Progressões: Aritmética e Geométrica

PROFESSORA: KARINE WALDRICH
ICMS MA – LÓGICA E MATEMÁTICA – RESUMO 2 DE 4
PROFESSORA KARINE WALDRICH
ASSUNTO 2: Progressões: Aritmética e Geométrica. Unidades de Medida.
Conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades,
problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e
decimal.
Boa noite, concurseiros!!
Segue o resumo 2 para a SEFAZ MA.
Inclui o assunto “Conjuntos numéricos racionais e reais - operações,
propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária
e decimal” no resumo de hoje, porque percebi que dele saem várias questões
fáceis nas provas da FCC. Por isso, vale à pena estudar!!!
Sobre PA e PG, tenho uma observação a fazer. É um assunto fácil... Mas que
vem sendo cobrado de forma bem difícil pela FCC nas últimas provas.
Sobre isso, o que tenho a dizer é: NEM ENCANE!!!
Você vai estudar feito louco e se desesperar para TALVEZ cair uma questão
disso, que será PESO 1 e TALVEZ você conseguirá acertar?
Ora, não, jamais.
Por isso, estude apenas as questões mais fáceis, eu as coloquei abaixo. Questão
difícil você precisa acertar de Direito Tributário e de Legislação Estadual, pois
essas valem peso 2. Combinado?
Sobre o assunto Unidades de Medida, ele está sendo cobrado pela FCC junto
com o assunto “regra de três”, que veremos no último resumo.
Portanto, faremos mais questões desse assunto no último resumo, daqui duas
semanas.
Vamos às questões e aos conteúdos de hoje.
Progressões: Aritmética e Geométrica
Observem a seguinte sequência:
4, 7, 10, 13, 16, 19...
Poderia ser feita a seguinte pergunta: qual o 43º termo?
Diante dessa pergunta, é importante perceber qual foi o padrão utilizado para
a montagem da sequência.
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1
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Vejam que a sequência começa em 4 e aumenta 3 a cada termo.
Portanto, o 1º termo é 4, o 2º é 4 + 3 = 7, o 3º é 4 + 3 + 3 = 10... Ou seja, o
2º termo aumenta “1” 3, o 3º termo aumenta “2” 3, o 4º termo aumenta “3”
3...
Assim, é fácil perceber que o 43º termo aumentará “42” 3, ou seja, o 43º termo
será 4 + 42.3 = 130. Assim, o 43º termo é o 1º termo + (termo – 1)*taxa de
aumento.
Pois bem, a sequência acima é chamada de Progressão Aritmética.
Progressão porque cada termo relaciona-se ao anterior na sequência.
Aritmética pois é uma relação de soma (cada termo é o anterior somado a
algum outro número).
Existe uma equação para a PA (é assim que ela é chamada). A equação é um
resultado do raciocínio que tivemos acima:
an = a1 + (n – 1).r
an é o termo na n posição. Por exemplo, a43 é o 43º termo.
a1 é o termo na primeira posição. No nosso exemplo, a1 é 4.
r é a taxa de aumento. Na nossa PA, a cada termo aumenta-se 3 unidades. Por
isso, r = 3.
Vamos aplicar a equação acima para descobrir o 43º termo:
an = a1 + (n – 1).r
a43 = 4 + (43 – 1).3
a43 = 130
•
Soma dos termos de uma PA finita:
Vamos voltar ao nosso exemplo:
4, 7, 10, 13, 16, 19...
Vamos supor que ela acabe no 43º termo (aquele que encontramos acima):
4, 7, 10, 13, 16, 19... 130.
Se quisermos saber qual a soma de todos esses elementos (4 + 7 + 10 + ... +
130), podemos utilizar a seguinte equação:
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2
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a1 + an
.n
2
Sn =
Por exemplo, nesse caso:
a1 + a43
.43
2
S43 =
4 + 130
134
.43 =
.43 = 2881
2
2
S43 =
Assim, a soma 4 + 7 + 10 + ... + 130 = 2881.
A lógica da Progressão Geométrica é a mesma da Progressão Aritmética.
A diferença é o tipo de aumento. Enquanto lá tínhamos uma soma (exemplo,
termo 1 = 4, termo 2 = 4 + 3, termo 3 = 4 + 3 + 3, termo 4 = 4 + 3 + 3 +
3...), aqui temos um produto.
Ou seja, numa PG, as sequências têm a forma 4, 12, 36, 108... Veja:
a1 = 4
a2 = 4.3 = 12
a3 = 4.3.3 = 36
a4 = 4.3.3.3 = 108...
Assim, a equação da PG é:
an = a1.qn-1
Se na PA temos o r, que é a taxa de aumento, na PG temos o q, que funciona
da mesma maneira.
Vamos descobrir o 43º termo da PG que vimos acima:
a43 = 4.343-1 = 4.342
Podemos perceber que na PG os termos aumentam muito rapidamente,
justamente porque o termo é sempre resultado do termo anterior multiplicado,
e não somado a uma constante.
•
Soma dos termos de uma PG finita:
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3
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Da mesma forma como na PA, na PG existe uma equação que fornece a soma
de seus termos.
Na PG é importante saber se ela é finita ou não, ou seja, se ela possuir um último
termo ela é finita, do contrário é infinita.
A soma dos termos de uma PG finita é:
a1(qn 1)
q 1
Sn =
•
Soma dos termos de uma PG infinita:
A soma dos termos de uma PG infinita é:
a1
Sn = 1
q
2016/FCC/TRF - 3ª REGIÃO/Analista Judiciário
Uma peça de precisão é fabricada em diversas especificações. Observe
na tabela abaixo o catálogo das 12 primeiras dessas peças e seus
respectivos códigos, abaixo.
Mantendo o mesmo padrão, o código da 55ª peça desse catálogo é
a) 23*AB
b) 17**AA
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4
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c) 18*AA
d) 24**AB
e) 14**AA
A questão parece difícil e impossível, mas repare que basta saber o primeiro
número do código que você acerta a questão, já que todas as alternativas
possuem números diferentes.
