AN´ALISE VETORIAL

Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Campo Mourão
Wellington José Corrêa
ANÁLISE VETORIAL
Cálculo Diferencial e Integral III
WELLINGTON JOSÉ CORRÊA
Campo Mourão, Paraná
Brasil.
A Análise Vetorial, cujo inı́cio data dos meados do século XIX, tornou-se nos tempos atuais
uma parte essencial da base matemática exigida a engenheiros, fı́sicos, matemáticos e outros cientistas. Ela é de grande utilidade para aqueles que estudam, ou vão estudar fı́sica, mecânica, teoria
eletromagnética, aerodinâmica, ou outro qualquer dos numerosos assuntos em que se empregam
vetores. Para tanto, é necessário que o aluno tenha afinidade com Cálculo Diferencial e Integral I
e II, Geometria Analı́tica e Álgebra Linear.
Esta manuscrito aborda o conteúdo de Análise Vetorial, tendo como ênfase, as aplicações, onde
os resultados principais, gráficos, figuras e os exemplos serão desenvolvidos em sala de aula, para
um melhor aproveitamento das aulas.
Este trabalho é organizado como segue: no capı́tulo 1, encontra-se o conceito de Funções
Vetoriais e Curvas Parametrizadas; no capı́tulo 2, é apresentado a noção de Campos Vetoriais, no
capı́tulo 3, destina-se as Integrais de Linha. No capı́tulo 4, estuda-se Independência do Caminho.
No capı́tulo 5, é discutido o Teorema de Green e, finalmente, no capı́tulo 6, são abordados os
Teoremas de Gauss e Stokes no espaço tridimensional. Ademais, para contemplar o assunto
abordado, no final, encontra-se a lista de exercı́cios para verificação dos resultados apresentados.
Vale ainda ressaltar que é de inteira responsabilidade do autor, todo erro, bem como está
aberto a sugestões e crı́ticas a respeito do mesmo.
Wellington José Corrêa.
2
Sumário
1 Funções Vetoriais e Curvas Parametrizadas
Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
Campos Vetoriais
5
7
Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Campo Vetorial Conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Integrais de Linha
10
Integral de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
Independência do Caminho
10
13
Teorema Fundamental para Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Teorema de Green
13
15
Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Teorema da Divergência de Gauss no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Teorema de Stokes no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
6 Teorema de Gauss e Stokes no Espaço
20
Teorema da Divergência de Gauss no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Teorema de Stokes no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Lista de Exercı́cios
23
Bibliografia
30
Índice Remissivo
31
3
Capı́tulo 1
Funções Vetoriais e Curvas
Parametrizadas
Iniciemos o nosso estudo com a seguinte definição:
Definição 1.1. Uma função σ cujo domı́nio é um conjunto de números reais cuja imagem é um
conjunto de vetores é chamada uma função vetorial
σ:I ⊂ R
→
t 7→
R3
(1)
σ(t) = (x(t), y(t), z(t))
onde x(t), y(t) e z(t) são funções reais definidas em I.
z
z(t)
P = (x(t), y(t), z(t))
σ(t)
C
y(t)
y
0
x(t)
x
4
Wellington José Corrêa
5
Quando σ(t) é contı́nua em I, o ponto final P do vetor σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) descreve uma
curva C, denominada curva em R3 .
A equação (1) é dita uma parametrização da curva.
Exemplo 1.1. Obtenha uma parametrização para as curvas C1 e C2 , que possuem equações cartesianas y = x2 e y = 2x − 1, respectivamente.
Exemplo 1.2. Seja C a circunferência no plano xy de centro na origem e raio r, cuja equação
cartesiana é x2 + y 2 = r2 . Obtenha uma parametrização desta curva.
Exemplo 1.3. Considere a hélice circular: seja θ o ângulo de rotação em radianos de equações
x = cos θ
y = sen θ
z = θ.
Uma parametrização da hélice é σ(θ) = (cos θ, sen θ, θ) .
z
y
x
Observação 1.1. Temos que a derivada de uma função vetorial é σ ′ (t) = (x′ (t), y ′ (t), z ′ (t)), se
x′ (t), y ′ (t) e z ′ (t) existirem.
6
Análise Vetorial
Comprimento de Arco
Consideremos uma curva definida por σ(t), t ∈ [a, b]. Podemos pensar que a curva é a trajetória
descrita por uma partı́cula se movendo com velocidade v(t) = ||σ ′ (t)||. Qual o comprimento desta
curva quando t varia de a até b? Temos a seguinte definição.
Definição 1.2. Seja C uma curva definida por uma função σ(t), t ∈ [a, b], de classe C 1 (uma
função contı́nua com derivada contı́nua). O comprimento da curva C é
ˆ b
||σ ′ (t)|| dt .
L=
a
Exemplo 1.4. Calcule o comprimento de arco da curva C, onde:
(a) C é a circunferência de raio r.
(b) C é a hélice parametrizada por σ(t) = (cos 3t, sen 3t, 4t), 0 ≤ t ≤ 4π.
Capı́tulo 2
Campos Vetoriais
Iniciemos o nosso estudo analisando duas situações: A figura (a) representa os vetores velocidade
do ar e indicam a rapidez, a direção e sentido no litoral da Bahia, Espı́rito Santo e Rio de Janeiro
no dia 14/01/2009 às 09:00 horas. Associando a cada ponto no ar, podemos imaginar o vetor
velocidade do vento. Esse é um exemplo de um campo de vetores velocidades. Um outro exemplo
é o fluxo do ar passando por um aerofólio inclinado, representado na figura (b).
