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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos.
Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que
introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por
nós conhecidos sendo quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos
anteriores. Então, precisamos escolher o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o
que vamos explicar e provar em termos do que já foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o
conhecimento dos números da adição, da subtração, multiplicação e a divisão por número diferente de
zero.
1.1) Sistematização dos Conjuntos Numéricos
Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o
processo construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido
de conceitos primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N={1,2,3,...}. Define-se
depois sobre N duas operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o
estudo dos números naturais demonstrando as propriedades.
- Conjunto dos Números Naturais (N)
Propriedades:
1) 1 ∈ N.
2) ∀ n ∈ N, ∃! n+1 ∈N e n+1 é o sucessor de n.
3) ∀ m, n ∈ N se m+1 = n+1 → m = n.
4) Seja S ⊂ N com as propriedades:
a)
1 ∈ S.
b) ∀ s ∈ S → s+1 ∈ S.
Logo, S = N (Princípio da Indução)
Assim tem-se:
N = {1,2,3,...}
A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado
em relação a adição e a multiplicação.
Exemplo: Sejam a, b ∈ N
x = a + b e x = a.b
São equações que têm solução em N.
Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N.
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- Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as
equações acima. Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número
natural a, existe (-a) tal que a + (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero.
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e
multiplicação, mas não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem
solução em Z.
Exemplo: 2x = 5 → x =
5
2
∉Z
- Conjunto dos Números Racionais (Q)
Q é um conjunto numérico formado por números da forma p q , onde p e q ∈ Z e q ≠ 0. Esses
números racionais podem ser escritos na base 10, como decimais finitos ou decimais infinitos e periódicos.
Exemplo: 2,3 ; 0,3333... ; 2,2323...
O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão, exceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é
possível resolver a equação x2 = a
Exemplo: x
2
=2→x=
Demonstração que
•
2 ∉Q.
2 ∉Q :
O quadrado de um número par é par:
2.n onde n é inteiro.
(2.n) 2 = 4.n 2 = 2.(2.n 2 ) é PAR.
N
•
O quadrado de um número ímpar é ímpar:
2n + 1
(2n + 1)
2
= 4n
2
2
2n) + 1 é ÍMPAR.
+
+ 4n + 1 = 2.(2n
N
Demonstração por contradição:
Suponha que
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2 ∈Q∴∃ a ∈ Q
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a
2
=2
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a=
•
m
a
n
2
2
m
  =2
n
=2
m
2
= 2n
2
⇒ m é par .
m, n ≠ 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares
Se m é par m = 2.k, então:
(2.k)
2
= 2.n
2
4k
2
= 2n
2
O que contradiz a hipótese logo
2k
2
=n
2
⇒ n é par.
2 ∉Q .
Exemplos de números não racionais: 2,3791...; 2 ;π;e.
- Conjunto dos Números Reais (R)
É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e irracionais.
- Conjunto dos Números Irracionais (Q’)
É o conjunto dos números tais que a equação x 2 = a tem sempre solução quando a é um número
racional positivo. Os números irracionais na notação decimal corresponde aos decimais infinitos e não
periódicos.
Exemplos: 2,37951..., π, e.
•
Q ∩ Q' = φ ou { }
•
Q ∪ Q' = R
Propriedades dos Números Reais:
1) Lei comutativa da adição
∀ x, y ∈ R → x + y = y + x
2) Lei comutativa da multiplicação
∀ x, y ∈ R → x . y = y . x
3) Lei associativa da adição
∀ x, y, z ∈ R → (x + y) + z = x + (y + z)
4) Lei associativa da multiplicação
∀ x, y, z ∈ R → (x . y) . z = x . (y . z)
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5) Lei da existência do elemento neutro da adição
∃ o 0∈R/x+0=x:∀x∈R
6) Lei da existência do elemento neutro da multiplicação
∃
1∈R/1.x=x:∀x∈R
7) Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição
∀ x ∈ R , ∃ (-x) ∈ R / x + (-x) = 0
8) Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação
∀ x ∈ R , x ≠ 0, ∃ x-1 ∈ R / x . x-1 = 1
9) Lei distributiva da multiplicação em relação a adição
∀ x, y, z ∈ R → x (y + z) = x.y + x.z
10) Lei do fechamento da adição
∀ x, y ∈ R → x + y ∈ R
11) Lei do fechamento da multiplicação
∀ x, y ∈ R → x . y ∈ R
12) Lei do cancelamento em relação a adição
∀ x, y, z ∈ R se x + z = y + z ⇒ x = y
13) Lei do cancelamento em relação a multiplicação
∀ x, y, z ∈ R e z ≠ 0 se x . z = y . z ⇒ x = y
