determinar a menor área para as placas de um capacitor plano de 800 pF, que usa o polietileno entre suas
placas, a fim de que o capacitor possa suportar uma diferença de potencial de 9 kV.
b) Suponha que a distância entre as placas do capacitor seja de 2 mm; ache o valor da diferença de potencial
máxima que este capacitor pode suportar.
6) Qual é a capacitância do capacitor da figura 2? A área da placa é 𝐴.
7) O dielétrico de um capacitor cilı́ndrico de placas coaxiais de raios 𝑎 e 𝑏 (𝑏 > 𝑎) não é homogêneo, mas possui
uma permissividade que varia com a distância 𝜌 ao eixo comum das placas de acordo com 𝜀(𝜌) = 𝜀0 𝑏/𝜌. As
placas estão carregadas com cargas livres por unidade de comprimento +𝜆 e −𝜆. Determine a capacitância por
unidade de comprimento deste dispositivo. Resp: 2𝜋𝜀0 𝑏/(𝑏 − 𝑎).
8) Um cubo dielétrico de lado 𝐿 tem uma polarização radial dada por 𝑃⃗ = 𝐴⃗𝑟, onde 𝐴 é uma constante e
⃗𝑟 = 𝑥 x̂ + 𝑦 ŷ + 𝑧 ẑ. A origem do sistema de coordenadas é no centro do cubo. Determine todas as densidades de
carga de polarização e mostre explicitamente que a carga total de polarização é nula. Resp: 𝜌P = −3𝐴, 𝜎P = 𝐴𝐿/2.
9) Um cubo dielétrico de lado 𝑎 está disposto no primeiro octante de um sistema de coordenadas, de tal forma
que um de seus vértices coincide com a origem do sistema e três de suas faces coincidem com os planos 𝑥𝑦, 𝑦𝑧 e
⃗ = 𝐷0 x̂.
𝑧𝑥. O dielétrico está polarizado de modo que o vetor deslocamento elétrico em seu interior é uniforme, 𝐷
Além disso, o material que o constitui possui uma permissividade 𝜀 não uniforme dada por 𝜀 = 𝜀0 (1 + 𝑥/𝑎).
Determine:
a) As cargas e densidades de cargas livre e de polarização (𝑄𝑙 , 𝑄P , 𝑄P 𝑣 , 𝑄P 𝑠 , 𝜌𝑙 , 𝜌P , 𝜎P ).
b) A diferença de potencial entre as faces 𝑥 = 0 e 𝑥 = 𝑎 do cubo. Resp: a) 𝑄𝑙 = 0, 𝑄P 𝑣 = 𝑄P 𝑠 = − 21 𝐷0 𝑎2 , 𝜌𝑙 = 0,
𝐷0 𝑎
𝐷0
, e as densidades superficiais em todas as faces são nulas, exceto para aquela em 𝑥 = 𝑎, para a qual 𝜎P =
.
(𝑎 + 𝑥)2
2
𝐷0 𝑎
b) 𝑉 (0) − 𝑉 (𝑎) =
ln 2.
𝜀0
𝜌P = −
10) Um bloco muito extenso de um material dielétrico encontra-se uniformemente polarizado com um vetor
de polarização 𝑃⃗ . O bloco é cortado ao meio e as duas faces vizinhas são então separadas de modo a ficarem
paralelas entre si. A distância entre as faces é muito menor que qualquer de suas dimensões, e o plano de corte
faz um ângulo 𝛼 com o vetor polarização. Determine o campo elétrico na região de separação entre os blocos.
Resp: 𝑃 sen 𝛼/𝜀0 n̂
𝑎
11) Uma esfera dielétrica de raio 𝑎 possui permissividade 𝜀 = 𝜀0 , e encontra-se carregada com uma densidade
𝑟
𝑎
volumétrica de cargas livres 𝜌 = 𝜌0 . Determine o campo elétrico dentro e fora da esfera e suas densidades de
𝑟
carga de polarização.
12) Numa esfera dielétrica de raio 𝑅 e permissividade 𝜀 estão distribuı́das cargas livres, de densidade volumétrica
dada por 𝜌 = 𝐾𝑟, onde 𝑟 é a distância de um ponto da esfera até o seu centro e 𝐾 é uma constante. A esfera
dielétrica está imersa no vácuo e fora dela não há cargas. Determine o potencial no centro da esfera em relação a
um ponto no infinito. Determine também a energia potencial e as densidades de carga de polarização (superficial
e volumétrica) da esfera. Que fração da energia(potencial
no campo elétrico fora da esfera?
