puc-rio –– cb-ctc g1 - fis 1041 - fluidos e termodinâmica 06/04/2011

PUC-RIO –– CB-CTC
G1 - FIS 1041 - FLUIDOS E TERMODINÂMICA
06/04/2011
Nome:__________________________________________________________
Matrícula:_______________________________________Turma:___________
Questão
Valor
1a
3,5
2a
3,0
3a
3,5
Total
10,0
Grau
Revisão
po = 1,0 x 105 Pa ( pressão atmosférica); g = 10 m / s2 ; ρ água = 1.0 ×103 kg/m3
S circulo = πr2 ; S esfera = 4πr2 ; Vesfera = 4/3 π r3 ; 1 m3 = 1000 L
ρ=m/V;
p = po+ ρgh
dm / dt = ρAv = cte ;
p+
;
FE = ρgVLiquido
R = Av .
1 2
ρv + ρgy = constante
2
T = 2π/ω;
f = 1/T Hz; F = −kx;
x = xmax cos( ωt + φo) ;
v = dx / dt ;
ω2 = k / m
a = dv / dt
O tempo de prova é de 1 h 50 min. Mantenha o celular desligado e seu documento de
identidade sobre a carteira: ele poderá ser solicitado.
É permitido usar calculadora não programável.
As respostas sem justificativas não serão computadas.
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1ª Questão (3,5)
Uma esfera de material plástico rígido e hermeticamente fechada, de massa M = 200 g e raio R
= 20 cm, contém balas doces no seu interior, cada uma pesando em média 10 g. Quando a
esfera com balas é colocada numa piscina de água (ρa = 1,0 x 103 kg/m3), ela flutua com 1/10
do seu volume submerso.
A) Calcule quantas balas há aproximadamente no seu interior? (1,0)
R: Considerando um eixo vertical y positivo para baixo, a componente y da força resultante é:
Mg + N m g – 1/10 Vesf ρágua g = 0, onde N é o número de balas
Æ N = (1/10 Vesf x ρágua - M)/m = (4 π 0,23 103/30 -0,2 )/0,01 ≈ (3,35 - 0,2)/0,01 ≈ 315
B) Ache a força externa mínima que deve ser exercida sobre a esfera com balas para que
fique com metade do seu volume imerso. (1,0)
R: Mg + N m g – 1/2 Vesf ρágua g + Fext = 0 Æ Fext = -(Mg + N m g) + 1/2 Vesf ρágua g
Fext = − 1/10 Vesf ρágua g +1/2 Vesf ρágua g = 2/5 Vesf ρágua g = 0,4 x 4 π 0,23 104/3 N ≈ 134 N
C) Na situação do item B, quando metade do volume está imerso, calcule a pressão no ponto
mais baixo da esfera. (1,0)
R: p = patm + ρágua g h,
onde h = R = 0,2 m
Æ
p = (105 + 103 x 10 x 0,2) Pa = 1,02 x 105 Pa
D) Calcule também a aceleração da bola se a força externa do item B for removida. (0,5)
R: no instante em que a força é removida
ay = − Fext/mtotal = − Fext/(M+Nm) = −134 / (0,2 + 315x0,01) m/s2 = − 40 m/s2 = − 4 g
(o eixo y foi definido positivo para baixo)
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2ª Questão (3,0)
A) Considere a tubulação da figura ao lado pela qual
escoa laminarmente um líquido de densidade ρ =
0,8 g/cm3.
y
No ponto 1, a velocidade é v1 = 1 m/s, e no ponto 2
o líquido sai para o exterior, a pressão atmosférica.
As seções transversais são A1 = 5 A2 = 1cm2. O
ponto 2 encontra-se a H = 30 cm acima do ponto 1.
