utilização da transformada discreta de fourier para a análise e

UTILIZAÇÃO DA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
PARA A ANÁLISE E SÍNTESE DE SINAIS DE VARIAÇÕES
MOMENTÂNEAS E TEMPORÁRIAS TIPO AFUNDAMENTO DE
TENSÃO
GONÇALVES, Heber Andrade, Acadêmico de Engenharia Elétrica – Eletrotécnica, UTFPR, 2007.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Avenida Sete de Setembro, 3165, Curitiba/PR.
Tel. (41) 8415-1532 - mail: [email protected]
ARGENTA, Jakson Böttcher, Acadêmico de Engenharia Elétrica – Eletrotécnica, UTFPR, 2007.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Avenida Sete de Setembro, 3165, Curitiba/PR
Tel. (41) 9642-3548 - mail: [email protected]
SANCHEZ, Walter D. Cruz, Doutor e Engenheiro Eletricista, UTFPR, 2007.
Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Avenida Sete de Setembro, 3165, Curitiba/PR
RESUMO
Atualmente há grandes exigências no que diz respeito à qualidade na Energia Elétrica fornecida,
de modo que para avaliar seus parâmetros qualitativos e fundamentar possíveis ações corretivas e preventivas
é necessário medir, e para medir é necessário que os equipamentos de medição estejam habilitados a obter
com boa acurácia os sinais que representam as grandezas elétricas. Com a utilização das Transformadas
Discretas de Fourier e técnicas de Processamento de Sinais, neste trabalho foram analisados e sintetizados
sinais simulados de um tipo típico de distúrbio momentâneo e temporário de tensão, o afundamento. Este
processamento foi realizado no programa Matlab e os resultados foram demonstrados e analisados.
1
INTRODUÇÃO
Seguindo a evolução da história da utilização da energia elétrica, percebemos nas últimas décadas
uma crescente preocupação com a qualidade da energia disponibilizada tanto a consumidores residenciais
como industriais. Preocupação justificada pela crescente utilização de equipamentos sensíveis às variações na
condição da energia elétrica, dos quais depende a maioria dos sistemas produtivos atuais bem como a
manutenção do modo de vida contemporâneo (DUGAN, 1996).
Na busca pela adequação às necessidades e normas estabelecidas faz-se necessário conhecer os
fenômenos e variáveis que influenciam nas características da energia elétrica. Por exemplo, a leitura de uma
forma de onda de uma fonte de tensão senoidal com parâmetros de amplitude e freqüência por um
osciloscópio. Assim, recai sobre equipamentos de medição e monitoramento uma grande responsabilidade, a
de retratar da forma mais real possível todas as características da grandeza monitorada. Sendo de extrema
importância este retrato para o estudo e síntese de problemas que poderão influenciar a qualidade de energia
elétrica.
A interpretação correta dos resultados obtidos por um equipamento que se propõe a monitorar os
sinais elétricos está diretamente ligada com o entendimento da metodologia utilizada pelo equipamento.
Diferentes métodos de cálculo e parametrização resultarão em diferentes respostas e consequentemente
diferentes interpretações. Conhecer os algoritmos utilizados para o processamento dos sinais, bem como as
diferentes respostas obtidas em cada tipo de parametrização é imprescindível quando se trata de monitorar
através de equipamentos de medição da qualidade da energia elétrica.
2
OBJETIVOS E METODOLOGIA
Este trabalho possui o objetivo principal de analisar e sintetizar sinais de variações de tensão não
estacionários de curta duração tipo afundamento de tensão, utilizando a Transformada Discreta de Fourier
através de simulação computacional de dados de variações de tensão obtidos experimentalmente, porém
também alguns outros objetivos secundários foram visados, tais como:
- Conhecer fundamento de teoria de qualidade de energia;
- Conhecer fundamentos de teoria de processamento analógico/digital de sinais;
- Conhecer fundamentos da teoria de variações de Tensão de Curta Duração;
- Entender a Transformada Discreta de Fourier e suas aplicações;
- Entender a Transformada de Fourier de Curto Tempo e suas aplicações;
- Conhecer a aplicação de processamento de sinais do software MATLAB;
- Levantar dados experimentais através de equipamento simulador e / ou circuito equivalente;
- Processar dados dos sinais obtidos;
- Representar no tempo/freqüência os sinais;
- Comparar amostras de sinais com a Transformada Discreta e a Transformada de Curto Tempo;
- Levantar espectros dos sinais de tensão;
- Interpretar espectros dos sinais de tensão.