) está armazenada
(
)
Resp: 𝑉𝐶 =
(3𝜀 + 𝜀0 )𝐾𝑅3
𝜋(𝜀0 + 7𝜀)𝐾 2 𝑅7
,𝑈 =
, 𝜌P = −
12𝜀0 𝜀
56𝜀0 𝜀
1−
𝜀0
𝜀
𝐾𝑟, 𝜎P =
1−
𝜀0
𝜀
𝐾𝑅2
.
4
13) Um capacitor esférico é constituido por duas placas metálicas esféricas concêntricas de espessura desprezı́vel,
de raios 𝑎 e 𝑏 (𝑎 < 𝑏). Suas placas são carregadas com cargas de mesmo módulo 𝑄 e opostas, a interna positiva
e a externa negativa. O capacitor é preenchido por um dielétrico de permissividade 𝜀 não uniforme dada por
𝜀 = 𝜀0 𝑏/𝑟. Determine:
⃗ entre as placas.
a) O campo elétrico 𝐸
b) A capacitância desse dispositivo.
c) A energia elétrica
armazenada.
⃗ =
Resp: a) 𝐸
𝑄
r̂,
4𝜋𝜀0 𝑏𝑟
b) 𝐶 =
4𝜋𝜀0 𝑏
ln(𝑏/𝑎)
14) A corrente que flui através da seção reta de um condutor é dada por 𝐼 = 𝐼0 + 𝑎𝑡. Determine:
a) a expressão da carga que atravessa a seção reta.
b) O valor da carga para 𝑡 = 1𝑠 e para 𝑡 = 10𝑠, sabendo-se que 𝐼0 = 2𝐴, 𝑎 = 0, 04𝑠−1 e 𝑡 é dado em segundos.
2
Resp: a) 𝑞 = 𝐼0 𝑡 + 0, 5𝑎𝑡 ,
b) 2, 02𝐶 e 22𝐶
15) Considere uma distribuição uniforme de cargas elétricas de densidade volumétrica constante 𝜌. Determine
a intensidade da corrente elétrica que flui através da superfı́cie de uma esfera imaginária de raio 𝑎, quando o
raio da esfera varia de acordo com:
a) 𝑎(𝑡) = 𝛼𝑡
b) 𝑎(𝑡) = 𝛼(𝑡0 − 𝑡)
c) 𝑎(𝑡) = 𝑎0 (1 − cos 𝜔𝑡). Resp: a) 𝐼 = −4𝜋𝜌𝛼3 𝑡2
b)
𝐼 = 4𝜋𝜌𝛼3 (𝑡0 − 𝑡)2
c) 𝐼 = −4𝜋𝜌𝑎0 3 𝜔 sen 𝜔𝑡(1 − cos 𝜔𝑡)2 .
16) Um capacitor cilı́ndrico de comprimento 𝐿 muito grande, cujos cabos coaxiais possuem raios 𝑎 e 𝑏 (𝑏 > 𝑎),
é preenchido por um dielétrico imperfeito de permissividade 𝜀 e condutividade 𝑔. Quando se aplica ao capacitor
uma ddp, existirá assim uma corrente 𝐼 fluindo radialmente entre as placas. Determine a relação entre a
condutância 𝐺 e a capacitância 𝐶 deste dispositivo. (A condutância é definida como sendo o inverso da
resistência, ou seja, a razão entre a corrente que flui entre dois pontos pela ddp aplicada entre os mesmos). Resp:
𝐺=
𝑔
2𝜋𝑔𝐿
𝐶=
.
𝑏
𝜀
ln 𝑎
17) A relação que você determinou no exercı́cio anterior é válida em geral para condensadores de qualquer
formato com dielétricos imperfeitos. Prove esta afirmativa e utilize a relação para determinar a corrente de
fuga, em função da ddp aplicada, nos seguintes dispositivos:
a) capacitor de placas planas paralelas;
b) capacitor esférico.
𝑔𝐴
4𝜋𝑔𝑏𝑎𝑉
Suponha conhecidas as respectivas dimensões. Resp: a) 𝐼 = 𝑉
b) 𝐼 =
𝑑
𝑏−𝑎