Lista sobre Espaços Vetoriais - WWW2

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS - CCT
DEPARTAMENTO DE MATENÁTICA - DMAT
Professora: Graciela Moro
Assunto: Espaços vetoriais, subespaços vetoriais, combinação linear, independência linear,
subespaço gerado, base e dimensão, mudança de base
Segunda lista de exercı́cios
1. Verifique se R2 com as operações definidas por:
i. (x, y) + (s, t) = (s, y + t), onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2
ii. α(x, y) = (αx, y), onde α ∈ R e u = (x, y) ∈ R2 .
é um espaço vetorial.
2. Moste que R2 com as operações definidas por:
i. (x, y) + (s, t) = (x + s, y + t), onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2
ii. α(x, y) = (αx, αy), onde α ∈ R e u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2 .
é um espaço vetorial .
3. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço do espaço
vetorial V.
(a) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + 3y − z = 0}
(b) V = R3 e W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 = 1}
(c) V = P3 e W = {p ∈ P3 : p(0) = p(1)}
(d) V = M (2, 2) e S = {X ∈ M2 det(X) = 0} (S é o conjunto das matrizes
não-inversı́veis)
(e) V = M (2, 2) e F = {X ∈ M (2, 2) AX = XA} (F é o conjunto das matrizes
que comutam com a matriz A)
n
o
R1
(f) V = P1 e W = p(x) ∈ P1 : 0 p(x)dx = 0




x y z


(g) V = R3 e W = (x, y, z) ∈ R3 : det  1 2 1 = 0


0 1 1
(h) V = M2×2 e W = {A ∈ M2×2 : A2 = A}
1
4. a) Verifique se o conjunto S = {A ∈ M (3, 3); A é uma matriz anti − simétrica} é um
subespaço vetorial de M (3, 3).
b) Considere o subconjunto de M2 , dado por
a b
W =
∈ M2 b = a e d = −a . Verifique se o subconjunto W é um espaço
c d
vetorial.
5. Sejam U = {a + bx + cx2 + dx3 ∈ P3 / a + b − c + 3d = 0} e W = {p(x) ∈ P3 / p0 (−1) = 0}
dois subespaços vetoriais de P3 . Determine U ∩ W.
1 1
0 0
0 2
6. Qual o subespaço gerado pelas matrizes
,
e
?
1 0
1 1
0 −1
7. Considere o espaço vetorial P3 e o conjunto W = {p(x) ∈ P3 ; p00 (1) = 0} .
(a) Verifique se W é um subespaço vetorial de P3 .
(b) Obtenha os geradores de W.
a b
a b
8. Sejam U =
/ a+b+c=0 eW =
/ b + 2d = 0 dois subespaços
c d
c d
vetoriais de M2 . Determine os geradores de U ∩ W.
9. Verifique se o conjunto W = {(1, 2, 3), (1, 3, 1), (0, 3, 1), (1, 4, 5)} ⊂ R3 é L.I ou L.D.