A metodologia de pesquisa e desenvolvimento foi definida, implementada e ficou constituída das
seguintes etapas:
- Pesquisa teórica em literatura específica sobre qualidade de energia, processamento de sinais,
Transformadas de Fourier, Transformadas Discretas de Fourier de Curto e variações de tensão;
- Desenvolvimento de algoritmos para a simulação das Transformadas de Fourier;
- Contato com a indústria privada para permitir a utilização de uma fonte geradora de variações de
tensão;
- Coleta de dados em laboratório com equipamento de simulação de variações de tensão;
- Comparação ponto a ponto de espectros de sinais obtidos em diferentes algoritmos de
processamento de sinais de tensão amostrados.
3
QUALIDADE DE ENERGIA ELÉTRICA
3.1
CONCEITOS
Não existe uma única e absoluta definição para qualidade de energia. Existem padrões e normas
para definir os parâmetros considerados adequados para a energia elétrica fornecida, mas além desses
parâmetros pode-se entender que uma medida da qualidade da energia é o desempenho e a produtividade das
máquinas e equipamentos do usuário final. Portanto temos um conceito dinâmico e necessariamente em
constante revisão. A evolução tecnológica dos equipamentos precisa ser seguida de perto pela evolução da
energia elétrica que lhes será fornecida.
No módulo 8 dos Procedimentos de Distribuição - PRODIST de Fevereiro de 2006 (revisado em
agosto 2006) da Agência Nacional de Energia Elétrica, ANEEL, pode-se encontrar uma referência atual para
os padrões nacionais de Qualidade de Energia Elétrica e no item 2.2 desse documento temos a seguinte
definição:
“O termo conformidade de tensão elétrica se refere à comparação da tensão medida no ponto de
conexão em relação aos níveis de tensão especificados como adequados, precários e críticos.”
Conhecer as especificações, medir e alinhar os parâmetros e verificar constantemente os resultados é
o caminho da qualidade.
3.2
TIPOS DE DISTORÇÕES
As possibilidades de distorções da qualidade da energia elétrica são inúmeras, mas a seguir serão
citadas as principais distorções que são reconhecidas pela comunidade de estudiosos em Qualidade de Energia
e explanar e conceituada a distorção foco deste trabalho, que são as Variações de Tensão de Curta Duração
(DUGAN, 1996):
-Transitórios, Variações de Tensão de Longa Duração, Desequilíbrio de Tensão, Distorções na
Forma de Onda, Flutuações de Tensão, Variações de Freqüência Elétrica, Variação de Tensão de Curta
Duração, Variações de Tensão de Curta Duração.
3.2.1. Variações de Tensão de Curta Duração
As variações de tensão de curta duração são causadas por faltas, a entrada de uma grande carga
que requer altas correntes de partida, ou perdas de conexão intermitentes nos cabos de energia. Dependendo
da localização da falta e das condições do sistema, a falta pode causar um afundamento de tensão ou um pico
de tensão, ou ainda uma perda total de tensão (interrupção). A falta pode estar próxima ou não do ponto de
interesse, porém nos dois casos o impacto verificado na tensão durante a condição de falta é uma variação de
tensão de curta duração e se estenderá até a atuação dos dispositivos que isolam ou eliminam a falta
(DUGAN, 1996).
Dada à definição geral seguem abaixo especificações encontradas no PRODIST, Módulo 8 de
30/08/2006 sobre as variações de tensão de curta duração itens 7.4 até 7.6.
Tabela 3.1 - Classificação das Variações de Tensão de Curta Duração (AGENCIA NACIONAL
DE ENERGIA ELÉTRICA, 2006).
4
PROCESSAMENTO DE SINAIS
Quando existir o interesse em captar e armazenar os sinais emitidos por um evento qualquer, se
faz necessário projetar um sistema para interagir com este evento. Isto pode ser feito, por exemplo, através de
um sistema composto por componentes como resistores, capacitores, indutores, diodos, no qual o resultado
será representado por sinais elétricos analógicos. Todavia esta forma de representação inviabiliza sua
utilização digital, ou seja, não é possível realizar um tratamento computacional desde tipo de informação, pois
um sistema computacional é especialmente projetado para lidar com dados seqüenciais envolvendo números,
portanto, sinais discretos ou digitais. Muitos sinais tomados da natureza podem ser totalmente representados
por suas versões amostradas, que constituem sinais cujas amostras coincidem com os sinais originais no
tempo contínuo em determinados instantes de tempo. Se puder saber quão rápido a informação relevante
varia, podemos sempre amostrar a informação no tempo contínuo e convertê-la em informação no tempo
discreto.
