Aula 1 – Conjuntos Conjunto e elemento Não existe uma definição

AULA 1 – CONJUNTOS
Exemplo:
Conjunto e elemento
𝑃={
Não existe uma definição de conjunto, mas existe uma
ideia que está associada à coleção de objetos, grupo de
pessoas, agrupamentos de coisas, etc.
Portanto, um conjunto é uma coleção de elementos. Da
mesma forma, elementos são os integrantes de um
conjunto.
Por exemplo:
 Conjunto de vogais = {a, e, i, o, u}.
 Conjunto A = {lápis, borracha, chapéu}.
 A letra “i” é um elemento do conjunto de vogais.
 a palavra “lápis” é um elemento do conjunto A.
𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠
}
𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 4 𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 6
Conjunto Unitário
Um conjunto que possui um único elemento é chamado
conjunto unitário. Exemplos:
𝐴 = {3}
𝐷 = {𝑎}
Conjunto Finito
Um conjunto que possui um número limitado de
elementos é chamado conjunto finito. Exemplos:
𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢}
𝑃 = {1, 2, 3, 4, 5,6}
Representação
De modo geral um conjunto pode ser representado por um
par de chaves que contêm os seus elementos:
𝐵 = {1, 2, 𝑎, 3, 𝑏}
Conjunto Infinito
Um conjunto com um número infinito de elementos é
chamado conjunto infinito. Exemplos:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, … }
ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }
Pode também ser representado por um par de chaves
contendo uma propriedade característica de seus
elementos:
Conjunto Universo
𝑉 = {𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑣𝑜𝑔𝑎𝑖𝑠}
Por um diagrama conhecido como Diagrama de Venn:
O conjunto que possui todos os conjuntos e elementos
é chamado conjunto universo.
Simbologia
U
a
e
i
o
u
V
Onde:
 O retângulo representa o conjunto universo (U).
 A linha fechada delimita o conjunto das vogais (V).
 As letras “a, e, i, o, u” são os elementos do
conjunto V.
Conjuntos Fundamentais
Conjunto Vazio
Um conjunto que não possui nenhum elemento é
chamado de conjunto vazio, representado por:
𝐵 ={}=∅
∈
∉
|
∀
⇒
=
≠
>
≥
<
Pertence
Não pertence
Tal que
Qualquer que seja
Implica (então)
Igual
Diferente
Maior que
Maior ou igual que
Menor
≤
∃
∄
∪
∩
⊂
⊄
⊃
⊅
−
Menor ou igual
Existe
Não existe
União
Intersecção
Está contido
Não está contido
Contém
Não contém
Diferença
Igualdade (=)
Dois conjuntos são ditos iguais quando possuírem os
mesmo elementos. Exemplos:
{1, 2, 3, 4, } = {2, 3, 4, 1}
{𝑎, 𝑏, 𝑐} = {𝑐, 𝑏, 𝑏, 𝑎}
O conjunto {𝑐, 𝑏, 𝑏, 𝑎} possui 3 elementos distintos. A
repetição de elementos não altera o conjunto e a
ordem também não.
Naturais (ℕ)
União (∪)
A união de dois conjuntos é um novo conjunto formado por
todos os elementos dos dois conjuntos:
ℕ = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … }
Inteiros (ℤ )
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}
𝐵 = {4, 5, 6, 7, 10}
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10}
ℤ = {… , −𝟒, −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, … }
Racionais (ℚ)
U
1
A
2
4
6
3
7
B
10
5
𝟑
𝟓 𝟏𝟎
ℚ = {… ; −𝟑; − ; −𝟏, 𝟑; −𝟏; 𝟎; 𝟏; 𝟏, 𝟕; ; }
𝟐
𝟐 𝟗
Irracionais (𝕀)
𝕀 = {𝟎, √𝟐, √𝟑, 𝝅, … }
Reais (ℝ)
Intersecção (∩)
𝟏
ℝ = {… ; −𝟑; −𝟏; −𝟎, 𝟓; − ; 𝟎; 𝟏; 𝟏, 𝟕; √𝟑; 𝝅; … }
𝟑
A intersecção de dois conjuntos é um novo conjunto
formado por todos os elementos que pertencem
simultaneamente aos dois conjuntos:
Complexos (ℂ)
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}
𝐵 = {4, 5, 6, 7, 10}
𝐴 ∩ 𝐵 = {4, 5}
𝟏
ℂ = {… ; −𝟑; −𝟏; −𝟎, 𝟓; − ; 𝟎; 𝟏; 𝟏, 𝟕; √𝟑; 𝝅; √−𝟏 … }
𝟑
No Driagrama de Venn:
U
1
A
2
4
6
3
7
B
10
5
Quanto intersecção entre dois conjuntos for um conjunto
vazio, dizemos que os dois conjuntos são disjuntos.
