Lista 2

2a Lista de Exercı́cios de Matemática para Computação
1. Usando a equação f (x) = 2x − 1 para descrever a associação funcional, escreva a função
como um conjunto de pares ordenados se o contradomı́nio é R e o domı́nio é
(a) D = {0, 1, 2}
(b) D = {1, 2, 4, 5}
√
(c) D = { 7, 1, 5}
2. Usando a equação f (x) = x2 +1 para descrever a associação funcional, escreva a função como
um conjunto de pares ordenados se o contradomı́nio é Z e o domı́nio é
(a) D = {1, 5}
(b) D = {−1, 2, −2}
√
(c) D = {− 12, 3}
3. a) Seja f : R → R dada por f (x) = x2 . Será que f é uma função?
b) Seja f : R → R dada por f (x) = x1 . Será que f é uma função?
√
c) Seja f : R → R dada por f (x) = x. Será que f é uma função?
√
d) Seja f : R → R dada por f (x) = ± x2 + 1. Será que f é uma função?
4. Seja S o conjunto formado por todas as cadeias de bits de comprimento 8. Determine se f
é uma função de S para o conjunto dos números inteiros, se
a) f (c) é a posição de um bit 0 em c
b) f (c) é o número de bit 1 em c
c) f (c) é o menor inteiro i, tal que o i-ésimo bit de c é 1 e f (c) = 0 quando c for uma cadeia
vazia, uma cadeia sem bits.
5. Verdadeiro ou Falso (Justifique):
(a) Uma função ser sobrejetora significa que todo elemento no contradomı́nio tem que ter
uma única imagem inversa.
(b) Uma função ser injetora significa que todo elemento no contradomı́nio tem que ter uma
única imagem inversa.
(c) Uma função ser injetora significa que dois elementos diferentes no seu domı́nio nunca
podem ir no mesmo elemento no contradomı́nio.
(d) Uma função ser sobrejetora significa que (imagem) ∩ (contradomı́nio) = ∅.
(e) Se todo elemento no domı́nio tiver uma imagem, a função terá que ser sobrejetora.
(f) Se todo elemento no contradomı́nio tiver uma imagem, a função terá que ser sobrejetora.
(g) Se todo elemento no contradomı́nio tiver uma imagem inversa, a função terá que ser
sobrejetora.
(h) Se o domı́nio for maior do que o contradomı́nio, a função não poderá ser injetora.
6. Determine se cada uma das funções abaixo de Z para Z é injetora. E sobrejetora?
a) f (n) = n − 1
b) f (n) = n2 + 1
c) f (n) = n3
d) f (n) = ⌈ n2 ⌉, onde ⌈x⌉ é o maior inteiro menor que ou igual a x.
7. Determine se cada uma das funções abaixo de Z × Z para Z é sobrejetora.
a) f (m, n) = 2m − n
b) f (m, n) = m2 − n2
c) f (m, n) = m + n + 1
8. Quais das definições a seguir são de funções do domı́nio no contradomı́nio indicados? Quais
são funções injetoras? Quais são funções sobrejetoras? Descreva a função inversa das funções
bijetoras.
(a) f : Z → N em que f é definida por f (x) = x2 + 1
(b) g : N → Q em que g é definida por g(x) = 1/x
(c) h : Z × N → Q em que h é definida por h(z, n) = z/(n + 1)
(d) f : {1, 2, 3} → {p, q, r} em que f = {(1, q), (2, r), (3, p)}
(e) g : N → N em que g é definida por g(x) = 2x
(f) h : R2 → R2 em que h é definida por h(x, y) = (y + 1, x + 1)
(g) f : Z2 → N em que f é definida por f (x, y) = x2 + 2y 2
x/2 se x é par
(h) g : N → N em que g é definida por g(x) =
x + 1 se x é ı́mpar
p
(i) h : R → R em que h é definida por h(x) = 1/ (x + 1)
x + 1 se x é par
(j) f : N → N em que f é definida por f (x) =
x − 1 se x é ı́mpar
(k) g : N3 → N em que g é dada por g(x, y, z) = x + y − z
(l) h : N2 → N3 em que h é definida por h(x, y) = (y, x, 0)
9. Dê um exemplo de uma função de N para N que é
a) injetora, mas não é sobrejetora
b) sobrejetora, mas não é injetora
c) sobrejetora e injetora, e diferente da função identidade
d) nem injetora nem sobrejetora
10. Sejam A = {x, y} e A∗ o conjunto de todas as cadeias finitas formadas com sı́mbolos pertencentes a A. Defina uma função f : A∗ → Z da seguinte maneira: para s ∈ A∗ , f (s) = o
comprimento de s. f é injetora? Prove que sim ou que não. f é sobrejetora? Prove que sim
ou que não.