14) Lei da tricotomia
∀ x, y ∈ R, vale uma e somente uma das afirmações:
x > y ou
x < y ou
x=y
Obs.: fazendo y = 0, temos:
x>0
ou
x<0
ou
x=0
15) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição
∀ x, y, z ∈ R se x + z > y + z ⇒ x > y
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16) Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação
∀ x, y, z ∈ R e z > 0 se x > y ⇒ x . z > y . z
Obs.: se z < 0 : x > y ⇒ x . z < y . z
17) Lei da transitividade
∀ x, y, z ∈ R se x > y e y > z ⇒ x > z
Exercícios:
1) Responda (V) ou (F) e justifique.
a)
Se x é um número positivo ⇒ 5x é um número positivo
b) Se x < 3 e y > 3 ⇒ x < y
c)
Se x ≤ y ⇒ -5x ≤ -5y
d) Se x2 ≤ 9 ⇒ x ≤ 3
e)
Se x ≥ 2 e y > x ⇒ y > 0
Respostas:
(V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo (x) sempre terá como
resultado um número positivo.]
(V) É verdadeiro porque se x < 3, x é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3, y é qualquer
número maior que 3. Assim x < y.
(V) Podemos simplificar a equação: -5x ≤ -5y em x ≤ y.
(F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x2 ≤ 9
x2 = 9
x=±3
(V) x ≥ 2
a)
2
x≤3
x ≥ -3
y>x
y>2
x
1.2) Representação Geométrica dos Números Reais
Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de
tal forma que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está
associado a um único ponto da reta
negativos
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0
positivos
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1.3) Espaço Real Unidimensional
Definições
1) Conjunto linear
Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou de seus pontos
representativos.
2) Intervalos
São subconjuntos da reta e podemos considerar os seguintes casos: (sejam a e b números
reais tais que a < b)
a)
Intervalo fechado de extremos a e b. [
[
]
{x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
a
b
[a, b]
b) Intervalo aberto de extremos a e b. ( ou ]
c)
[
]
{x ∈ R / a < x < b}
a
b
(a, b) ou ]a, b[
(
]
{x ∈ R / a < x ≤ b}
a
b
(a, b] ou ]a, b]
[
)
{x ∈ R / a ≤ x < b}
a
b
[a, b) ou [a, b[
Intervalos reais semi-abertos:
c.1) à esquerda
c.2) à direita
d) Intervalos reais ilimitados
d.1) (-∞, b] ⇒ {x ∈ R / x ≤ b}
]
b
d.2) (-∞, b) ⇒ {x ∈ R / x < b}
)
b
d.3) [a, ∞) ⇒ {x ∈ R / x ≥ a}
[
a
d.4) (a, ∞) ⇒ {x ∈ R / x > a}
(
a
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Intervalo degenerado
a
{x ∈ R / x = a} = [a, a]
3) Supremo (limite superior)
Um número real L é supremo de um conjunto linear A se e somente se (↔) são verificadas
as seguintes condições:
•
L ≥ x, ∀ x ∈ A
•
Dado L1 < L, então (→) ∃ x ∈ A / L1 < x < L.
4) Ínfimo (limite inferior)
Um número real l é ínfimo de um conjunto linear a ↔ são verificadas as seguintes
condições:
•
l ≤ x, ∀ x ∈ A
•
Dado l1 > l → ∃ x ∈ A / l < x < l1.
5) Máximo de um conjunto
Um número real L é máximo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes
condições:
•
L é supremo de A
•
L ∈ A.
6) Mínimo de um conjunto
Um número real l é mínimo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes
condições:
•
l é ínfimo de A
•
l ∈ A.
Exercício:
A = (2, 5]
B = { x ∈ R / x > 2}
C = { x ∈ R / x ≤ 3}
Determinar:
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Superior (A) : 5
Superior (B) : ∃
Superior (C) : 3
Ínfimo (A) : 2
Ínfimo (B) : 2
Ínfimo (C) : ∃
Máximo (A) : 5
Máximo (B) : ∃
Máximo (C) : 3
Mínimo (A) : ∃
Mínimo (B) : ∃
Mínimo (C) : ∃
7) Distância em R (unidimensional)
Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas são a e b respectivamente e a < b.
A distância de P até Q indicada por d (P, Q) é dada por |b – a|
P
a
•
Q
|b – a|
(b − a)
|b – a| =
b
2
d (P, Q) = |b – a|
ou
d (P, Q) =
(b
− a)
2
8) Vizinhança em R (unidimensional)
Denomina-se vizinhança unidimensional de um ponto P0 (X0) e de raio δ (delta) δ ∈ R a
todo conjunto de pontos P (x) ∈ R / d (P, P0) < δ.
V (P0, δ) = {x ∈ R / 0 ≤ d (P, P0) < δ}, onde x é a abscissa do ponto P
P0
(
)
x0-δ
X0
δ
x0+δ
0 ≤ |x – x0| < δ
δ
9) Vizinhança perfurada em R
Denomina-se vizinhança perfurada unidimensional de um ponto P0 (X0) e de raio δ ∈ R a
todo o conjunto de pontos P (x) ∈ R / 0 < d (P, P0) < δ
V (P0, δ) = {x ∈ R / 0 < d (P, P0) < δ}
V (P0, δ) = 0 < |x - x0| < δ
10) Ponto de acumulação
Um ponto P0 (X0) é A se e somente se ∀ V (P0) existir pelo menos um ponto P ∈ R / P ∈ A
e P ∈ V (P0).
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a
P0
b
(( )
( | )
( ] )
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OBS.: Um ponto de acumulação pode não pertencer a um conjunto (sendo o supremo do
conjunto ou ínfimo).
11) Valor absoluto ou módulo de um número real
Denomina-se módulo ou valor absoluto de um número x ∈ R, o número definido por
