p E ~q - Concurseiros Unidos

AULA 1
1. Aula 1: Estruturas Lógicas. Lógica de argumentação: analogias,
inferências, deduções e conclusões. Lógica sentencial (ou
proposicional): proposições simples e compostas; tabelas-verdade;
equivalências; leis de De Morgan; diagramas lógicos. Lógica de
primeira ordem. ......................................................................... 2
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Conectivo Se e somente se ............................................... 2
Conectivo Ou...Ou ........................................................... 3
Símbolos dos Conectivos .................................................. 4
Apelidos dos Conectivos ................................................... 5
Proposições Equivalentes .................................................. 9
Negação de proposições ................................................. 10
Tautologia e Contradição ................................................ 12
Estruturas Todo, Algum e Nenhum – Diagramas Lógicos .... 13
2. Questões comentadas. .......................................................... 20
3. Memorex ............................................................................. 47
4. Lista das Questões Comentadas.............................................. 48
DNIT – RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
PROFESSORA: KARINE WALDRICH
1. Aula 1: Estruturas Lógicas. Lógica de argumentação: analogias,
inferências, deduções e conclusões. Lógica sentencial (ou proposicional):
proposições simples e compostas; tabelas-verdade; equivalências; leis de
De Morgan; diagramas lógicos. Lógica de primeira ordem.
Bom dia, pessoal ☺
Desculpem a demora para postar a aula. Fiquei sem notebook durante a
semana passada, pois ele estava no conserto. Todas as aulas longe de mim...
Pirei! Prometo que não acontecerá novamente.
Hoje teremos uma aula bem importante, de Lógica, em que continuaremos o
assunto da aula passada.
Muita atenção, pois a ESAF a-d-o-r-a esse assunto.
Boa aula!
1.1 Conectivo Se e somente se
Nome: bicondicional
Símbolo: ↔
O que significa: A primeira proposição simples exprime uma condição para a
segunda, e a segunda também exprime uma condição para a primeira. A frase
só estará correta se ambas as proposições forem Verdadeiras ou forem
Falsas (uma só não vale).
Por exemplo:
O Neymar é jogador da Seleção se e somente se o Mano Menezes é o técnico
da Seleção Brasileira
Valor lógico: V se e somente se V = V
(ou seja, a proposição composta é Verdadeira)
Mais um exemplo: O Neymar é jogador da Seleção se e somente se o
Muricy é o técnico da Seleção Brasileira
Valor lógico: V se e somente se F = F
(ou seja, a proposição composta é Falsa)
Terceiro exemplo: O Rogério Ceni é jogador da Seleção se e somente se o
Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira
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PROFESSORA: KARINE WALDRICH
Valor lógico: F se e somente se V = F
(ou seja, a proposição composta é Falsa)
Último exemplo: O Rogério Ceni é jogador da Seleção se e somente se o
Muricy é o técnico da Seleção Brasileira
Valor lógico: F se e somente se F = V
(ou seja, a proposição composta é Verdadeira)
Assim, em resumo, o conectivo Se e somente se se comporta da seguinte
forma:
CONECTIVO SE E SOMENTE SE
V se e somente se V = V
V se e somente se F = F
F se e somente se V = F
F se e somente se F = V
1.2 Conectivo Ou...Ou
Nome: disjunção exclusiva
Símbolo: v
O que significa: Ou um, ou outro. A frase só estará correta se uma das
proposições for Verdadeira e a outra for Falsa (as duas não vale). É o
contrário da estrutura Se e somente se, que vimos acima.
Por exemplo:
Ou o Neymar é jogador da Seleção ou o Mano Menezes é o técnico da Seleção
Brasileira.
Valor lógico: Ou V ou V = F
(ou seja, a proposição composta é Falsa)
Mais um exemplo: Ou O Neymar é jogador da Seleção ou o Muricy é o
técnico da Seleção Brasileira.
Valor lógico: Ou V ou F = V
(ou seja, a proposição composta é Verdadeira)
Terceiro exemplo: Ou o Rogério Ceni é jogador da Seleção Ou o Mano
Menezes é o técnico da Seleção Brasileira
Valor lógico: Ou F ou V = V
(ou seja, a proposição composta é Verdadeira)
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Último exemplo: Ou O Rogério Ceni é jogador da Seleção Ou o Muricy é o
técnico da Seleção Brasileira
Valor lógico: Ou F Ou F = F
(ou seja, a proposição composta é Falsa)
Assim, em resumo, o conectivo Ou...Ou se se comporta da seguinte forma:
CONECTIVO OU...OU
Ou V ou V = F
Ou V ou F = V
Ou F ou V = V
Ou F Ou F = F
1.3 Símbolos dos Conectivos
Como vimos, cada conectivo possui um símbolo. Muitas questões usam os
símbolos, ao invés de escreverem por extenso os conectivos.
As proposições também, são normalmente
minúsculas. As mais usadas são p e q.
representadas
por
letras
Por exemplo:
p: Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira
q: então o Neymar é jogador da Seleção
Vou agrupar os conectivos e seus símbolos na tabela abaixo, para que fique
bem fixado para vocês:
SÍMBOLOS DOS CONECTIVOS
CONECTIVO
SÍMBOLO
EXEMPLOS
E
^
p^q
ou
v
pvq
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SIGNIFICADO
peq
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira e o Neymar é
jogador da Seleção
p ou q
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira ou o Neymar
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é jogador da Seleção
Ou p ou q
ou... ou
V
Se...então
→
se e somente
se
↔
pvq
p→q
p↔q
Ou o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira ou o Neymar
é jogador da Seleção
Se p então q
Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o
Neymar é jogador da
Seleção
p se e somente se q
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira se e
somente se o Neymar
é jogador da Seleção
Sugiro que, ao resolverem uma questão, vocês substituam as frases pelos
símbolos, para não ter que ficar escrevendo o tempo todo (além de ajudar a
memorizar os símbolos para a prova).
1.4 Apelidos dos Conectivos
Às vezes, as questões de concursos criam outros nomes para as estruturas que
vimos (os conectivos).
Por exemplo, ao invés de usar Se A, então B, ela usa Quando A, B.
É a mesma coisa, basta trocar pelo Se...então que já conhecemos.
Sintetizei na tabela abaixo os apelidos que já vi serem utilizados em provas.
Primeiramente, vamos ver os apelidos do Se...então.
APELIDOS DA ESTRUTURA SE...ENTÃO
APELIDO
EXEMPLO DE
EQUIVALENTE
UTILIZADO
PROPOSIÇÃO
COM APELIDO
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Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o Neymar
é jogador da Seleção
Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o Neymar
é jogador da Seleção
Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o Neymar
é jogador da Seleção
Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o Neymar
é jogador da Seleção
Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o Neymar
é jogador da Seleção
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Se o Mano
Menezes é o
técnico da
Seleção
Brasileira, o
Neymar é
jogador da
Seleção
O Neymar é
jogador da
Seleção, se o
Mano Menezes
é o técnico da
Seleção
Brasileira
Quando o
Mano Menezes
é o técnico da
Seleção
Brasileira, o
Neymar é
jogador da
Seleção
O Mano
Menezes ser o
técnico da
Seleção
Brasileira
implica o
Neymar ir à
Copa
O Mano
Menezes ser o
técnico da
Seleção
Brasileira é
condição
suficiente para
o Neymar ir à
Copa
Se... (sem o
“então”)
...se (invertido e
sem o “então”)
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Quando...
...implica...
...condição
suficiente...
