Divisão de polinômios. - Imecc

Roteiro da aula
MA091 – Matemática básica
Aula 27 – Divisão de polinômios.
1
Divisão longa de polinômios
Francisco A. M. Gomes
2
Algoritmo de Ruffini
3
Exercı́cios
UNICAMP - IMECC
Maio de 2017
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP - IMECC)
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Divisão longa de polinômios
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Divisão longa de polinômios
Divisão exata de números naturais
Função polinomial
Função polinomial
Seja dado um número inteiro não negativo n, bem como os coeficientes
reais a0 , a1 , · · · , an , com an 6= 0. A função definida por
f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
Dividindo 315 por 21, obtemos
315
= 15
21
ou
315 21
0 15
O número que está sendo dividido (315) é o dividendo
é denominada função polinomial de grau n, com relação a x.
O número pelo qual se está dividindo (21) é chamado divisor
Exemplo:
O resultado da divisão (15) recebe o nome de quociente
5
4
3
2
f (x) = 3x − 6x + 2x − 5x + 4x − 8
A partir da equação acima, podemos escrever 315 = 21 × 15.
(Função polinomial de grau 5)
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Ou seja, se a divisão é exata, dividendo = divisor × quociente
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Divisão longa de polinômios
Divisão longa de polinômios
Divisão não exata de números naturais
Divisão de números naturais
Dividindo 315 por 22, obtemos
Divisão de números naturais
Se p é um número natural (o dividendo),
315 22
e d é um número natural (o divisor), com d ≤ p,
7 14
então existe um número inteiro q (o quociente),
Há um resto de 7 unidades
e um número natural r (o resto), com 0 ≤ r < q,
22 × 14 = 308, e faltam 7 unidades para atingir 315, ou seja,
de modo que
p = d · q + r.
315 = 22 × 14 + 7
Dividindo os dois lados por d, obtemos a forma alternativa
Dividindo os dois lados por 22, chegamos à equação
p
r
=q+ .
d
d
315
7
= 14 +
22
22
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Divisão longa de polinômios
Exemplo 1
Divisão de polinômios
Divisão de polinômios
Dados dois polinômios p(x) e d(x), o dividendo e o divisor,
Problema
podemos calcular p(x)/d(x) desde que
Dividir p(x) = x3 − 2x + 15 − 4x2 por d(x) = x − 3
d(x) 6= 0; e
Reescrevendo p(x) em ordem decrescente do grau dos monômios:
o grau de d(x) seja menor ou igual ao grau de p(x).
p(x) = x3 − 4x2 − 2x + 15
Nesse caso, existe um único polinômio q(x), o quociente,
e um único polinômio r(x), o resto, tais que
p(x) = d(x) q(x) + r(x)
ou
Montando o diagrama da divisão:
p(x)
r(x)
= q(x) +
,
d(x)
d(x)
x3 −4x2 −2x +15 x −3
e r(x) = 0 ou o grau de r(x) é menor que o grau de d(x).
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Divisão longa de polinômios
Exemplo 1:
Divisão longa de polinômios
[x3 − 2x + 15 − 4x2 ]/[x − 3]
Exemplo 1:
[x3 − 2x + 15 − 4x2 ]/[x − 3]
Primeira etapa da divisão
Primeira etapa da divisão
Multiplicando o termo encontrado, x2 pelo divisor d(x):
Monômio de maior grau de p(x) =
x3
−
4x2
Monômio de maior grau de d(x) = x − 3:
− 2x + 15:
x3
x2 (x − 3) = x3 − 3x2 .
x
Subtraindo esse polinômio do dividendo p(x):
Dividindo:
x3
x
= x2 .
x3 − 4x2 − 2x + 15 − (x3 − 3x2 ) = −x2 − 2x + 15
Passando para o diagrama:
Fazendo essa operação diretamente no diagrama:
x3 −4x2 −2x +15
x3 −4x2 −2x +15
x −3
−x3 +3x2
x2
x −3
x2
−x2 −2x +15
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Divisão longa de polinômios
Exemplo 1:
Exemplo 1:
Monômio de maior grau de −x2 − 2x + 15:
Monômio de maior grau de d(x) = x − 3:
[x3 − 2x + 15 − 4x2 ]/[x − 3]
Segunda etapa da divisão
Multiplicando o termo encontrado, −x pelo divisor d(x):
Segunda etapa da divisão
−x2
−x(x − 3) = −x2 + 3x.
