Lei de Gauss - clovisalmeida.xpg.com.br

Fluxo de um Campo Vetorial
O sentido positivo do vetor área (A) é considerado como o da
normal que sai de uma superfície fechada.
Fluxo de um Campo Vetorial
Φ = vA
Φ = vAcosθ
Φ = ∑v ⋅ A
Φ = v ⋅ A1 + v ⋅ A2 + v ⋅ A3 + v ⋅ A4 + v ⋅ A5
Φ = −v ⋅ A1 + 0 + v ⋅ A3 cosθ + 0 + 0 =
= −v ⋅ A1 + v ⋅ A3 cosθ = −v ⋅ A1 + v ⋅ A1
Φ=0
Fluxo de um Campo Elétrico
E
Substituindo-se o campo de velocidades por um campo elétrico
(E), teremos:
ΦE = ∑ E ⋅A N ⋅ m / C
2
Fluxo de um Campo Elétrico
Superfície fechada
genérica, dentro de
um campo elétrico
não uniforme.
(Elemento de área).
Fluxo de um Campo Elétrico
∑ E ⋅ ∆A
= ∫ E ⋅ dA
ΦE =
ΦE
Fluxo de um Campo Vetorial
Exercício:
Qual o valor do fluxo elétrico através da superfície
fechada acima?
Lei de Gauss
Enunciado qualitativo:
O número líquido de linhas de força que saem de uma superfície é
proporcional à carga elétrica líquida no interior da superfície.
Lei de Gauss
O número de linhas de
força que atravessam uma
superfície definem o
parâmetro denominado
“fluxo elétrico” (Φ).
ε 0Φ E = q
ou
ε 0 ∫ E ⋅ dA = q
Lei de Gauss e Lei de Coulomb
Exercício
A partir de uma superfície
gaussiana esférica, deduzir
a Lei da Coulomb a partir
da Lei de Gauss.
Condutor carregado isolado
Em um condutor isolado
não existem correntes
elétricas duradouras.
Assim, o campo elétrico
no interior de um
condutor isolado é nulo.
Eventuais correntes
momentâneas,
decorrentes de algum
processo de carga, logo
redistribuem as cargas
livres, as quais se
deslocam para a periferia
do condutor.
Condutor carregado isolado
ΦE = ∫ E⋅ dA = ∫ baseE ⋅ dA + ∫ baseE⋅ dA + ∫ corpoE ⋅ dA =
ext.
int.
ΦE = EA+ 0 + 0 = EA
Como
ε0ΦE = q
e substituindo ΦE e a cargaq(= σA), temos
ε0EA = σA
ou
E=
σ
ε0
cil.
Um Condutor Carregado Isolado
Ambas as superfícies
possuem cargas. Os
campos EE e ED
reforçam-se nos pontos A
e C e cancelam-se no
ponto B.
Linha Infinita de Cargas
ε 0 ∫ E ⋅ dA = q
ε 0 E ∫ dA = q
ε 0 E (2πrh ) = λh
∴
λ
E=
2πε 0 r
Lâmina Infinita de Cargas
ε 0 ∫ E ⋅ dA = q
ε 0 ( EA + EA) = σA
2ε 0 EA = σA
∴
σ
E=
2ε 0
Casca Esférica Carregada
Casca Esférica Carregada
ε0 ∫ E⋅ dA = q
ε0E∫ dA = q
ε0E(4πr ) = q
2
∴
1 q
E=
(casca esférica,r⟩R)
2
4πε0 r
Uma casca esférica uniformemente
carregada se comporta, em relação
a qualquer ponto externo, como se
toda a carga estivesse concentrada
no centro da casca.
Casca Esférica Carregada
ε0 ∫ E⋅ dA = q
ε0E∫ dA = q
ε0E(4πr2 ) = q
q = 0 (no interior da casca)
∴
E = 0 (casca esférica, r⟨ R)
Uma casca esférica uniformemente
carregada não exerce qualquer
força eletrostática sobre uma
partícula carregada colocada no
seu interior.
Distribuição de Carga Esfericamente Simétrica
As cargas são simétricas, porém a densidade volumétrica pode
variar com “r”, mas não em função de alguma coordenada angular.
Distribuição de Carga Esfericamente Simétrica
Os corpos não são condutores,
pois este fato faria com que as
cargas migrassem para a superfície.
A distribuição pode ser considerada
como um conjunto de casgas
delgadas concêntricas.
r⟩ R ⇒ E =
1
∫ dE = ∫
q
E =
2
4πε 0 r
dq
2
4πε 0 r
1
, sendo “r” constante e “q” a
carga total da esfera.
Distribuição de Carga Esfericamente Simétrica
Os corpos não são condutores,
pois este fato faria com que as
cargas migrassem para a superfície.
A distribuição pode ser considerada
como um conjunto de casgas
delgadas concêntricas.
r ⟨ R ⇒ ε 0 ∫ E ⋅ d A = ε 0 E ( 4π r 2 ) = q '
q ' , sendo “ q’ ” a porção de “q” dentro da esfera
∴E =
2 de raio “r”. A porção fora da esfera de raio
4πε 0 r
1
“r” não contribui para “E”.
Distribuição de Carga Esfericamente Simétrica
Para determinar “ q’ ”, é necessário
conhecer a densidade volumétrica
de cargas ρ (r) dentro da esfera de
raio “r”, cuja fração de carga é:
q '
=
q
E
E
=
=
1
4 πε
q '
2
r
0
1
4 πε
(
r )q
π
3
4
(
R )
π
3
4
0
r
2
4
4
3
3
=
3
3
(π r )
(π R )
3
3
1
4 πε
0
qr
R 3
Distribuição de Carga Esfericamente Simétrica
Variação, em função do raio “r”, do
campo elétrico criado por uma
distribuição volumétrica de cargas
de raio “R”.
N
Apenas para Válida para quaisquer
distribuições distribuições.
uniformes.
Um Condutor Carregado Isolado
Ambas as superfícies
possuem cargas. Os
campos EE e ED
reforçam-se nos pontos A
e C e cancelam-se no
ponto B.