(a)
(b)
Figura 2.1: Exemplos de Campos de vetores.
Temos a seguinte definição:
Definição 2.1. Seja D um conjunto em Rn . Um campo vetorial sobre R3 é uma aplicação
F : D ⊂ R3
→
(x, y, z) →
7
7
R3
F (x, y, z)
8
Análise Vetorial
Perceba que F é uma função que associa a cada (x, y) em D a um vetor F (x, y). Os exemplos
anteriores, exibiram F um vetor bidimensional. Veremos em breve, campos vetoriais em R3 , por
exemplo, campo de força gravitacional, campo de velocidade de escoamento de um fluido, um
campo elétrico, etc.
Exemplo 2.1. Um campo vetorial em R2 é definido por F (x, y) = (−y, x). Descreva F desenhando
alguns de seus vetores F (x, y).
Definição 2.2. Seja f uma função de três variáveis. Definimos a função gradiente de f , denotada
por ∇ f por
∇ f (x, y, z) = (fx (x, y, z), fy (x, y, z), fz (x, y, z)) .
Note que ∇f é um campo vetorial sobre R3 , portanto, denominamos-o como campo do vetor gradiente.
Exemplo 2.2. Determine o campo de vetor gradiente de f (x, y) = x2 y − y 3 .
Definição 2.3. Um campo vetorial F é dito um campo vetorial conservativo se existe uma função
f tal que F = ∇ f. Neste caso, dizemos que f é uma função potencial de F .
Exemplo 2.3. Considere o campo gravitacional
(
)
mM Gy
mM Gz
mM Gx
,
F (x, y, z) = −
3 ,−
3 ,−
3
2
2
2
2
2
2
2
(x + y + z ) 2
(x + y + z ) 2
(x + y 2 + z 2 ) 2
onde (x, y, z) é a posição do objeto de massa m e M , por exemplo, seja a massa da Terra e ainda,
G é a constante gravitacional.
mM G
Se definirmos f (x, y, z) = √
, então F é conservativo, pois ∇ f = F.
x2 + y 2 + z 2
A palavra conservativo vem da fı́sica, na qual se refere a campos nos quais o princı́pio da
conservação de energia é válido (é válido em campos conservativos).
Um potencial elétrico é uma função escalar cujo campo gradiente é um campo elétrico. Um
potencial gravitacional (veja o exemplo anterior) é uma função escalar cujo campo gradiente é um
campo gravitacional e assim por diante.
Wellington José Corrêa
9
Exemplo 2.4. Outros exemplos de campos vetoriais
(
(a) F (x, y) = (y, −x)
(b) F (x, y) =
√
y
,
x2 +y 2
√
x
x2 +y 2
)
(c) Campo vetorial conservativo
(d) Campo vetorial em pontos da
(e) Campo de força gravi-
(f) Campo vetorial em pontos do
esfera unitária
tacional
cubo
Capı́tulo 3
Integrais de Linha
Este capı́tulo trata de integração para campos vetoriais. A matemática neste momento, é aquela
usada por matemáticos e engenheiros para descrever o escoamento de fluidos, projetar cabos de
transmissão subaquáticos, explicar o fluxo de calor nas estrelas e calcular o trabalho necessário
para deslocar um satélite em órbita.
Para motivar a definição de integral de linha de F ao longo de C, suponhamos que F representa
um campo de forças e calculemos o trabalho realizado pela força F ao deslocar a partı́cula ao longo
de C.
Quando C é um segmento de reta ligando o ponto A ao ponto B e F é uma força constante,
sabemos que o trabalho realizado por F ao deslocar uma partı́cula ao longo de C é dada por
W = F · AB = (força na direção do deslocamento) × (deslocamento) .
Quando C não é um segmento de reta, ao
ˆ bconsiderarmos σ(t) uma parametrização de C, de
classe C 1 , o trabalho W é dado por W =
( F (σ(t)) · σ ′ (t) ) dt, donde com deleite temos a
a
definição a seguir:
Definição 3.1. Consideremos uma curva C em R3 parametrizada por σ(t) = (x(t), y(t), z(t)),
t ∈ [a, b], onde σ ∈ C 1 e F (x, y, z) = (F1 (x, y, z), F2 (x, y, z), F3 (x, y, z)) um campo vetorial
contı́nuo definido em C.
Definimos a Integral de Linha ao longo de C por
ˆ
ˆ
F · dr =
C
a
b
( F (σ(t)) · σ ′ (t) ) dt .
10
(1)
Wellington José Corrêa
11
‰
F · dr, no
Se a curva C é fechada, isto é, σ(a) = σ(b), a integral de linha é denotada por
C
sentido anti-horário.
Observação 3.1. A integral de linha definida acima pode ser escrita como
ˆ
ˆ
F · dr = (F1 dx + F2 dy + F3 dz) .
C
C
Propriedades:
1. Se a e b são constantes, então
ˆ
ˆ
ˆ
a F + b G · dr = a F · dr + b G · dr .
C
C
C
2. Se C admite uma decomposição num número finito de curvas C1 , C2 , . . . Cn , isto é,
C = C1 ∪ C2 ∪ . . . ∪ Cn , então
ˆ
ˆ
ˆ
F · dr =
F · dr +
C
C1
ˆ
F · dr + . . . +
C2
F · dr .