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Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o Neymar
é jogador da Seleção
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira se e somente
se o Neymar é jogador da
Seleção
Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o Neymar
é jogador da Seleção
Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o Neymar
é jogador da Seleção
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O Neymar ir à
Copa é
condição
necessária
para o Mano
Menezes ser o
técnico da
Seleção
Brasileira.
O Neymar ir à
Copa é
condição
necessária e
suficiente
para o Mano
Menezes ser o
técnico da
Seleção
Brasileira.
Somente o
Neymar é
jogador da
Seleção se
Mano Menezes
é o técnico da
Seleção
Brasileira
O Mano
Menezes é o
técnico da
Seleção
Brasileira
somente se o
Neymar é
jogador da
Seleção
...condição
necessária...
...condição
necessária e
suficiente...
...somente...
se... (Somente
no início da
frase)
...somente se...
(não tem o “se”
antes”)
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Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o Neymar
é jogador da Seleção
Toda vez que o
Mano Menezes
é o técnico da
Seleção
Brasileira o
Neymar é
jogador da
Seleção
Sempre que o
Mano Menezes
é o técnico da
Seleção
Brasileira o
Neymar é
jogador da
Seleção
Sempre/Toda/
Toda vez que...
Pintei a linha que fala do “Se” invertido e do “Condição Necessária” para
vocês verem que esses são os únicos casos em que é necessário inverter a
proposição composta. Nos outros, é só trocar o apelido pelo Se...então, sem
inverter.
Da tabela acima, o caso mais cobrado em concurso é, com certeza, o caso da
Condição Suficiente e da Condição Necessária.
Para facilitar a memorização disso, criei um macete, que uso desde os tempos
de faculdade. É o Macete do Sol e Nuvem. Não riam, porque na hora da prova
tenho certeza que vocês vão acertar a questão por causa dele:
MACETE DO SOL E NUVEM
Basta substituir
Condição
Suficiente
Condição
Necessária
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Dia de
pelo
Se...então
Sol
Dia de
Nuvem
Deve-se inverter as
proposições primeiro,
para depois substituir
pelo
Se...então
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Esse macete serve para lembrar que, se a frase possui Sol (condição
suficiente) basta substituir diretamente por Se...então.
No entanto, se for dia de Nuvem (condição necessária), não é tão simples,
deve-se inverter as proposições, para depois substituir pelo Se...então.
A estrutura Se e somente se também possui um apelido:
APELIDO DA ESTRUTURA SE E SOMENTE SE
EXEMPLO DE
EQUIVALENTE
APELIDO
PROPOSIÇÃO
COM APELIDO
UTILIZADO
O Mano
Menezes ser o
técnico da
O Neymar é jogador da
Seleção
Seleção se e somente se
Condição
Brasileira é
o Mano Menezes é o
necessária e
condição
técnico da Seleção
suficiente
necessária e
Brasileira
suficiente para
o Neymar ir à
Copa
Agora falaremos de um assunto importante, os equivalentes lógicos.
1.5 Proposições Equivalentes
Duas proposições são equivalentes quando querem dizer a mesma coisa. Para
ficar mais claro, vamos resolver utilizando o conceito das tabelas-verdade.
Tabela-verdade é um nome difícil para aqueles esquemas que vimos em cada
Estrutura, do tipo:
ESTRUTURA SE...ENTÃO
Se V então V = V
Se V então F = F
Se F então V = V
Se F então F = V
Essa é a tabela-verdade da Estrutura Se...então. Ela lista todas as
possibilidades para as proposições com a estrutura.
Sabendo isso, devemos deixar claro que Equivalentes
proposições em que as tabelas-verdade são iguais.
Lógicos
são
Vamos ver com mais detalhes nas questões. Resumidamente, vou sintetizar as
proposições equivalentes na tabela abaixo:
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EQUIVALENTES LÓGICOS
PROPOSIÇÃO
EXEMPLO
EQUIVALENTE
~q → ~p
PROPOSIÇÃO
(É a condicional
com os termos
invertidos e
negados)
CONDICIONAL
~p v q
q v ~p
Se...então
p→q
BICONDICION
AL
Se somente se
p↔q
(É a disjunção
com o primeiro
termo da
condicional
negado)
(p → q) ^ (q ← p)
(É a condicional
de ida E a
condicional de
volta)
p ↔ ~q
~p ↔ q
DISJUNÇÃO
EXCLUSIVA
Ou...Ou...
pvq
(É a
bicondicional
com o um dos
termos negados)
Se o Mano
Menezes é o
técnico da
Seleção Brasileira
então o Neymar
é jogador da
Seleção
O Mano Menezes
é o técnico da
Seleção Brasileira
se e somente se
o Neymar é
jogador da
Seleção
Ou o Mano
Menezes é o
técnico da
Seleção Brasileira
ou o Neymar é
jogador da
Seleção
RESULTADO
Se o Neymar não é
jogador da Seleção
então o Mano
Menezes não é o
técnico da Seleção
Brasileira.
O Mano Menezes não
é o técnico da
Seleção Brasileira ou
o Neymar é jogador
da Seleção
O Neymar é jogador
da Seleção ou o
Mano Menezes não é
o técnico da Seleção
Brasileira.
Se o Mano Menezes
é o técnico da
Seleção Brasileira
então o Neymar é
jogador da Seleção E
Se o Neymar é
jogador da Seleção
então o Mano
Menezes é o técnico
da Seleção Brasileira
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira se e
somente se o
Neymar não é
jogador da Seleção
O Mano Menezes não
é o técnico da
Seleção Brasileira se
e somente se o
Neymar é jogador da
Seleção
1.6 Negação de proposições
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Negar uma proposição é inverter o seu sentido. Falando em termos de tabelaverdade, uma proposição é negação de outra quando suas tabelas-verdade
forem opostas (o que é Verdadeiro em uma, é Falso em outra, e vice-versa).
Sintetizei as negações na tabela abaixo. Veremos como funciona na prática
durante os exercícios comentados.
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
NEGAÇÃO
EXEMPLO
COMO FAZER
(Passo-a-passo)
Para se formar uma
disjunção:
Negação de
conjunção
=
~(p ^ q)
Negação de
disjunção
Negação de (O
Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira e o
Neymar é jogador
da Seleção)
OBS: existem
duas maneiras de
se negar uma
conjunção. Na
primeira, forma-se
uma disjunção (p
OU q). Na
segunda, forma-se
uma condicional
(se p, então q).
~(p v q)
Negação de (O
Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira ou o
Neymar é jogador
da Seleção)
Negação de
disjunção
exclusiva
Negação de (Ou o
Mano Menezes é o
técnico da Seleção
=
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1º: Negar a primeira
(p)
2º: Negar a segunda
(q)
3: Trocar o e por ou
Para se formar uma
condicional:
1º: Manter a primeira
(p)
2º: Negar a segunda
(q)
3: Trocar o e por →
1º: Negar a primeira
(p)
2º: Negar a segunda
(q)
3: Trocar o ou por e
1º: Substituir o v por
↔
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RESULTADO
O Mano Menezes não
é o técnico da
Seleção Brasileira ou
o Neymar não é
jogador da Seleção
=
~p v ~q
Se o Mano Menezes
é o técnico da
Seleção Brasileira
então o Neymar não
é jogador da Seleção
=
p → ~q
O Mano Menezes não
é o técnico da
Seleção Brasileira ou
o Neymar não é
jogador da Seleção
=
~p ^ ~q
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira se e
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=
Brasileira ou o
Neymar é jogador
da Seleção)
~(p v q)
Negação de
condicional
=
~(p → q)
Negação de
bicondicion
al
=
~(p ↔ q)
Negação de (Se o
Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o
Neymar é jogador
da Seleção)
Negação de (O
Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira se e
somente se o
Neymar é jogador
da Seleção)
OBS: vocês se lembram
que já vimos isso,
quando falamos sobre o
conectivo Se e somente
se?