Diferença (−)
A diferença entre o conjunto A e o conjunto B é um novo
conjunto formado pelos elementos de A que não
pertencem ao conjunto B:
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}
𝐵 = {4, 5, 6, 7, 10}
𝐴 − 𝐵 = {1, 2, 3}
Assim, podemos dizer que
ℂ⊃ℝ⊃ℚ⊃ℤ⊃ℕ
ou
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
U
1
A
2
4
6
3
7
10
B
5
Intervalos Reais
Pode-se representar o conjunto dos números reais, ou
um subconjunto dos números reais, através de um
conceito chamado intervalo. Exemplo:
Intervalo fechado
Subconjunto
Quando um conjunto A está contido em um conjunto B,
dizemos que A é um subconjunto de B. Exemplo:
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}
𝐶 = {4, 5}
𝐶⊂𝐴
Portanto C é um subconjunto de A.
Conjuntos Numéricos
𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜: {𝑥 ∈ ℝ |1 ≤ 𝑥 ≤ 3}
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: [1,3]
1
3
Intervalo aberto
𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜: {𝑥 ∈ ℝ |1 < 𝑥 < 3}
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: ]1,3[ = (1,3)
1
3
4) Sobre dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, sabe-se que 𝐴 ∪ 𝐵 =
{1, 2, 3, 5, 7},
𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3, 5}
e
𝐵 − 𝐴 = ∅.
Podemos afirmar que:
Intervalo semi-fechado ou semi-aberto
a)
b)
c)
d)
e)
𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜: {𝑥 ∈ ℝ |1 ≤ 𝑥 < 3}
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜: [1,3[ = [1,3)
1
3
5) Dados os conjuntos 𝐴 = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e 𝐵 =
{−1, 0, 2, 4, 5, 7} e sendo ∅ o conjunto vazio,
assinale a afirmação correta.
Exercícios
1) Seja R o conjunto dos números inteiros pares
dentro do intervalo que pertencem ao intervalo
[23,25]. Podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
R é infinito
R é vazio
R é unitário
R possui 3 elementos
n.d.a
Resolução:
Os número inteiros que pertencem ao intervalo
[23,25] são {23, 24, 25}. No entanto, o único inteiro
par neste intervalo é o número 24.
Portanto, R = {24}, um conjunto unitário e finito.
Assim, a alternativa correta é a letra c.
2) Numa universidade, matricularam-se 100 alunos
no curso de Matemática, 70 alunos no curso de
física e 20 alunos matricularam-se no s dois.
Então o número total de alunos matriculados foi:
a) 170
d) 200
b) 190
e) n.d.a
c)150
a)
b)
c)
d)
e)
6) Num clube há 100 sócios que praticam futebol,
100 que praticam vôlei e 100 que praticam tênis.
Destes, 70 praticam vôlei e tênis, 50 praticam
vôlei e futebol e 40 tênis e futebol. Sendo que 30
praticam os 3 esportes, quantos sócios só
praticam tênis?
a) 100
d) 20
b) 50
e) n.d.a
c) 40
7) Se 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ |𝑥 ≥ 2} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ |𝑥 ≤ 6} então
𝐴 ∩ 𝐵 e 𝐴 ∪ 𝐵 são respectivamente iguais a:
a)
b)
c)
d)
e)
U
80
20
50
F
A partir do diagrama de Venn vemos que, dos 100
alunos de matemática, 20 estão também na física,
assim como dos 70 alunos da física, 20 também
estão na matemática. Assim 𝑛(𝑀 ∩ 𝐹) = 20, isto é,
o número de elementos da intersecção de M com
F é 20. Portanto, o número total de alunos é de
80+20+50=150. Alternatica c.
3) Se 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ | − 5 < 𝑥 ≤ 2} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ | − 1 <
𝑥 ≤ 3}, então 𝐴 ∩ 𝐵 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
𝐴 ∪ 𝐵 = {2, 4, 0, 1}
𝑨 ∩ (𝑩 − 𝑨) = ∅
𝐴 ∩ 𝐵 = {−1, 4, 2, 0, 5, 7, 3}
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐴 = {−1, 0}
𝑛. 𝑑. 𝑎.
{2, 3, 4, 5} e ℤ
{2, 3, 4, 5, 6} e ℤ∗
{𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} e ℤ
{3, 4, 5} e ℤ
{2, 3, 4, 5, 6} e {2, 3, 4, 5, … }
8) Dados 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5}, 𝐵 = {1, 4, 5, 6, 7} e 𝐶 =
{2, 4, 5, 9, 8}. O conjunto 𝐷 = {4, 5} é resultado da
operação:
Resolução:
M
𝐴 e 𝐵 tem o mesmo número de elementos
𝑨 tem mais elementos que 𝑩
𝐵 tem mais elementos que 𝐴
𝐴−𝐵 =∅
𝐵=∅
{𝑥 ∈ ℝ | − 1 < 𝑥 ≤ 2}
{𝑥 ∈ ℕ | − 1 ≤ 𝑥 < 2}
{𝒙 ∈ ℕ |𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐}
{𝑧 ∈ ℤ | − 1 ≤ 𝑥 < 2}
𝑛. 𝑑. 𝑎
a)
b)
c)
d)
e)
𝐴∩𝐵
𝐴∩𝐶
𝑩∩𝑪
𝐴∪𝐵
𝑛. 𝑑. 𝑎.