10. a) Se o conjuntonβ = {v1 , v2 , ..., von } é um conjunto Linearmente Independente então
→
−
o o conjunto α = v1 , 0 , v2 , ..., vn é LI ou LD? Justifique sua resposta.
n→
−o
b) Considere o subespaço N = 0 . Qual é a base e a dimensão de N.
11. Dado o conjunto W = {(1, 1, 3), (1, 2, 1), (0, 1, 3), (1, 4, 5)} ⊂ R3 , extrair um subconjunto de vetores L.I.
12. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, −1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1),
v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) O vetor (2, −3, 2, 2) ∈ ger{v1 , v2 , v3 , v4 }? Justifique.
(b) Exiba uma base para ger{v1 , v2 , v3 , v4 }. Qual é a dimensão deste espaço?
(c) ger{v1 , v2 , v3 , v4 } = R4 ? Por quê?
13. Exiba uma base para cada subespaço determinado no exercı́cio 3.
14. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M (2, 2).
a b
(a) W1 =
com a, b, c, d ∈ R e b = c e a = −b
c d
2
a b
(b) W2 =
com a, b, c, d ∈ R e b = d
c d
Em caso afirmativo, determine:
i) uma base para W1 ∩ W2
ii) W1 + W2 é soma direta?
iii) W1 + W2 = M (2, 2)?
15. Considere os subespaços de R5 , W1 = {(x, y, z, t, w)x + z + w = 0, x + w = 0} , W2 =
{(x, y, z, t, w)y + z + t = 0} e W3 = {(x, y, z, t, w)2x + t + 2w = 0}.
(a) Determine uma base para o subespaço W1 ∩ W2 ∩ W3 .
(b) Determine uma base e a dimensão de W1 + W3 .
(c) W1 + W2 é soma direta? Justifique.
(d) W1 + W2 = R5 ?
16. Considere os seguintes subespaços de P3 :
n
o
00
U = p ∈ P3 : p (1) = 0
n
o
0
e W = p ∈ P3 : p (1) = 0
Determine dim(U + W ) e dim(U ∩ W ) .
1 2
1 0
17. Considere o subespaço W de M (2, 2) que é gerado pelas matrizes A1 =
−1 0
−1 4
a b
A2 =
e A3 =
e o subespaço de M (2, 2) U =
:a=0 .
2 3
8 9
c d
,
(a) Determine uma base e a dimensão de W.
(b) Determine uma base para U ∩ W.
(c) Determine uma base para U + W.
18. Sejam U = ger{(1, 0, 0), (1, 1, 1)} e V = ger{(0, 1, 0), (0, 0, 1)} subespaços gerados do
R3 . Determine:
(a) uma base e a dimensão de U ∩ W.
(b) U + W = R3 ?
19. Considere o seguinte subespaço de M (2, 2)
a b
S=
∈ M (2, 2) : a + b = c + d = 0
c d
(a) Determine uma base e indique a dimensão de S.
3
(b) Construa uma base de M (2, 2) que contenha a base de S obtida no ı́tem a).
20. Determine a dimensão e encontre uma base do espaço-solução do sistema