1º: Manter a primeira
(p)
2º: Negar a segunda
(q)
3: Trocar o → por e
1º: Substituir o ↔ por
v
OBS: reparem que
estamos fazendo o
inverso do que fizemos
acima (na negação da
disjunção exclusiva)
somente se o
Neymar é jogador da
Seleção
=
p↔q
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira e o
Neymar não é
jogador da Seleção
=
p ^ ~q
Ou o Mano Menezes
é o técnico da
Seleção Brasileira ou
o Neymar é jogador
da Seleção
=
pvq
Muitas vezes, as questões propõem negações de expressões matemáticas.
Veja abaixo como elas ocorrem:
Expressão
=
≠
≥
>
≤
<
Negação
≠
=
<
≤
>
≥
Exemplo
~(x = 7) = x ≠ 7
~(x ≠ 7) = x = 7
~(x ≥ 7) = x < 7
~(x > 7) = x ≤ 7
~(x ≤ 7) = x < 7
~(x < 7) = x ≥ 7
Veremos mais sobre isso nos exercícios.
1.7 Tautologia e Contradição
A Tautologia e a Contradição são nomes dados quando:
Tautologia: a tabela-verdade da proposição possui todas as linhas iguais a V.
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Por exemplo, vejam a proposição [¬B]v{[¬B] A} (OBS: ¬ (cantoneira)
significa o mesmo que o ~, ou seja, negação):
A
B
~B
{[¬B] A}
[¬B]v{[¬B] A}
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
Contradição: a tabela-verdade da proposição possui todas as linhas iguais a
F.
Por exemplo, vejam a proposição ~[p v ~(p ^ q)]:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p^q
~(p ^ q)
p v ~(p ^ q)
~[p v ~(p ^ q)]
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
1.8 Estruturas Todo, Algum e Nenhum – Diagramas Lógicos
Diagramas Lógicos são mecanismos utilizados para expressar proposições que
alguns matemáticos chamam de “categóricas”: Todo, algum, nenhum.
Quando dizemos, por exemplo: todo brasileiro é uma pessoa inteligente.
Podemos traduzir a ideia dessa frase em um diagrama:
Pessoa inteligente
Brasileiro
Vamos ver todas as possibilidades para a frase acima:
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Brasileiro
Pessoa
inteligente
Todo brasileiro é uma
pessoa inteligente
V
V
V
F
F
V
F
F
Verdadeiro, pois se ele for
brasileiro, será uma
pessoa inteligente (dentro
da área amarela do
diagrama)
Falso, pois não existe a
possibilidade de ser
brasileiro e não ser uma
pessoa inteligente
Verdadeiro, pois ele pode
ser uma pessoa inteligente
e não ser brasileiro (estar
na área laranja do
diagrama)
Verdadeiro, pois ele pode
não ser brasileiro e, assim,
não ser uma pessoa
inteligente (estar fora do
diagrama, na área em
cinza)
Portanto, a única possibilidade de a frase ser falsa é no caso em que o sujeito
é brasileiro e não é uma pessoa inteligente, pois essa possibilidade não existe.
A tabela acima é igual à tabela-verdade da estrutura Se...então. Podemos
dizer, então, que Todo brasileiro é uma pessoa inteligente e Se é
brasileiro, então é uma pessoa inteligente são equivalentes.
Passando para outra estrutura: o algum. Podemos dizer: Alguns brasileiros
são pessoas inteligentes. Isso pode ser representado através do diagrama
abaixo:
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Pessoa
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Brasileiro
Agora, todas as possibilidades são possíveis. O sujeito pode ser brasileiro e ser
ou não uma pessoa inteligente, assim como pode ser inteligente e ser ou não
brasileiro.
Portanto, é importante frisar que, neste caso, alguns brasileiros são
pessoas inteligentes e algumas pessoas inteligentes são brasileiras são
frases equivalentes:
Pessoa
Brasileiro
inteligente
=
Pessoa
Brasileiro
inteligente
Passemos para o nenhum. Podemos dizer: nenhum brasileiro é uma pessoa
inteligente. Isso é representado através do diagrama abaixo:
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Pessoa
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DNIT – RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
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Brasileiro
Dizer nenhum brasileiro é uma pessoa inteligente e nenhuma pessoa
inteligente é brasileira são expressões equivalentes, como podemos ver
pelo diagrama acima.
Vamos colocar todas as possibilidades de nenhum brasileiro é uma pessoa
inteligente numa tabela:
Brasileiro
Pessoa
inteligente
Nenhum brasileiro é uma
pessoa inteligente
V
V
V
F
F
V
F
F
Falso, pois se ele for
brasileiro, não será uma
pessoa inteligente
Verdadeiro, pois se ele for
brasileiro, não será uma
pessoa inteligente
Falso, pois se ele não for
brasileiro, pode ou não ser
uma pessoa inteligente
(não estar dentro do
diagrama amarelo não
significa necessariamente
estar dentro do diagrama
laranja. Pode estar na área
em cinza)
Falso, pois a pessoa pode
não ser brasileira e ser
inteligente
Percebam que a tabela-verdade acima é igual à tabela-verdade da estrutura
Se...~então. Vou fazer a Se...~então para vocês verem:
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Brasileiro
Pessoa
inteligente
V
V
Pessoa
nãointeligente
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Se é brasileiro, então não é uma
pessoa inteligente
Falso, pois se ele for brasileiro, é
verdadeiro dizer que não será uma
pessoa inteligente, e não falso
Verdadeiro, pois se ele for brasileiro,
não será uma pessoa inteligente
Falso, pois se ele não for brasileiro,
pode ou não ser uma pessoa
inteligente (é falso dizer que, só por
não ser brasileiro, será inteligente)
Falso, pois a pessoa pode não ser
brasileira e ser inteligente
Portanto, são equivalentes as frases nenhum brasileiro é inteligente e se é
brasileiro, então não é inteligente.
Vamos, ainda, falar sobre a negação do Todo, Algum e Nenhum.
Primeiramente, o Todo. Qual a negação de Todo A é B?
B
A
Podemos pensar que seria Nenhum A é B:
B
A
Mas vejam que não, necessariamente. Se houver algum A que não for B, a
frase Todo A é B já está falsa. Portanto, basta ter a certeza de que há
Algum A não é B.
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Assim, a negação de Todo A é B é Algum A não é B.
~ (Todo A é B) = Algum A não é B
Por exemplo: Todo múltiplo de 100 é divisível por 5. A negação é Algum
múltiplo de 100 não é divisível por 5.
Agora passamos à negação do Algum. Algum A é B:
B
A
O Algum indica que pelo menos 1 A é B. A negação disso é dizer que nenhum
A é B. Como a palavra diz, nem-hum (nem um). São totalmente separados:
B
A
~ (Algum A é B) = Nenhum A é B
Já a negação do Nenhum é o contrário do que vimos acima. Negar que
Nenhum A é B é dizer que Algum A é B.
~ (Nenhum A é B) = Algum A é B
Essas estruturas são bem cobradas em concurso.
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Por fim, vamos às questões. Primeiramente, veremos as questões do Todo,
Algum e Nenhum. Depois passamos às demais questões de RL, que não se
relacionam a conteúdo específico.