|x| = x se x ≥ 0 → |x| = 0 ↔ x = 0
|x| = -x se x < 0
Pela definição podemos notar que o módulo de um número real é ele mesmo caso esse
número seja positivo e será o oposto dele caso ele seja negativo.
Geometricamente o módulo de um número real x (|x|) representa a distância que um ponto P
(x) se encontra da origem.
0
x
|
|
|x|
P
-3
0
5
|
|
|
Q
P
|-3|
|5|
Genericamente se P (a) e Q (b) são dois pontos da reta numérica, então a distância de P até
Q poderá ser calculada por: d (P, Q) = |b – a|
x = x2
|b – a| =
d (P, Q) =
(b − a) 2
(b − a)
2
Propriedades decorrentes da definição:
1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0
2) |x|2 = x2
3) |x| =
x2
4) |x . y| = |x| . |y|
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x
5)
=
y
x
y
se y ≠ 0
6) |x + y| ≤ |x| + |y| → desigualdade triangular
7) |x| = |y| → x = ± y
Seja a ≥ 0
|x| = a → x = ± a
8) |x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a
9) |x| ≥ a → x ≤ -a ou x ≥ a
Demonstrações das propriedades acima
P1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0
x∈R
Pela Lei da Tricotomia; ou x > 0 ou x < 0 ou x = 0.
•
Se x > 0: |x| = x mas x > 0 ∴ |x| > 0
•
Se x < 0: |x| = -x mas x < 0 ∴ -x > 0 ∴ |x| > 0
•
Se x = 0: |x| = 0
P2) |x|2 = x2
•
Se x > 0: |x| = x → |x|2 = x2
•
Se x < 0: |x| = -x → |x|2 = (-x)2 = x2
•
Se x = 0: |x| = x → |x|2 = x2
x2
P3) |x| =
a indica a raiz quadrada positiva de um número a ≥ 0.
x
2
= x2
→ pela propriedade 2
x = x2
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P4) |x . y| = |x| . |y|
|x . y|2 = (x . y)2
|x . y| =
(x . y) 2
|x . y| =
x 2 .y 2
|x . y| =
x2 . y2
|x . y| = |x| . |y|
x
x
=
y
y
P5)
(y ≠ 0 )
P6) |x + y| ≤ |x| + |y|
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = |x|2 + 2xy + |y|2
Obs.:
x ≤ |x|
2xy ≤ |2xy|
2xy ≤ 2 |x| |y|
2
(x + y) ≤ |x|2 + 2 |x| |y| + |y|2
|x + y|2 ≤ ( |x| + |y| )2
|x + y| ≤ |x| + |y|
P7) |x| = |y| → x = ± y
|x|2 = |y|2
x2 = y2
x=±y
P8) |x| ≤ a
0 [
•
x ≥ 0 → |x| = x ⇒ x ≤ a
•
x < 0 → |x| = -x ⇒ -x ≤ a → x ≥ -a
]a
-a [
-a [
]a
-a ≤ x ≤ a
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P9) |x| ≥ a → x ≥ a ou x ≤ -a
x ≥ 0 → |x| = x
•
a[
x≥a
x < 0 → |x| = -x
•
] –a
-x ≥ a → x ≤ -a
]–a
a[
x ≥ a ou x ≤ -a
Exemplos:
Resolver as equações e inequações:
a)
|x – 3| = 2
|x| = a → x = ± a
b) |x – 3| = 2
•
|x – 3| = -2
x–3=2
x – 3 = -2
x=5
x=1
Resposta: x = 5 ou x = 1.
b) |x – 5| = |3x – 1|
|x| = |y| → x = ± y
c)
x – 5 = 3x - 1
•
2x = -4
4x = 6
x = -2
x=
Resposta: x = -2 ou x =
c)
x – 5 = -3x + 1
3
2
3
.
2
|4x – 6| ≤ 3
|x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a
-3 ≤ 4x - 6 ≤ 3
−3 + 6
3+6
≤x≤
4
4
Resposta:
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3
9
≤x≤ .
4
4
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d) |3x + 5| > 2
|x| > a → x > a ou x < -a
d) 3x + 5 > 2
•
x > -1
3x + 5 < -2
x<−
Resposta: x > -1 ou x < −
7
3
7
.
3
2) Sistema de Coordenadas Cartesianas
2.1) Par Ordenado
É um conjunto de 2 elementos x, y indicado por (x, y) em que a ordem dos elementos deve ser
respeitada.
(x, y) = (y, x) ↔ x = y
(x1, y1) = (x2, y2) ↔ x1 = x2 e y1 = y2
No par ordenado (x, y) o elemento x é chamado primeiro elemento, primeira projeção ou abscissa; o
elemento y é chamado segundo elemento, segunda projeção ou ordenada.
2.2) Produto Cartesiano
Dados os conjuntos lineares A e B diferentes do vazio, denomina-se produto cartesiano de A por B e
se indica por A x B. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y)/ x ∈ A e y ∈ B.
A x B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ B}
2.3) Plano Cartesiano
Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de números reais representado
pelo seguinte conjunto: R x R = R2.
No plano cartesiano os pares ordenados (x, y) são referidos como pontos e o elemento x é chamado
abscissa e o elemento y ordenada do ponto.
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2.4) Representação do Plano Cartesiano
Existe uma correspondência bionívoca entre os infinitos pontos de um plano e os infinitos pares
ordenados, desta maneira podemos representar estes pontos através de duas retas perpendiculares.
y (eixo das ordenadas)
P (x, y)
II
I
0
x (eixo das abscissas)
IV
III
2.5) Distância Bidimensional (R2)
y
Q (x2, y2)
y2
d
|y2 – y1|
y1
P (x1, y1)
x1
x2
x
|x2 – x1|
2
2
[d(P, Q)] = |x2 – x1| + |y2 – y1|
[d(P, Q)]2 = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)2
d (P, Q) = ( x 2 − x1) 2 + ( y 2 − y1) 2
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2.6) Vizinhança Bidimensional (R2)
Denomina-se vizinhança bidimensional de um ponto P0 (x0,y0) e raio δ > 0 ao conjunto de todos os
pontos P (x, y) / 0 ≤ d (P, P0) < δ.
{
}
2
V (P0 ( x 0 , y 0 ), δ) = P( x, y) ∈ R 2 / 0 ≤ d(P, P0 ) < δ