A.1) Determine a velocidade de saída v2. (0,5)
R: Por conservação da vazão v2A2 = v1A1
v2=v1 A1/A2 = 5 v1 = 5 m/s
Æ
A.2) Calcule a pressão no ponto 1. (1,0)
R: Usando a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 2:
1
/2 ρ v12+ ρ g y1+p1=1/2 ρ v22+ ρ g y2+p2 , onde ρ = 0,8 g/cm3 = 0,8 x103 kg/m3, y2-y1=H=0,3m,
v2=5v1 =5m/s e p2=patm =105 Pa Æ 1/2 ρ v12 +p1 =1/2 ρ 25v12+ ρgH +patm
Æ p1 =patm+ 1/2 ρ 24 v12 +ρgH = 105 + 0,8 103(12+3) =1,12 X105 Pa
B) Considere o sifão da figura ao lado. O
recipiente é preenchido com água. A área da
base do recipiente é muito maior que a da
seção transversal do tubo (uniforme). A água
sai do tubo para o exterior, em 2, com
velocidade v2= 3 m/s. A distância d1 indicada
na figura é d1 = 20 cm.
x
3
B.1) Determine a distância d2. (0,5)
RESP: Usando a equação de Bernoulli, para o ponto 2 e um ponto 3 na superfície:
1
/2 ρ v32+ ρ g h3+p3=1/2 ρ v22+ ρ g h2+p2 , onde ρ = 103 Kg/m3, v2=3 m/s, v3=0, p2=p3=patm =105 Pa
e h3-h2=+d2, Æ ρ g d2 = 1/2 ρ v22 Æ d2 = v22/(2g)= 0,45 m
B.2) Calcule a pressão em 1. (0,5) Qual a distância máxima d1 para que o sifão funcione? (0,5)
R: Usando a equação de Bernoulli, para os pontos 1 e 2, e considerando que por conservação
da vazão v1=v2 (já que o tubo é uniforme):
ρ g y1+p1= ρ g y2+patm .
Sendo y1-y2 = d1+d2 Æ p1 = patm − ρ g (d1+d2) = 105 Pa - 103x10x(0,65) Pa = 0,935 105 Pa.
Alternativamente, usando os pontos 1 e 3:
p1= patm - ρgd1 -1/2 ρ v22 = 0,935 105 Pa.
p1 + ρgd1+1/2 ρ v12= patm Æ
Com a condição p1 > 0 Æ d1 + d2 < patm/( ρ g) Æ d1 < 105-4 m – 0,45 m = 9,55 m
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3ª Questão – (3,5 pontos)
O gráfico ao lado representa a posição
como função do tempo do movimento de
um objeto preso a uma mola (de
constante elástica k = 100 N/m), oscilando
com movimento harmônico simples.
A) Encontre a elongação máxima (xm) e a frequência angular (ω) desse movimento. (0,7)
R: Observando-se o gráfico vê-se que o valor máximo de x(t) é: xmáx = 0,08 m.
Nota-se também que o gráfico da função se repete após 0,4 s: T = 0,6 – 0,2 = 0,4 s.
ω = 2π/T = 6,28/0,4 = 15,7 rad/s ou ω = 5π rad/s.
B) Determine a massa do objeto e o valor da força máxima exercida pela mola sobre ele. (0,7)
R:
ω2 = k/m Æ m = k/ ω2 Æ m = 100/246,49 = 0,406 kg.
Fmáx = k.xmáx = 100 x 0,08 = 8,00 N.
C) Escreva uma expressão literal para a função x(t) e escreva os valores numéricos de todos
os parâmetros nessa expressão. (0,7)
R: x(t) = xm .cos(ωt + φ) Æ Como x(0) = xm, cos(φ)=1, → φ = 0, 2π... Consideraremos o
primeiro valor φ = 0.
x(t) = 0,08.cos(5πt)
(m,s).
D) Calcule a velocidade máxima do corpo (vm) e determine o primeiro instante no qual esse
valor, em módulo, ocorre. (0,7)
R:
v(t) = dx/dt = − ωxm.sen(ωt + φ) = − 5πx0,08.sen(5πt) Æ vmáx = ωxm
Æ
vmáx = 15,7 x 0,08 m/s Æ vmáx = 1,26 m/s.
Pelo gráfico a maior inclinação da tangente à curva x(t) ocorre primeiro em t = 0,1 s.
Outra modo de obter t1 é: sen(5πt1) = 1 Æ 5πt1 = π/2 Æ t1 = 1/10 = 0,1 s.
E) Calcule o primeiro instante em que valor da energia cinética do corpo coincide com o da
energia potencial. (0,7)
R: K (ta) = U (ta) Æ m.v(t)2/2 = k.x(t)2/2 Æ (k.xm2 /2).[sen(5πta)]2 = (k.xm2 /2).[cos(5πta)]2 Æ
[sen(5πta)]2 = [cos(5πta)]2 Æ 5πta = π/4 Æ ta = 1/20 = 0,05 s.