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2. Questões comentadas.
Questão 1 – ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010
A proposição “um número inteiro é par se e somente se o seu
quadrado for par” equivale logicamente à proposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um
número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é
ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o
quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
Temos a proposição: “um número inteiro é par se e somente se o seu
quadrado for par”.
Ou seja, colocando em termos de letras e símbolos:
p = um número inteiro é par;
q = seu quadrado for par;
A proposição fica: p ↔ q.
Pela tabela da questão anterior, vemos que o equivalente da bicondicional é:
Proposição
p↔q
Equivalente
(p → q) ^ (q → p)
Então, o equivalente da proposição do enunciado é:
(p → q) = Se um número inteiro é par, então o seu quadrado é par
(q → p) = Se o quadrado de um número inteiro é par, então o número inteiro
é par.
Com a proposição E, fica:
Se um número inteiro é par, então o seu quadrado deve ser par, E se o
quadrado de um número inteiro for par, então o número inteiro é par.
Vejamos as alternativas:
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a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um
número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é
ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o
quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
Vejam que não há nenhuma frase igual a que encontramos.
Então, vamos ver se não há nenhuma frase equivalente a
(p → q)
ou
(q →
p).
Vimos que o equivalente do Se então é:
Proposição Equivalente
~q → ~p
p→q
~p v q
As alternativas não usam o OU, apenas o Se então. Então, vamos usar o
equivalente:
p
q = ~q
~p.
A nossa frase (que encontramos) é:
Se um número inteiro é par, então o seu quadrado deve ser par, E se o
quadrado de um número inteiro for par, então o número inteiro é par.
Vamos pegar as alternativas mais parecidas com essa que encontramos.
Vejam que são a letra A e a letra D:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um
número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o
quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par.
A primeira parte é igual a que temos, a segunda está diferente. Vamos fazer o
equivalente da segunda parte da nossa frase, para ver com qual alternativa
fica igual.
Temos:
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(p → q)
= Se um número inteiro é par, então o seu quadrado é par (Ok, é
igual as das alternativas A e D).
(q → p) = Se o quadrado de um número inteiro é par, então o número inteiro
é par (é diferentes das alternativas A e D).
O equivalente do
(q → p) é ~p → ~q, ou seja:
Se o número inteiro não é par, então o quadrado do número inteiro
não é par.
Percebam que essa é a segunda parte que está na alternativa A. Ou seja, a
alternativa A é a correta, equivalente à frase do enunciado. Portanto, temos:
“um número inteiro é par se e somente se o seu quadrado for par” =
se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um
número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
Resposta: Letra A.
Questão 2 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com
José” é:
a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.
b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.
c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.
d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.
e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.
Nessa questão, falamos sobre a negação de proposições. Mais especificamente,
sobre a negação do OU e do E.
A negação mais importante, de todas as que vimos, e que mais cai, é:
Proposição
p OU q
Negação
~p E ~q
Da mesma forma:
Proposição Negação
pEq
~p OU ~q
A questão fornece a seguinte proposição:
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Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José. Colocando em
letras em símbolos, temos:
p = Maria comprou uma blusa nova
q = Foi ao cinema com José
A proposição é p E q.
A negação é ~p OU ~q:
Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.
Essa é exatamente a letra A.
Resposta: Letra A.
Questão 3 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009
A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da
Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
b) Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Milão não é a capital da Itália.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
Como vimos na aula, há vários tipos de negações. A mais comum é a negação
do E (que vira OU) e do OU (que vira E), que vimos na questão anterior:
~(p E q) = ~p OU ~q
~(p OU q) = ~p E ~q
Essa questão cobra simplesmente isso. Temos:
Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra.
p = Milão é a capital da Itália
q = Paris é a capital da Inglaterra
Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra = p OU q.
A negação do p OU q é ~p E ~q, que fica:
~p = Milão não é a capital da Itália
~q = Paris não é a capital da Inglaterra
~p E ~q = Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
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Resposta: Letra A.
Questão 4 – ESAF/RFB/AFRFB/2009
Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica
molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
Mais uma questão de equivalente, do concurso da Receita de 2009. Nessa
questão, só se usam proposições Se Então.
Sabemos que:
Proposição Equivalente
~q → ~p
p→q
~p v q
Nessa questão vamos usar o equivalente p
q = ~q
~p.
Temos:
“Se chove ou neva, então o chão fica molhado”
Colocando em termos de símbolos:
p = chove ou neva
q = o chão fica molhado
Temos: p
q, cujo equivalente é ~q
~p, que é:
~q = o chão não ficou molhado
~p = negação de “chove ou neva”. Vimos na questão anterior que a negação
do OU é o não E. Ou seja:
Proposição
p OU q
Negação
~p E ~q
Assim:
~p = negação de “chove ou neva” = não choveu E não nevou.
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Assim, temos que:
~q
~p = Se o chão não ficou molhado, então não choveu e não nevou.
Vejamos as alternativas:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
A questão considerou que “não ficou molhado” = está seco.
Então, nossa frase fica:
Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
Essa frase é igual à letra E.
Resposta: Letra E.
Questão 5 – ESAF/MPOG/APO/2010
Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas respectivas negações.
Marque a opção que equivale logicamente à proposição composta: F se
e somente G.
a) F implica G e ~G implica F.
b) F implica G e ~F implica ~G.
c) Se F então G e se ~F então G.
d) F implica G e ~G implica ~F.
e) F se e somente se ~G.
Questão sobre os apelidos dos conectivos.
Vimos que o “implica” é um apelido do Se...Então.
Assim, a frase “A implica B” é equivalente à frase “Se A então B”.
O enunciado pede o equivalente de “F se e somente se G”.
Já vimos que o equivalente do se e somente se é:
Proposição
p↔q
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Equivalente
(p → q) ^ (q → p)
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Então:
F se e somente se G = Se F então G E se G então F.
Não existe alternativa assim. Algumas alternativas usam o “implica”. Vamos
substituir o Se então pelo implica (seu apelido):
F se e somente se G = Se F então G E se G então F = F implica G E G implica
F.
Também não existe alternativa assim. Mas vejam que, nas alternativas, os
segundos termos estão negados (com o “~”). Sabemos que o equivalente do
“Se A então B” (p
q) é o “Se não B, então não A” (~q
~p).
Ou seja, trocando o Se então pelo apelido, o equivalente de “A implica B” (p
q) é o “não B implica não A” (~q
~p).
Trocando o segundo termo da proposição que encontramos pelo seu
equivalente:
F se e somente se G = Se F então G E se G então F = F implica G E G implica F
= F implica G E não F implica não G = F implica G E ~F implica ~G.
Essa é exatamente a letra B.
Resposta: Letra B.
Questão 6 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo:
a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.
b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.
c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.
d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.
e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.
Mais uma questão com apelidos dos conectivos.
Vimos na aula que:
Se A então B = A é condição suficiente para B = B é condição necessária para
A.
Lembrem-se do Macete do Sol e Nuvem (Sol = suficiente = dia de sol =
diretamente. Nuvem = necessária = dia nublado = tem que inverter A e B).
Assim, temos:
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“se o dia está bonito, então não chove”:
A = dia está bonito
B = não chove
Se A então B = A é condição suficiente para B = O dia estar bonito é condição
suficiente para não chover.
Igualmente:
Se A então B = B é condição necessária para A = Não chover é condição
necessária para o dia estar bonito.
A frase acima é exatamente a letra A.
Resposta: Letra A.
Questão 7 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:
a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é
a capital da França.
