Física I -2009/2010 - Moodle @ FCT-UNL

Física I -2009/2010
11a Série - Física dos Fluidos - Resolução
Questões:
Q1 - Se a parte superior da sua cabeça tiver uma área de 100 cm2 , qual é o peso do ar que se
encontra por cima da sua cabeça?
Q2 - Quando usa uma palhinha para beber um líquido, reduz a pressão na sua boca e permite que
a atmosfera faça mover o líquido. Explique o funcionamento deste processo. Poder-se-ia utilizar uma
palhinha para beber um refresco na Lua?
Q3 - Um barco viajará a maior altura no oceano ou num lago de água doce? Explique.
Q4 - O chumbo tem massa volúmica superior à do ferro e ambos são mais densos do que a água.
A impulsão num objecto de chumbo é maior, igual ou menor do que a impulsão num objecto de ferro
de igual volume quando ambos estão completamente mergulhados na água?
Q5 - O fumo sobe mais depressa numa chaminé quando o vento está forte. Justifique com base na
equação de Bernoulli.
Q6 - O fornecimento de água a uma cidade provém muitas vezes de depósitos colocados num ponto
alto. A água flui do reservatório, através dos canos, até à nossa casa quando abrimos uma torneira.
Porque é que a água corre mais rapidamente numa torneira do rés-do-chão do que numa torneira de
um andar superior?
Problemas:
P1 - Determine a pressão absoluta no fundo de um lago cuja profundidade é de 30 m.
Resolução: A pressão na superfície do lago é a pressão atmosférica. A diferença de pressão entre
um ponto na superfície do lago, p0 , e um ponto à profundidade de 30 m, p, pode ser obtida utilizando
o princípio fundamental da hidrostática:
p = p0 + ρgh,
em que ρ é a massa volúmica da água, g é a aceleração de gravidade e h é a diferença de altura entre os
dois pontos. Consequentemente, tomando p0 = patm = 1.01 × 105 Pa, em que utilizamos como unidade
de pressão o pascal (1 Pa = 1 N/ m2 ), e ρ = 1.00 × 103 kg/ m2 , temos
p = 1.01 × 105 N/ m2 + 1.00 × 103 kg/ m3 × 9.80 m/ s2 × 30 m
= 3.95 × 105 N/ m2 .
P2 - O pistão mais pequeno de um elevador hidráulico tem uma área de secção recta
de 3.00 cm2 , enquanto que o pistão maior tem uma área de 200 cm2 .Qual é a força que deve
ser aplicada no pistão pequeno para elevar um peso de 15.0 kN?
Resolução: Recorrendo ao princípio de Pascal, a pressão exercida num ponto de um fluido transmitese igualmente a qualquer ponto do fluido. Para elevar um peso de 15.0 kN precisamos de obter esta
1
força no pistão grande. Como a área deste é A = 2.00 × 10−2 m2 , a pressão extra necessária para
elevar o peso é
∆P
=
F
A
15 × 103 N
2.00 × 10−2 m2
= 7. 5 × 105 Pa.
=
Esta mesma pressão extra deve ser obtida exercendo uma força de módulo f no pistão pequeno, de
área a = 3.00 cm2 . Obtemos assim,
f
∆P =
a
ou
f
= a∆P
= 3.00 × 10−4 m2 × 7. 5 × 105 Pa
= 225 N.
P3 - A mola do manómetro da figura tem uma constante de força de 1000 N/ m, e o
pistão tem um diâmetro de 2.0 cm. Obtenha a profundidade da água para a qual a mola
fica comprimida de 0.50 cm.
Problema P3.
Resolução: A força exercida sobre o pistão é igual à pressão p da água vezes a área A do pistão:
pA = kx,
em que k é a constante da mola e x a distância de que esta é comprimida. A pressão em função da
profundidade h é obtida a partir do princípio fundamental da hidrostática
p = patm + ρgh,
em que patm é a pressão atmosférica, ρ é a massa volúmica da água, g é a aceleração de gravidade
e h é a profundidade da água. O manómetro está calibrado de modo que x = 0 quando p = patm .
Obtemos, assim,
ρghA = kx
ρghA = kx
kx
h =
ρgA
1000 N/ m × 0.50 × 10−2 m
¶
µ
0.02 m 2
3
3
2
1.00 × 10 kg/ m × 9.8 m/ s × π ×
2
= 1.62 m.
=
2
P4 - Um tubo em U de área de secção recta constante, aberto à atmosfera, está
parcialmente cheio de mercúrio. É vertida água em ambos os braços do tubo. Se a
configuração de equilíbrio do tubo é a que mostra a figura, com h2 = 1.00 cm, determine
o valor de h1 .
Problema P4.
