2007_05_04_Matematic..

INSS – Técnico Judiciário
Prof. Anderson Conceição
Proporção contínua
Considere a seguinte proporção:
Observe que os seus meios são iguais, sendo, por
isso, denominada proporção contínua. Assim:
- Proporção contínua é toda a proporção que
apresenta os meios iguais.
De um modo geral, uma proporção contínua pode
ser representada por:
Terceira proporcional
Dados dois números naturais a e b, nãonulos, denomina-se terceira proporcional desses
números o número x tal que:
Propriedades das proporções
1ª propriedade:
Considerando :
=
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos
está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois
últimos está para o 4º (ou 3º).
ou
2ª propriedade:
Considerando :
=
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros
termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a
diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
ou
4ª propriedade:
Considerando:
=
Numa proporção, a diferença dos antecedentes está
para a diferença dos conseqüentes, assim como cada
antecedente está para o seu conseqüente.
Grandezas
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser
medido, contado. As grandezas podem ter suas
medidas aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa,
a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade,
o tempo, o custo e a produção.
É comum em nosso dia-a-dia situações em que
relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:
“Para percorrer esses 20 Km de carro, quanto menor
for a velocidade mais tempo levarei”.
Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido de
acordo com a tabela abaixo:
Tempo
(minutos)
Produção (Kg)
5
100
10
200
15
300
20
400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a
outra. Essas grandezas são variáveis dependentes.
Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção
também duplica.
5 min ----> 100Kg
10 min ----> 200Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também
triplica.
5 min ----> 100Kg
15 min ----> 300Kg
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são
diretamente proporcionais quando a razão entre os
valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores
correspondentes da 2ª
Grandezas inversamente proporcionais
Um ciclista faz um treino para a prova de "1000
metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma
velocidade constante e obtendo, assim, um tempo
correspondente, conforme a tabela abaixo
3ª propriedade:
Considerando :
Matemática - 02
=
Numa proporção, a soma dos antecedentes está
para a soma dos conseqüentes, assim como cada
antecedente está para o seu conseqüente.
Atualizada 01/06/2005
Velocidade
(m/s)
Tempo (s)
5
200
8
125
10
100
16
62,5
20
50
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Observe que uma grandeza varia de acordo com a
outra. Essas grandezas são variáveis dependentes.
Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica
reduzido à metade.
5 m/s ----> 200s
10 m/s ----> 100s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica
reduzido à quarta parte.
5 m/s ----> 200s
20 m/s ----> 50s
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são
inversamente proporcionais quando a razão entre os
valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre
os valores correspondentes da 2ª.
Exercícios:
01. Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20 segundos.
Admitindo que as gotas tenham sempre volume igual
a 0,2ml, determine o volume de água que vaza por
hora.
a) Vazam 250 ml de água.
b) Vazam 251 ml de água.
c) Vazam 252 ml de água.
d) Vazam 253 ml de água.
e) Vazam 254 ml de água.
02. Um supermercado vende produtos com pesos e
preços diferentes conforme os quadros I e II a seguir.
Matemática - 02
03. O gráfico a seguir, publicado pela Folha de São
Paulo em 9/7/94, traz o resultado de uma pesquisa
para detectar a existência de chumbo em safras de
um vinho francês.
Os números encontrados estão expressos em
picogramas por grama de vinho. Um picograma equivale
-12
a 10
gramas. Suponhamos que a massa de 1 litro
desse vinho seja igual a 1 kg. Nessas condições,
determine a concentração aproximada de chumbo, em
miligramas, numa garrafa de 750 ml, safra de 1984.
a) 250 . 10 ª mg/g
b) 260 . 10 ª mg/g
c) 270 . 10 ª mg/g
d) 280 . 10 ª mg/g
e) 290 . 10 ª mg/g
04. Uma universidade tem 1 professor para cada 6
alunos e 3 funcionários para cada 10 professores.