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11. Sejam A = {x, y} e A∗ o conjunto de todas as cadeias finitas formadas com sı́mbolos pertencentes a A. Defina uma função f : A∗ → Z da seguinte maneira: para s ∈ A∗ , f (s) =
número de caracteres iguais a x em s menos o núemro de caracteres iguais a y em s. f é
injetora? Prove que sim ou que não. f é sobrejetora? Prove que sim ou que não.
12. Sejam A = {x, y} e A∗ o conjunto de todas as cadeias finitas formadas com sı́mbolos pertencentes a A. Defina uma função f : A∗ → A∗ da seguinte maneira: para s ∈ A∗ , f (s) é a
cadeia obtida escrevendo-se os caracteres em s em ordem inversa. f é injetora? Prove que
sim ou que não. f é sobrejetora? Prove que sim ou que não.
13. Sejam A = {x, y} e A∗ o conjunto de todas as cadeias finitas formadas com sı́mbolos pertencentes a A. Defina uma função f : A∗ → A∗ da seguinte maneira: para s ∈ A∗ , f (s) = xs (a
cadeia com um único caractere x seguida de s). f é injetora? Prove que sim ou que não. f
é sobrejetora? Prove que sim ou que não.
14. Sejam S = {x|x ∈ R e x ≥ 1}, T = {x|x ∈ R e 0 < x ≤ 1}. Encontre uma função f : S → T
que seja uma bijeção.
15. Encontre f ◦ g e g ◦ f , onde f (x) = x2 + 1 e g(x) = x + 2 são funções de R para R.
16. Suponha que g seja uma função de A para B e que f seja uma função de B para C.
a) Mostre que se f e g são injetoras, então f ◦ g também é injetora.
b) Mostre que se f e g são sobrejetoras, então f ◦ g também é sobrejetora.
17. Dado x ∈ R temos que ⌊x⌋ representa o maior inteiro que é menor ou igual a x, e ⌈x⌉
representa o menor inteiro que é maior o igual a x. Calcule os valores a seguir:
(a) ⌊3, 4⌋
(b) ⌈−0, 2⌉
(c) ⌊0, 5⌋
(d) ⌈−5 − 1, 2⌉
(e) ⌈−5 − ⌈1, 2⌉⌉
(f) ⌊2 ∗ 3, 7⌋
(g) ⌈1 + 1/2 + 1/3 + 1/4⌉
18. O que se pode dizer sobre x se ⌊x⌋ = ⌈x⌉?
19. Prove que ⌈x⌉ + 1 = ⌈x + 1⌉
20. Prove que ⌈x⌉ = −⌈−x⌉
21. Considere a função teto f (x) = ⌈x⌉ : R → Z. Prove ou dê um contraexemplo.
(a) f é injetora,
(b) f é sobrejetora.
22. Prove ou dê um contraexemplo.
(a) ⌊x⌋ + ⌊y⌋ = ⌊x + y⌋
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(b) ⌊2x⌋ = ⌊x⌋ + ⌊x + 1/2⌋
23. Sejam S um conjunto e A um subconjunto de S. A função caracterı́stica de A é a função
cA : S → {0, 1} com cA (x) = 1 exatamente quando x ∈ A.
(a) Sejam S = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {1, 3, 5}. Liste os pares ordenados que pertencem a cA .
(b) Prove que, para qualquer conjunto S e quaisquer subconjuntos A e B de S, temos que
cA∩B (x) = cA (x) · cB (x).
(c) Prove que cA (x) = 1 − cAc (x)
(d) É verdade que, para qualquer conjunto S e quaisquer subconjuntos A e B de S, temos
que cA∪B (x) = cA (x) + cB (x)? Prove ou dê um contraexemplo.
24. A função de Ackermann é
dada por
A(0, n)
A(m, 0)
A(m, n)
uma função de N2 em N que cresce muito rapidamente. Ela é
= n + 1 para todo n ∈ N
= A(m − 1, 1) para todo m ∈ N
= A(m − 1, A(m, n − 1)) para todo m, n ∈ N
(a) Calcule (mostre todos os passos) o valor de A(1, 1).
(b) Calcule (mostre todos os passos) o valor de A(2, 1).
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2
(c) O valor de A(4, 0) = 13 = 22 − 3 ainda é um valor pequeno. Mas A(4, 1) = 22 − 3.
Calcule esse valor.
(d) Escreva uma expressão provável para A(4, 2).
25. A função Dwyer também leva N2 em N e cresce muito rapidamente, mas tem uma definição
em forma fechada:
n
(2m + 1)!
D(m, n) = n!
2m m!
(a) Calcule os valores de D(1, 1), D(2, 1), D(3, 1) e D(4, 1).
(b) Verifique que D(m, 1) satisfaz a relação de recorrência
D(m + 1, 1) = (2m + 1)D(m + 1)
com D(0, 1) = 1
(c) Encontre o menor valor de m para o qual
D(m, 1) < mm
26. Para cada uma das bijeções f : R → R a seguir, encontre f −1 .
(a) f (x) = 2x
(b) f (x) = x3
(c) f (x) = (x + 4)/3
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