2. Introdução à física quântica

2. Introdução à física quântica
Planck e a quantização da energia
Lei de Stefan-Boltzmann
P = e σ AT 4
(
)
P = eσ A T 4 − T ′4 .
Figura 3.1: Radiância espectral de um corpo negro em função do comprimento de onda
para várias temperaturas. Assinalam-se as zonas do visível (faixa colorida), do ultravioleta (UV) e do infra-vermelho (IV).
Lei do Deslocamento de Wien:
λmax =
B
T
com B = 2,898 × 10 −3 m K uma constante.
catástrofe do ultravioleta
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Figura 3.2: Radiância espectral de um corpo negro à temperatura de 2000 K (linha a
cheio) e previsão da teoria electromagnética clássica (linha a tracejado).
Até que em 1900 o físico alemão Max Planck (Figura 3.3) enfrentou o problema
da radiação do corpo negro...
Figura 3.3: Max Planck explicou a radiação do corpo negro introduzindo o conceito de
quantum de energia (plural quanta).
E0 = h f .
constante de Planck: h = 6,62 × 10 −34 J s .
E = nh f ,
n = 1, 2, 3,...
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Figura 3.4: Um átomo oscilante, porque contém cargas eléctricas, produz ondas
electromagnéticas.
Einstein e a teoria dos fotões
Uma das consequências das equações do electromagnetismo era a propagação,
como ondas, do campo eléctrico e do campo magnético à velocidade da luz. Este
resultado confirmava o carácter ondulatório da luz, já antes revelado em várias
experiências de interferência e de difracção realizadas no século XIX.
Natureza da luz
No século XVII, Newton defendeu que as fontes luminosas emitiam pequenos
corpúsculos, em todas as direcções, a grandes velocidades. Esta teoria ficou conhecida
por teoria corpuscular da luz. Um físico contemporâneo de Newton, o holandês
Christian Huygens, defendeu, pelo contrário, que a luz era uma onda, estabelecendo
assim a teoria ondulatória da luz.
escuro
claro
escuro
claro
escuro
claro
escuro
alvo
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Figura 3.5: Experiência da dupla fenda feita numa tina de ondas (à esquerda) e sua
interpretação com base na teoria ondulatória (à direita).
efeito fotoeléctrico
Figura 3.6: No efeito fotoeléctrico electrões são arrancados de um metal quando este é
iluminado com certo tipo de luz (normalmente, luz ultravioleta).
Figura 3.7: Mesmo com luz muito intensa pode não haver emissão de electrões, mas
com uma luz menos intensa mas de maior frequência ( f 2 > f 1 ) já pode haver.
célula fotoeléctrica para estudar o efeito fotoeléctrico. Luz monocromática de
frequência f passa através de uma janela transparente e incide numa placa metálica
(fotocátodo) arrancando-lhe electrões. Estes são acelerados por uma diferença de
potencial, U, entre o fotocátodo e um eléctrodo a potencial positivo (ânodo),
estabelecendo-se no circuito uma corrente eléctrica.
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Figura 3.8: Célula para o estudo experimental do efeito fotoeléctrico: o amperímetro
mede a intensidade de corrente na célula e o voltímetro a tensão nos seus terminais.
Quando a tensão aplicada é positiva ( U > 0 ), os electrões são atraídos para o
ânodo. Se essa tensão for suficientemente elevada, todos os electrões chegam ao ânodo
e a intensidade de corrente atinge um valor limite ou patamar (é a chamada corrente de
saturação). Mas invertendo o sinal da tensão aplicada ( U < 0 ), os electrões são
repelidos pelo ânodo e a intensidade da corrente eléctrica diminui até se anular para um
valor de tensão igual a − U 0 , sendo U 0 designado por potencial de paragem. Neste
caso, apenas os electrões mais energéticos chegam ao ânodo. Se a energia cinética de
um electrão à saída do cátodo for superior a eU 0 (diferença de energia potencial entre os
eléctrodos), o electrão atingirá o ânodo e contribuirá para a corrente eléctrica (Figura
3.9, à esquerda). Caso contrário, o electrão não chegará a atingir o ânodo (Figura 3.9, à
direita). Portanto, U 0 mede a energia cinética máxima dos electrões.
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Figura 3.9: Se os electrões tiverem energia cinética suficiente para vencer o potencial de
paragem, atingem o ânodo (à esquerda); no caso contrário, não há corrente no circuito (à
direita).