Determine o número de alunos por funcionário.
a) 17 alunos por funcionário
b) 18 alunos por funcionário
c) 19 alunos por funcionário
d) 20 alunos por funcionário
e) 21 alunos por funcionário
Esse supermercado está com uma promoção na qual os
produtos do quadro I estão sendo vendidos com desconto
de 15% sobre o preço de tabela. Um consumidor deseja
adquirir uma embalagem de cada produto e acredita que
"está em vantagem" quando compra maior quantidade,
em gramas, de determinado produto gastando menos.
Nessas condições, considere as afirmativas a seguir.
I) Esse consumidor terá vantagem se comprar o
achocolatado da promoção.
II) Esse consumidor terá vantagem se comprar o pacote
com 500g de farinha.
III) Esse consumidor terá vantagem se comprar o arroz
da promoção.
IV) Esse consumidor terá vantagem se comprar o pacote
com 400 g de feijão.
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I e II.
b) I e III.
c) II e IV.
d) I, III e IV.
e) II, III e IV.
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Atualizada 01/06/2005
05. Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa
tomou a seguinte decisão: dividiria sua fortuna entre
sua filha, que estava grávida, e a prole resultante
dessa gravidez, dando a cada criança que fosse
nascer o dobro daquilo que caberia à mãe, se fosse
do sexo masculino, e o triplo daquilo que caberia à
mãe, se fosse do sexo feminino. Nasceram trigêmeos,
sendo dois meninos e uma menina. Como veio a ser
repartida a herança legada?
a) mãe 1/8 ; filho "1" 1/4 ; filho "2" 1/2 ; filha 3/8
b) mãe 1/8 ; filho "1" 1/4 ; filho "2" 1/4 ; filha 3/8
c) mãe 1/8 ; filho "1" 1/2 ; filho "2" 1/4 ; filha 3/8
d) mãe 1/2 ; filho "1" 1/4 ; filho "2" 1/2 ; filha 3/8
06. Segundo dados de um estudo, 100g de soja seca
contêm 35g de proteínas e 100g de lentilha seca
contêm 26g de proteínas. Suponhamos que uma
pessoa, objetivando ingerir 70g de proteínas por dia,
se alimentasse apenas com esses dois produtos. Se
num certo dia sua alimentação incluísse 140g de soja
seca, calcular a quantidade de lentilha que deveria
incluir.
a) 80,56 g de lentilha.
b) 80,66 g de lentilha.
c) 81,76 g de lentilha.
d) 80,86 g de lentilha.
e) 80,76 g de lentilha.
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07. Uma certa importância deve ser dividida entre 10
pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita
somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas
receberia R$5.000,00 a mais. Calcular a importância.
a) Cr$ 200.000,00
b) Cr$ 100.000,00
c) Cr$ 80.000,00
d) Cr$ 70.000,00
e) Cr$ 60.000,00
08. Sr. Hepaminondas deseja repartir R$ 3330,00
entre seus três sobrinhos em parcelas diretamente
proporcionais às suas idades. Sirtônio tem 15 anos,
Berfôncio tem 12 anos e Nastélia tem 10 anos.
Quantos reais cada um receberá?
a) R$ 1330; R$ 1060; R$ 900 reais para cada um.
b) R$ 1350; R$ 1080; R$ 800 reais para cada um.
c) R$ 1350; R$ 1080; R$ 900 reais para cada um.
d) R$ 1350; R$ 1080; R$ 700 reais para cada um.
e) R$ 1350; R$ 1090; R$ 900 reais para cada um.
09. Sejam x, y e z números reais inversamente
proporcionais
aos
números
1/2,
2
e
6,
respectivamente. Se x+y+z=128, então:
a) x = 8
b) y = 12
c) y = 20
d) z = 92
e) x = 96
10. Uma mina d'água localiza-se na divisa de dois
sítios. Os dois proprietários, Sr. Edson e Sr. José,
resolveram construir, na saída da mina, uma caixa de
água coberta e vão dividir as despesas entre si, em
partes inversamente proporcionais às distâncias de
suas casas em relação à mina. Se as despesas
totalizarem R$5.600,00 e se as casas do Sr. Edson e
do Sr. José distam, respectivamente, 5km e 3km da
mina, então a parte da despesa que caberá ao Sr.