x
Subtraindo esse polinômio de −x2 − 2x + 15:
−x2 − 2x + 15 − (−x2 + 3x) = −5x + 15
−x2
= −x.
x
Fazendo a operação diretamente no diagrama:
x3 −4x2 −2x +15
Passando para o diagrama:
x3 −4x2 −2x +15
−x3 +3x2
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Divisão longa de polinômios
[x3 − 2x + 15 − 4x2 ]/[x − 3]
Dividindo:
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−x3 +3x2
x −3
x −3
x2 −x
−x2 −2x +15
x2 − x
+x2 −3x
−x2 −2x +15
−5x +15
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Divisão longa de polinômios
Divisão longa de polinômios
Exemplo 1
Exemplo 1
Terceira etapa da divisão
Terceira etapa da divisão
Multiplicando −5 pelo divisor: −5(x − 3) = −5x + 15.
x3 −4x2 −2x +15
−x3 +3x2
Subtraindo o resultado do polinômio restante:
x −3
x3 −4x2 −2x +15
x2 −x −5
−x3 +3x2
−x2 −2x +15
x −3
x2 −x −5
−x2 −2x +15
+x2 −3x
+x2 −3x
−5x +15
−5x +15
Dividindo −5x por x:
−5x
= −5.
x
+5x −15
0
Como o resto é zero, terminamos o processo.
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Divisão longa de polinômios
Exemplo 1
Exemplo 2
Resumo
Problema
Querı́amos calcular a divisão de p(x) =
d(x) = x − 3
x3
− 2x + 15 −
4x2
Dividir p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 por d(x) = x2 − 2x + 1.
por
Incluindo o monômio que falta: p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 0x + 5
Como r(x) = 0, p(x) é divisı́vel por d(x).
3x4 −4x3 −2x2 +0x +5
Assim, podemos escrever
− 3x4 + 6x3 − 3x2
p(x) = q(x)d(x)
3x2 + 2x − 1
2x3 − 5x2 + 0x + 5
x3 − 4x2 − 2x + 15 = (x2 − x − 5)(x − 3)
− 2x3 + 4x2 − 2x
− x2 − 2x + 5
Equação equivalente:
p(x)
= q(x)
d(x)
x2 −2x +1
⇒
+ x2 − 2x + 1
x3 − 4x2 − 2x + 15
= x2 − x − 5
x−3
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− 4x + 6
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Algoritmo de Ruffini
Exemplo 2
Algoritmo de Ruffini
Resumo
Querı́amos calcular a divisão de p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 por
d(x) = x2 − 2x + 1
Algoritmo de Ruffini
Se o divisor tem a forma (x − a), em que a é um número real, podemos
calcular
p(x)
x−a
Como o resto, r(x) = −4x + 6, tem grau menor que o divisor,
d(x) = x2 − 2x + 1, paramos o processo.
Quociente: q(x) = 3x2 + 2x − 1
usando um algoritmo rápido, conhecido como método de Ruffini (ou
de Briot-Ruffini).
Equações
4
3
2
2
3x
2x + 1) (3x2 + 2x − 1) + (−4x + 6)
| − 4x {z− 2x + 5} = |(x − {z
}|
{z
} | {z }
p(x)
d(x)
q(x)
r(x)
Esse método é uma versão sintética do algoritmo anterior, para o caso
em que o divisor tem grau 1 e o coeficiente que multiplica x é igual a 1.
3x4 − 4x3 − 2x2 + 5
−4x + 6
= 3x2 + 2x − 1 + 2
.
2
x − 2x + 1
x − 2x + 1
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Algoritmo de Ruffini
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Algoritmo de Ruffini
Algoritmo de Ruffini
Exemplo 3
Diagrama usual
Problema
4x3 +3x2 −25x +1
x−2
3
2
−4x +8x
4x2 +11x −3
+11x2 −25x +1
−11x2 +22x
−3x +1
+3x −6
−5
Dividir p(x) = 4x3 + 3x2 − 25x + 1 por x − 2.
Confira se o divisor tem a forma x − a. No nosso caso, a = 2.
Copie o termo a na primeira linha do quadro, à esquerda do traço
vertical. Ainda na primeira linha, mas do lado direito do traço
vertical, copie os coeficientes do dividendo p(x).
