2007_08_18_Matematic..

Teoria e Exercícios
1ª Parte
Mais de 360
aprovados na
Receita Federal em 2006
Prof. Anderson Conceição
Data de impressão: 18/08/2007
67 das 88 vagas no AFRF no PR/SC
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M A TERIA L D ID Á TIC O EXC LUSIV O PA RA A LUN O S D O C URSO A PRO V A Ç Ã O
INSS
Prof. Anderson Conceição
Matemática
Conjuntos Numéricos
IV) Números Irracionais
I) Números Naturais
- São aqueles que não podem ser expressos na
forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
-São compostos
periódicas.
II) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
por
dízimas
infinitas
não
Exs:
Todo número natural é inteiro, isto é, N é um
subconjunto de Z.
III) Números Racionais
V) Números Reais
- São aqueles que podem ser expressos na forma
a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b
diferente de 0.
- É a reunião do conjunto dos números irracionais
com o dos racionais.
Resumindo:
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z
com b diferente de 0 }.
Assim como exemplo podemos citar o –1/2, 1, 2,5.
-Números decimais exatos são racionais.
Pois, 0,1 = 1/10
2,3
=
23/10...
- Números decimais periódicos são racionais.
0,1111... = 1/9
Exercícios
0,3232 ...= 32/99
1 - A divisão de um certo número inteiro positivo N
por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão
de N+2000 pelo mesmo número 1994.
2,3333 ...= 21/9
0,2111 ...= 19/90
-Toda dízima periódica 0,9999 ... 9... é uma outra
representação do número 1.
2 - Os números x e y são tais que 5 x 10 e
20 y 30. O maior valor possível de x/y é
a) 1/6
b) 1/4
c) 1/3
d) 1/2
e) 1
3 - Sendo A={2,3,5,6,9,13} e B = {ab/a A, b A e
a b}. O número de elementos de B que são
números pares é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 13
Atualizada 01/06/2005
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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4 - O produto de dois números inteiros positivos,
que não são primos entre si, é igual a 825. Então o
máximo divisor comum desses dois números é:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 11
e) 15
5 - A soma de n números é igual a 2000. Se a cada
um deles acrescentarmos 20 e somarmos os
resultados assim obtidos, a nova soma será 5000.
Determine o número n de parcelas.
6– a
figura
adiante, estão
representados
geometricamente os números reais 0, x, y e 1.
Matemática
CR$1.200,00. O número
COMPRARAM a bicicleta é
a) uma potência de 7.
b) uma potência de 5
c) uma potência de 2.
d) um divisor de 9.
e) uma potência de 11.
de
rapazes
que
10 - João e Tomás partiram um bolo retangular.
João comeu a metade da terça parte e Tomás
comeu a terça parte da metade. Quem comeu
mais?
a) João, porque a metade é maior que a terça
parte.
b) Tomás.
c) Não se pode decidir porque não se conhece o
tamanho do bolo.
d) Os dois comeram a mesma quantidade de bolo.
e) Não se pode decidir porque o bolo não é
redondo.
Propriedades das proporções
1ª propriedade:
Qual a posição do número xy?
Considerando :
a) À esquerda de 0.
b) Entre 0 e x.
c) Entre x e y.
d) Entre y e 1.
e) À direita de 1.
=
Numa proporção, a soma dos dois primeiros
termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º
(ou 3º).
7 - Seja o número inteiro AB, onde A e B são
algarismos das dezenas e das unidades,
respectivamente. Invertendo-se a posição dos
algarismos A e B, obtém-se um número que excede
AB em 27 unidades. Se A + B é um quadrado
perfeito, então B é igual a
ou
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
8 - O MENOR número inteiro positivo que, ao ser
dividido por qualquer um dos números, dois, três,
cinco ou sete, deixa RESTO UM, é
Considerando :
a) 106
b) 210
c) 211
d) 420
e) 421
=
Numa proporção, a diferença dos dois
primeiros
termos
está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a diferença dos dois últimos está para
o 4º (ou 3º).
9 - Uma bicicleta de CR$28.000,00 deveria ser
comprada por um grupo de rapazes que
contribuiriam com quantias iguais.
Como três deles desistiram da compra, a quota de
cada um dos outros ficou aumentada em
2
2ª propriedade:
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ou
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Matemática
Obs.:
1) Uma razão de antecedente zero não possui
inversa.
3ª propriedade:
2) Para determinar a razão inversa de uma razão
dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.
Considerando :
=
Numa proporção, a soma dos antecedentes
está
para
a
soma
dos
conseqüentes,
assim como cada antecedente está para o seu
conseqüente.
Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões, ou
seja:
=
- a e d os extremos da proporção.
- b e c os meios da proporção.
Propriedade
4ª propriedade:
Considerando:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos.