Edson é
a) R$ 1.900,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 3.100,00
e) R$ 3.500,00
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para
resolver problemas que envolvam quatro valores dos
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto,
determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos que são utilizados numa regra de três
simples:
- Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas, mantendo na mesma linha
as
grandezas
de
espécies
diferentes
em
correspondência.
- Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
- Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
- Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m
do mesmo tecido?
Atualizada 01/06/2005
Matemática - 02
Observe que as grandezas são diretamente
proporcionais, aumentando o metro do tecido aumenta na
mesma proporção o preço a ser pago.
Observe que o exercício foi montado respeitando o
sentido das setas. A quantia a ser paga é de R$234,00.
- Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso
em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80 km/h,
em quantas horas seria feito o mesmo percurso?
Observe que as grandezas são inversamente
proporcionais, aumentando a velocidade o tempo diminui
na razão inversa. Resolução:
Observe que o exercício foi montado respeitando os
sentidos das setas.
Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas
com mais de duas grandezas, direta ou inversamente
proporcionais.
Exemplo:
3
- Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m de
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários
3
para descarregar 125m ?
Aumentando o número de horas de trabalho,
podemos diminuir o número de caminhões.
Portanto a relação é inversamente proporcional (seta
para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar
o número de caminhões. Portanto a relação é
diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o
produto das outras razões de acordo com o sentido das
setas. Resolução:
Exercícios
01. Uma revista foi impressa com 100 páginas, tendo
36 linhas por página. Se a revista for impressa com
16 linhas a menos em cada página, qual será o
número de páginas?
a) 170 páginas
b) 180 páginas
c) 190 páginas
d) 195 páginas
e) 280 páginas
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02. 3000 insetos destroem uma lavoura em 18 horas.
Em quantas horas 3600 insetos destruiriam a mesma
lavoura?
a) 12 horas
b) 13 horas
c) 14 horas
d) 15 horas
e) 16 horas
03. Uma empresa tem 750 empregados e comprou
marmitas individuais para o almoço durante 25 dias.
Se essa empresa tivesse mais de 500 empregados, a
quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente
para um número de dias igual a:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
04. Dois guindastes, trabalhando juntos, descarregam
um navio em 6 horas. Trabalhando em separado,
sabendo-se que um deles pode descarregar o navio
em 5 horas menos que o outro, quantas horas levaria
cada um?
a) 5 e 10
b) 11 e 16
c) 10 e 15
d) 3 e 8
e) 6 e 11
05.
Para
simular
um
movimento,
um
microcomputador projeta imagens na tela à
"velocidade" de uma imagem a cada décimo de
segundo. Assim, quantas imagens são projetadas a
cada minuto?
a) 60
b) 3.600
c) 600
d) 10
e) 6.000
06. Em 10 minutos, 27 secretárias com a mesma
habilidade digitou o equivalente a 324 páginas. Nas
mesmas condições, se o número de secretárias fosse
50, em quantos minutos teoricamente elas digitaram
600 páginas?
a) 10 minutos.
b) 45 minutos.
c) 5 minutos.
d) 5 minutos e 24 segundos.
e) 34 minutos e 29 segundos.