Cn
3. Se C ′ é obtido de C por reversão de orientação, então
ˆ
ˆ
F · dr = −
F · dr .
C
C′
Exemplo 3.1. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y, z) = (x, y, z) sobre uma
partı́cula que percorre a curva parametrizada C dada por σ(t) = (sent, cos t, t), t ∈ [0, 2π] .
Exemplo 3.2. Idem para F (x, y, z) = (x, y, z), só que agora C tem equações paramétricas
x = t2 , y = t3 e z = t4 , t ∈ [0, 2π] .
‰
Exemplo 3.3. Avalie
y 2 dx − xy dy, onde C é a fronteira da região R dada por
C
}
{
(x, y)/1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 1 + x2 .
Em vez de um campo de força, suponha que F seja o campo de velocidade de um fluido por
uma região no espaço (um dique ou a câmara de uma turbina de um gerador hidroelétrico, por
exemplo).
Neste caso, denotamos o escoamento ao longo da curva C de t = a até t = b é
ˆ b
F · dr . Se a curva for fechada, o escoamento por chamado circulação ao redor da curva.
a
Calculamos integrais de escoamento do mesmo modo que calculamos integrais de trabalho.
12
Análise Vetorial
Exemplo 3.4. O campo de velocidade de um fluido é F (x, y, z) = (x, z, y). Encontre o escoamento
π
ao longo da hélice σ(t) = (sent, cos t, t), 0 ≤ t ≤ .
2
Exemplo 3.5. Encontre a circulação do campo F (x, y) = (x − y, x) ao longo da circunferência
σ(t) = (cos t, sent), t ∈ [0, 2π] .
Capı́tulo 4
Independência do Caminho
Considere F (x, y) = (y 2 + 2x + 4, 2xy + 4y − 5) o campo de forças que move uma partı́cula da
origem ao ponto (1, 1). Calcule o trabalho realizado
(a) Pela curva y = x de (0, 0) à (1, 1).
(b) Da parábola y = x2 de (0, 0) à (1, 1).
Neste exemplo, vimos que a integral de linha é a mesma nos dois caminhos de (0, 0) à (1, 1).
Na verdade, o valor da integral de linha é o mesmo sobre qualquer curva suave. (Dizemos que
uma curva é suave se sua equação vetorial σ(t) = de classe C 1 e σ ′ ̸= 0, ∀ t ∈ (a, b). Se um
intervalo I puder ser dividido em um número finito e subintervalos nos quais C é suave, então
C será dita curva seccionalmente suave em I.) Neste caso, dizemos que a integral de linha é
independente do caminho.
ˆ
ˆ
F · dr =
Em geral, não é verdade que
C1
F · dr, por isso, daremos a seguir, condições
C2
para que uma integral de linha independa do caminho.
Teorema 4.1. Seja C qualquer curva seccionalmente suave, contida num disco aberto R ⊂ R2 do
ponto inicial A e ponto final B. Se F for um campo vetorial
conservativo contı́nuo em R e f for
ˆ
uma função potencial para F , então a integral de linha
F · dr será independente do caminho
C
C e
ˆ
ˆ
F · dr =
C
∇ f · dr = f (B) − f (A).
C
13
(1)
14
Análise Vetorial
Observação 4.1. Devido à semelhança do saudoso Teorema Fundamental do Cálculo, este teorema é conhecido como Teorema Fundamental para Integrais de Linha.
Observação 4.2. Se a curva for fechada, então A = B, logo, nas mesmas condições do teorema
anterior,
ˆ
F · dr = f (B) − f (A) = 0 .
C
Antes de darmos um exemplo com respeito a este belo teorema, exibiremos um resultado que
nos diz quando um campo vetorial é conservativo.
Teorema 4.2. Seja F (x, y) = (M (x, y), N (x, y)) um campo vetorial sobre uma região B aberta e
seccionalmente suave. Suponha que M e N tenham derivadas parciais de primeira ordem contı́nuas
e que
∂M
∂N
=
,
∂y
∂x
para toda região B.
Então F é conservativo.
Exemplo 4.1. Use o Teorema (4.1) para calcular a integral de linha do nosso exemplo inicial.
Exemplo 4.2. Uma partı́cula movimenta-se sobre a circunferência
( σ(t) = (2 cos)t, 2sen t),
1 x
t ∈ [0, 2π] . Ache o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y) = 4 ln 3y + , 4
.
x y
Agora, apresentaremos uma versão do teorema precedente em R3 .
Teorema 4.3. Seja F (x, y, z) = (M (x, y, z), N (x, y, z), P (x, y, z)) um campo vetorial sobre uma
região B aberta e seccionalmente suave. Suponha que M e N tenham derivadas parciais de primeira ordem contı́nuas e que
∂N
∂P
=
,
∂y
∂z
∂M
∂P
=
,
∂z
∂x
∂M
∂N
=
,
∂y
∂x
para toda região B.
Então F é conservativo.
Exemplo 4.3. Mostre que F (x, y, z) = (ex cos y + yz, xz − ex sen y, xy + z) é conservativo e
encontre uma função potencial para ele.
ˆ
(2,3,−1)
Exemplo 4.4. Calcule
y dx+x dy +4 dz sobre o segmento de reta de (1,1,1) até (2,3,-1).
(1,1,1)
Capı́tulo 5
Teorema de Green
No capı́tulo anterior, aprendemos a calcular integrais de linha para campos conservativos. Encontramos uma função potencial para o campo, calculamos essa função nas extremidades do caminho
e calculamos a integral como a diferença apropriada daqueles valores.