=
Numa
proporção,
a
diferença
dos
antecedentes está para a diferença dos
conseqüentes, assim como cada antecedente está
para o seu conseqüente.
Razão
Denominamos de razão entre dois números a e b
(b diferente de zero) o quociente
Na razão a:b ou
ou a:b.
, o número a é denominado
antecedente e o número b é
conseqüente.
denominado de
Razões inversas
Duas razões são inversas entre si quando o
produto delas é igual a 1.
Exemplo:
Atualizada 01/06/2005
Grandezas
Entendemos por grandeza tudo aquilo que
pode ser medido, contado. As grandezas podem ter
suas medidas aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a
massa, a superfície, o comprimento, a capacidade,
a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
É comum em nosso dia-a-dia situações em
que relacionamos duas ou mais grandezas. Por
exemplo:
“Para percorrer esses 20 Km de carro, quanto
menor for a velocidade mais tempo levarei”.
Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido
de acordo com a tabela abaixo:
Tempo
(minutos)
Produção
(Kg)
5
100
10
200
15
300
20
400
Observe que uma grandeza varia de acordo
com a outra. Essas grandezas são variáveis
dependentes. Observe que:
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Quando duplicamos o tempo, a produção
também duplica.
5
min
10 min ----> 200Kg
---->
100Kg
Quando triplicamos o tempo, a produção
também triplica.
5
min
15 min ----> 300Kg
---->
100Kg
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são
diretamente proporcionais quando a razão entre
os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os
valores correspondentes da 2ª
Grandezas inversamente proporcionais
Um ciclista faz um treino para a prova de
"1000 metros contra o relógio", mantendo em cada
volta uma velocidade constante e obtendo, assim,
um tempo correspondente, conforme a tabela
abaixo
Velocidade
Tempo (s)
(m/s)
5
200
8
125
10
100
16
62,5
20
50
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica
reduzido à metade.
---->
200s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica
reduzido à quarta parte.
5
m/s
20 m/s ----> 50s
---->
200s
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são
inversamente proporcionais quando a razão
entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso
da razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Exercícios:
4
Atualizada 01/06/2005
1 - Uma torneira goteja 7 vezes a cada 20
segundos. Admitindo que as gotas tenham sempre
volume igual a 0,2ml, determine o volume de água
que vaza por hora.
a) Vazam 250 ml de água.
b) Vazam 251 ml de água.
c) Vazam 252 ml de água.
d) Vazam 253 ml de água.
e) Vazam 254 ml de água.
2 - Uma universidade tem 1 professor para cada 6
alunos e 3 funcionários para cada 10 professores.
Determine o número de alunos por funcionário.
a) 17 alunos por funcionário
b) 18 alunos por funcionário
c) 19 alunos por funcionário
d) 20 alunos por funcionário
e) 21 alunos por funcionário
3 - Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa
tomou a seguinte decisão: dividiria sua fortuna
entre sua filha, que estava grávida, e a prole
resultante dessa gravidez, dando a cada criança
que fosse nascer o dobro daquilo que caberia à
mãe, se fosse do sexo masculino, e o triplo daquilo
que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino.
Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma
menina. Como veio a ser repartida a herança
legada?
a) mãe 1/8 ; filho "1" 1/4 ; filho "2" 1/2 ; filha 3/8
b) mãe 1/8 ; filho "1" 1/4 ; filho "2" 1/4 ; filha 3/8
c) mãe 1/8 ; filho "1" 1/2 ; filho "2" 1/4 ; filha 3/8
d) mãe 1/2 ; filho "1" 1/4 ; filho "2" 1/2 ; filha 3/8
Observe que uma grandeza varia de acordo com a
outra.
Essas
grandezas
são
variáveis
dependentes. Observe que:
5
m/s
10 m/s ----> 100s
Matemática
4 - Segundo dados de um estudo, 100g de soja
seca contêm 35g de proteínas e 100g de lentilha
seca contêm 26g de proteínas. Suponhamos que
uma pessoa, objetivando ingerir 70g de proteínas
por dia, se alimentasse apenas com esses dois
produtos. Se num certo dia sua alimentação
incluísse 140g de soja seca, calcular a quantidade
de lentilha que deveria incluir.
a) 80,56 g de lentilha.
b) 80,66 g de lentilha.
c) 81,76 g de lentilha.
d) 80,86 g de lentilha.
e) 80,76 g de lentilha.
5 - Uma certa importância deve ser dividida entre
10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse
feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma
destas receberia R$5.000,00 a mais. Calcular a
importância.
a) Cr$ 200.000,00
b) Cr$ 100.000,00
c) Cr$ 80.000,00
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d) Cr$ 70.000,00
e) Cr$ 60.000,00
6 - Sr. Hepaminondas deseja repartir R$ 3330,00
entre seus três sobrinhos em parcelas diretamente
proporcionais às suas idades. Sirtônio tem 15 anos,
Berfôncio tem 12 anos e Nastélia tem 10 anos.