 x − 3y + z = 0
2x − 6y + 2z = 0

3x − 9y + 3z = 0
21. Sejam U e W subespaços de R4 de dimensão 2 e 3, respectivamente. Mostre que a
dimensão de U ∩ W é pelo menos 1. O que ocorre se a dimensão de U ∩ W for 2 ? Pode
ser 3 ? Justifique sua resposta.
22. A partir do conjunto A = {(1, 0, 2), (a2 , a, 0), (1, 0, a)} podemos extrair uma base para
um subespaço do R3 de dimensão 2 se e somente se a = 2 ?

 x + y + az = 0
x + ay + z = 0 .
23. Seja S = {X ∈ M3×1 : AX = 0} o espaço solução do sistema

ax + y + z = 0
Determine os valores de a para os quais S seja: a própria origem; uma reta que passa
pela origem; e, um plano que passa pela origem.
24. Verifique se as afirmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem
verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo.
(a) A interseção de dois subespaços vetoriais nunca é vazia.
−1 2
1 1
0 0
0 2
(b) A matriz
pertence ao subespaço W =
,
,
.
0 3
1 0
1 1
0 −1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(c) Se os vetores →
u ,→
v e→
w são LI então os vetores →
u −→
v ,→
v −→
w e→
u −→
w são
LI 0 s.
(d) W = [(1, 2, 0), (2, 4, 0)] é um plano no R3 que passa pela origem.
−
−
−
(e) Se β = {→
v 1, →
v 2, →
v 3 } é uma base de um espaço vetorial V , então o conjunto
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
A={v + v , v +→
v ,→
v +→
v +→
v } é lineramente independente.
1
3
1
2
1
2
3
0
(f) O subespaço W = {p ∈ P3 : p (1) = 0 e p00 (−1) = 0} é gerado pelos polinômios
p1 = 1 e p2 = −9x + 3x2 + x3 .
−
−
−
−
−
−
(g) O conjunto {→
v 1, →
v 2, →
v 3 } é sempre uma base para o subespaço ger{→
v 1, →
v 2, →
v 3 }.
√
√
(h) Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = { 3, 1), ( 3, −1)} e β3 =
{(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de R2 .
25. Encontre a matrizes mudança de base:
(a)
1. [I]ββ1
ii. [I]ββ1
iii. [I]ββ2
iv. [I]ββ3 .
(b) Quais são as coordenadas do vetor v = (3, −2) em relação à base
1. β
ii. β1
iii. β2
iv. β3 .
(c) As coordenadas de um vetor u em relação à base β1 são dadas por [u]β1 =
Quais as coordenadas do vetor u em relação à base: i. β
4
ii. β2
iii. β3
4
0
26. Sejam P4 = {p = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ∈ R} , α = {1, x, x2 , x3 , x4 }
e β = {2, 2x, 4x2 , 8x3 , 16x4 }.
(a) Determine [I]αβ ..
 
1
2
 

(b) Se [p]α = 
3 ,determinar [p]β
4
5
(c) Determine o polinômio p cujas coordenadas são dadas no item b) acima.
a b
27. Considere o seguinte subespaço de M2 : W =
d = 0 . Sejam
c d
1 −1
1 1
α =
,
,
1 0
−11 0
1 0
1 1
1 0
β =
,
,
1 0
0 0
0 0
1 1
1 0
(a) Detemine [I]αβ
 
π

(b) Se [v]β = e  , determine [v]α .
0
28. Sejam α e β bases de R3 . Determine a base β sabendo que α = {(1, −1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, −1)}
e a matriz mudança de base de α para β é


1 0 0
[I]αβ =  0 2 1
−1 1 1
29. Seja α =

1
[I]αβ = 1
2
1 1
0 1
2 1
,
,
uma base para um subespaço de M2×2 e
0 0 1 0
−2 0
0 −1
1 −1 onde β é também uma base para um subespaço de M2×2
−1 2
(a) Determine a base β.
 