Neste capı́tulo, veremos como calcular integrais de linha de curvas planas e fechadas quando o
campo vetorial não é conservativo. O meio de fazer isso é um teorema conhecido como Teorema
de Green, que converte integrais de linha em integrais duplas.
Definição 5.1. Uma curva é simples, se ela não se intercepta.
Teorema 5.1. (Teorema de Green)Sejam M e N funções de duas variáveis de tal modo que
tenham derivadas parciais primeiras contı́nuas em um disco aberto B ⊂ R2 . Se C for uma curva
simples, fechada, seccionalmente suave contida inteiramente por B e se D for a região limitada,
então
¨ (
‰
M (x, y) dx + N (x, y) dy =
C
D
∂M
∂N
−
∂x
∂y
)
dA.
(1)
‰
Exemplo 5.1. Determine
y 2 dx − xy dy, onde C é a fronteira da região D dada por
C
{
}
D = (x, y)/1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 1 + x2 .
‰
(3y − esenx ) dx + (7x +
Exemplo 5.2. Calcule
C
15
√
y 4 + 1) dy onde C é o cı́rculo x2 + y 2 = 9.
16
Análise Vetorial
Há duas formas vetoriais do Teorema de Green.
Teorema da Divergência de Gauss no Plano
Iniciemos esta seção com uma definição:
Definição 5.2. Seja F (x, y) = (M (x, y), N (x, y)) um campo vetorial em R2 . Suponha que M e
N tenham derivadas parciais de primeira ordem contı́nuas. O divergente de F é definido por
DivF =
∂M
∂N
+
.
∂x
∂y
Exemplo 5.3. Se F (x, y) = (xy, −y 2 ), calcule Div F.
Dedutivamente, considere duas situações: (a) se estiver escoando água para uma região através
de um pequeno furo no ponto (x0 , y0 ), as linhas de escoamento divergirão lá e, como a água estaria
escoando para fora de um retângulo pequeno em torno de (x0 , y0 ), terı́amos Div F (x0 , y0 ) > 0,
dizendo assim que o fluido tem uma fonte em (x0 , y0 ).
(b) Se a água estivesse sendo drenada pelo furo, terı́amos Div F (x0 , y0 ) < 0. Neste caso, dizemos que o fluido tem um semidouro em (x0 , y0 ). Se DivF (x0 , y0 ) = 0, dizemos que o fluido é
incompressı́vel.
Div F (x0, y0) < 0
Div F (x0, y0) > 0
(x0, y0)
(x0, y0)
(g) O fluido sai através de um pequeno furo
(h) O fluido chega através de um pequeno furo
em (x0 , y0 ).
em (x0 , y0 ).
Wellington José Corrêa
17
Enfim,
Teorema 5.2. (Teorema da Divergência de Gauss no Plano) Sejam as funções M e N , a curva
C e a região D idênticas àquelas que foram definidas no Teorema de Green. Se F (x, y) =
→
(M (x, y), N (x, y)) e −
n for o vetor normal exterior unitário de C, então
‰
−
F ·→
n ds =
C
¨
Div F dA.
D
Do ponto de vista fı́sico, seja F = (M, N ) um campo de velocidades (em um ponto (x, y),
F (x, y) é a velocidade de um fluido). Suponhamos que o fluido escoe através de uma região D
tendo a curva C como fronteira e seja orientada positivamente (sentido anti-horário).
O fluxo do campo de velocidade F através de C ‰é a taxa segundo a qual o fluido atravessa C
−
na direção perpendicular a C. Tal fluxo é dado por
F ·→
n ds.
C
Exemplo 5.4. O campo de velocidade de um fluido é F (x, y) = (5x − y, x2 − 3y). Ache a taxa de
escoamento do fluido para fora de D, limitada por uma curva fechada, suave C, cuja área seja de
150 cm2 .
Teorema de Stokes no Plano
Temos a definição:
Definição
5.3. Seja F um campo vetorial numa bola aberta B
⊂
R3 tal que
F (x, y, z) = (M (x, y), N (x, y), R(x, y)). Então o rotacional de F é definido por
(
)
∂R ∂N ∂M
∂R ∂N
∂M
Rot F (x, y, z) =
−
,
−
,
−
.
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
Observação 5.1. Uma regra mnemônica para calcular o rotacional de F é estender a notação de
produto vetorial de do operador ∇ com o campo vetorial F , isto é, ∇ × F, escrevendo
Rot F = ∇ × F
−
→ −
→
i
j
∂
∂
=
∂x ∂y
M N
−
→
k
∂
∂z
R
18
Análise Vetorial
Exemplo 5.5. Calcule Rot F , onde
1. F (x, y, z) = (xz, xyz, −y 2 )
2. F (x, y) = (M (x, y), N (x, y)), M e N definidas no Teorema de Green.
Se houver água se movendo sobre uma região do plano xy em uma camada fina, então a
−
→
componente k da circulação, ou rotacional, em um ponto (x0 , y0 ) fornece uma maneira de medir
a que velocidade e em qual sentido uma roda de pás pequena girará se for colocada na água em
−
→
(x0 , y0 ) com seu eixo perpendicular ao plano, paralelo a k .
Eixo Vertical
Eixo Vertical
−
→
k
−
→
k
(x0, y0)
(x0, y0)
−
→
Rot F (x0, y0) · k > 0
−
→
Rot F (x0, y0) · k < 0
(i) Circulação no sentido anti-horário.