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é
a capital da Inglaterra.
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.
Essa questão é de uma linha que a ESAF vem adotando. Em que ela pede que
realmente utilizemos conhecimentos “prévios” para resolver.
Ou seja, temos de manjar de Geografia: saber que Roma é a capital da Itália,
Londres é a Capital da Inglaterra, Paris é a capital da França...
A ESAF fez isso também com outros tipos de conhecimentos, que são pedidos
no edital, por exemplo: Álgebra, Geometria, etc (veremos questões a seguir).
Assim, vamos analisar cada alternativa:
a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.
Roma é a Capital da Itália, mas Londres não é a capital da França.
Assim, temos Se V então F, que é o caso proibido, cujo valor lógico é sempre
Falso.
Alternativa falsa.
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b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.
Londres é a capital da Inglaterra (V). Mas “Paris não é a capital da França” é F,
porque Paris é a capital da França.
Ou seja, temos Se V então F. Valor lógico Falso.
Alternativa Falsa.
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é
a capital da França.
Temos uma proposição da forma A E B OU C.
Guardem isso: sempre juntamos o A E B, primeiro. Podemos até substituir:
A E B = D.
Assim, temos D OU C.
Vamos ver se D = A E B é Verdadeiro ou Falso:
A = Roma é a capital da Itália = V
B = Londres é a capital da França = F
Assim, A E B = V E F = F (o E, para ser V, exige que ambas sejam V).
C = Paris é a capital da França = V.
Assim, temos D OU C = F OU V = V (para o OU, basta uma ser V).
Assim, o valor lógico da proposição é V.
Alternativa correta.
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é
a capital da Inglaterra.
Novamente, temos A E B OU C:
A = Roma é a capital da Itália = V
B = Londres é a capital da França = F
A E B = V E F = F.
C = Paris é a capital da Inglaterra = F.
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Assim, temos F OU F = F.
Alternativa falsa.
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.
Roma é a capital da Itália (V), mas “Londres não é a capital da Inglaterra” é
Falso, porque Londres é a capital da Inglaterra.
Temos, portanto, V E F, cujo valor lógico é F.
Alternativa falsa.
Resposta: Letra E.
Questão 8 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009
Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
Mais uma questão em que utilizamos conhecimentos prévios. Passemos à
análise das alternativas.
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
3 = 4: Falso.
3 + 4 = 9: Falso.
Ou seja, temos F E F = Falso.
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
3 = 3: Verdadeiro.
3 + 4 = 9: Falso.
Temos o caso Se V então F, que é o caso proibido. Falso.
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
3 = 4: Falso.
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3 + 4 = 9: Falso.
Sabemos que Se F então F é Verdadeiro. Alternativa correta.
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
3 = 4: Falso.
3 + 4 = 9: Falso.
Temos F OU F. Falso.
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
3 = 3: Verdadeiro.
3 + 4 = 9: Falso.
No Se e somente se, a proposição só é Verdadeira se ambas forem Verdadeiras
ou se ambas forem Falsas. Aqui, temos uma Verdadeira e uma Falsa. Falso.
Resposta: Letra C.
Questão 9 – ESAF/Ministério da Fazenda/ATA/2009
X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo assim:
a) Se X ≥ 4, então Y < 7.
b) Se Y > 7, então X ≥ 4.
c) Se Y < 7, então X ≥ 4.
d) Se Y ≤ 7, então X > 4.
e) Se X < 4, então Y ≥ 7.
Questão sobre o equivalente do Se então.
Vimos que p
q = ~q
~p.
Assim:
Se X ≤ 4, então Y > 7:
p=X≤4
q=Y>7
p
q.
A negação é:
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~p = X > 4
~q = Y ≤ 7
A proposição equivalente é:
~q
~p = Se Y ≤ 7, então X > 4.
Resposta: Letra D.
Questão 10 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010
Por definição, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais.
Considere então a proposição: “Um triângulo é equilátero se e somente
se os três ângulos são iguais”. Uma conclusão falsa desta proposição
é:
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja
equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais.
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo,
então o triângulo não é equilátero.
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são
diferentes uns dos outros.
Mais uma questão que é, supostamente, de Geometria, mas no fundo é de
Lógica.
Vamos ver um pouco sobre Geometria na aula 3, mas, mesmo assim,
conseguimos resolver a questão, pois o enunciado explica o necessário.
A questão fornece uma proposição e pede a conclusão falsa. Ou seja, ela quer
saber qual das frases não é equivalente à frase do enunciado.
Vamos à análise das alternativas:
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja
equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais.
A frase do enunciado é “Um triângulo é equilátero se e somente se os
três ângulos são iguais”.
Ou seja:
p = Um triângulo é equilátero
q = Três ângulos são iguais
“Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”
= p ↔ q.
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Vimos que o apelido do “Se e somente se” é o condição necessária e suficiente.
Assim:
A SE E SOMENTE SE B = A É CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA B.
Para o “Se e Somente Se” não importa a ordem (ele é igual ao OU). A se e
somente se B é o mesmo que B se e somente se A (assim como A OU B é o
mesmo que B OU A).
Portanto, não importa como a frase foi arranjada, ela diz isso: A é condição
necessária e suficiente para B. E isso é o mesmo que A se e somente se B.
Alternativa verdadeira, portanto não é resposta da questão (a questão pede a
falsa).
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
Essa alternativa não envolve lógica, só geometria. Se a frase do enunciado é
“Um triângulo é equilátero se e somente se os três ângulos são
iguais”, é possível concluir que os três ângulos de um triângulo equilátero são
iguais.
Alternativa verdadeira (não é resposta).
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
Não entendi essa alternativa, ela só repete a frase do enunciado.
Alternativa correta (não é resposta).
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo,
então o triângulo não é equilátero.
Mais uma vez, só geometria. Se um dos ângulos é diferente, então o triângulo
não é equilátero.
Alternativa verdadeira (não é resposta).
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são
diferentes uns dos outros.
Mais uma vez, só geometria. Se um triângulo é equilátero, não significa que os
três ângulos tem de ser diferentes, e sim que um deles deve ser diferente. 2
podem ser iguais e um diferente (é o triângulo isósceles).
Alternativa falsa.
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Resposta: Letra E.
Questão 11 – ESAF/MTE/AFT/2010
Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou
um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um
octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele
não é regular.
d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou
um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
Questão com o jeito da anterior, mas mais capciosa.
Vamos diretamente à análise das alternativas.
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
A frase do enunciado é:
Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou
um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
Ou seja, o poliedro convexo é regular se e somente se for A OU B OU C...
Não podemos concluir que se o poliedro convexo for regular, ele É um cubo.
Pode ser um tetraedro OU um octaedro OU C OU D...
Alternativa falsa.
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
Igual à alternativa anterior. Se não for um cubo, pode ser um tetraedro OU B
OU C... e ser regular mesmo assim.
Alternativa falsa.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um
octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele
não é regular.
A questão fala apenas em poliedro (sem dizer que é convexo).
O poliedro pode ser regular e não ser um cubo, nem B, nem C nem D... É só
ser algum outro tipo de poliedro regular (não necessariamente convexo).
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Alternativa falsa.
d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou
um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
Igual à anterior. O poliedro pode não ser um tetraedro, B, C... e ainda não ser
regular. Isso se for outro tipo de poliedro (não convexo).
Alternativa falsa.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
Essa alternativa também suprime o “convexo”. Mas vejam só.
O enunciado diz que um cubo é um poliedro convexo regular. Ou seja, o cubo
é regular.