Quantos reais cada um receberá?
a) R$ 1330; R$ 1060; R$ 900 reais para cada um.
b) R$ 1350; R$ 1080; R$ 800 reais para cada um.
c) R$ 1350; R$ 1080; R$ 900 reais para cada um.
d) R$ 1350; R$ 1080; R$ 700 reais para cada um.
e) R$ 1350; R$ 1090; R$ 900 reais para cada um.
7 - Sejam x, y e z números reais inversamente
proporcionais aos números 1/2, 2 e 6,
respectivamente. Se x+y+z=128, então:
a) x = 8
b) y = 12
c) y = 20
d) z = 92
e) x = 96
Exemplos:
- Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço
de 12 m do mesmo tecido?
Observe que as grandezas são diretamente
proporcionais, aumentando o metro do tecido
aumenta na mesma proporção o preço a ser pago.
Observe que o exercício foi montado
respeitando o sentido das setas. A quantia a ser
paga é de R$234,00.
- Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo
percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro
fosse de 80 km/h, em quantas horas seria feito o
mesmo percurso?
8 - Uma mina d'água localiza-se na divisa de dois
sítios. Os dois proprietários, Sr. Edson e Sr. José,
resolveram construir, na saída da mina, uma caixa
de água coberta e vão dividir as despesas entre si,
em partes inversamente proporcionais às distâncias
de suas casas em relação à mina. Se as despesas
totalizarem R$5.600,00 e se as casas do Sr. Edson
e do Sr. José distam, respectivamente, 5km e 3km
da mina, então a parte da despesa que caberá ao
Sr. Edson é
a) R$ 1.900,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 3.100,00
e) R$ 3.500,00
Observe que as grandezas são inversamente
proporcionais, aumentando a velocidade o tempo
diminui na razão inversa. Resolução:
Observe que o exercício
respeitando os sentidos das setas.
foi
montado
Regra de Três Composta
A regra de três composta é utilizada em
problemas com mais de duas grandezas, direta ou
inversamente proporcionais.
Exemplo:
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático
para resolver problemas que envolvam quatro
valores dos quais conhecemos três deles.
Devemos, portanto, determinar um valor a partir
dos três já conhecidos.
Passos que são utilizados numa regra de três
simples:
- Construir uma tabela, agrupando as grandezas da
mesma espécie em colunas, mantendo na mesma
linha as grandezas de espécies diferentes em
correspondência.
- Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
- Montar a proporção e resolver a equação.
Atualizada 01/06/2005
Matemática
3
- Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m de
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão
necessários para descarregar 125m3?
Aumentando o número de horas de trabalho,
podemos diminuir o número de caminhões.
Portanto
a
relação
é
inversamente
proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
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Aumentando o volume de areia, devemos
aumentar o número de caminhões. Portanto a
relação é diretamente proporcional (seta para baixo
na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém
o termo x com o produto das outras razões de
acordo com o sentido das setas. Resolução:
Exercícios:
1 - Uma revista foi impressa com 100 páginas,
tendo 36 linhas por página. Se a revista for
impressa com 16 linhas a menos em cada página,
qual será o número de páginas?
a) 170 páginas
b) 180 páginas
c) 190 páginas
d) 195 páginas
e) 280 páginas
2 - 3000 insetos destroem uma lavoura em 18
horas. Em quantas horas 3600 insetos destruiriam
a mesma lavoura?
3 - Uma empresa tem 750 empregados e comprou
marmitas individuais para o almoço durante 25 dias.
Se essa empresa tivesse mais de 500 empregados,
a quantidade de marmitas já adquiridas seria
suficiente para um número de dias igual a:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
4 - Dois
guindastes,
trabalhando
juntos,
descarregam um navio em 6 horas. Trabalhando
em separado, sabendo-se que um deles pode
descarregar o navio em 5 horas menos que o outro,
quantas horas levaria cada um?
a) 5 e 10
b) 11 e 16
c) 10 e 15
d) 3 e 8
e) 6 e 11
5 - Para
simular
um
movimento,
um
microcomputador projeta imagens na tela à
"velocidade" de uma imagem a cada décimo de
Atualizada 01/06/2005
segundo. Assim, quantas imagens são projetadas a
cada minuto?
a) 60
b) 3.600
c) 600
d) 10
e) 6.000
6 - Em 10 minutos, 27 secretárias com a mesma
habilidade digitou o equivalente a 324 páginas. Nas
mesmas condições, se o número de secretárias
fosse 50, em quantos minutos teoricamente elas
digitaram 600 páginas?
a) 10 minutos.
b) 45 minutos.
c) 5 minutos.
d) 5 minutos e 24 segundos.
e) 34 minutos e 29 segundos.