2 4 3 −25 1
Diagrama de Ruffini
Coef. do divisor →
Coef. do quociente →
3 −25
1 ← Coef. do dividendo
8
22 −6
4 11 −3 −5 ← Resto
2 4
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Algoritmo de Ruffini
Algoritmo de Ruffini
Exemplo 3
Exemplo 3
Multiplique o coeficiente que você obteve pelo termo a, e escreva o
resultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso caso, o
produto é 4 × 2 = 8.
Copie na terceira linha o coeficiente do termo de maior grau de
p(x), que vale 4.
2 4 3 −25 1
8
4
2 4 3 −25 1
Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na
terceira linha. Em nosso problema, a soma é 3 + 8 = 11.
4
2 4
3 −25 1
8
4 11
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Algoritmo de Ruffini
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Algoritmo de Ruffini
Exemplo 3
Exemplo 3
Multiplique o coeficiente que você obteve pelo termo a, e escreva o
resultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso exemplo,
o produto é 11 × 2 = 22.
2 4
3 −25 1
8
4 11
2 4
2 4
22
−3
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22 −6
−3
3 −25
8
4 11
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1
Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na
terceira linha. Em nosso caso, a soma é 15 + (−6) = −5.
3 −25 1
8
4 11
3 −25
8
4 11
22
Some os dois termos da nova coluna, e anote o resultado na
terceira linha. Em nosso caso, a soma fornece −25 + 22 = −3.
2 4
Multiplique o coeficiente que você obteve pelo termo a, e escreva o
resultado na segunda linha da coluna seguinte. No nosso exemplo,
o produto é −3 × 2 = −6.
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1
22 −6
−3 −5
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Algoritmo de Ruffini
Algoritmo de Ruffini
Exemplo 3
Exemplo 4
Resumo
Problema
2 4
Como as colunas do quadro
acabaram, chegamos ao fim da
divisão.
3 −25
1
8
22 −6
4 11
−3 −5
Divida 2x4 − x3 − 12x2 − 25 por x + 3.
Completando o dividendo: p(x) = 2x4 − x3 − 12x2 + 0x − 25
O divisor é d(x) = x − a = x + 3, então a = −3
A última linha fornece os coeficientes do quociente, na ordem
decrescente de grau.
Diagrama inicial:
−3 2 −1 −12 0 −25
q(x) = 4x2 + 11x − 3.
O último elemento da terceira linha corresponde ao resto da
divisão:
r = −5.
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Exercı́cios
Exemplo 4
Exercı́cio 1
Diagrama final:
−3 2 −1 −12
−6
2 −7
0 −25
21 −27
9 −27
Problema
81
56
Dados p(x) = 2x3 − 3x2 + 6 e d(x) = x2 − 2,
Calcule o quociente q(x) e o resto r(x).
Quociente da divisão: q(x) = 2x3 − 7x2 + 9x − 27
Escreva
Resto: 56
p(x)
d(x)
= q(x) +
r(x)
d(x) .
Logo,
q(x) = 2x − 3. r(x) = 4x.
2x4 − x3 − 12x2 − 25 = (x + 3)(2x3 − 7x2 + 9x − 27) + 56,
ou
2x4 − x3 − 12x2 − 25
56
= 2x3 − 7x2 + 9x − 27 +
.
x+3
x+3
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 2
Exercı́cio 3
Problema
Problema
Dados p(x) =
6x2
Dados p(x) = 3x2 + 2x − 5 e d(x) = x − 2,
− 4x − 3 e d(x) = 3x − 5,
Calcule o quociente q(x) e o resto r(x).
Escreva
p(x)
d(x)
= q(x) +
Calcule o quociente q(x) e o resto r(x) usando o método de Ruffini.
r(x)
d(x) .
Escreva
q(x) = 2x + 2. r(x) = 7.
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Exercı́cios
Exercı́cio 4
Problema
Dados p(x) = x4 + 2x − 12 e d(x) = x + 2,
Calcule o quociente q(x) e o resto r(x) usando o método de Ruffini.
p(x)
d(x)
= q(x) +
= q(x) +
r(x)
d(x) .
q(x) = 3x + 8. r(x) = 11.
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Escreva
p(x)
d(x)
r(x)
d(x) .
q(x) = x3 − 2x2 + 4x − 6. r(x) = 0.
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