(j) Circulação no sentido horário.
Teorema 5.3. (Teorema de Stokes no Plano) Sejam as funções M e N , a curva C e a região D
−
→
idênticas àquelas que foram definidas no Teorema de Green. Se F (x, y) = (M (x, y), N (x, y)) e T
for o vetor tangente unitário a C, então
‰
→
−
F · T ds =
C
¨
→
−
Rot F · k dA =
D
¨ (
D
∂M
∂N
−
∂x
∂y
)
dA.
−
→
Do ponto de vista fı́sico, se F for o campo de velocidade
de
um
fluido,
o
produto
escalar
F
·
T,
‰
−
→
será a componente tangencial de F e a integral de linha
F · T ds será chamada circulação de
C
F em torno da curva fechada C. De uma forma intuitiva, a circulação é a soma das componentes
tangenciais de F em C.
Wellington José Corrêa
19
Exemplo 5.6. Seja F (x, y)‰ = (2y, 5x) e R é a região limitada pela circunferência unitária C com
−
→ →
−
centro na origem. Calcule
F · T ds.
C
‰
−
→ −
→
F · T ds. Pelo resultado,
C
−
→
determine se a circulação do fluido é anti-horária, horária ou se F é irrotacional, ou seja, F e
−
→
T são ortogonais para F (x, y) = (8y, 3x) e C é a elipse 4x2 + 9y 2 = 1 .
Exemplo 5.7. Use o Teorema de Stokes no plano para calcular
Capı́tulo 6
Teorema de Gauss e Stokes no Espaço
Neste capı́tulo, aplicaremos o conceito de integral de linha àquele de uma integral definida em uma
superfı́cie. Faremos uma generalização do Teorema de Gauss e Stokes de campos de velocidade
no plano para campos de velocidade no espaço.
Para tanto, precisamos fazer um comentário sobre superfı́cies orientáveis, antes de definir uma
integral de superfı́cie para o fluxo.
Definição 6.1. Chamamos uma superfı́cie S de superfı́cie orientável se for possı́vel definir um
−
campo →
n de vetores unitários normais sobre S que variam continuamente com a posição. Con→
vencionamos que −
n sobre uma superfı́cie fechada aponta para fora.
Um exemplo de uma superfı́cie não-orientada é a é a Faixa de Möbius mostrada a seguir. Se
uma formiga resolvesse caminhar sobre a faixa de Möbius partindo de um ponto P , ela terminaria
sobre o “outro lado” da faixa (isto é, com sua cabeça apontando na direção oposta à de sua
partida). E, mais ainda, se prosseguisse sua caminhada, conforme iniciara, ela retornaria ao
mesmo ponto P sem nunca ter cruzado uma borda. Portanto, a faixa de Möbius realmente tem
um lado só. No que segue, consideraremos somente as superfı́cies orientáveis (com dois lados).
20
Wellington José Corrêa
21
−
Suponha que S seja uma superfı́cie orientada com versor normal →
n submersa em um fluido
com campo de velocidade F (x, y, z) (pense em S como uma superfı́cie imaginária que não impeça
a passagem do fluido, como uma uma rede de pesca em uma corrente de água). Representaremos
por ds um pequeno retalho da área sobre S.
A quantidade de fluido que atravessa ds na unidade de tempo pode ser aproximada pelo volume
→
→
de um paralelepı́pedo de base ds e de altura F · −
n , então dv = F · −
n ds.
Como dv representa a quantidade de fluido que atravessa S por unidade de tempo, a integral
de superfı́cie é o volume do fluido que atravessa S por unidade de tempo e representamos por ΦS .
Então,
¨
→
F ·−
n ds .
ΦS = fluxo de F através de S =
S
Observação 6.1. O conceito de fluxo não está limitado ao campo de velocidade de um fluido.
Por exemplo, se F for um campo elétrico, então a integral anterior será um fluxo elétrico, ou se
F for um campo magnético, então a integral acima será um fluxo magnético. Também, pode-se
representar a integral como um fluxo de calor.
Teorema 6.1. (Teorema da Divergência de Gauss no Espaço) Sejam M, N e R funções de três
variáveis x, y e z tais que suas derivadas parciais de primeira ordem, contı́nuas em uma bola
aberta B ⊂ R3 . Seja S uma superfı́cie regular contida em B e E uma região do R3 limitada por
B (S é a fronteira da região sólida E). Se F (x, y, z) = (M (x, y, z), N (x, y, z), R(x, y, z)) for um
→
campo vetorial e −
n o vetor normal unitário exterior à S, então
¨
→
F ·−
n ds =
ΦS =
˚
S
Div F dV .
E
Exemplo 6.1. Seja F (x, y, z) = (0, 0, 5z) um campo de velocidade de um fluido e S uma esfera
x2 + y 2 + z 2 = 16. Ache o fluxo de F através de S.
Exemplo 6.2. Seja R uma região limitada pelos planos z = 0, z = 3 e pelo cilindro x2 + y 2 = 1.
−
Seja S ¨
a superfı́cie de R e →
n o vetor normal unitário exterior à S. Sendo F (x, y, z) = (x, y, z),
→
calcule
F ·−
n ds
S
22
Análise Vetorial
Exemplo 6.3. Use o Teorema da Divergência de Gauss para calcular a integral de superfı́cie
¨
→
F ·−
n ds, onde S é a fronteira da superfı́cie que é o hemisfério superior da esfera x2 +y 2 +z 2 = 4
S
e F (x, y, z) = (x2 , −2xy, 3zx) .