A cada quatro códigos, o primeiro número aumenta. Os quatro primeiros
começam com 1, os quatro seguintes com 2, os próximos com 3, assim por
diante.
Assim, múltiplos de 4 são os últimos números de cada grupo com o mesmo
número inicial. Ou seja, 4 é o último número que inicia com 1, 8 é o último
número que inicia com 2...
Qual o múltiplo de 4 mais próximo de 55? Ora, 56 é múltiplo de 4, pois 56/4 =
14.
Assim, já sabemos que a resposta é letra E.
Resposta: letra E.
2016/FCC/TRT - 14ª Região (RO e AC)/Técnico Judiciário - Área
Administrativa
Observe os cinco primeiros termos de uma sequência numérica:
523, 520, 517, 514, 511, ... .
Mantido o mesmo padrão da sequência, o menor número não negativo
dela será
a) 0.
b) 1.
c) 3.
d) 2.
e) 4.
Mesma lógica da questão anterior.
Os números diminuem de 3 em 3. Então, devemos arrumar um número múltiplo
de 3 perto do número que desejamos.
Para saber se um número é múltiplo de 3, devemos somar os números do
número, e a soma deve ser múltiplo. Por exemplo:
523 -> 5 + 2 + 3 = 10 -> Não é múltiplo.
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5
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Mas o número anterior a este terá soma 9, portanto será múltiplo. Qual o número
anterior? 522 (5 + 2 + 2 = 9).
O que isso significa? Que se a sequência fosse de 522, 519... em diante, ela
“passaria” pelo 3 (pois seria uma sequência com múltiplos de 3). Antes de virar
negativa, essa sequência seria: 522, 519, ..., 6, 3, 0, -3, -6...
Mas ela é uma sequência com números múltiplos de 3 + 1.
Portanto, ela é: 523, 520, ..., 7, 4, 1, -2, -5... Assim por diante.
Qual o menor número não negativo? 1!!!!
Resposta: letra B.
2012/FCC/TCE-SP/AFF
A sequência D é obtida com a seguinte regra: exceto o primeiro termo,
que é escolhido aleatoriamente, todos os outros são obtidos com este
cálculo: o dobro do termo anterior menos dois. A sequência T é obtida
com a seguinte regra: exceto o primeiro termo, que é escolhido
aleatoriamente, todos os outros são obtidos com este cálculo: o triplo
do termo anterior menos três. Suponha a sequência T e a sequência D
ambas com o primeiro termo igual a 3. A diferença entre o 5o termo de
T e o 5o termo de D é
(A) 90.
(B) 94.
(C) 97.
(D) 105.
(E) 112.
Nesta questão, a sequência é pequena, e o melhor é calcular diretamente, todos
os termos, até o quinto termo (que é o pedido).
Sequência D:
D1
D2
D3
D4
D5
=
=
=
=
=
3
2.3 – 2 = 4
2.4 – 2 = 6
2.6 – 2 = 10
2.10 – 2 = 18
Sequência T:
T1
T2
T3
T4
T5
=
=
=
=
=
3
3.3 – 3 = 6
3.6 – 3 = 15
3.15 – 2 = 42
3.42 – 3 = 123
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T5 – D5 = 123 – 18 = 105
Resposta: Letra C.
PS: percebam que o jeito mais fácil de resolver essas questões não é
pelas equações de PA e PG, e sim achando um número múltiplo perto do
número que desejamos saber...
Unidades de Medidas
Temos, segundo o Inmetro:
O Sistema Métrico Decimal adotou, inicialmente, três unidades básicas
de medida: o metro, o quilograma e o segundo. Entretanto, o
desenvolvimento científico e tecnológico passou a exigir medições cada
vez mais precisas e diversificadas. Variadas modificações ocorreram até
que, em 1960, o Sistema Internacional de Unidades (SI), mais complexo
e sofisticado, foi consolidado pela 11ª Conferência Geral de Pesos e
Medidas. O SI foi adotado também pelo Brasil em 1962, e ratificado pela
Resolução nº 12 (de 1988) do Conselho Nacional de Metrologia,
Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro, tornando-se de uso
obrigatório em todo o Território Nacional.
Então, primeiramente, vamos definir o que é o Sistema Decimal.
É a nossa maneira de lidar com os números, que já está intrínseca no nosso
dia-a-dia.
Vejam só: ele utiliza como base dez dígitos - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Esses
dígitos servem para a formação de unidades, dezenas, centenas, milhares, etc.
Escrevemos os dígitos da esquerda para a direita, em ordem decrescente de
representatividade (quanto mais a esquerda, maior a representatividade do
número).
Fazem parte do Sistema Decimal de Medidas as medidas de comprimentos,
superfície, capacidade (volume), massa e tempo.
Vamos falar sobre cada uma dessas medidas.
1) Medidas de Comprimento
No Sistema Internacional, a medida padrão de comprimento é o metro. Mas
existem também os seus múltiplos e submúltiplos. Vejamos a tabela abaixo:
Unidade
Medidas de Comprimento
Abreviatura
Equivalente em metros
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Kilômetro
Hectômetro
Decâmetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
103m
102m
101m
10-1m
10-2m
10-3m
Km
Hm
Dam
M
Dm
Cm
Mm
2) Medidas de Superfície
No Sistema Internacional, a medida padrão de superfície (área) é o metro
quadrado. Novamente, contamos também com múltiplos e submúltiplos.