2
V (P0 ( x 0 , y 0 ), δ) = P( x, y) ∈ R 2 / 0 ≤ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + < δ


{
2
V (P0 ( x 0 , y 0 ), δ) = P( x, y) ∈ R 2 / 0 ≤ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + < δ 2
y
}
P0
y0
δ
x0
x
2.7) Vizinhança Perfurada em R2
Denomina-se vizinhança perfurada bidimensional de um ponto P0 (x0, y0) e raio δ > 0 o conjunto de
todos os pontos P (x, y) ∈ R2 / 0 < d (P, P0) < δ.
{
}
2
V (P0 , δ) = P( x , y) ∈ R 2 / 0 < d(P, P0 ) < δ
2.8) Ponto de Acumulação em R2
Dizemos que sem um ponto P0 (x0, y0) é ponto de um conjunto A ⊂ R2 se para toda a V2 (P0) existir
pelo menos um ponto P (x, y) ∈ R2 / P (x, y) ∈ A e P (x, y) ∈ V(P0).
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3) Relações Binárias e Funções Reais
3.1) Relações Binárias
Sejam A e B conjuntos lineares não vazios, chama-se relação plana de A em B a qualquer
subconjunto de pares ordenados (x, y) do produto cartesiano A x B.
3.2) Domínio, Imagem, Contradomínio e Gráfico de Relações
a)
Domínio de relações:
Seja S uma relação de A em B, chama-se domínio de S e se indica por DS o conjunto linear:
DS = {x ∈ A / ∃ y ∈ R e ( x, y) ∈ S} ⊂ A
b) Contradomínio:
Se S é uma relação de A em B, o contradomínio de S que se indica por CdS é o conjunto B.
CdS = B
c)
Imagem:
Se S é uma relação de A em B, a imagem de S indicada por ImS é o conjunto linear:
ImS = {y ∈ B / ∃ x ∈ R e ( x, y) ∈ S} ⊂ B
d) Gráfico:
Sendo S uma relação, denomina-se gráfico de S o conjunto:
{
}
GS = ( x , y ) ∈ R 2 / ( x , y ) ∈ S
e)
Gráficos das principais relações:
1)
{(x, y) ∈ R 2 / y = x}
y = x → é função
y
y ≥ x → não é função
45o
x
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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
2)
{(x, y) ∈ R
2
}
/ y = ax + b a e b ∈ R
a → coeficiente angular
y
a>0
b → coeficiente linear
a = tan α
b
Se:
•
a > 0 → tan α > 0 →
α
x
a<0
o
→ α < 90 : agudo
•
α
a < 0 → tan α < 0 →
→ α > 90o : obtuso
3)