7 - Se 10 operários gastam 12 dias para abrir um
canal de 20m de comprimento, 16 operários, para
abrir um canal de 24m de comprimento, gastarão:
a) 1/3 do mês
b) 2/5 do mês
c) 1/2 do mês
d) 3/10 do mês
a) 12 horas
b) 13 horas
c) 14 horas
d) 15 horas
e) 16 horas
6
Matemática
8 - Certa máquina trabalhando 5 horas por dia
produz 1200 peças em 3 dias. O número de horas
que deverá trabalhar no 6° dia para produzir 1840
peças, se o regime de trabalho fosse 4 horas
diárias seria:
a) 18 h
b) 3,75 h
c) 2 h
d) 3 h
e) nenhuma hora
9 - Sabe-se que 4 máquinas, operando em 4 horas
por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de
certo produto. Quantas toneladas do mesmo
produto seriam produzidos por 6 máquinas daquele
tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias?
a) 6
b) 8
c) 10,5
d) 13,5
e) 15
10 - Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual
eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5
dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas
iguais às primeiras operassem 10 horas por dia
durante 10 dias, o número de peças produzidas
seria:
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a) 1000
b) 2000
c) 4000
d) 5000
e) 8000
Matemática
Porcentagem é o valor obtido ao
aplicarmos uma taxa percentual a um
determinado valor.
Exercícios
Porcentagem
É frequente o uso de expressões que
refletem acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades, sempre tomando por
base 100 unidades. Alguns exemplos:
- A gasolina teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo
de R$15,00
- O cliente recebeu um desconto de 10% em
todas as mercadorias. Significa que em cada
R$100 foi dado um desconto de R$10,00
- Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são
craques. Significa que em cada 100 jogadores que
jogam
no
Grêmio,
90
são
craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o
número 100 denomina-se razão centesimal.
Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de
outras formas:
1 - Uma loja vende seus artigos nas seguintes
condições: à vista com 30% de desconto sobre o
preço da tabela ou no cartão de crédito com 10%
de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo
que a vista sai por CR$7.000,00 no cartão sairá
por:
a) CR$ 13.000,00
b) CR$ 11.000,00
c) CR$ 10.010,00
d) CR$ 9.800,00
e) CR$ 7.700,00
2 - Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o
preço de venda de seus produtos deve ser no
mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele
prepara a tabela de preços de venda
acrescentando 80% ao preço de custo, porque
sabe que o cliente gosta de obter desconto no
momento da compra.
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao
cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter
prejuízo?
a) 10 %.
b) 15 %.
c) 20 %.
d) 25 %.
e) 36 %.
3 - "Roubo de tênis cresce 166% em São Paulo"
(notícia da Folha de São Paulo, dia 03/11/94,
quarta-feira).
O número de roubos de tênis aumentou 166% em
São Paulo: em 1993 (145 casos) e em 1994 (X
casos).
Assim, o número de casos de 1994, é
aproximadamente de:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas
taxas centesimais ou taxas percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos.
Quantos
cavalos
ele
vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar
a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa
a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a
seguinte definição:
Atualizada 01/06/2005
a) 241.
b) 400.
c) 386.
d) 240.
e) 300.
4 - Se um entre cada 320 habitantes de uma cidade
é engenheiro, então a porcentagem de engenheiros
nessa cidade é dada por:
a) 0,32 %
b) 3,2 %
c) 0,3215 %
d) 0,3125 %
e) 3,125 %
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7
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5 - 95% da massa de uma melancia de 10kg é
constituída por água. A fruta é submetida a um
processo de desidratação (que elimina apenas
água) até que a participação da água na massa da
melancia se reduza a 90%. A massa da melancia
após esse processo de desidratação será igual a:
Matemática
Anotações
a) 5/9 kg
b) 9/5 kg
c) 5 kg
d) 9 kg
e) 9,5 kg
6 - Sobre o preço de um carro importado incide um
imposto de importação de 30%. Em função disso, o
seu preço para o importador é de R$ 19.500,00.
Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%,
qual será, em reais, o novo preço do carro para o
importador?
a) R$ 22.500,00
b) R$ 24.000,00
c) R$ 25.350,00
d) R$ 31.200,00
e) R$ 39.000,00
7 - Num grupo de 400 pessoas, 30% são homens e
65% das mulheres têm mais de 20 anos. Quantas
mulheres ainda não comemoraram seu 202
aniversário?
a) 260
b) 182
c) 120
d) 105
e) 98
8 - Um pintor é contratado para pintar ambos os
lados de 50 placas quadradas com 40 centímetros
de lado. Depois que recebeu as placas verificou
que os lados das placas tinham 0,5 centímetro a
mais. Portanto, o aumento aproximado da
porcentagem de tinta a ser usada é:
a) 25%
b) 10%
c) 5%
d) 2,5%
e) 1,5%
8
Atualizada 01/06/2005
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