Neste instante, temos o seguinte teorema:
Teorema 6.2. (Teorema de Stokes no Espaço) Sejam M, N e R funções de três variáveis x, y
e z tais que suas derivadas parciais de primeira ordem, contı́nuas em uma bola aberta B ⊂ R3 .
Seja S uma superfı́cie regular contida em B e C uma curva fechada simples, seccionalmente suave
que é o bordo (ou fronteira) de S. Se F (x, y, z) = (M (x, y, z), N (x, y, z), R(x, y, z)) for um campo
−
→
vetorial e T o vetor tangente unitário exterior à C, então
‰
C
−
→
F · T ds =
¨
−
Rot F · →
n dA .
S
→
Observação 6.2. Se z = f (x, y) é a equação que descreve S, então −
n = (−fx , −fy , 1) .
Exemplo 6.4. Considere o campo de velocidade dado por F (x, y, z) = (−4y, 2z, 3x) e suponha
2
2
que
‰ S seja a parte do parabolóide z = 10 − x − y acima do plano z = 1. Calcule a circulação
→
−
F · T ds, onde C é a curva de intersecção do parabolóide com o plano dado.
C
‰
Exemplo 6.5. Use o Teorema de Stokes para calcular
−
→
F · T ds onde F (x, y, z) = (xz, xy, y 2 ) e
C
C for a fronteira orientada da superfı́cie que consiste na parte do cilindro z = 4 − x2 no primeiro
octante que é delimitada pelos planos coordenados e pelo plano y = 3.
Wellington José Corrêa
23
Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Campo Mourão
Wellington José Corrêa
Lista de Cálculo 3
1. Ache o comprimento de arco L da curva dada entre os valores indicados no parâmetro.
(a) σ(t) = (3t2 , t3 − 3t), t ∈ [0, 1]. Resp.: 4.
)
3
2 ( 3
2
3
2
2
40 − 13 .
(b) ψ(t) = (2t , 2t ), t ∈ [1, 2]. Resp.:
27
(c) ρ(t) = (3e2t , −4e2t ), t ∈ [0, ln 5]. Resp.: 120.
(d) φ(t) = (e−t cos t, e−t sen t), t ∈ [0, π]. Resp.:
√
2(1 − e−π ).
2. Determine o campo do vetor gradiente de f .
(a) f (x, y) = ln(x + 2y)
Respostas: (a) ∇ f =
(b) f (x, y, z) =
√
x2 + y 2 + z 2
1
1
(1, 2); (b) ∇ f = √
(x, y, z)
x + 2y
x2 + y 2 + z 2
3. Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada.
(a) f (x, y) = 3x2 + 2y 2
(b) f (x, y) = arctg(x2 y 2 ) .
(
Resp.: (a)F (x, y) = (6x, 4y); (b) F (x, y) =
2x2 y
2xy 2
,
1 + x4 y 4 1 + x4 y 4
)
4. Determine se o campo vetorial é conservativo e ache uma função potencial para
(a) F (x, y) = (y, x)
(c) F (x, y, z) = (2y − 5z, 2x + 8z, 8y − 5x)
(b) F (x, y) = (2xy 2 − y 3 , 2x2 y − 3xy 2 + 2)
(d) F (x, y, z) = (ey sen z, x ey sen z, x ey cos z)
Resp.: (a) Sim; f (x, y) = yx + C. (b) Sim; f (x, y) = x2 y 2 − xy 3 + 2y. (c) Sim; f (x, y, z) =
2xy − 5xz + 8yz + C. (d) Sim; f (x, y, z) = x ey sen z + C.
24
Análise Vetorial
5. Seja F o campo vetorial mostrado nas figuras (a) e (b).
(a) Com respeito a figura (a):
ˆ
i. Se C1 é o segmento de reta vertical de (−3, −3) a (−3, 3), determine se
F · dr
C1
é positiva, negativa ou zero.
ii. Se C2 é o cı́rculo de raio 3ˆe centro na origem percorrido no sentido anti-horário,
determine se determine se
F · dr é positiva, negativa ou zero.
C2
(b) A figura (b) mostra um campo vetorial F e duas curvas, C1 e C2 . As integrais de linha
de F sobre C1 e C2 são positivas, negativas ou nulas. explique?
(k)
(l)
ˆ
ˆ
F · dr > 0 e
Resp.: (a) (i) Positivo; (ii) negativo. (b) Temos que
C1
F · dr < 0 .
C2
6. A partir do gráfico de F nas figuras abaixo, quais você diria que o campo vetorial é conservativo? Explique.
(a)
Resp.: (a) Sim; (b) não; (c) sim.
(b)
(c)
Wellington José Corrêa
25
7. As figuras a seguir mostram um campo vetorial F . Determine se os pontos P1 e P2 nas
figuras dadas são fontes (Div F > 0) ou sorvedouros (Div F < 0)?
(a)
(b)
Resp.: (a) Div F (P1 ) > 0, Div F (P2 ) < 0; (b) Div F (P1 ) < 0 e Div F (P2 ) > 0.
ˆ
F · dr, de modo que F (x, y) = (3 + 2xy, x2 − 3y 2 ) e C é a
8. Calcule a integral de linha
C
curva dada por σ(t) = (et sen t, et cos t), t ∈ [0, π] .