Vejamos a tabela abaixo:
Unidade
Kilômetro
quadrado
Hectômetro
quadrado
Decâmetro
quadrado
Metro
quadrado
Decímetro
quadrado
Centímetro
quadrado
Milímetro
quadrado
Medidas de Superfície (área)
Abreviatura
Equivalente em metros
quadrados
2
3 2 2
Km
(10 ) m = 1.000.000m2
Hm2
(102)2m2 = 10.000m2
Dam2
(101)2m2 = 100m2
m2
-
dm2
(10-1)2m2 = 0,01m2
cm2
(10-2)2m2 = 0,0001m2
mm2
(10-3)2m2 = 0,000001m2
3) Medidas de Capacidade (Volume)
No Sistema Internacional, a medida padrão de volume é o litro. O litro
corresponde à capacidade de um cubo com aresta (lado) de 1 dm. Novamente,
contamos também com múltiplos e submúltiplos. Vejamos a tabela abaixo:
Unidade
Kilolitro
Hectolitro
Decalitro
Litro
Decilitro
Centilitro
Medidas de Capacidade (volume)
Abreviatura
Equivalente em litros
Kl
1.000l = 1m3
Hl
100l
Dal
10l
L
Dl
0,1l
Cl
0,01l
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Mililitro
0,001l = 1cm3
Ml
Da tabela, também extrai-se que 1m3 = 1.000.000 cm3
4) Medidas de Massa
No Sistema Internacional, a medida padrão de volume é o grama. O grama
corresponde à massa de um mililitro de água. Novamente, contamos também
com múltiplos e submúltiplos. Vejamos a tabela abaixo:
Medidas de Massa
Abreviatura
Equivalente em gramas
Ton
1000kg = 1.000.000g
Kg
1.000g
Hg
100g
Dag
10g
G
Dg
0,1g
Cg
0,01g
Mg
0,001g
Unidade
Tonelada
Kilograma
Hectograma
Decagrama
Grama
Decigrama
Centigrama
Mililgrama
Além disso, temos as medidas de Tempo e de velocidade:
Unidade
Segundo
Medidas de Tempo
Abreviatura Equivalente Equivalente Equivalente
em
em Minutos
em Horas
Segundos
!
!
S
min
h
Minuto
Hora
Dia
60s
H
D
3.600s
86.400s
Unidade
Metro por
Segundo
Kilômetro
por Hora
"#
min
$."##
!
-
"#
60min
1.440min
h
24h
Medidas de Velocidade
Abreviatura Equivalente Equivalente
em m/s
em km/h
m/s
3,6km/h
km/h
!
$,"
m/s
-
2002/FCC/SEA-AP/Agente Penitenciário
A velocidade de 120 km/h equivale, aproximadamente, à velocidade
de
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(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
33,33 m/s
35 m/s
42,5 m/s
54,44 m/s
60 m/s
A informação mais importante que vocês devem levar para a prova é a de quê,
para transformar 1 m/s em km/h, basta multiplicar por 3,6.
E para transformar 1 km/h em m/s basta dividir por 3,6. Por exemplo, 10
m/s = 3,6 x 10 = 36 km/h.
Sabendo disso, vamos resolver a questão. Ela pergunta quanto é 120 km/h em
m/s. Já sabemos que para encontrar a resposta basta dividir por 3,6:
120
= 33,3𝑚/𝑠
3,6
Resposta: Letra A.
2010/FCC/TRF-4a/Téc. Jud.
Considere que:
1
1
1
1
milissegundo (ms) = 10-3 segundo
microssegundo (µs) = 10-6 segundo
nanossegundo (ns) = 10-9 segundo
picossegundo (ps) = 10-12 segundo
Nessas condições, a soma 1 ms + 10 µs + 100 ns + 1 000 ps NÃO é
igual a
(A) 1,010101 ms.
(B) 0,001010101 s.
(C) 1 010 101 000 ps.
(D) 1 010 101 ns.
(E) 1 0 101,01 µs.
Esta é uma questão que fala sobre submúltiplos de segundo, que são partes
menores de um segundo (é um segundo dividido algumas vezes por 10).
A própria questão explica o que significa cada múltiplo, mas vou reforçar as
explicações:
Submúltiplo
Sigla
Equivalente
em segundo
OBS:
1 milissegundo
Ms
10-3
Um
segundo
dividido por 1.000
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10
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1
microssegundo
µs
10-6
1 nanossegundo
Ns
10-9
1 picossegundo
Os
10-12
Um
segundo
dividido
por
1.000.000
Um
segundo
dividido
por
1.000.000.000
Um
segundo
dividido
por
1.000.000.000.000
A questão pede qual das alternativas não representa a soma de 1 ms + 10 µs +
100 ns + 1 000 ps.
A melhor maneira de resolver questões deste tipo é colocando todos os
elementos da equação na mesma unidade. Vamos usar segundos, pois cada
alternativa apresenta uma unidade, é mais fácil, posteriormente, alterar de
segundos para a unidade da alternativa.
Então, temos:
1 ms + 10 µs + 100 ns + 1000 ps
Transformando tudo para segundos:
1. 10-3 + 10. 10-6 + 100. 10-9 + 1000. 10-12
Lembrando que:
10-3 = 0,001
10-6 = 0,000001
10-9 = 0,000000001
10-12 = 0,000000000001
Substituindo na equação:
1. 0,001 + 10. 0,000001 + 100. 0,000000001 + 1000. 0,000000000001
0,001 + 0,00001 + 0,0000001 + 0,000000001
= 0,001010101 segundos.
A letra B traz essa resposta, estando, portanto, correta.
Para transformar de segundos para os demais submúltiplos, basta “separar” o
expoente de cada unidade da resposta acima. Falando ficou difícil, não é? Mas é
fácil! Veja só para o ms:
0,001010101 segundos = 1,010101. 10-3 segundos = 1,010101 ms (letra A traz
essa resposta, estando correta).
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0,001010101 segundos = 1010,101. 10-6 segundos = 1010,101 µs (letra E traz
uma resposta diferente, estando, portanto, errada. É o gabarito da nossa
questão).
0,001010101 segundos = 1010101. 10-9 segundos = 1010101 ns (letra D traz
essa resposta, estando correta).
0,001010101 segundos = 1010101000. 10-12 segundos = 1010101000 ps (letra
C traz essa resposta, estando correta).
Resposta: Letra E.
2004/FCC/TRT-22ª/Téc. Jud.
Dispõe-se de um bloco maciço de madeira com volume de 0,04 m3. Se a
densidade da madeira é 0,93 g/cm3, o peso desse bloco, em
quilogramas, é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
23,25
37,2
232,5
372
2325
Vou aproveitar a resolução para mostrar para vocês um método “rápido” de
conversão de unidades (múltiplos e submúltiplos).
Há questão diz que existe um bloco de volume 0,04 m3. Também dá uma
característica do material que compõem o bloco, que é a densidade.