As curvas da corrente em função da tensão aplicada, I (U ) , obtidas experimentalmente
(Figura 3.10) mostram que:
a intensidade de corrente aumenta com a tensão aplicada entre os eléctrodos até atingir
um valor constante (corrente de saturação);
fazendo incidir luz da mesma frequência mas com intensidades diferentes, o potencial
de paragem, U 0 , é o mesmo mas, quanto mais intensa for a luz, maior será a
intensidade da corrente de saturação (Figura 3.10, à esquerda);
fazendo incidir luz de frequência diferente, o potencial de paragem é maior para a luz
de maior frequência (Figura 3.10, à direita).
Figura 3.10: Curvas características de uma célula fotoeléctrica: luz incidente com
frequência fixa mas intensidades luminosas diferentes (à esquerda) e luz incidente com
a mesma intensidade mas frequências diferentes (à direita).
Em 1916 o físico norte-americano Robert Millikan efectuou medidas cuidadosas
do efeito fotoeléctrico e mostrou que o declive dessas rectas é igual para todos os
metais!
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Figura 3.11: Potencial de paragem em função da frequência da luz incidente para o
sódio segundo os dados obtidos por Robert Millikan, que obteve o prémio Nobel da
Física em 1923.
Os estudos experimentais feitos sobre o efeito fotoeléctrico estavam em contradição
com as previsões da teoria clássica:
Previsões da teoria clássica
Evidências experimentais
A corrente fotoeléctrica é tanto maior Desde que ocorra efeito fotoeléctrico, a
quanto maior for a intensidade da luz.
corrente fotoeléctrica é tanto maior quanto
maior a intensidade da luz.
Aumentando a intensidade da luz, a O potencial de paragem e, portanto, a
energia transferida para os electrões energia cinética máxima dos electrões não
aumentaria e portanto a energia cinética dependem da intensidade da luz incidente,
máxima dos electrões aumentaria também. mas apenas da sua frequência e do metal
onde a luz incide.
Luz
de
qualquer
frequência
deverá Se a frequência da luz incidente aumenta,
arrancar electrões da superfície do metal, o
potencial
de
paragem
aumenta
desde que a intensidade seja elevada ou se linearmente. Há uma frequência mínima
espere tempo suficiente para que o abaixo da qual não há emissão de
electrão acumule energia.
electrões.
Os electrões levam tempo a acumular A emissão dos electrões é praticamente
energia para se libertarem do metal e esse instantânea: a corrente estabelece-se mal
tempo é maior para luz menos intensa.
se liga a fonte de luz.
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Albert Einstein, em 1905, sugeriu que a luz era constituída por pequenos pacotes
(quanta) de energia, E 0 = h f , que mais tarde foram designados por fotões.
E c = hf − W .
A energia W designa-se por função trabalho. Aplicando a conservação da
energia ao choque do fotão com o electrão, a energia cinética máxima do electrão é:
1
2
me v max
= hf − W .
2
Esta equação do efeito fotoeléctrico mostra que:
A energia cinética máxima só depende, para uma dada superfície metálica (mesmo
W), da frequência da radiação incidente e não da intensidade da radiação.
Há uma frequência mínima da radiação para arrancar electrões, pois tem de se
verificar hf ≥ W para que ocorra efeito fotoeléctrico. A energia mínima do fotão
que consegue arrancar um electrão é igual à função trabalho, hf = W . Por isso a
frequência mínima é dada por f 0 =
W
.
h
Dualidade onda-corpúsculo para a luz
A luz pode comportar-se como onda ou como partículas, ou seja, tem um
comportamento dual.
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Figura 3.12: O registo do padrão de interferência na experiência de Young pode ser
efectuado por um fotomultiplicador, que conta os fotões.
Raios X
Figura 3.13: O alemão Wilhelm Roentgen foi o primeiro físico distinguido com o
prémio Nobel da Física, em 1901, pela sua descoberta dos raios X.
Dualidade onda-corpúsculo para a matéria. Relação de De Broglie
Se uma onda electromagnética pode ter características corpusculares, não poderá
também uma partícula, como o electrão, ter comportamento ondulatório?
Esta questão foi colocada pelo físico francês Louis de Broglie (Figura 3.14) que
defendeu, em 1923, que todas as partículas deveriam possuir um comportamento
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ondulatório. Segundo a relação de De Broglie o comprimento de onda de uma partícula
era inversamente proporcional ao seu momento linear, tal como nos fotões (ver Questão
3.12):
λ=
h
p
Figura 3.14: Louis de Broglie, que afirmou que a natureza ondulatória era geral:
aplicava-se a toda a matéria.