07. Se 10 operários gastam 12 dias para abrir um
canal de 20m de comprimento, 16 operários, para
abrir um canal de 24m de comprimento, gastarão:
a) 1/3 do mês
b) 2/5 do mês
c) 1/2 do mês
d) 3/10 do mês
08. Certa máquina trabalhando 5 horas por dia produz
1200 peças em 3 dias. O número de horas que deverá
trabalhar no 6° dia para produzir 1840 peças, se o
regime de trabalho fosse 4 horas diárias seria:
a) 18 h
b) 3,75 h
c) 2 h
d) 3 h
e) nenhuma hora
4
Atualizada 01/06/2005
Matemática - 02
09. Sabe-se que 4 máquinas, operando em 4 horas
por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de
certo produto. Quantas toneladas do mesmo produto
seriam produzidos por 6 máquinas daquele tipo,
operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
a) 6
b) 8
c) 10,5
d) 13,5
e) 15
10. Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência,
são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se
operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às
primeiras operassem 10 horas por dia durante 10
dias, o número de peças produzidas seria:
a) 1000
b) 2000
c) 4000
d) 5000
e) 8000
Porcentagem
É frequente o uso de expressões que refletem
acréscimos ou reduções em preços, números ou
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.
Alguns exemplos:
- A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de
R$15,00
- O cliente recebeu um desconto de 10% em
todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi
dado um desconto de R$10,00
- Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no
Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100
denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras
formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas
centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos.
Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar
a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a
porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte
definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos
uma taxa percentual a um determinado valor.
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Exercícios
01. Uma loja vende seus artigos nas seguintes
condições: à vista com 30% de desconto sobre o
preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% de
acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que a
vista sai por CR$7.000,00 no cartão sairá por:
a) CR$ 13.000,00
b) CR$ 11.000,00
c) CR$ 10.010,00
d) CR$ 9.800,00
e) CR$ 7.700,00
02. Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de
venda de seus produtos deve ser no mínimo 44%
superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela
de preços de venda acrescentando 80% ao preço de
custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto
no momento da compra.
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao
cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter
prejuízo?
a) 10 %.
b) 15 %.
c) 20 %.
d) 25 %.
e) 36 %.
03. "Roubo de tênis cresce 166% em São Paulo" (notícia
da Folha de São Paulo, dia 03/11/94, quarta-feira).
O número de roubos de tênis aumentou 166% em São
Paulo: em 1993 (145 casos) e em 1994 (X casos).
Assim, o número de casos de 1994, é
aproximadamente de:
a) 241.
b) 400.
c) 386.
d) 240.
e) 300.
Matemática - 02
06. Sobre o preço de um carro importado incide um
imposto de importação de 30%. Em função disso, o
seu preço para o importador é de R$ 19.500,00.
Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%,
qual será, em reais, o novo preço do carro para o
importador?
a) R$ 22.500,00
b) R$ 24.000,00
c) R$ 25.350,00
d) R$ 31.200,00
e) R$ 39.000,00
07. Num grupo de 400 pessoas, 30% são homens e
65% das mulheres têm mais de 20 anos. Quantas
mulheres ainda não comemoraram seu 202
aniversário?
a) 260
b) 182
c) 120
d) 105
e) 98
08. Um pintor é contratado para pintar ambos os
lados de 50 placas quadradas com 40 centímetros de
lado. Depois que recebeu as placas verificou que os
lados das placas tinham 0,5 centímetro a mais.
Portanto, o aumento aproximado da porcentagem de
tinta a ser usada é:
a) 25%
b) 10%
c) 5%
d) 2,5%
e) 1,5%
04. Se um entre cada 320 habitantes de uma cidade é
engenheiro, então a porcentagem de engenheiros
nessa cidade é dada por:
a) 0,32 %
b) 3,2 %
c) 0,3215 %
d) 0,3125 %
e) 3,125 %
05. 95% da massa de uma melancia de 10kg é
constituída por água. A fruta é submetida a um
processo de desidratação (que elimina apenas água)
até que a participação da água na massa da melancia
se reduza a 90%. A massa da melancia após esse
processo de desidratação será igual a:
a) 5/9 kg
b) 9/5 kg
c) 5 kg
d) 9 kg
e) 9,5 kg
Atualizada 01/06/2005
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