A densidade é a quantidade de massa por unidade de volume de um corpo. A
densidade da água, por exemplo, é igual a 1 kg/l, ou seja, cada litro de água
pesa 1 kg. A unidade da densidade é qualquer unidade de massa dividido por
qualquer unidade de volume. Por isso, chamamos a unidade da densidade de
unidade derivada (pois ela deriva de outras duas unidades).
Ou seja, o enunciado fornece uma relação massa/volume (a densidade), indica
o volume e pede a massa.
O problema é que os volumes são dados em unidades diferentes (do volume do
cubo está em metros cúbicos e o volume incluído na densidade está em
centímetros cúbicos). E agora, como resolver?
Vamos usar uma regra que batizo de “Cortar Unidades”. Ela funciona da
seguinte forma:
1) Primeiro, pegamos a unidade derivada (no nosso caso, a massa/volume
da densidade):
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0,93
𝑔
𝑐𝑚$
2) Segundo, colocamos a relação de unidades que queremos encontrar. No
nosso caso, o enunciado fornece o volume em m3 e pede a massa em kg.
Sabemos que 1m3 = 1.000.000 cm3 e que 1kg = 1.000g.
Nosso objetivo é dispor isso em forma de fração na relação acima, de forma a
“cortar” as unidades indesejadas (não queremos nem cm3 e nem g) a manter
apenas as unidades desejadas (queremos um resultado em kg/m3).
2
!######34 5
0,93 345x
!4 5
!62
x!###2
3) Agora, basta “cortar as unidades” que não queremos, e multiplicar tudo o
que foi incluído na equação.
!######34 5
2
0,93 345x
!4 5
!######⬚
0,93x
!4 5
62
!62
x!###2
!62
x!###
62
0,93x1000 45 = 93045
Ou seja, 0,93 g/cm3 = 930 kg/m3. Agora, podemos utilizar uma Regra de Três
para encontrar o peso pedido na questão. Veja:
930kg ---------- 1m3
x kg ---------- 0,04m3
Multiplicando em cruz, temos:
x = 930.0,04
x = 37,2 kg
Resposta: Letra B.
Conjuntos numéricos racionais e reais operações, propriedades, problemas
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envolvendo as quatro operações nas formas
fracionária e decimal;
Observem o seguinte diagrama:
NÚMEROS
RACIONAIS (Q)
Ex: 1,333333 (...); 2/5;
...
NÚMEROS INTEIROS (Z)
Ex: -2; -1; 0; 1; 2
NÚMEROS
NATURAIS (N)
Ex: 0; 1; 2
Por este diagrama, vocês podem perceber que os números Racionais englobam
também os números Inteiros e os Naturais.
É impossível falar dos números Racionais sem falar dos números Inteiros e dos
Naturais.
Os números Inteiros são aqueles que não são frações. Por exemplo, Z = {..., 2, -1, 0, 1, 2, ...}. Normalmente, o conjunto dos números Inteiros é expresso
pela letra .
Assim, sabemos que
3
não é um número inteiro, pois ele é uma fração.
4
Dentro dos números Inteiros, como o diagrama mostra, existem os números
Naturais. São todos os Inteiros positivos, incluindo o Zero. O conjunto
dos números Naturais é expresso por N = {0, 1, 2, ...}.
Portanto,
3
não é um número Natural. Assim como –2.
4
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14
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Por fim, temos os números Racionais. Eles são os números Inteiros mais
as frações. Qualquer número que possa ser expresso por uma fração é um
número Racional. Normalmente, o conjunto dos números Racionais é chamado
de Q, isso porque Q vem de quociente.
Assim,
3
3
é um número Racional. - também.
4
4
E 1,33333333...? Será que é um número Racional?
Sim, pois 1,33333333... pode ser expresso sob a forma de fração. É o número
4
.
3
Números como o 1,33333333... são chamados de dízimas periódicas. São
números resultantes de divisões de frações.
No entanto, 1,376983987... não é número racional.
É, sim, um número Irracional. Números Irracionais são números que não
são dízimas periódicas e possuem número infinito de casas decimais.
Os números Irracionais não podem ser expressos por frações.
O conjunto dos números Reais é formado pelos números Racionais mais os
números Irracionais.
Basicamente, qualquer número que possa ser extraído de uma raiz é um número
Real.
O conjunto dos números Reais é denotado por R.
Operações com frações e decimais
Operações com frações são arroz de festa em concurso. Caem toda hora. Fora
que outros assuntos da Matemática e do Raciocínio Lógico muitas vezes incluem
frações, então acaba caindo dentro de outras questões também...
Inicialmente, cabe lembrar que a “parte de cima” da fração é o numerador, e a
“parte de baixo” é o denominador, como no esquema abaixo:
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2
7
Numerador
Denominador
Na adição, subtração, multiplicação e divisão com frações alguns cuidados
devem ser tomados. Vamos analisar cada uma das quatro operações:
•
Adição e Subtração de frações:
Na adição e subtração de frações, o importante é manter todos os
denominadores iguais. Essa é a regra principal. E como fazer isso? Vejam a soma
abaixo:
2 + 1 + 3
7
9
5
Para reduzir os três denominadores a um só, devemos encontrar o famoso MMC
– Mínimo Múltiplo Comum. O MMC é o menor número divisível pelos três
denominadores, tendo zero como resto. Na verdade, o menor número divisível
por qualquer número é o zero (pois podemos dividir o zero por qualquer número
e ter zero como resto). Então, o MMC é o menor múltiplo comum, a exceção do
zero.
No nosso exemplo, temos três denominadores: 7, 9 e 5. Cada um tem os seus
múltiplos. São eles (já excluímos o zero):
•
•
•
Múltiplos de 7: {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98,
105, 112, 119, 126, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189,
196, 203, 210, 217, 224, 231, 238, 245, 252, 259, 266, 273, 280, 287,
294, 301, 308 315, 322, 329, ...}
Múltiplos de 9: {9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, 126,
135, 144, 153, 162, 171, 180, 189, 198, 207, 216, 225, 234, 243, 252,
261, 270, 279, 288, 297, 306, 315, 324, 333, ...}
Múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75,
80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150,
155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215, 220,
225, 230, 235, 240, 245, 250, 255, 260, 265, 270, 275, 280, 285, 290,
295, 300, 305, 310, 315, 320, 325, ...}
Percebam que o menor número que é divisível pelos três números é 315.