Resolução: Se equacionarmos o valor da pressão ao nível da superfície de separação entre a água
e o mercúrio no braço esquerdo, calculado através dos dois braços obtemos,
patm + ρágua gh1 + ρágua gd + ρágua gh2 = patm + ρágua gd + ρmercúrio gh2 ,
em que d é a altura de água no braço direito. O membro esquerda da equação anterior dá-nos a
pressão no nível de separação da água e mercúrio no braço esquerdo do tubo e o lado direito dá-nos
a pressão ao meso nível no braço direito. Simplificando, obtemos
ρágua h1 + ρágua h2 = ρmercúrio h2
¡
¢
ρmercúrio − ρágua h2
h1 =
ρágua
13.6 × 103 kg/ m3 − 1.00 × 103 kg/ m3 −2
10 m
1.00 × 103 kg/ m3
= 12.6 cm.
=
P5 - Um cubo de madeira, com 20 cm de aresta e massa volúmica de 0.65 × 103 kg/ m3
flutua na água.
a) Qual é a distância desde a face superior do cubo até à superfície da água?
b) Qual a massa de chumbo que deve ser colocada sobre o cubo para que a superfície
superior deste fique ao nível da água? (Suponha que a superfície superior fica sempre
paralela à superfície da água).
Resolução:
a) O peso do cubo é equilibrado pela impulsão da água, isto é
ρcubo gV = ρágua gV 0 ,
em que ρcubo e V são, respectivamente, a massa volúmica e o volume do cubo, ρágua a massa volúmica
da água e V 0 o volume de cubo imerso na água. g é a aceleração da gravidade. O volume imerso é,
consequentemente,
ρcubo
V
V0 =
ρágua
0.65 × 103 kg/ m3
× (0.20 m)3
1.00 × 103 kg/ m3
= 5.2 × 10−3 m3 .
=
3
Se L é a aresta do cubo e d a distância da face superior deste até à água, o volume imerso é
V 0 = L2 (L − d)
ou
L3 − V 0
L2
(0.20 m)3 − 5.2 × 10−3 m3
=
(0.20 m)2
= 0.07 m
d =
= 7 cm.
b) O peso total do cubo e do chumbo deve ser numericamente igual ao da impulsão da água quando
o cubo está completamente mergulhado. Se P 0
é o peso de chumbo pedido, então
P 0 + ρcubo V g = ρágua V g,
de onde
¡
¢
ρágua − ρcubo V g
¢
¡
= 1.00 × 103 kg/ m3 − 0.65 × 103 kg/ m3 × (0.20 m)3 × 9.8 m/ s2
P0 =
= 27.4 N,.
que corresponde a uma massa de chumbo igual a
P0
g
27.4
=
9.8
= 2.8 kg.
m0 =
P6 - Uma bola de ping-pong tem diâmetro de 3.8 cm e massa volúmica média de
0.084 g/ cm3 . Qual é o módulo da força vertical necessária para a manter completamente
mergulhada na água?
Resolução: Mantida completamente debaixo de água, a bola está sujeita às seguintes forças, o peso
P , a impulsão da água I e a força F , isto é,
P + I + F = 0,
Considerando um eixo de referência vertical apontando para baixo, obtemps a equação escalar
F +P −I =0
ou
F
= I −P
= ρágua gV − ρbola gV,
4
em que ρágua e ρbola são as massas volúmicas, respectivamente, da água e da bola, g é a aceleração da
µ ¶3
d
4
gravidade e V é o volume da bola. Se d é o diâmetro da bola, então V = π
3
2
¡
¢
F = ρágua − ρbola gV
¢
¡
4
= 1.00 × 103 kg/ m3 − 84 kg/ m3 × 9.8 m/ s2 × π × (0.019 m)3
3
= 0.258 N.
P7 - Um balão leve cheio de hélio com massa volúmica 0.180 kg/ m3 está atado a um
fio sem massa de comprimento L = 3.00 m. O fio está atado ao solo, formando um pêndulo
simples invertido, como mostra a figura ??a. Se o balão for deslocado ligeiramente do
equilíbrio, como na figura ??b,
a) Mostre que o movimento subsequente é harmónico simples;
b) Determine o período do movimento. Suponha que a massa volúmica do ar é
1.29 kg/ m3 , e ignore perdas de energia devidas ao atrito do ar.
Problema P7.