2
2
y = ax + bx + c
(x , y ) ∈ R / 

parábola


Se:
•
a>0→
•
a <0→
“1”
y=0
ax2 + bx + c = 0
−b± ∆
2.a
2
∆ = b − 4.a.c
x=
”3”
“1”
•
∆ > 0 → 2 raízes
•
−b −∆
∆ < 0 → não existe → V
,

 2a 4a 
•
∆ = 0 → 1 única raiz
“3”
→ x = 4y2 – 9 → também é uma parábola
1º Bimestre
•
a >0→
•
a <0→
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DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
{(x, y)∈ R 2 / x 2 + y 2 = 4}
4)
Pode ser circunferência, elipse ou hipérbole (quando o sinal entre x e y é de subtração)
Equação geral da circunferência
C(α, β )
raio = r
(x − α ) 2 + ( y − β )2 = r 2
2
2
-2
-2
Exemplos:
{
}
Dados R 1 = (x, y ) ∈ R 2 / x 2 + y 2 ≤ 25

4.x 2 
e R 2 = (x, y ) ∈ R 2 / y ≥
 , determine:
9 

1) Gráfico de R1∩R2
2) Domínio de R1∩R2
3) Imagem de R1∩R2
1)
y=
4x 2
9
• y=
x 2 + y 2 = 25
x 2 + y 2 ≤ 25
-3
3
4 2
x
9
Para y = 0
4x 2
9
x=0
0=
2) Pontos de interseção → Sistema
x 2 + y 2 = 25


9y
4x 2
y =
→ x2 =

9
4
9y
+ y 2 = 25
4
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DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
9 y + 4 y 2 − 100 = 0
4 y 2 + 9 y − 100 = 0
y=
− 9 ± 81 − 4.(4).(−100)
2.(4)
y = 4
− 9 ± 41 

25
8
 y' = − 4

9
y
x2 =
4
9
.4
x2 =
=9
4
x = ±3
y=
D = {x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 3}
3) {y ∈ R} = Im
Im = {y ∈ R / 0 ≤ x ≤ 5}
3.3) Função Real de Variável Real
Seja F uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo x pertencente a A
corresponder um único y ∈ B, então esta relação denomina-se função.
Notação:
F: A → B
y = F (x)
Domínio:
Se F: A → B, então o domínio de F é o conjunto A já que todo x ∈ A deve figurar em um único par
ordenado (x, y) de F.
DF = A
Contradomínio:
Se F: A → B, o contradomínio de F é o conjunto B.
CF = B
Imagem:
A imagem de F é o conjunto dos y ∈ B que estão relacionados por F, isto é, o conjunto dos y ∈ B
que são obtidos a partir de x pela lei F, já que y = F (x).
ImF ⊂ B
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DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Determinação do domínio ou Campo de Existência de Funções Reais de Variáveis Reais
Quando definimos uma relação como função apenas pela lei de correspondência y = f (x), estamos
admitindo que o domínio ou campo de existência da função é o conjunto de todo x ∈ R que seja possível
determinar y ∈ R e y = F (x).
Exemplos:
1) Determinar o domínio ou campo de existência das seguintes funções:
a)
f (x) =
3x
x −1
Df = {x ∈ R / x − 1 ≠ 0}
Df = {x ∈ R / x ≠ 1}
-∞
1
+∞
Ponto de acumulação
y
x
assíntota
b)
g (x ) = x
2
+ 2x + 1
y
D=R
x
+ 2x + 1 = 0
x = −1
1
x
-1
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2
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c)
f (x ) =
(x − 4 )(. x + 3)
D f = {x ∈ R/ (x − 4 )(
. x + 3) ≥ 0}
(x − 4 )(. x + 3) ≥ 0
y
4
x-4
-----------++++++++
-3
x+3
-----+++++++++++++
+
-3
f (x) =
2x
2
x −9
y
0
-----------++++++++
-3
x2-9
3
++++----------- ++++
-
+
-3
0
-3
+
0
3
3
D f = {x ∈ R / − 3 < x ≤ 0 ou x > 3}
1º Bimestre
x
D f = {x ∈ R / x ≤ −3 ou x ≥ 4}
x≥4
2x


D f = x ∈ R / 2
≥ 0
x −9


2x
≥0
x2 −9
2x
4
4
x ≤ −3
d)
-3
+
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x
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f (x) =
e)
2x
2
x −9
{
}
D f = x ∈ R / 2x ≥ 0 e x 2 − 9 > 0
2
2x ≥ 0 e x − 9 > 0
y
0
2x
-3
x2-9
3
++++----------- ++++
-
+
-
-3
0
+
0
3
3
D f = {x ∈ R / x > 3}
 x 2 − 3x + 2 

f ( x ) = log

x + 1 

f)


x 2 − 3x + 2
D f = x ∈ R /
> 0
x +1


x 2 − 3x + 2
>0
x +1
1
2
x -3x+2
2
+++++++-------++ ++
-1
x+1
----++++++++++++++
-
+
-1
1
+
2
D f = {x ∈ R / − 1 < x < 1 ou x > 2}
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x
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x
2
f (x) =
log(x − 1)
arcsen
g)
x