Mas como descobrir isso sem precisar escrever todos esses números? Na hora
da prova vocês não podem perder esse tempo todo.
Para isso, utilizamos a Fatoração. Na fatoração, dividimos o número pelo menor
número primo possível, e seguir na divisão, até que se chegue a um quociente
igual a 1.
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Vamos fazer com os nossos denominadores (7, 9 e 5). Fatorando o 7:
7
1
7
Notem que como o 7 é um número primo, a fatoração do 7 é igual a ele mesmo.
Fatorando o 9:
9
3
1
3
3
Fatoração do 9 = 32.
Fatoração do 5:
5
1
5
Temos, então, a regra de ouro do MMC:
REGRA DE OURO DO MMC
Fatores não
comuns a todas
as fatorações
Entra no cálculo do MMC
Fatores comuns
a todas as
fatorações
Entra no cálculo do MMC
com o maior expoente
Seguindo essa regra, temos que o MMC (7, 5, 9) = 7 x 32 x 5 = 315.
Resgatando nossa soma inicial:
2 + 1 + 3
7
9
5
Agora, substituímos os denominadores pelo MMC. Em seguida, para cada fração,
dividimos pelo denominador original e multiplicamos pelo numerador, da
seguinte forma:
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Segundo passo:
MULTIPLICAR
2 X 32 x 5
X
Primeiro passo:
DIVIDIR
2 + 1 + 3
7
9
5
315 ÷ 7 = 32 x 5
=
÷
2
2
2x3 x5 + 1x7x5 + 3x3 x7
315
314
Fazendo a soma, chega-se no resultado de 315 .
•
Multiplicação e divisão de frações:
A multiplicação de frações é obtida diretamente, apenas multiplicando os
numeradores e denominadores entre si.
Exemplo:
3x4 = 3x4 = 4 = 4
5 9
5x9
5x3
15
Já a divisão de frações é encontrada pela inversão da fração pela qual se quer
dividir, seguida da multiplicação tradicional. Uma maneira mais fácil é através
do “Extremos pelos Meios”, ou seja:
Extremos
Potenciação e radiciação
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Meios
3
5
= 3 x 9 = 27
4
5x4
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A potenciação existe para quando os números envolvidos em uma
multiplicação são todos iguais.
Por exemplo, se temos:
3 x 3 x 3 x 3 = 81
Isso pode ser representado por:
34 = 81
Assim, a potenciação é formada por:
34 = 81
O “3” é a base da potência. O “4” é o expoente. E o 81 é o produto.
A potenciação possui algumas propriedades:
•
Multiplicação de potências de mesma base - conserva-se a base e
somam-se os expoentes:
22.23 = 22 + 3 = 25
•
Divisão de potências de mesma base - conserva-se a base e
subtraem-se os expoentes:
23
= 23
22
•
2
=2
Potências de potências - conserva-se a base e multiplicam-se os
expoentes:
(22 )3 = 22.3 = 26
Expressões algébricas
Expressões algébricas são expressões matemáticas que possuem letras e
números.
Por exemplo: 5a + b = 33
Existem infinitas
complexas.
expressões
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algébricas,
algumas
simples,
outras
bem
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Algumas contém operações de potenciação, radiciação, multiplicação, divisão,
soma, subtração...
As operações podem estar separadas, na expressão, por parênteses, colchetes,
chaves...
Por exemplo, tem-se a expressão algébrica:
2x + 5.{33 + 2 - 7.[4x – 2(7x – 4)]} = 10
Primeiramente, deve-se observar a ordem de resolução das operações que
estão dentro dos parênteses, colchetes e chaves:
PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES
E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO
ALGÉBRICA
1º
Parênteses (
2º
Colchetes [
3º
Chaves {
)
]
}
Observadas as ordens acima, deve-se realizar, primeiramente, as operações
seguindo o esquema abaixo:
PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE
OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO
ALGÉBRICA
1º
Potenciação e Radiciação
2º
Multiplicação ou Divisão
3º
Adição ou Subtração
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20
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Portanto, para resolver a expressão, fazemos:
2x + 5.{33 + 2 - 7.[4x – 2(7x – 4)]} = 10
1) Podemos resolver a potenciação, e realizar a multiplicação do
parênteses:
2x + 5.{27 + 2 - 7.[4x – 14x + 8]} = 10
2) Agora, realizamos a soma e a multiplicação dos colchetes:
2x + 5.{29 - 28x + 98x – 56} = 10
3) Realizamos a soma dentro das chaves:
2x + 5.{70x – 27} = 10
4) Finalmente, multiplicamos a chave:
2x + 350x – 135 = 10
5) Somamos os termos:
352x = 145
6) Descobrimos o valor de x:
x = 145/352
Cada expressão algébrica é diferente, mas, basicamente, segue esses passos.
Para aprender, não tem segredo, tem que treinar bastante...
Produtos notáveis
Os produtos notáveis são produtos de binômios a + b e a – b. Portanto, temos:
•
•
•
(a + b).(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b).(a – b) = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b).(a - b) = a2 - b2
2016/FCC/TRF - 3ª REGIÃO/Analista Judiciário - Área Administrativa
As letras da expressão x − (w − y) − (z − h), representam números
diferentes e serão substituídas, uma a uma e para efeito de cálculo,
pelos números naturais 9; 12; 13; 15 e 17, não necessariamente nessa
ordem. Opere apenas no conjunto dos números naturais. Para que o
resultado da expressão seja 8, as letras w e h devem ser substituídas,
respectivamente, por
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21
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a) 15 e 13.
b) 17 e 12.
c) 13 e 9.
d) 15 e 12.
e) 17 e 9.
Típica questão que parece difícil, mas é fácil, basta ter um pouco de
malandragem rsrs.