1
(b) Se [v]β = −2 , determine [v]α .
1
30. Seja E um espaço vetorial qualquer e α = {u1 , u2 , u3 } uma base de E. Considere ainda
os vetores v1 = u1 + u2 , v2 = 2u1 + u2 − u3 e v3 = −u2 .
5
(a) Determine a matriz S de mudança da base β = {v1 , v2 , v3 } para a base α =
{u1 , u2 , u3 }.
(b) Calcule as coordenadas do vetor w = v1 + v2 − v3 na base {u1 , u2 , u3 }.
31. Sejam α e β bases de um espaço vetorial V
α
β
(a) Mostre que det [I]β [I]α = 1
(b) Determine [I]αα
32. Seja V um espaço vetorial e γ = {v1 , v2 , v3 , v4 } uma base ordenada para V.
(a) Mostre que β = {v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 , v1 + v2 + v3 + v4 } é uma base para V.
(b) Determine a matriz de mudança da base ordenada β para a base ordenada γ.
(c) Determine a matriz de mudança da base ordenada γ para a base ordenada β.
(d) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas [v]γ = 1 1 −1 0 , em
relação ã base ordenada γ, determine o vetor de coordenadas em relação ã base
ordenada β.
6
ALGUMAS RESPOSTAS DA TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS:
1. Não é espaço vetorial.
2. É espaço vetorial
3. a) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Sim
f) Sim g) Sim h) Não
4. a) Sim b) Sim
5. Uma possibilidade de expressar U ∩W é U ∩W = {a + bx + cx2 + dx3 ∈ P3 / c = −a e b = 2c − 3d}
ou U ∩ W = {p(x) = a + (−2a − 3d)x − ax2 + dx3 ; a, d ∈ R} .
a b
6. W =
∈ M2 : a + b − 2c + 2d = 0
c d
7. a) Sim b) W = ger{1, x, x3 − 3x2 }
8. Uma das possibilidades é: U ∩ W = ger
−1 0
2 −2
,
1 0
0 1
9. É LD.
10.
11. Um exemplo é W1 = {(1, 1, 3), (1, 2, 1), (0, 1, 3)}
12. a) Sim
b) β = {(1, −1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0)} e dim W = 3
c) Não.
13. a) Uma das bases é: β = {(1, 0, 2), (0, 1, 3)}
c) Uma das bases é: β = {1, x − xn , x2 − xn , ..., xn−1 − xn }
e) Sim
f) Uma das bases é: β = {x, x2 , x3 }
g)Uma das bases é: β = {1 − 2x}
h) Uma das bases
−1
14. i) α =
1
é: β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}
1
ii) Não
iii) Sim
1
15. a) Uma das bases é: β = {(1, 0, 0, 0, −1)}
b) Uma das bases é: β = {(1, 0, 0, 0, −1), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (1, 0, 0, −2, 0), (0, 0, 1, 0, 0)}
c) Não
7
d) Sim
16. dim(U + W ) = 4 e dim(U ∩ W ) = 2
1 2
−1 0
17. a) Uma das bases é: β =
,
, dim W = 2
1 0
2 3
2 0 3
b) Uma das bases é: β =
1 1
1 2
−1 0
0 1
0 0
c) Uma das bases é: β =
,
,
,
1 0
2 3
0 0
1 0
18. a) Uma das bases é:β = {(0, 1, 1)}, dim(U ∩ W ) = 1
b) Sim
1 −1
0 0
19. a)Uma base é β =
,
e dim S = 2.
0 0
1 −1
1 −1
0 0
0 0
0 1
b) Um exemplo é: β =
,
,
,
0 0
1 −1
1 0
0 0
    
0 
 1



0 , 1 e dim W = 2.
20. Uma base é β =


−1
3
22. Falso, pois para a = 0 tambm temos uma base para um subespaço de dimenso 2.
23. a) a 6= 1, a 6= −2
24. a) V
b) a 6= 1, a = −2
b) F c) F d) F
25. a) i) [I]ββ1
1 0
2
0 21
e) V
−1 1
=
1 1
3
−2
b) i) [v]β =
c) i) [u]β =
−4
4
1
2
0

α
26. a) [I]β = 
0
0
0
0 0
1
0
2
0 14
0 0
0 0
f) V g) F
ii. [I]ββ1 =
ii. [v]β1 =
ii. [u]β2 =
0
0
0
1
8
0

0
0

0

0
1
16
c) a = 1
− 52
1
2
1
2
1
−2
1
2
"√
iii. [I]ββ2 =
√
iii. [v]β2 =
1
2
√
− 2√3 3
−233
3
√6
3
6
!
+2
−2
iii) [u]β3
3
√6
3
6
!
−1
+1
1
2
− 21
#
iv. [I]ββ3 =
iv. [v]β3 =
3
2
−1
−2
=
2
1
2
1
3

b) [p]β = 
 41 
 
2
5
16
8
c) p(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4


1
1 −11
27. a) [I]αβ =  1 −1 1 
−1 1
11

π + 11
e
10
b) [v]α =  12 π 
1
− 10
e
1
2
28. β = {(1, −2, −2), (0, 1, 1), (0, −1, −2)}
3 3 3 1 5
− 4 − 32
, 41 2 , 4 1 2
29. a) β =
1
−2 0
0
0
2
2


−16
b) [v]α =  13 
7


 
1 2
0
3
β



3
30. a) [I]α = 1 1 −1
b) [w]α =
0 −1 0
−1
31. b) [I]αα = In
9