Exercícios de Sheldon Ross 6.1 Dois dados honestos são rolados

Exercícios de Sheldon Ross
6.1 Dois dados honestos são rolados. Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y
quando
a) X é o maior valor obtido em um dado e Y é a soma dos valores.
b) não é para fazer.
c) X é o menor e Y é o maior valor obtido com os dados.
6.2 Suponha que 3 bolas sejam sorteadas sem reposição de uma urna consistindo em 5 bolas
brancas e 8 bolas vermelhas. Considere Xi=1 caso a i-ésima bola selecionada for branca e Xi=0
caso contrário. Dê a função de probabilidade conjunta de
a) X1, X2.
b) X1, X2, X3.
6.3 Repita o problema 6.2, suponha que as bolas brancas sejam numeradas e considere Yi = 1
se a i-ésima bola branca for selecionada, e zero caso contrário. Determine a função de
probabilidade conjunta de
a) Y1, Y2
b) Y1, Y2, Y3.
6.6 Sabe-se que um cesto com 5 transistores contém 2 defeito. Os transistores devem ser
testados, um de cada vez, até que os defeituosos sejam identificados. Suponha que N1
represente o número de testes feitos até que o primeiro transistor defeituoso seja identificado
e N2 o número de testes adicionais feitos até que o segundo transistor defeituoso seja
identificado. Determine a função de probabilidade conjunta de N1 e N2.
6.8 As funções de densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
f(x,y)= c(y2-x2)e-y -y≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤∞
a) Determine c.
b) Determine as densidades marginais de X e Y.
c) Determine E[X]
6.9 A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
6
f(x,y) = 7 (x2 +
𝑥.𝑦
)
2
0 ≤x≤1, 0≤y≤2
a) Verifique que esta é de fato uma densidade conjunta.
b) Calcule a função de densidade de X.
c) Determine P[X > Y].
d) Determine a P{Y> 0.5/X < 0.5}
e) Determine E[X]
f) Determine E[Y]
6.11 O proprietário de uma loja de televisores imagina que 45% dos clientes que entram em
sua loja comprarão um televisor comum, 15% comprarão um televisor de plasma e 40%
estarão apenas dando uma olhada. Se 5 clientes entrarem nesta loja em um dia, qual é a
probabilidade de que ele venda exatamente 2 televisores comuns e 1 de plasma naquele
mesmo dia?
6.15 O vetor aleatório (X,Y) é chamado de uniformemente distribuído em uma região R do
plano se, para alguma constante c, sua densidade conjunta é
f(x,y)= c, se (x,y) pertence a R e zero caso contrário.
a) Mostre que 1/c = área da região R.
b) Mostre que X e Y são independentes, com cada um sendo uniformemente distribuído
ao longo do quadrado centrado em (0,0) e com lados de comprimento 2.
c) Qual é a probabilidade de que (X,Y) esteja contido no círculo de raio 1 centrado na
origem? Isto é, determine P[X2+Y2 < 1].
6.19 Mostre que f(x,y)= 1/x, 0 < y<x<1 é uma função densidade conjunta. Supondo que f seja a
densidade conjunta de X, Y, determine.
a) a densidade marginal de Y.
b) a densidade marginal de X.
c) E[X]
d) E[Y]
6.20 A densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x,y)= x.e-(x+y) , se x>0 e y>0.
Zero caso contrário.
X e Y são independentes? Se ao invés disso, f(x,y)= 2, se 0<x<y, 0<y<1, zero caso contrário. X e
Y seriam independentes?
6.21 Seja
f(x,y)= 24xy se, 0<x<1, 0<y<1, 0<x+y<1, e zero caso contrário.
a) Mostre que f(x,y) é uma função de densidade conjunta.
b) Determine E[X]
c) Determine E[y]
6.22 A função densidade conjunta de X e Y é f(x,y)=x+y, se 0<x<1, 0<y<1, e zero caso
contrário.
a) X e Y São independentes?
b) Determine a função densidade de X.
c) Determine P{X+Y<1}
6.23 As variáveis aleatórias X e Y têm função densidade conjunta
f(x,y)=12xy(1-x), se 0<x<1, 0<y<1 e f(x,y)=0 caso contrário.
a)
b)
c)
d)
e)
X e Y são independentes?
Determine E[X].
Determine E[Y].
Determine Var[X].
Determine Var[Y].
6.27 Se X1 e X2 são variáveis aleatórias exponenciais independentes com respectivos
parâmetros λ1 e λ2, determine a distribuição de Z= X1/X2. Também calcule a P{X1<X2}.
6.41 A função de densidade conjunta de X e Y é dada por f(x,y)=Xe-x(y+1) se, x>0 e y>0
a) determine a densidade condicional de X, dado que Y=y, e aquela de Y dado X=x.
b) determine a função de densidade de Z=X.Y.
6.48 Se X1, X2, X3, X4 e X5 São variáveis aleatórias exponenciais independentes e
identicamente distribuídas com parâmetro λ, calcule
a) P{min(X1,. . .,X5)≤a}
b) P{max(X1,. . .,X5)≤a}