Na figura 4.1 é possível visualizar um fluxograma básico utilizado para o processamento digital
de sinais de formar a tornar um sinal contínuo em um sinal que possa ser tratado computacionalmente. Nesta
figura as seguintes etapas são representadas:
-Amostragem do sinal contínuo;
-Janelamento, ou seja, tornar os sinal contínuo finito do tamanho desejado;
-Processamento pela Transformada Discreta de Fourier.
Sinal amostrado
janelado
H[n]
Sinal Filtrado
Amostrado
x[n]
Sinal Contínuo
x(t)
Conversor
análogico - digital
Filtro Digital
X
DFT do sinal Janelado
h[n]
DFT
Janelamento
w[n]
Figura 4.1 – Etapas básicas para processamento digital de um sinal contínuo (OPPENHEIM, 1999).
5
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER E A TRANSFORMA DISTRETA DE
FOURIER DE CURTO TEMPO
A Transformada Discreta de Fourier é uma seqüência finita de amostras, igualmente espaçadas na
freqüência da Transformada de Fourier de um sinal contínuo. Em adição a sua importância como uma
representação de Fourier para seqüências, a Transformada Discreta de Fourier tem papel importante na
implementação de diversos algoritmos para processamento de sinais digitais. Isso porque existem diversos
algoritmos bastante eficientes para computação de Transformadas Discretas de Fourier.
Considerando uma seqüência finita x[n] composta de N amostras de forma que x[n]=0 fora dos
limites 0 ≤ n ≤ N − 1 . Para cada seqüência finita, pode-se associar uma seqüência periódica conforme
abaixo:
~
x [n] =
∞
∑ x[n − rN ]
r = −∞
A seqüência finita x[n] pode ser extraída de
~
x [n ] conforme abaixo:
x [n],0 ≤ n ≤ N − 1
~
x[n] = 
0, caso contrário
Os coeficientes da serie discreta de Fourier de
~
x [n ] são amostras (espaçadas na freqüência de
2π N ) da transformada de Fourier de x[n]. Desde que se assuma que x[n] é finita de tamanho N, não há
sobreposição entre os termos x[n − rN ] para diferentes valores de r.
~
A seqüência de coeficientes X [k ] da série discreta de Fourier de uma seqüência periódica ~
x [n ]
é em si mesma uma seqüência periódica de período N. Para manter a dualidade entre os domínios do tempo e
da freqüência, escolhem-se os coeficientes de Fourier associados a uma seqüência finita para ser a seqüência
finita correspondente a um período de
~
X [k ] . Essa seqüência finita, X [k ], será denominada transformada
discreta de Fourier. Portanto a transformada discreta de Fourier é relacionada com os coeficientes da serie
discreta de Fourier,
~
X [k ] , por:
~
 X [k ],0 ≤ k ≤ N − 1
X [k ] = 
0, caso contrário
Genericamente a equação que representa a Transformada Discreta de Fourier é:
N −1
X [k ] = ∑ x[n]e j (2π
N )kn
n=0
Se houver a multiplicação de um sinal discretizado por uma janela finita w(n) e se esta janela
deslizar no tempo, para um sinal x[n] dado, a componente complexa na banda de freqüência k em um instante
de tempo n pode ser obtido através da Transformada Discreta de Curto de Tempo de Fourier, conforme
definição abaixo para k = 0,1,...,N-1:
X n (e jωk ) = ∑ x(m) w(n − m)e − jωk m
m
6
COLETA E PROCESSAMENTO DE DADOS EXPERIMENTAIS
Os dados experimentais foram coletados em duas fontes: Laboratório de Alta Tensão do Instituto
de Tecnologia para o Desenvolvimento – LACTEC, e Laboratório na Universidade Tecnológica Federal do
Paraná – UTFPR.
Em seguida os dados foram processados pela Transformadas Discretas de Fourier e pela
Transforma Discreta de Fourier de Curto Tempo, ambas programadas no programa Matlab.
Alguns dos resultados podem ser observados nos espectros apresentados abaixo.
Figura 6.1 – Espectro de Freqüência da Transformada Discreta de Fourier – Janela Blackman - Teste 21
Figura 6.2 – Plotagem Amplitude x Freqüência x Tempo – Janela Hamming -Teste 23
7
CONCLUSÕES
Os resultados obtidos foram analisados estatisticamente e é possível inferir que é bastante difícil
processar um sinal tipo Afundamento Momentâneo ou Temporário de Tensão usando a Transforma de Fourier
simples, visto que a mesma possui uma janela fixa e seria necessário posiciona-la exatamente sobre o
afundamento de tensão no momento que este ocorrer. Todavia, num sistema dinâmico não é possível prever
quando o distúrbio ocorrerá. Para resolver este impasse, precisaríamos de uma ferramenta que percorresse o
sinal ao longo o tempo, e é exatamente esta ação que Transformada de Fourier de Curto Tempo executa.