D f = x ∈ R / − 1 ≤ ≤ 1 e
2

x −1 > 0 e

x − 1 ≠ 1

−1 ≤ x / 2 ≤ 1 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2
-2
2
x −1 > 0 ⇒ x > 1
1
2
1
2
x −1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
D f = {x ∈ R / 1 < x < 2}
3.4) Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
a)
Função Injetora:
Uma função y = F (x) de A em B é injetora se os elementos y ∈ B são imagens de um único
x ∈ A.
b) Função Sobrejetora:
Uma função y = F (x) de A em B é sobrejetora se a imagem de F for igual ao contradomínio
de F, isto é, todo y ∈ B deve ser imagem de pelo menos um x ∈ A.
c)
Função Bijetora:
Uma função y = F (x) é bijetora se e somente se F for injetora e sobrejetora.
3.5) Classificação das Funções
As funções são classificadas em dois grandes grupos:
I)
Funções Algébricas Elementares
a)
Funções Algébricas Racionais
a.1) Inteiras
a.2) Fracionárias
b) Funções Algébricas Irracionais
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II) Funções Transcendentais
a)
Trigonométricas
b) Exponenciais
c)
Logarítmicas
I) Funções Algébricas Elementares
São funções cujas variáveis são operações algébricas elementares (adição, subtração,
multiplicação, divisão e potenciação). E são classificadas como segue:
Funções Algébricas Racionais:
a)
As funções algébricas racionais são aquelas em que as variáveis não se encontram
abaixo de radicais ou não estão elevadas a expoentes fracionários e se classificam em:
a.1) Racionais Inteiras:
São aquelas em que suas variáveis não se encontram em denominador ou
não estão elevadas a expoentes negativos. São as funções conhecidas como
POLINOMIAIS. Ex.: f(x) = a0.xn+a1.xn-1+...+an
a.2) Racionais Fracionárias:
São funções da forma Q( x ) =
racionais inteiras. Ex.: f ( x ) =
f (x)
g(x )
, onde f(x) e g(x) são funções
a 0 .x n + a 1 .x n -1 + ... + a n
b 0 .x n + b 1 .x n -1 + ... + b n
b) Funções Algébricas Irracionais:
São funções algébricas cujas variáveis estão sob radicais ou elevadas a expoentes
fracionários positivos ou negativos.
II) Funções Transcendentais:
São funções cujas variáveis estão sujeitas as operações da trigonometria, da exponenciação
e da logaritmização.
Exemplos:
Classificar as seguintes funções:
1)
f (x) =
2)
g( x ) =
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3x
→função algébrica elementar racional
x −1
x +1
3
2x 2 + 5
→função algébrica irracional
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3)
f ( x ) = x 2 + 2x + 1 →função algébrica elementar racional inteira
4)
f (t) =
5)
g( x ) =
6)
h ( x ) = log( x + 1) → função transcendental
7)
f ( x ) = 3.x 2 + 4x → função algébrica racional inteira
8)
F( x ) =
t2
2t 3 + 5
→função algébrica racional fracionária
sen x + 4
→função transcendental
2x + 1
x
2
+ x3
→ função algébrica irracional
2x − 5
3
Ainda com referência a classificação as funções algébricas e as funções transcendentais podem ser
classificadas em:
a)
Funções Explícitas:
São aquelas em que uma das variáveis é resolvida em função da outra, isto é, isola-se uma
variável em função da outra. ( y = f(x) )
Ex.: y = x2+3x
b)
Funções Implícitas:
São aquelas em que não é possível resolver uma das variáveis em relação a outra. (F(x,
y)=0)
Ex.: y2+2.x5.y3+x2.seny=0
3.6) Composição de Funções
Se f e g são funções tais que pelo menos um elemento pertencente a imagem de g pertencer ao
domínio de f, então a composição de f por g, indicada por fog é definida por:
fog = f ( g (x) )
Exemplo:
1) Determinar fog e gof, sendo f (x) = 3x e g (x) = x + 4
→ fog = f ( g (x) ) = 3 (x+4) = 34 . 3x
→ gof = g ( f (x) ) = 3x + 4
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3.7) Função Inversa
Duas funções f e g são inversas se e somente se:
a)
A imagem de g está contida no domínio de f;
b) Para todo x ∈ ao domínio de f, fog = x;
c)
A imagem de f deve estar contida no domínio de g;
d) Para todo x do domínio de f, gof = x.
Nestas condições f é dita invertível.
Para que estas condições sejam satisfeitas é necessário que f seja bijetora.
Notação:
Se y = f (x) é invertível, a inversa de f é indicada por x = f -1 (y) ou x = g (y).
Gráfico:
O gráfico de funções inversas são simétricos em relação a reta y = x.
TÉCNICA PARA DETERMINAR A INVERSA E REPRESENTÁ-LA NO PLANO CARTESIANO
1) Isola-se x na equação original .
2) Troca-se x por y para respeitar a convenção de representação de função no plano cartesiano
que usualmente a variável independente é x e a variável dependente é y.
Exemplos:
Determinar as inversas das seguintes funções:
1) f (x) = x + 4
y=x+4
x=y–4
y=x–4
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→ Função inversa
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y=
2)
x −3
x+2
( x + 2) y = x − 3
yx + 2 y = x − 3
yx − x = −3 − 2 y
( y − 1) x = −3 − 2 y
− 3 − 2y
x=
y −1
y=
3)
−3 − 2 y
→ Função inversa
x +1
y = arctan 8x
8x = tan y
x=
tan y
8
y=
tan x
→ Função inversa
8
y = e 4x
4)
4 x = ln y
1
x = ln y
4
x = ln 4 y
y = ln 4 x → Função inversa
y = log
5)
10 y =
x
3
x
3
x = 3.10 y
y = 3.10 x → Função inversa
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3.8) Funções Pares e Funções Ímpares
Função Par:
Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é par, se e somente se para todo x ∈ D,
-x ∈ D e f (-x) = f (x) .
Observe que o gráfico de funções pares são simétricos ao eixo dos y.
-x
x
Função Ímpar:
Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é ímpar, se e somente se para todo
x ∈ D, -x ∈ D e f (-x) = - f (x) .
Observe que o gráfico de funções ímpares é simétrico em relação a origem
f(x)
f(-x)
Exemplos:
Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem par nem ímpar:
1)
f (x) = x 2 + 4
f (− x ) = (− x ) 2 + 4
f (− x ) = x 2 + 4
f ( x ) = f (− x ) ⇒ Função par
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2)
f ( x ) = x 2 + 2x
f (− x ) = (− x ) 2 + 2(− x )
f (− x ) = x 2 − 2x
f (− x ) = −(− x 2 + 2x ) ⇒ Não é par nem ímpar
3)
f (x) = x 3 + 4x
f ( − x ) = ( − x ) 3 + 4( − x )
f (− x ) = − x 3 − 4 x
f ( − x ) = −( x 3 + 4 x )
f (− x ) = −f ( x ) ⇒ Função ìmpar
4)
f ( x ) = cos x
f (− x ) = cos(− x )
f (− x ) = cos x
f (− x ) = f ( x ) ⇒ Função Par
5)
f ( x ) = sen x
f (− x ) = sen(− x )
f (− x ) = − sen x
f (− x ) = −f ( x ) ⇒ Função ímpar
6)
f (x) =
e x + e −x
2
e −x + e x
2
f ( x ) = f (− x ) ⇒ Função par
f (− x ) =
7)
f (x) =
e x − e −x
2
e −x − e x
2
 − e −x + e x 