Ou seja, se o poliedro não for regular, com certeza não será um cubo. Porque
o cubo é regular.
Por isso, a alternativa está certa.
Questão para atentos.
Resposta: letra E.
Questão 12 – ESAF/MPOG/APO/2010
Questão que, para resolver, precisamos construir as tabelas-verdade.
As alternativas a e e se referem à proposição (F v G) ^ ~(~F ^~G). Já as
alternativas b, c e d se referem à proposição (F v G) ^ (~F ^~G).
Vamos construir cada uma das tabelas-verdade e ver qual alternativa está
correta.
Primeiramente, a tabela-verdade da estrutura (F v G) ^ (~F ^~G) (para fazer
a outra apenas negamos o segundo termo):
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F
V
V
F
F
G
V
F
V
F
FvG
~F
~G
~F ^ ~G
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
(F v G) ^ (~F ^~G)
F
F
F
F
Ou seja, pela tabela-verdade acima, a expressão (F v G) ^ (~F ^~G) é uma
contradição, pois, não importa qual os valores de F ou G, a expressão sempre
retorna um valor lógico Falso.
Assim, já podemos marcar a alternativa correta, que é a letra C.
Vamos fazer a estrutura (F v G) ^ ~(~F ^~G), apenas negando a penúltima
coluna da tabela acima:
F
G
FvG
~F
~G
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
~F ^ ~G ~(~F ^ ~G)
F
F
F
V
V
V
V
F
(F v G) ^
~(~F ^~G)
V
V
V
F
F^
G
V
F
F
F
A letra a afirma que a estrutura acima é contradição (não é, porque para 3
valores de F e G a estrutura é verdadeira), e a letra e afirma que é igual à F ^
G. Coloquei F ^ G na última coluna da tabela, para vocês verem como é
diferente.
Resposta: Letra C.
Questão 13 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Entre as opções abaixo, qual exemplifica uma contradição formal?
a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu.
b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano.
c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo.
d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo.
e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano.
Vimos que a contradição ocorre quando, para qualquer valor lógico das
proposições simples, a proposição composta é sempre Falsa.
Vamos analisar cada alternativa:
a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu.
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Temos uma estrutura OU. O OU é só é Falso quando as duas proposições
simples forem Falsas.
As duas proposições simples são uma a negação da outra. Quando “Sócrates
não existiu” for Falso, “Sócrates existiu” será Verdadeiro. E o contrário
também ocorrerá: quando “Sócrates existiu” for Falso, “Sócrates não existiu”
será Verdadeiro.
Ou seja, a frase será sempre Verdadeira, pois uma das proposições sempre
será Verdadeira. Ou seja, trata-se de uma tautologia (sempre V) e não de uma
contradição (sempre F).
Alternativa errada.
b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano.
Nesta frase, também temos a proposição OU, mas uma proposição simples não
é o contrário da outra. Sócrates pode ter sido ateniense, ou espartano, ou de
qualquer outro lugar.
Assim, a frase pode ser Verdadeira (se “Sócrates era ateniense” for V ou
“Sócrates era espartano” for V) ou Falsa (se Sócrates não era nem ateniense e
nem espartano).
Dessa forma, a frase não é uma contradição (não é sempre F).
Alternativa errada.
c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo.
d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo.
Vamos ver as duas alternativas juntas, pois elas diferem apenas pelo E ou OU.
Sabemos que o Todo é equivalente do Se...então. Então, podemos substituir
os “Todos” acima por “Se...então”:
Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo = Se era
filósofo, era ateniense E se era ateniense, era filósofo.
Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo = Se era
filósofo, era ateniense OU se era ateniense, era filósofo.
Se “era filósofo” for V e se “era ateniense” também for V, teremos: “Se V,
então V E se V, então V”, na alternativa C. Como “Se V, então V” é sempre V,
teremos “V E V”, que é sempre V.
Da mesma forma, teremos V OU V, que é sempre V.
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Se um dos dois for F (“era filósofo” for F ou “era ateniense” for F), em alguma
das duas proposições teremos Se V, então F, que é sempre F. Neste caso, na
alternativa C teremos F E V (ou então V E F), que será F. Já na alternativa D
teremos F OU V (ou V OU F), que será sempre V.
Se “era filósofo” for F e “era ateniense” também for F, teremos, na proposição
C, “Se F, então F E se F, então F”, que será V E V, ou seja, V. Da mesma
forma, teremos V OU V na proposição D, que é sempre V.
Assim, na alternativa C teremos casos em que a proposição é V e casos em
que a proposição é F. Já a alternativa D será sempre V. Em ambos os casos,
não há contradição.
Alternativa errada.
e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano.
Já podemos deduzir que esta é alternativa certa.
E vejam, sem grande análise podemos ver que há uma contradição, e que a
frase será sempre falsa. Isso porque temos o E, então, para a frase ser
Verdadeira, “Todo filósofo era ateniense” deve ser Verdadeiro e “Todo filósofo
era espartano” deve ser Verdadeiro, ao mesmo tempo.
Agora, vejam: Se todo filósofo era ateniense, é porque nenhum filósofo era
espartano, certo?
Ou seja, quando “Todo filósofo era ateniense” for V, “algum filósofo era
espartano” será F. As proposições nunca serão V ao mesmo tempo. Assim, a
proposição composta será sempre Falsa.
Alternativa certa.
Resposta: Letra E.
Questão 14 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Considerando as seguintes proposições: “Alguns filósofos são
matemáticos” e “não é verdade que algum poeta é matemático”, podese concluir apenas que:
a) algum filósofo é poeta.
b) algum poeta é filósofo.
c) nenhum poeta é filósofo.
d) nenhum filósofo é poeta.
e) algum filósofo não é poeta.
Vamos analisar as frases do enunciado.
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Alguns filósofos são matemáticos: sabemos que a frase é equivalente a
“Alguns matemáticos são filósofos”, também.
Filósofos
Matemáticos
Não é verdade que algum poeta é matemático = ~(Algum poeta é
matemático). Vimos que a negação do “algum” é o “nenhum”, então a frase
fica: Nenhum poeta é matemático.
Poeta
Matemáticos
Podemos juntar os dois diagramas:
Filósofos
Poeta
Matemáticos
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As alternativas relacionam “filósofo” e “poeta”.
Reparem que podem até haver filósofos que são poetas. Não sabemos. A única
coisa que sabemos, com certeza, é que há alguns filósofos que não serão
poetas, pois são os filósofos que são matemáticos, e, como vimos, nenhum
poeta é matemático.
Assim, passemos à análise das alternativas:
a) algum filósofo é poeta. Não, pois, como vimos, sabemos que alguns
filósofos não são poetas.
b) algum poeta é filósofo. Não sabemos. O que sabemos é que alguns
filósofos não são poetas.
c) nenhum poeta é filósofo. Não podemos afirmar que nenhum poeta é
filósofo. Pode até haver poetas filósofos, o que há, com certeza, são filósofos
que não são poetas.
d) nenhum filósofo é poeta. Não podemos afirmar que nenhum poeta é
filósofo. Pode até haver poetas filósofos, o que há, com certeza, são filósofos
que não são poetas.
e) algum filósofo não é poeta. É exatamente isso, como explicamos acima.
Resposta: Letra E.
Questão 15 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que todos os mecânicos
são engenheiros e que todos os engenheiros são pós-graduados. Se
alguns administradores da empresa também são engenheiros, pode-se
afirmar que, nessa empresa:
a) todos os administradores são pós-graduados.
b) alguns administradores são pós-graduados.
c) há mecânicos não pós-graduados.
d) todos os trabalhadores são pós-graduados.
e) nem todos os engenheiros são pós-graduados.