Na altura esta hipótese não passava de uma arrojada especulação teórica. Mas
logo veio a ter confirmação experimental. Em 1927, os físicos norte-americanos
Davisson e Germer descobriram que um feixe de electrões de baixa energia produzia, ao
incidir num cristal de níquel, um padrão de difracção semelhante ao de um feixe de
raios X. Variando a energia do feixe e, consequentemente, o momento linear dos
electrões, a relação de De Broglie pôde ser confirmada a partir da análise dos padrões de
difracção.
No ano seguinte G.P. Thomson, filho de J.J. Thomson, em Inglaterra, voltou a
confirmá-los. Lançando um feixe de electrões de alta energia sobre folhas muito finas
de alumínio, Thomson obteve padrões de difracção semelhantes aos que se obtinham
por difracção de raios X dessas mesmas folhas (Figura 3.15). É irónico que, mais de
trinta anos após J. J. Thomson ter ganho em 1906 o prémio Nobel pela medida da
relação carga/massa do electrão, que o identificou como partícula, o seu filho tenha
partilhado o prémio Nobel com Davisson e Germer por ter provado que o electrão se
comporta, por vezes, como uma onda!
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Figura 3.15: Padrões de difracção de electrões por uma folha de alumínio (à direita) e de
raios X (à esquerda).
A hipótese de De Broglie foi amplamente testada para muitos outros tipos de
partículas como neutrões, protões e até átomos de hidrogénio e de hélio. Todas estas
partículas produzem padrões de difracção semelhantes aos que Davisson, Germer e
Thomson obtiveram para electrões, tendo sido verificada a relação entre o comprimento
de onda e o momento linear para todas estas partículas.
Caixa lateral
Tal como a luz, a matéria tem uma natureza dual: ora se comporta como uma onda ora
como uma partícula.
Bohr e o átomo de hidrogénio
Espectros riscas
Figura 3.16: Espectro de emissão de vapor de mercúrio.
Figura 3.17: Niels Bohr, físico dinamarquês que ganhou o prémio Nobel da Física em
1922 pela sua explicação da estrutura dos átomos.
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Vejamos o átomo mais simples, o de hidrogénio, com um só electrão e um
núcleo constituído por um único protão. Bohr supôs que este electrão só poderia girar
em torno do protão em órbitas com certos raios e que, nestas órbitas, o electrão não
perderia energia sob a forma de radiação (diz-se que o electrão está num estado
estacionário). À órbita de menor raio corresponde o estado estacionário de menor
energia, o estado fundamental. Normalmente, o electrão estará no estado fundamental.
Porém, se o electrão receber energia suficiente (por exemplo, com uma fonte de luz),
passa para uma órbita de maior raio, ficando num estado excitado. O electrão tende a
voltar ao estado de menor energia, emitindo energia sob a forma de luz. Designando por
∆E a energia ganha ou perdida, vem, segundo Bohr,
∆E = hf ,
onde h é a constante de Planck.
Os espectros mostravam que apenas luz de certas frequências era emitida pelos
átomos excitados, o que levou Bohr a concluir que os níveis de energia dos electrões
nos átomos estariam quantificados, ou seja, só podiam ter determinados valores. Isto
corresponde a supor que o electrão só pode ter órbitas com determinados raios. Supondo
que os raios das órbitas do electrão no átomo de hidrogénio só podiam tomar os valores
(Figura 3.18)
r = a0 n 2 ,
n = 1,2,3,...
onde a 0 = 0,53 × 10 −10 m é o raio da órbita do electrão no estado fundamental, Bohr
conseguiu reproduzir com notável precisão todas as riscas observadas do espectro do
hidrogénio. O número inteiro n é chamado número quântico principal. Isto foi um
grande triunfo da teoria dos quanta!
n=1
n=2
n=3
Figura 3.18: Primeiras três órbitas do electrão no modelo atómico de Bohr aplicável ao
hidrogénio.
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Princípio de Incerteza e Mecânica Quântica
Quanto maior for a precisão com que se determina a posição de uma partícula,
menor será a precisão com que se conhecerá a sua velocidade nesse instante.
Figura 3.19: Werner Heisenberg, físico alemão que formulou o princípio da incerteza e
que foi um dos fundadores da Mecânica Quântica. Heisenberg recebeu em 1932 com o
prémio Nobel da Física.
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