Resolução: As forças que se exercem no balão são:
a) A impulsão do ar, I; o peso do balão, P , e a tensão do fio, T . A 2.a lei de Newton aplicada ao
balão traduz-se na equação
I + P + T = ma,
em que m é a massa do balão e a a sua aceleração. A trajectória do balão vai ser circular, de raio
L, centrada no ponto em que o fio está ligado ao solo. Escolhendo um sistema de referência em que
um dos eixos é radial e o outro é tangente à trajectória, a equação escalar correspondente 2.a lei de
Newton, no que se refere às projecções no eixo tangente à trajectória é (ver figura seguinte)
5
Problema P7
d2 s
,
dt2
em que s = Lθ. s é o arco de circunferência de raio l correspondente ao ângulo ao centro θ. Podemos,
então, escrever esta última equação na forma
− (I − P ) sin θ = m
mL
d2 θ
+ (I − P ) sin θ = 0.
dt2
Para pequenos valores de θ, verifica-se
pelo que a equação assume a forma
sin θ ' θ,
d2 θ
+ (I − P ) θ = 0. para pequenos valores de θ.
dt2
Esta equação corresponde a um movimento oscilatório harmónico simples.
b) A partir da equação obtida da alínea anterior, concluimos que a frequência angular do movimento
é
r
I −P
ω =
mL
s
(ρar − ρHe ) gV
=
ρHe V L
s
(ρar − ρHe ) g
.
=
ρHe L
mL
O período do movimento é
T
=
2π
ωs
= 2π
s
ρHe L
(ρar − ρHe ) g
0.180 kg/ m3 × 3.00 m
(1.29 kg/ m3 − 0.180 kg/ m3 ) × 10 m/ s2
= 1.39 s
= 2π
6
P8 - Na parede de um depósito de água muito grande surge um pequeno orifício,
a uma profundidade de 16 m. Se a taxa de fluxo da saída de água é 2.5 × 10−3 m3 / min,
determine:
a) A velocidade a que a água passa no orifício;
b) O diâmetro do orifício.
Resolução: Aplicamos a equação de Bernoulli a um ponto (P1 ) na superfície livre da água no
depósito e a outro ponto (P2 ) no centro de orifício:
1
1
p1 + ρgy1 + ρv12 = p2 + ρgy2 + ρv22 ,
2
2
em que pi e vi representam a pressão e a velocidade da água no ponto Pi , yi é o nível do ponto Pi
(em relação a um nível de referência), ρ é a massa volúmica da água e g é a aceleração da gravidade.
Neste caso, p1 = p2 = patm e v1 ' 0 m/ s (como o depósito é grande, a velocidade de um ponto do
líquido à superfície é muito pequena. Obtemos, assim,
1
ρgy1 = ρgy2 + ρv22
2
p
v2 =
2g (y2− y1 )
p
2 × 9.8 m/ s2 × 16 m
=
= 17.7 m/ s.
b) Se A é área do orifício no tanque, a taxa de fluxo de saída de água (volume de água que sai por
unidade de tempo) é
Q = vA,
de onde, utilizando A = π
d2
, em que d é o diâmetro do orifício, obtemos
4
µ
¶1
4Q 2
d =
,
πv
⎛
⎞1
2.5 × 10−3 m3 / min 2
⎜4 ×
⎟
60 s/ min
⎟
= ⎜
⎝
⎠
π × 17.7 m/ s
= 1.73 × 10−3 m
= 1.73 mm.
P9 - A água flui numa mangueira horizontal com 6.35 cm de diâmetro, à taxa de
0.0120 m3 / s. A mangueira possui um bico na extremidade com um diâmetro interior de
2.20 cm. Qual é o módulo da velocidade da água à saída do bico da mangueira?
Resolução: Seja v1 o módulo da velocidade da água num ponto da mangueira e v2 a velocidade da
água no bico da mangueira. Então, a equação da continuidade escreve-se na forma:
ρA1 v1 = ρA2 v2 ,
em que ρ é a massa volúmica da água, A1 é a área da secção recta da mangueira e A2 é a área da
secção recta do interior do bico da mangueira. Obtemos, assim,
A1 v1 = A2 v2
= 0.0120 m3 / s
7
ou
0.0120 m3 / s
,
d2
π
4
em que d2 é o diâmetro interior do bico da mangueira.
v2 =
v2 =
¡
0.0120 m3 / s
¢2
2.20 × 10−2 m
π
4
= 31.6 m/ s.
P10 - Um tanque grande está cheio até à altura h0 . Se se fizer um orifício na parede
do tanque a uma altura h a contar do fundo, a que distância o jacto de água tocará no
solo?
Problema P10
Resolução: A velocidade da água ao passa no orifício é (Problema 8-a):
p
v = 2g (h0 − h).
Num referencial com origem na base da parede do tanque em que se encontra o orifício, e com o eixo
dos x apontando para a direita e o eixo dos y para cima, as equações do movimento de uma partícula
de água após passar o orifício são
x = vt
1
y = h − gt2 ,
2
A distância a partir do tanque a que a água toca no solo é o valor de x correspondente a y = 0.
Obtemos da 2.a equação
2h
,
t2 =
g
que, substituindo na primeira equação, conduz a
s
2h
x = v
g
s
2h
2g (h0 − h)
=
g
p
= 2 h (h0 − h).
8