Mais uma questão da mesma prova. Essa prova (EPPGG 2009) cobrou 5
questões com o Todo-Algum-Nenhum.
Para resolver vamos, mais uma vez, fazer os diagramas. Quando há a
estrutura “Algum” é mais fácil fazer por diagramas. Se só há o Todo e o
Nenhum, fica mais fácil substituir pelo “Se...então” e pelo “Se...~então”.
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Temos:
Todos os mecânicos são engenheiros:
Engenheiros
Mecânicos
Todos os engenheiros são pós-graduados:
Pós-graduados
Engenheiros
Mecânicos
Alguns administradores da empresa também são engenheiros:
Se alguns administradores da empresa também são engenheiros, temos que
há administradores dentro do círculo laranja dos engenheiros (e também pode
haver fora. O que sabemos com certeza é que há dentro):
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Pós-graduados
Administradores
Engenheiros
Mecânicos
Passemos à análise das alternativas:
a) todos os administradores são pós-graduados.
Alguns administradores são engenheiros. Neste caso, são pós-graduados, pois
todos os engenheiros são pós-graduados. Mas pode haver administradores que
não são engenheiros e, neste caso, não sabemos se são pós-graduados ou
não.
Alternativa falsa.
b) alguns administradores são pós-graduados.
Como alguns administradores são engenheiros, e todos os engenheiros são
pós-graduados, então com certeza alguns administradores são pós-graduados.
Alternativa correta.
c) há mecânicos não pós-graduados.
Todos os mecânicos são engenheiros e todos os engenheiros são pósgraduados. Assim, todos os mecânicos são pós-graduados.
Alternativa falsa.
d) todos os trabalhadores são pós-graduados.
Não, pois os administradores que não são engenheiros, por exemplo, podem
não ter pós-graduação. É a área cinza do desenho.
Alternativa falsa.
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e) nem todos os engenheiros são pós-graduados.
Não, pois todos os engenheiros são pós-graduados.
Alternativa errada.
Resposta: Letra B.
Questão 16 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Admita que, em um grupo: “se algumas pessoas não são honestas,
então algumas pessoas são punidas”. Desse modo, pode-se concluir
que, nesse grupo:
a) as pessoas honestas nunca são punidas.
b) as pessoas desonestas sempre são punidas.
c) se algumas pessoas são punidas, então algumas pessoas não são
honestas.
d) se ninguém é punido, então não há pessoas desonestas.
e) se todos são punidos, então todos são desonestos.
Temos o “algum” dentro de uma estrutura Se...então.
A questão quer saber o equivalente da frase do enunciado, que é: se algumas
pessoas não são honestas, então algumas pessoas são punidas.
Podemos dizer que:
p = algumas pessoas não são honestas
q = algumas pessoas são punidas,
A frase fica: p
q.
Já sabemos que o equivalente do p
desta frase é:
q é o ~q
~p. Então, o equivalente
~q = ~(algumas pessoas são punidas) = nenhuma pessoa é punida.
~p = ~(algumas pessoas não são honestas) = nenhuma pessoa não é
honesta.
~q
~p = Se nenhuma pessoa é punida, então nenhuma pessoa não é
honesta.
Substituindo o “não é honesta” por “desonesta”, temos:
~q
~p = Se nenhuma pessoa é punida, então nenhuma pessoa não é
honesta = Se nenhuma pessoa é punida, então nenhuma pessoa é desonesta.
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Reparem que a frase acima é a letra D, só que ao invés de “nenhuma pessoa é
desonesta”, a alternativa diz “não há pessoas desonestas”.
Resposta: Letra D.
Questão 17 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é:
a) De dia, todos os gatos são pardos.
b) De dia, nenhum gato é pardo.
c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo.
d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo.
e) À noite, nenhum gato é pardo.
Além de falar sobre a negação dos termos Todo, Algum e Nenhum, essa
questão mostra que, às vezes, com um pouco de malandragem, as bancas
tentam enganar o concurseiro. Vejamos:
A proposição proposta no enunciado é:
“À noite, todos os gatos são pardos.”
Se eu quiser negar essa preposição, posso falar “De dia, nenhum gato é
pardo”? Ou até mesmo “De dia, todos os gatos são pardos”?
Não.
A questão tenta induzir o candidato a achar que a negação de “À noite” é “de
dia”. O que é errado.
Em questões anteriores, consideramos que a negação de “competente” é
“incompetente”, entre outras.
Mas essas são negações diretas, simples.
Outra coisa, muito diferente, e errada, é considerar contrários como
negação.
Por exemplo, menino e menina são contrários, não negação. Quente e frio são
contrários, mas não negação. Assim como noite e dia, caso desta questão.
Dito isso, já podemos excluir as alternativas A, B e C.
A proposição é "À noite, todos os gatos são pardos".
Assim, vamos negar o Todo. Isso significa dizer que à noite, algum gato não é
pardo.
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A letra D diz isso. Ela diz que existe pelo menos um gato que não é pardo.
Resposta: letra D.
Questão 18 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Suponha que um pesquisador verificou que um determinado defensivo
agrícola em uma lavoura A produz o seguinte resultado: “Se o
defensivo é utilizado, as plantas não ficam doentes”, enquanto que o
mesmo defensivo em uma lavoura distinta B produz outro resultado:
“Se e somente se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam
doentes”. Sendo assim, se as plantas de uma lavoura A e de uma
lavoura B não ficaram doentes, pode-se concluir apenas que:
a) o defensivo foi utilizado em A e em B.
b) o defensivo foi utilizado em A.
c) o defensivo foi utilizado em B.
d) o defensivo não foi utilizado em A e foi utilizado em B.
e) o defensivo não foi utilizado nem em A nem em B.
Temos duas proposições:
-
Para a lavoura A: “Se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam
doentes”;
-
Para a lavoura B: “Se e somente se o defensivo é utilizado, as plantas
não ficam doentes”.
A questão diz que as plantas da lavoura A e da lavoura B não ficaram
doentes.
Ou seja, temos:
-
-
V
Para a lavoura A: “Se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam
doentes”;
V
Para a lavoura B: “Se e somente se o defensivo é utilizado, as plantas
não ficam doentes”.
A primeira proposição possui uma estrutura do tipo Se...então, que só é Falsa
no caso proibido, Se V então F. Como a segunda parte da proposição é V, a
proposição composta com certeza é V, não importando o valor lógico da
primeira parte.
Ou seja, tanto se “o defensivo é utilizado” for V quanto se “o defensivo é
utilizado” for F, a proposição composta é V.
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Então, concluímos que o defensivo pode ou não ter sido utilizado. De ambas as
maneiras, as plantas não ficaram doentes.
Na segunda proposição, temos a estrutura Se e somente se. Ela está no início
da frase (normalmente aparece no meio), mas isso não importa. O que ela
indica é que a proposição composta só será V se ambas as proposições simples
que a formam forem V ou se ambas as proposições simples que a formam
forem F.
Assim, como a segunda proposição que a forma é V, então a primeira
proposição deverá ser V também, para que a proposição composta seja V.
Portanto, para a lavoura B, “o defensivo é utilizado” deve ser V.
Concluímos, então, que o defensivo pode ou não ter sido utilizado em A, mas
com certeza foi utilizado em B.
Assim, a resposta é a letra C.
Resposta: letra C.