(Sugestão: Verifique que F é conservativo e encontre f e use o Teorema Fundamental para
integrais de linha. Resp.: e3π + 1).
(
mM Gy
mM Gz
)
, o
3 ,−
3 ,−
3
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
(x2 + y 2 + z 2 ) 2
campo gravitacional exercido por uma partı́cula M unidades de massa na origem sobre
9. Seja
F (x, y, z)
=
−
mM Gx
uma partı́cula com massa unitária no ponto (x, y, z). Ache o trabalho realizado pela força F
sobre a partı́cula com massa unitária no movimento, ao longo da curva suave C de (0, 3, 4)
2 GM
a (2, 2, 1). Resp.:
.
15
10. Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais de linha.
(a) F (x, y) = (3x + y, 4x − 5y) e C é a elipse
x2
+ y 2 = 16.
4
(b) F (x, y) = (ex + y 2 , x2 y + cos y) e C é o triângulo de vértices (0, 0), (2, 0) e (0, 2) .
‰
(c)
4y dx + 3x dy e C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1) e (1, 1) .
C
‰
(d)
(x2 − y 2 ) dx + 2xy dy onde C é a curva fechada que consiste no arco de 4y = x3 de
C
(0, 0) à (2, 2) e no segmento de reta de (2, 2) à (0, 0) .
26
Análise Vetorial
4
64
Resp.: (a) 96π; (b) − ; (c) -1; (d)
3
21
da Divergência de Gauss (no plano) para calcular a taxa de escoamento
11. Use o Teorema
‰
−
→ −
do fluido
F · →
n ds, de modo que F (x, y) = (y 2 + 6x, 2y − x2 ) ; C : x2 + 4y 2 = 4 .
C
Resp.: 16π cm2 /s.
‰
−
→ −
→
F · T ds. Pelo resultado, determine
C
−
→ −
→
se a circulação do fluido é anti-horária, horária ou se F e T são ortogonais.
12. Use o Teorema de Stokes (no plano) para calcular
(a) F (x, y) = (4y, 6x) e C é o triângulo de vértices (0, 0), (3, 0) e (3, 5) .
(b) F (x, y) = (sen2 x, cos2 y) e C é a elipse 9x2 + y 2 = 9.
Resp.: (a) 15, anti-horária; (b) 0, ortogonais.
13. Faça o que se pede:
(a) Se f for um campo escalar numa bola aberta B ⊂ R3 e as derivadas parciais segundas
−
→
de f forem contı́nuas em B, então mostre que Rot(∇ f ) = 0 . Este resultado nos diz
→
−
que se F for um campo vetorial conservativo, então Rot(F ) = 0 .
(b) Usando
o
resultado
acima,
mostre
que
o
campo
vetorial
F (x, y, z) = (e2x , 3x2 yz, 2y 2 z + x) não é conservativo.
14. Mostre que se F = (M, N, R) é um campo vetorial sobre R3 e M, N, e R possuem derivadas
parciais de segunda ordem contı́nuas, então Div(Rot F ) = 0 .
15. Usando o Teorema de Green, se R for uma região por fronteira uma curva C fechada, simples
e seccionalmente suave e A unidades de área for a área de R, então
‰
1
A=
x dy − y dx .
2 C
1
1
(Sugestão: Considere com enlevo, M (x, y) = − y e N (x, y) = x) .
2
2
y2
x2
+
= 1.
a2
b2
Resp.: π a b . (Sugestão: Lembre-se que a elipse tem equações paramétricas x = a cos t e
Use o resultado acima para encontrar a área da região encerrada pela elipse
y = b sen t, t ∈ [0, 2π]).
Wellington José Corrêa
27
¨
−
→ →
F ·−
n ds, onde
16. Use o Teorema da Divergência de Gauss para a integral de superfı́cie
S
(a) S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x2 + y 2 = 9, Pelo plano xy, pelo plano
z = 4 e F (x, y, z) = (x2 , y 2 , z 2 ) .
(b) S é a fronteira da região encerrada entre os planos coordenados e o plano x + y + z = 1
e F (x, y, z) = (2x, 2xy, 3z) .
(c) S é a fronteira da região determinada pelas esferas x2 + y 2 + z 2 = 1, x2 + y 2 + z 2 = 4 e
1
F (x, y, z) = 2
(x, y, z) .
x + y2 + z2
Resp.: (a) 144 π; (b)
11
; (c) 4 π;
12
‰
17. Utilize o Teorema de Stokes para avaliar a integral de linha
−
→ →
−
F · T ds em cada item.
C
(a) F (x, y, z) = (y 2 , x2 , z 2 ) e S é o hemisfério x2 + y 2 + z 2 = 1 acima do plano xy .
(b) F (x, y, z) = (y 2 , x, z 2 ) e S é a parte do parabolóide x2 + y 2 = z abaixo do plano z = 1.
(c) F (x, y, z) = (−3y, 3x, 2) e S é a parte do plano z = 1 dentro do cilindro x2 + y 2 = 9 .
Resp.: (a) 0; (b) π; (c) 54 π;
18. Seja F um campo de forças conservativo tal que F (x, y, z) = −∇ ϕ(x, y, z). Suponhamos
que uma partı́cula de massa m constante se move nesse campo. Se A e B forem dois pontos
quaisquer no espaço, prove que
ϕ(A) +
1
1
m [v(A)]2 = ϕ(B) + m [v(B)]2 ,
2
2
1
m [v(A)]2 é a energia cinética em A.