f ( − x ) = −


2


f (− x ) = −f ( x ) ⇒ Função ímpar
f (− x ) =
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página: 29
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4) Limite e Continuidade de Funções
4.1) Noção Intuitiva
Seja f ( x ) =
x2 −4
, Df = {x ∈ R / x ≠ 2}.
x−2
Se x ≠ 2 → f ( x ) =
x 2 − 4 ( x − 2)( x + 2)
=
= x+2
x−2
( x − 2)
∴ Se x ≠ 2 → f ( x ) = x + 2
x
f(x)
x
f(x)
1
3
3
5
1,5
3,5
2,5
4,5
1,9
3,9
2,1
4,1
1,99
3,99
2,01
4,01
4
(
2
)
Note que para todo x ∈ V (2, δ)→ f(x) ∈ V (4, ε) podemos dizer que o limite de f(x) quando x tende
para 2 é igual a 4 e podemos escrever:
x2 − 4
=4
x →2 x − 2
lim
De modo geral se y = f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação.
L+ε
L-ε
a -δ
a
a +δ
lim f ( x ) = L
x →a
4.2) Definição Formal de Limite
Sendo f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação dizemos que f (x) tem limite
L quando x tende para a, e se indica por:
lim f ( x ) = L se e somente se para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que 0 < |x – a| < δ
x →a
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Exemplos:
Usando a definição de limite, mostre que:
1)
lim (5x + 4) = 9
x →1
(5x + 4) − 9 < ε
5x − 5 < ε
5.( x − 1) < ε
5 . ( x − 1) < ε
5. x − 1 < ε
ε
5
x −1 < δ
x −1 <
ε
5
δ=
2)
lim (3x + 1) = −5
x → −2
3x + 1 − (−5) < ε
3x + 1 + 5 < ε
3.( x + 2) < ε
3 . ( x + 2) < ε
ε
3
x − (−2) < δ
x+2 <
x+2 <δ
δ=
ε
3
⇒ Se f (x) = x → y = x (Função Identidade)
lim x = a P1
x →a
| x-a | < ε → | x-a | < δ
ε=δ
⇒ Se f (x) = k → y = k
lim k = k P2
x →a
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4.3) Propriedades Operatórias do Limite
1)
2)
3)
4)
5)
6)
lim x = a
x →a
lim k = k
x →a
lim [f ( x ) ± g( x )] = lim f ( x ) ± lim g( x )
x →a
x →a
x →a
lim f ( x ).g( x ) = lim f ( x ). lim g( x )
x →a
x →a
x →a
lim c.f ( x ) = c. lim f ( x )
x →a
lim
x →a
x →a
f (x )
f ( x ) xlim
= →a
g( x ) lim g( x )
 lim g ( x ) ≠ 0 
 x →a