Neste trabalho também há discussão sobre diversas configurações da Transformada de Fourier de
Curto Tempo, tais como tamanho de sua janela, passo de deslocamento e tipo da janela, de modo que diversas
amostras coletadas experimentalmente foram processadas e seus resultados foram confrontados com suas
características previamente conhecidas. No total foram empregadas aproximadamente 11 horas no
processamento de 5 tipos de sinais, totalizando 256 processamentos.
Dos resultados obtidos pode-se observar que:
- Quanto maior a janela menor é o desvio percentual da amplitude processada, pois janelas que
contém menos de um ciclo, não identificarão a amplitude pico a pico do sinal;
- Não há diferença significativa no desvio percentual da amplitude para diferentes valores de overlap,
pois o deslocamento da janela é horizontal e não influencia grandezas com variação vertical;
- Janelas pequenas geram maior nível de ruídos que aumentam o percentual de desvio do período de
afundamento simulado;
- Quanto maior a janela menor será a precisão dos pontos inicial e final do afundamento, portanto o
desvio percentual do período é maior;
- Para overlaps maiores o desvio percentual do período do afundamento é maior, visto que quanto
maior for o passo, menos será a capacidade de detecção de variações;
- Quanto maior for a janela, menor será o desvio percentual do lobo da freqüência principal, pois
janelas maiores apresentam melhor resolução de informação da freqüência;
- Quanto menor for o overlap, menor será o desvio percentual do lobo da freqüência principal;
- Quanto mais próxima for a construção de uma janela da forma de onda senoidal, menor será o
desvio percentual do lobo da freqüência principal, no caso do sinal analisado ser também uma onda senoidal;
- Para janelas maiores há um crescimento do tempo de processamento;
- Na medida em que crescem a largura das janelas, haverá um crescimento do tempo de
processamento;
- Overlaps menores apresentam maior tempo de processamento;
Numa avaliação final do desempenho da STDFT indica que para o processamento dos sinais
senoidais a Janela de Blackman apresentou melhores resultados, seguidas das Janelas de Hammim, Janelas de
Hannim, sendo a Janela Retangular aquela que apresentou piores resultados.
No que diz respeito a largura das janelas, aquelas que continham mais de um ciclo e cuja largura era
menor que a largura do afundamento apresentaram melhores resultados.
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REFERÊNCIAS
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Elétrica no Sistema Elétrico Nacional – PRODIST – Módulo 8 – Qualidade da Energia Elétrica.
Disponível em <http://www.aneel.gov.br>. Acesso em: 18 março 2007.
BRIGHAM, E. Oran. The Fast Fourier Transformer. 1. ed. New Jersey, Ed. Prentice-Hall, Inc., 1974.
BOLLEN, Math H. J.; GU, Irene Y.H. Signal Processing of Power Quality Disturbances. 1. ed. New
Jersey, Ed. John Wiley & Songs, 2006.
CHAPMAN, Stephen J. Programação em Matlab para Engenheiros. 1. ed., Ed. Thomson Learning, 2003.
DINIZ, Paulo Sérgio Ramirez; SILVA, Eduardo A. Barros; NETTO, Sérgio Lima. Processamento Digital de
Sinais. 1. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2004.
DUGAN, Roger C.; MCGRANAGHAN, Mark F.; BEATY, H. Wayne. Electrical Power Systems Quality.
1. ed. New York: Ed. McGraw-Hill, 1996.
ELLIOTT, Douglas F.; RAO K. Ramamohan. Fast Transforms: Algorithms, Analyses, and Applications.
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HAYKIN, Simon; VEEN, Barry Van. Sinais e Sistemas. 1. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2001.
HAYKIN, Simon; VEEN, Barry Van. Sinais e Sistemas. 1. ed. Porto Alegre: Ed. Bookman, 2001.
INGLE, Vinay. K.; PROAKIS, John G. Digital Signal Processing . 1. ed. Boston, Ed. PWS Publishing
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OPPENHEIM, Alan V.; SCHAFER, Ronald W.; BUCK, John R. Discrete-Time Signal Processing . 1. ed.
New Jersey, Ed. Simon & Schuster, 1996.