2
A relação acima estabelece que a energia total (soma da energia cinética com a energia
em que ϕ(A) é chamada energia potencial em A e
potencial) em A é igual a energia total em B. Esse fato é um dos grandes princı́pios da
Fı́sica, chamado Lei de conservação a energia. É por essa razão que a expressão conservativo
é usada para um campo de forças que é um gradiente.
(Sugestão: considere F = m a = m v ′ (t) e use as relações que envolvem produto interno:
d
(v(t) · v(t)) = 2 v ′ (t) · v(t) e v(t) · v(t) = [v(t)]2 ).
dt
28
Análise Vetorial
Os exercı́cios a seguir são aplicações do Teorema da Divergência de Gauss.
19. Uma importante lei da eletrostática
¨ é a Lei de Gauss, que diz que a carga total englobada
por uma superfı́cie S é Q = ε0
E · dS de modo que ε0 é uma constante denominada
S
permissividade no vácuo que depende das unidades usadas. Use a Lei de Gauss para achar
a carga dentro de um cubo com vértices (± 1, ± 1, ± 1) se o campo elétrico for E(x, y, z) =
(x, y, z). Resp.: 24 ε0 .
20. Outra aplicação de integral de superfı́cies ocorre no estudo de fluxo de calor que é definido
como um campo vetorial F = −K ∇ u de tal modo que K é uma constante chamada condutividade e u é a temperatura em um corpo na posição (x, y, z). Sendo assim, considere
que a temperatura em um ponto (x, y, z) em uma substância com condutividade K = 6, 5
é u(x, y, z) = 2y 2 + 2z 2 . Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância para
dentro da superfı́cie cilı́ndrica y 2 + z 2 = 6, 0 ≤ x ≤ 4. Resp.: 1248 π.
21. A temperatura u em uma bola metálica é proporcional ao quadrado da distância do centro
da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e
centro na bola quando a é menor que o raio da bola metálica. (Sugestão: Considere como
no exercı́cio anterior, F = −K ∇ u. Resp.: −8 K C π a3 ).
¨
F · n dS quando
22. Uma integral de superfı́cie que aparece com frequência em Fı́sica é
S
F = ρ v, tal que ρ(x, y, z) é a densidade e v(x, y, z) é um campo de velocidade fluindo através
→
da superfı́cie orientada S com vetor normal −
n . De posse disso, considere um fluido com densidade 1200 kg/m3 flui com velocidade v(x, y, z) = (y, 1, z) m/s. Determine a taxa de vazão
1
do fluido através do parabolóide z = 9 − (x2 + y 2 ), x2 + y 2 ≤ 36. Resp.: 194.400 π kg/s.
4
23. Seja um fluido com densidade 1500 kg/m3 e campo de velocidade v(x, y, z) = (−y, x, 2 z) m/s.
Determine a taxa de vazão do fluido saindo da esfera x2 +y 2 +z 2 = 25. Resp.: 500.000 π kg/s.
24. Sejam u e v de classe C 2 em B ⊂ R3 , de modo que D e C satisfazem as hipóteses do
−
Teorema da Divergência de Gauss no Plano com vetor normal unitário →
ν . Mostre que:
¨
‰
∂ 2u ∂ 2u
∂u
(a)
ds. Lembre-se que ∆ u =
+
.
∆ u dA =
∂x2 ∂y 2
D
C ∂ν
¨
‰
∂v
(b)
(u ∆ v + ∇ u · ∇ v) dA =
u
ds
∂ν
D
C
Wellington José Corrêa
¨
(c)
)
‰ (
∂v
∂u
(u ∆ v − v ∆ u) dA =
u
−v
ds
∂ν
∂ν
D
C
29
¨
‰
||∇ u|| dA =
2
(d) Considerando ∆ v = 0 na igualdade anterior, prove que
D
u
C
∂v
ds.
∂ν
(Sugestão: Use propriedades de divergente e produto interno).
Bom Trabalho!!!
Bibliografia
[1] LEITHOLD L. Cálculo com Geometria Analı́tica, Vol. 2, 2a¯ edição, Editora Harbor, Rio de
Janeiro, 1982.
[2] SPIEGEL, MURRAY R. Análise Vetorial: com Introdução a Análise Tensorial. Coleção
Schaum. 1. ed. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1966.
[3] ANTON, H. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
[4] STEWART, J. Cálculo, Vol.2, São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.
[5] FINNEY, ROSS L. Cálculo de George B. Thomas Jr., Vol.2, São Paulo: Person Addison
Wesley, 2003.
[6] GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
30
Índice Remissivo
Análise Vetorial, 2
Integral de Linha, 10
Irrotacional, 19
Campo
do vetor gradiente, 8
Parametrização, 5
gravitacional, 8
Rotacional, 17
Vetorial, 7
vetorial conservativo, 8
Semidouro, 16
Circulação, 11, 18
Superfı́cie orientável, 20
Curva
Teorema
em R3 , 5
da Divergência de Gauss no espaço, 21
seccionalmente suave, 13
da Divergência de Gauss no plano, 17
Simples, 15
de Green, 15
suave, 13
de Stokes no espaço, 22
de Stokes no plano, 18
Divergente, 16
fundamental para integrais de linha, 14
Escoamento, 11
Faixa de Möbius, 20
Fonte, 16
Função
vetorial, 4
de classe C 1 , 6
gradiente, 8
potencial, 8
Hélice circular, 5
Incompressı́vel, 16
Independência de caminho, 13
31