Precisamos chegar no resultado 8. Então, primeiramente, vamos pensar em qual
número pode ser o “x”, pois dele serão diminuídas as outras 2 combinações de
números (w – y e z – h).
x pode ser 9? Ora, não, porque se x for 9 vamos fazer duas subtrações (com os
números resultantes das operações dentro dos parentes) e logicamente vamos
chegar a um valor inferior a 8 (basta pensar que 9 – 1 = 8).
Vamos passar para o próximo valor de x. x pode ser 12?
Se x for 12, as demais subtrações deverão, juntas, retirar 4 unidades de 12,
para que se chegue a 8.
Isso é possível? Vejamos, os números que sobram são 9, 13, 15 e 17. 17 – 15
= 2, 17 – 13 = 4, 17 – 9 = 8. 15 – 13 = 2 e 15 – 9 = 4, 13 – 9 = 4. Pergunta:
existe alguma forma de DUAS dessas subtrações, somadas, dar 4 (para que se
retire 4 de 12 e se chegue a 8???? Não, impossível. Por isso, x não é 12.
Passemos ao 13. 13 – 8 = 5, então as duas subtrações, juntas, devem retirar 5
unidades de 13 para que se chegue a 8. Os números que sobram são 9, 12, 15
e 17. 17 – 15 = 2, 15 – 12 = 3, 15 – 9 = 5, 12 – 9 = 3. Há alguma soma dessas
subtrações que, COM NÚMEROS DIFERENTES (eles não podem se repetir,
lembrem-se) dê 5? HÁ!!!! Oras, 17 – 15 = 2 e 12 – 3 = 3.
Portanto 13 – (17 – 15) – (12 – 9) = 13 – 2 – 3 = 8. Bingoooooo.
A questão pede valores de w e h. w pode ser 17 ou 12, h pode ser 15 ou 9. Ou
seja, as opções de resposta possíveis são 17 e 9 OU 12 e 15 (observe que o
enunciado fala em w e h RESPECTIVAMENTE).
17 e 9 é a letra E. (claro que a FCC colocou 15 e 12, ao contrário, na
alternativa D, só pra confundir rsrs).
Resposta: letra E.
2016/FCC/TRT - 14ª Região (RO e AC)/Analista Judiciário - Oficial de
Justiça Avaliador Federal
Em um curso de informática, 2/3 dos alunos matriculados são mulheres.
Em certo dia de aula, 2/5 das mulheres matriculadas no curso estavam
presentes e todos os homens matriculados estavam presentes, o que
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22
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totalizou 27 alunos (homens e mulheres) presentes na aula. Nas
condições dadas, o total de alunos homens matriculados nesse curso é
igual a
a) 18.
b) 10.
c) 15.
d) 12.
e) 21.
INFORMAÇÃO IMPORTANTE: TODA VEZ QUE A QUESTÃO FALAR EM
“H/I DE J”
VOCÊ VAI SUBSTITUIR O “DE” POR UMA MULTIPLICAÇÃO. OU SEJA:
:
;
DE J =
:
;
xJ
Vamos chamar os alunos matriculados (homens e mulheres) de A.
Portanto, segundo o enunciado, temos:
2/3 dos alunos matriculados são mulheres
Conforme vimos, isso significa que:
<
$
<
$
de A = mulheres
x A = mulheres = M
Vamos chamar as “mulheres” de M e os homens de H. Então:
A = M + H (o total de alunos matriculados é igual ao número de mulheres
matriculadas + número de homens matriculados).
A=
<
$
xA+H
H=A–
H=
!
$
<
$
xA=
$
$
xA–
<
$
x A (lembrem-se que A = 1xA =
$
$
x A)
xA
Descobrimos que 1/3 dos alunos matriculados são homens e 2/3 são mulheres.
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23
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Vamos ver que outra informação o enunciado fornece. Ele diz que em um dia
qualquer, 2/5 das mulheres matriculadas no curso estavam presentes e todos
os homens matriculados estavam presentes, o que totalizou 27 alunos.
Vamos lá: 2/5 das mulheres matriculadas =
<
=
de M =
<
=
x M.
Todos os homens presentes = H
Total dos presentes = 27 =
<
=
x M + H
Precisamos ter apenas UMA INCÓGNITA (letra desconhecida) na equação,
sempre.
Sabemos que o total de mulheres é M =
<
$
x A e o total de homens é de H =
!
$
x
A. Podemos substituir as duas letras na equação, e aí teremos tudo em função
de A.
27 =
27 =
<
=
<
=
x M + H
x
<
$
xA+
!
$
xA
Para multiplicar duas frações multiplicamos numerador x numerador e
denominador x denominador:
27 =
>
!=
x A +
!
$
xA
Como 15 é múltiplo de 3, o MMC entre 15 e 3 é 15:
15.27 = 4𝐴 + 5.1𝐴
15
Agora, “retiramos” o 15 do denominador:
15.27 = 4𝐴 + 5.1𝐴
15.27 = 9𝐴
27/9 = 3, então:
15.3 = 𝐴
45 = 𝐴
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24
PROFESSORA: KARINE WALDRICH
Reparem que a questão não pergunta o total de alunos matriculados, e sim o
total de homens, que, como vimos, é 1/3 x A. Ou seja, 1/3 de 45 é 15, portanto
são 15 homens matriculados.
Resposta: letra C.
2010/FCC/TCE-SP/AFF
De gosto muito duvidoso, Alfonso, a fim de distrair-se, estava
escrevendo a sucessão dos números naturais – começando do zero quando sua esposa o chamou para jantar, fazendo com que ele
interrompesse a escrita após escrever certo número. Considerando que,
até parar, Alfonso havia escrito 4 250 algarismos, o último número que
ele escreveu foi
(A) 1 339.
(B) 1 353.
(C) 1 587.
(D) 1 599.
(E) 1 729.
“Sucessão dos números naturais” sabemos o que é. Afinal:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...}
Mas e o que é Algarismo? Algarismo é o símbolo que compõe o número. São
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Com estes símbolos, formamos todos os
números existentes. Por exemplo, o número “35” é formado de 2 algarismos –
o “3” e o “5”.