Questão 19 – ESAF/RFB/ATRFB/2012
A negação da proposição “se Paulo estuda, então Marta é atleta” é
logicamente equivalente à proposição:
a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.
b) Paulo estuda e Marta não é atleta.
c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.
Sabendo o Memorex do curso, já matamos a questão.
A negação do Se A então B é A E não B, portanto a resposta é Paulo estuda e
Marta não é atleta.
Resposta: Letra B.
Questão 20 – ESAF/RFB/ATRFB/2012
Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é
prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é
mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de
Maria. Logo
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a)
b)
c)
d)
e)
Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana.
Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana.
Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo.
Basta usar a frase "presente" Leila não é tia de Maria. Todas as outras
proposições são resolvidas pelo Caso Proibido do Se...Então. Fácil!!!!
F
F
Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos.
F
F
Se Natália é prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo.
F
F
Se Marta não é mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria.
V
Ora, Leila não é tia de Maria.
Finalmente, chegamos à conclusão de que Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não
é irmão de Ana.
Resposta: Letra D.
Ficamos por aqui.
Até a próxima aula.
Um abraço e qualquer dúvida me escrevam...
Karine
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3. Memorex
CONECTIVO
E
conjunção
Ou
Disjunção
ou... ou
Disjunção
Exclusiva
Se...então
Condicional
se e
somente
se
Bicondicional
ESTRUTURAS LÓGICAS
TABELA-VERDADE SÍMBOLOGIA NEGAÇÃO
VeV=V
~p v ~q
VeF=F
p
^
q
FeV=F
p → ~q
FeF=F
V ou V = V
V ou F = V
pvq
~p ^ ~q
F ou V = V
F ou F = F
ou V ou V = F
ou V ou F = V
ou F ou V = V
ou F ou F = F
Se V então V = V
Se V então F = F
Se F então V = V
Se F então F = V
V se e somente se
V=V
V se e somente se
F=F
F se e somente se
V=F
F se e somente se
F=V
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EQUIVALENTE
~p → q
p ↔ ~q
pvq
p↔q
~p ↔ q
~q → ~p
p→q
p ^ ~q
~p v q
p↔q
pvq
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(p → q) ^
(q ← p)
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4. Lista das Questões Comentadas
Questão 1 – ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010
A proposição “um número inteiro é par se e somente se o seu
quadrado for par” equivale logicamente à proposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um
número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é
ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o
quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
Questão 2 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com
José” é:
a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.
b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.
c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.
d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.
e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.
Questão 3 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009
A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da
Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
b) Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Milão não é a capital da Itália.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
Questão 4 – ESAF/RFB/AFRFB/2009
Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica
molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
Questão 5 – ESAF/MPOG/APO/2010
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Sejam F e G duas proposições e ~F e ~G suas respectivas negações.
Marque a opção que equivale logicamente à proposição composta: F se
e somente G.
a) F implica G e ~G implica F.
b) F implica G e ~F implica ~G.
c) Se F então G e se ~F então G.
d) F implica G e ~G implica ~F.
e) F se e somente se ~G.
Questão 6 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo:
a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito.
b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.
c) chover é condição necessária para o dia estar bonito.
d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.
e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito.
Questão 7 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:
a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.
b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.
c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é
a capital da França.
d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é
a capital da Inglaterra.
e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.
Questão 8 – ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009
Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
Questão 9 – ESAF/Ministério da Fazenda/ATA/2009
X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo assim:
a) Se X ≥ 4, então Y < 7.
b) Se Y > 7, então X ≥ 4.
c) Se Y < 7, então X ≥ 4.
d) Se Y ≤ 7, então X > 4.
e) Se X < 4, então Y ≥ 7.
Questão 10 – ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010
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Por definição, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais.
Considere então a proposição: “Um triângulo é equilátero se e somente
se os três ângulos são iguais”. Uma conclusão falsa desta proposição
é:
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja
equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais.
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo,
então o triângulo não é equilátero.
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são
diferentes uns dos outros.
Questão 11 – ESAF/MTE/AFT/2010
Um poliedro convexo é regular se e somente se for: um tetraedro ou
um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um
octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele
não é regular.
d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou
um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
Questão 12 – ESAF/MPOG/APO/2010
Questão 13 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Entre as opções abaixo, qual exemplifica uma contradição formal?
a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu.
b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano.
c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo.
d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo.
e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano.
Questão 14 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
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Considerando as seguintes proposições: “Alguns filósofos são
matemáticos” e “não é verdade que algum poeta é matemático”, podese concluir apenas que:
a) algum filósofo é poeta.
b) algum poeta é filósofo.
c) nenhum poeta é filósofo.
d) nenhum filósofo é poeta.
e) algum filósofo não é poeta.
Questão 15 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que todos os mecânicos
são engenheiros e que todos os engenheiros são pós-graduados. Se
alguns administradores da empresa também são engenheiros, pode-se
afirmar que, nessa empresa:
a) todos os administradores são pós-graduados.
b) alguns administradores são pós-graduados.
c) há mecânicos não pós-graduados.
d) todos os trabalhadores são pós-graduados.
e) nem todos os engenheiros são pós-graduados.
Questão 16 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Admita que, em um grupo: “se algumas pessoas não são honestas,
então algumas pessoas são punidas”. Desse modo, pode-se concluir
que, nesse grupo:
a) as pessoas honestas nunca são punidas.
b) as pessoas desonestas sempre são punidas.
c) se algumas pessoas são punidas, então algumas pessoas não são
honestas.
d) se ninguém é punido, então não há pessoas desonestas.
e) se todos são punidos, então todos são desonestos.
Questão 17 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é:
a) De dia, todos os gatos são pardos.
b) De dia, nenhum gato é pardo.
c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo.
d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo.
e) À noite, nenhum gato é pardo.
Questão 18 – ESAF/MPOG/EPPGG/2009
Suponha que um pesquisador verificou que um determinado defensivo
agrícola em uma lavoura A produz o seguinte resultado: “Se o
defensivo é utilizado, as plantas não ficam doentes”, enquanto que o
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mesmo defensivo em uma lavoura distinta B produz outro resultado:
“Se e somente se o defensivo é utilizado, as plantas não ficam
doentes”. Sendo assim, se as plantas de uma lavoura A e de uma
lavoura B não ficaram doentes, pode-se concluir apenas que:
a) o defensivo foi utilizado em A e em B.
b) o defensivo foi utilizado em A.
c) o defensivo foi utilizado em B.
d) o defensivo não foi utilizado em A e foi utilizado em B.
e) o defensivo não foi utilizado nem em A nem em B.
Questão 19 – ESAF/RFB/ATRFB/2012
A negação da proposição “se Paulo estuda, então Marta é atleta” é
logicamente equivalente à proposição:
a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.
b) Paulo estuda e Marta não é atleta.
c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.
Questão 20 – ESAF/RFB/ATRFB/2012
Se Paulo é irmão de Ana, então Natália é prima de Carlos. Se Natália é
prima de Carlos, então Marta não é mãe de Rodrigo. Se Marta não é
mãe de Rodrigo, então Leila é tia de Maria. Ora, Leila não é tia de
Maria. Logo
a)
b)
c)
d)
e)
Marta não é mãe de Rodrigo e Paulo é irmão de Ana.
Marta é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
Marta não é mãe de Rodrigo e Natália é prima de Carlos.
Marta é mãe de Rodrigo e Paulo não é irmão de Ana.
Natália não é prima de Carlos e Marta não é mãe de Rodrigo.
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