x →a
7)
8)
9)
lim [f ( x )]n =  lim f ( x )
 x →a

x →a
n
lim n f ( x ) = n lim f ( x )
x →a
x →a
lim (f ( x ) )g ( x ) =  lim f ( x )
 x →a

x →a
lim g ( x )
x →a
10) lim log b f ( x ) = log b  lim f ( x )
 x →a

x →a
11) lim sen (f ( x ) ) = sen  lim f ( x )
 x →a

x →a
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Exemplo:
1)
x 2 + 2x
5x − 1
lim
x→2
lim x 2 + 2 x
lim x 2 + 2 x
x →2
=
lim 5x − 1
x →2
x →2
lim 5x − lim 1
x →2
lim x 2 + lim 2x
x →2
=
x →2
=
5 lim x − 1
x →2
x →2
2 2 + 2.2
4+4
8
=
=
5.2 − 1
10 − 1
9
4.4) Limites Unilaterais
f (x) = x − 4
Df = {x ∈ R / x ≥ 4}
4
(
→
)
lim f ( x ) = não existe
x →4
2 x + 4 x ≥ 1
f (x) = 
− 3x + 2 x < 1
(
)
1
 lim+ f ( x ) = 6
x →1
lim f ( x ) = não existe 
x →1
f ( x ) = −1
xlim
→1−
Limite à direita:
a
(
Seja f uma função definida em um intervalo (a, c)
número real, a afirmação
sempre que
lim f ( x ) = L ,
x →a +
c
)
e
L um
significa que para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε
0<x–a<δ → a<x<a+δ→
a
(
a+δ
)
Limite à esquerda:
Seja f uma função definida no intervalo (c, a) e L um número real, a afirmação lim− f ( x ) = L ,
x →a
significa que para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que -δ < x – a < 0 → a-δ < x < a
a-δ
(
1º Bimestre
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Data: 03/03/99
página: 33
a
)
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
4.5) Teorema
1)
lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L
x →a
x →a
x →a
Exemplos:
1)
2x − 1 se x ≥ 1
f (x) =  2
x
se x < 1
 lim+ f ( x ) = (2.1 − 1) = 1
x →1
lim f ( x ) = ? → 
→ são iguais ∴ lim f ( x ) = 1
2
x →1
x →1
 lim− f ( x ) = (1) = 1
x →1
2)
3x + 1 se x > 2
f (x) = 
− 2x + 4 se x ≤ 2
 lim+ f ( x ) = 7
x → 2
lim f ( x ) = ? → 
→ são diferentes ∴ lim f ( x ) = não existe
x →2
x →2
f (x ) = 0
xlim
−
→2
1º Bimestre
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CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
4.6) Continuidade das Funções
y
y
x
a
x
a
∃ f (a )
y
y
c
b = f (a)
x
a
x
a
∃ f (a ) OK!
∃ f (a ) OK!
lim f ( x ) OK!
 lim+ f ( x ) = b
x →a
lim f ( x ) = ∃ → 
∴≠
x →a
f (x) = c
xlim
−
→a
x →a
f (a ) ≠ lim f ( x )
x →a
Condições:
1) ∃ f (a)
2) ∃ lim f ( x )
x →a
3)
f (a ) = lim f ( x )
1º Bimestre
x →a
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DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Exemplos:
3 − x 2
1) Verificar se f ( x ) = 
1 + x 2
i)
f (1) = 2 OK!
ii)
lim f ( x ) = ?
se x ≤ 1
se x > 1
é contínua para x = 1 :
x →1
 lim+ f ( x ) = 3 − 1 = 2
x →1

f (x) = 1 + 1 = 2
xlim
→1−
São iguais ∴ lim f ( x ) = 2 OK!
x →1
iii) f (1) = lim f ( x ) OK!
x →1
Resposta: É contínua
 2 9
x − − 3 se x ≠ 3
é contínua para x = 3 :
2) Verificar se f ( x ) = 
x
7 se x = 3

i)
f (3) = 7 OK!
ii)
lim f ( x ) =
x →3
lim
x →3
0
indeterminação
0
( x − 3)(x + 3)
= 6 OK!
( x − 3)
como x ≠ 3
iii) f (3) ≠ lim f ( x )
x→3
Resposta: Não é contínua
1º Bimestre
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