Se o Alfonso da questão escreveu 4250 algarismos, ele escreveu vários números
também. E para saber qual foi o último número escrito por ele, precisamos
repetir sua façanha e escrever todos os algarismos novamente?
Não. Basta termos em mente de quantos algarismos os números são formados.
Vejamos a tabela abaixo:
Sequência
0
10
100
1000
–
–
–
–
Quantidade Quantidade Quantidade
de
total de
total de
algarismos
números
algarismos
por
número
9
1
10
10
99
2
90
180
999
3
900
2700
9999
4
9000
36000
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25
PROFESSORA: KARINE WALDRICH
Alfonso escreveu 4250 algarismos... Isso quer dizer que o último número está
entre 1000 e 9999 (pois se ele tivesse escrito 9999 números já seriam 36000
algarismos).
Para saber o último número, precisamos saber a quantidade de algarismos entre
os números 1000 e 9999. Para isso, basta somar a quantidade total de
algarismos existente até 999, e diminuir este resultado de 4250. Como os
números entre 1000 e 9999 possuem 4 algarismos, basta dividirmos a
quantidade encontrada por 4:
2700 + 180 + 10 = 2890
4250 – 2890 = 1360
1360 = 340
4
Assim, sabemos que Alfonso escreveu 340 números entre 1000 e 9999. O
primeiro número é 1000, o segundo é 1001... assim por diante. Dessa forma,
quando ele escrever o número 1339, terá escrito 4250 algarismos.
Resposta: Letra A.
2010/FCC/TCE-SP/Auxiliar de Fiscalização Financeira
Em uma seção do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo trabalham
23 pessoas, entre homens e mulheres. Se, nessa seção, 5/14 do número
de funcionários do sexo masculino usam óculos, a quantidade de
mulheres é um número
(A) par.
(B) primo.
(C) menor que 7.
(D) maior que 10.
(E) quadrado perfeito.
A questão diz que, numa seção, trabalham 23 pessoas, entre homens e
mulheres. A questão quer saber o número de mulheres.
H + M = 23
Do total de homens, 5/14 usam óculos. Ou seja, o número de homens só pode
ser múltiplo de 14. Se forem 14 homens, 5 usam óculos. Se forem 28 homens,
10 usam óculos, assim por diante.
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26
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Não pode ser 20 homens, por exemplo, pois nesse caso teríamos 5/14 de 20
homens usando óculos, o que resultaria em 7,14 homens usando óculos.
O mesmo acontece para qualquer outro número de homens, que não sejam
múltiplos de 14.
Portanto, temos que o número de homens só pode ser 14, 28, 42...
Nesse caso, só pode ser 14 o número de homens, pois a questão fala que a soma
de homens e mulheres é de 23 pessoas. Se forem 28 homens esse número já
estará ultrapassado.
Assim, temos, na seção, 14 homens.
H + M = 23
M = 23 – 14 = 9
Vamos à análise das alternativas:
(A)
par.
Falso, 9 não é par.
(B)
primo.
Falso, como vimos, números primos só são divisíveis por si mesmo e por 1. 9 é
divisível por 3.
(C)
menor que 7.
Falso, 9 é maior que 7.
(D)
maior que 10.
Falso, 9 é menor que 10.
(E)
quadrado perfeito.
Correto. 9 é quadrado perfeito do número 3, afinal 32 = 9.
Resposta: Letra E.
2011/FCC/BB/Escriturário
Gertrudes e Rubem - funcionários de uma Agência do Banco do Brasil receberam, cada um, uma mesma quantidade de folhetos para a
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27
PROFESSORA: KARINE WALDRICH
divulgação de serviços e produtos oferecidos pelo Banco. Sabendo que,
se Gertrudes repassar a terça parte de seu total de folhetos para Rubem,
então ele terá que distribuir 64 folhetos a mais do que ela. É correto
concluir que o total de folhetos que cada um recebeu inicialmente é um
número compreendido entre
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
10 e 25.
25 e 50.
50 e 75.
75 e 100.
100 e 125.
Chamaremos Gertrudes de G e Rubem de R.
G recebeu x folhetos no início, assim como R.
No entanto, G repassou 1/3 dos folhetos para R. Assim, G ficou com:
G= x
1
x
3
Já R, que recebeu os folhetos de G, ficou com 1/3x a mais de folhetos do que no
começo:
R= x+
1
x
3
A questão informa que, dessa maneira, R ficou com 64 folhetos a mais do que
G. Assim a diferença R – G é de 64 folhetos.
Temos, então:
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28
PROFESSORA: KARINE WALDRICH
R
x+
1
x
3
x+
1
x
3
G = 64
x
1
x = 64
3
x+
1
x = 64
3
2
x = 64
3
2 x = 192
x = 96
Inicialmente, cada um recebeu 96 folhetos, o que está compreendido entre 75
e 100.
Resposta: letra D.
2010/FCC/TCE-SP/Agente de Fiscalização Financeira
Em uma viagem de turismo à Argentina, Estanislau ficou fascinado com
as máquinas de caça níqueis de um cassino e, sabendo que poderia usar
moedas brasileiras, resolveu testar a sua sorte em uma máquina.
Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso: teve sorte e
duplicou a quantia que tinha colocado na máquina; entretanto, logo a
seguir, perdeu 4 reais. Na terceira jogada novamente teve sorte e
duplicou a quantia com que ficara, mas, em seguida, perdeu outros 4
reais. Na quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que
ficara, após o que perdeu mais 4 reais. Se após essa última jogada
Estanislau ficou sem nenhuma moeda, então, antes de começar a jogar,
o total de moedas que tinha no bolso totalizava, em reais, uma quantia
compreendida entre
(A) 2,25 e 3,00.
(B) 3,00 e 3,75.
(C) 3,75 e 4,50.
(D) 4,50 e 5,25.
(E) 5,25 e 6,00.
Vamos aproveitar essa questão para falar um pouco sobre a ordem de resolução
das operações com números.
A questão pergunta qual o valor inicial que Estanislau possuía no bolso. É
importante, para resolvê-la, transformar em equações o que o enunciado diz em
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29
PROFESSORA: KARINE WALDRICH
forma de frases. Vamos passo a passo (e é exatamente assim que vocês devem
resolver a questão na hora da prova):
“Primeiramente, usou todas as moedas que tinha no bolso”: chamaremos
este valor inicial de x.
“duplicou a quantia que tinha colocado na máquina”: 2x
“logo a seguir, perdeu 4 reais”: 2x - 4
“Na terceira jogada novamente teve sorte e duplicou a quantia com que
ficara”: 2.(2x – 4)
“mas, em seguida, perdeu outros 4 reais.”: 2.(2x – 4) – 4
“Na quinta jogada, de novo a sorte duplicou a quantia com que ficara”:
2.[2.(2x – 4) – 4]
“após o que perdeu mais 4 reais.”: 2.[2.(2x – 4) – 4] – 4
“Se após essa última jogada Estanislau ficou sem nenhuma moeda”:
2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0
“então, antes de começar a jogar, o total de moedas que tinha no bolso
totalizava, em reais, uma quantia compreendida entre”: x = ???
Nosso passo a passo nos conduziu à seguinte expressão:
2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0
Para resolvê-la, é importante sabermos a ordem de prioridade com as quais as
operações dentro das expressões devem ser resolvidas. Algumas devem ser
resolvidas por primeiro, outras em seguida e outras por último. O esquema
abaixo demonstra essa prioridade:
PRIORIDADE DE RESOLUÇÃO DE
OPERAÇÕES EM UMA EXPRESSÃO
ALGÉBRICA
1º
Potenciação e Radiciação
2º
Multiplicação ou Divisão
3º
Adição ou Subtração
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30
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Outra prioridade existente é relativa à presença de parênteses, colchetes ou
chaves nas expressões:
PRIORIDADES – PARÊNTESES, COLCHETES
E CHAVES EM UMA EXPRESSÃO
ALGÉBRICA
1º
Parênteses (
2º
Colchetes [
3º
Chaves {
)
]
}
Sabendo esses conceitos, basta aplicá-los à resolução da expressão:
2.[2.(2x – 4) – 4] – 4 = 0
2. [4x – 8 – 4] – 4 = 0
2. [4x – 12] – 4 = 0
8x – 24 – 4 = 0
8x – 28 = 0
8x = 28
x = 28 = 3,5
8
Logo, a quantia está compreendida entre 3,0 e 3,75.
Resposta: Letra B.
2009/FCC/TCE-GO/Téc. Jud.
2
A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 7 da sua receita
3
anual seja aplicada em educação. Daquilo que sobra, 5 deve ser
destinado à saúde. Descontando tudo que foi gasto em educação e
saúde, o restante é dividido igualmente entre as despesas com
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PROFESSORA: KARINE WALDRICH
funcionários e gastos com transporte e habitação. Sabendo que no ano
de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com transporte e habitação, podese concluir que a receita daquele ano, em milhares de reais, foi
(A) 600
(B) 1.200
(C) 1.500
(D) 2.100
(E) 3.000
Questão com frações.
Vamos analisar cada parte do enunciado e resolvendo aos poucos.
2
7 da receita anual do município deve ser aplicado em educação.
2
“A prefeitura de um pequeno município estabeleceu que 7 da sua receita
anual seja aplicada em educação.”: chamando a receita anual de x, a parte
2x
correspondente à educação equivale a 7 .
3
“Daquilo que sobra, 5 deve ser destinado à saúde”:
3 x – 2x
7
Receita para saúde = 5
“Descontando tudo que foi gasto em educação e saúde, o restante é
dividido igualmente entre as despesas com funcionários e gastos com
transporte e habitação.” Despesas com funcionários = Gastos com transporte
1 x – 2x – 3 x – 2x
7
5
7
e habitação = 2
“Sabendo que no ano de 2008 foram gastos R$ 300.000,00 com
transporte e habitação, pode-se concluir que a receita daquele ano, em
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milhares de reais, foi”: Gastos
1 x – 2 x – 3 x – 2 x = 300.000
2
7
5
7
1 x – 2x – 3x + 6 x
2
7
5
35
com
transporte
e
habitação
=
= 300.000
1 (35x – 10x – 21x + 6x) = 300.000
2
35
1 10x =
2 35
5x
35
= 300.000
x = 2.100.000
Como a questão pede o resultado em milhares de reais (1 milhar de real = 1000
reais), a resposta é 2.100.
Resposta: Letra D.
2009/FCC/TCE-GO/Téc. Jud.
Certo mês, do total de equipamentos que estavam em uma oficina, sabe3
5
8
12
se que: foram reparados por Eustáquio,
por Alceste e os demais por
Corifeu. Assim sendo, nesse mês, o total de equipamentos reparados
nessa oficina poderia ser igual a
(A) 36
(B) 40
(C) 60
(D) 72
(E) 84
Essa questão pode ser facilmente resolvida através da análise das alternativas.
3
Se 8 dos equipamentos foram reparados por Eustáquio, é lógico que o número
de equipamentos deve ser um múltiplo de 8, certo? Caso contrário, poderia ser
encontrado o valor de “meio equipamento”, e é lógico que não existe “meio
equipamento”.
Dessa maneira, eliminamos as alternativas a, c e e.
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PROFESSORA: KARINE WALDRICH
5
12
Além disso,
foram reparados por Alceste. Tanto 72 (alternativa d) quanto 84
(alternativa e) são múltiplos de 12, podendo ser resposta da questão.
Passamos então para os equipamentos reparados por Corifeu, que é o restante
dos equipamentos (os que não foram reparados nem por Eustáquio nem por
Alceste). Traduzindo para uma equação (e chamando o total de equipamentos
reparados na oficina de x), temos:
x – 3x – 5 x
8
12
Total de equipamentos reparados por Corifeu =
Total de equipamentos reparados por Corifeu =
24x – 9x – 10x = 5 x
24
24
Da mesma maneira como pensamos antes, o número total de equipamentos da
oficina deve ser múltiplo de 24, para não haver possibilidade de “meio
equipamento”. 84 não é múltiplo de 24, já 72 sim.
Resposta: letra D.
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