função exponencial

Hewlett-Packard
FUNÇÃO
EXPONENCIAL
Aulas 01 e 06
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Ano: 2015
Sumário
Equação Exponencial ................................................... 1
Equação Exponencial .......................................................................................................................................... 1
Exemplo 1............................................................................................................................................................ 1
Método da redução à base comum .................................................................................................................... 1
Exemplo 2............................................................................................................................................................ 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1
Equação Exponencial ................................................... 1
Resolução por artifícios....................................................................................................................................... 1
1º artifício – o primeiro artifício consiste em colocarmos o termo comum, com incógnita, em evidência....... 1
Exemplo 1............................................................................................................................................................ 1
Exemplo 2............................................................................................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................... 2
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL .............. 3
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 4
Gráficos com Translação .............................................. 4
Gráficos com reflexão ......................................................................................................................................... 4
CASO GERAL ................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
Conjunto-Imagem ............................................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
PROBLEMAS ................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL.......................................... 6
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 7
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 7
AULA 01
Equação Exponencial
Equação Exponencial
Uma equação exponencial é aquela cuja incógnita
aparece no expoente.
Exemplo 1




Obs.1: Com o presente conhecimento, nem sempre
conseguimos igualar as bases.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. Resolva, em , as equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
DESAFIO: Resolva a equação exponencial
Avaliando a primeira equação do exemplo acima,
observamos que
Obs.2: Lembre-se que
Assim, vemos que é possível resolvermos essas
equações. No entanto, veremos a seguir que há
técnicas de resolução distintas para cada tipo de
equação exponencial.
Método da redução à base comum
Um dos métodos para resolver equações exponenciais
consiste em reduzir, quando possível, ambos os
membros da igualdade a uma mesma base e utilizar a
seguinte propriedade:
.
Fração
No estudo de equações exponenciais,
evitaremos utilizar números na forma decimal.
Transforme-os em fração, pois o processo de igualar
as bases fica mais fácil nessa forma.
TAREFA 1 – Página 4, exercícios propostos 1, 2, 4, 6,
7 e 8.
AULA 02
Equação Exponencial
Exemplo 2
Resolução por artifícios
Base comum
Lembre-se que a propriedade apresentada
se aplica apenas aos casos nos quais se é possível
reduzir a equação a uma igualdade com apenas
duas potências de mesma base, uma de cada lado
da igualdade. Note que, no caso a seguir,
não é possível se fazer tal redução.
Uma boa ferramenta para igualar as bases
dos membros da equação é fatorar os números em
divisores primos. Utilize também as propriedades
relacionadas às potências.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Nem sempre o processo de igualar as bases é feito de
forma direta. Quando houver somas na base da
potência, pode-se tornar necessário aplicar um
artifício.
1º artifício – o primeiro artifício consiste em
colocarmos o termo comum, com incógnita, em
evidência.
Exemplo 1
Para utilizar o primeiro artifício, faça o seguinte passoa-passo:
Página 1
1º) Identifique quem é o termo comum e faça-o
aparecer livre em cada parcela.
ou
4º) Retorne à variável original e determine seu valor.
Obs.4: Lembre-se que
2º) Coloque o termo comum em evidência.
3º) Isole o termo com incógnita e iguale as bases.
Determine o resultado utilizando a propriedade.
é sempre positivo, se
.
Obs.5: Utilize o segundo artifício quando, no processo
para evidenciar a base comum, aparecer potências da
mesma base em diferentes graus e com somas entre
elas.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
2.1. Resolva, em , as seguintes equações.
a)
b)
Obs.3: Utilize o primeiro artifício quando a equação
dada apresentar todas as incógnitas como expoentes
de números que podem ser reduzidos a uma mesma
base. Em geral, há somas e subtrações nos expoentes.
TAREFA 2 – Página 6, exercícios propostos 10, 11,
13 e 16.
2º artifício – o segundo artifício consiste na criação, e
substituição, de uma variável auxiliar.
O CONCEITO DE FUNÇÃO
EXPONENCIAL
Exemplo 2
Para utilizar o segundo artifício, faça o seguinte passoa-passo:
1º) Identifique quem é o termo comum (por vezes fazse necessário fatorar alguma(s) base(s)) e faça ele
aparecer livre em cada parcela.
AULA 03
Uma função
é denominada função
exponencial de base a se sua lei,
, puder ser
escrita como
, com
e
.
Exemplos:
1)
3)
2)
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
2º) Crie uma variável auxiliar e faça a substituição
.
Tomando
, temos que
3.1. Identifique quais funções a seguir são exemplos
de função exponencial.
a)
b)
c)
d)
e)
3º) Resolva a equação na nova incógnita.
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3.2. Dada a função
a)
, determine
Página 2
b)
c)
d)
tal que
tal que
O GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Vamos começar o estudo do gráfico de uma função
exponencial por meio de dois exemplos:
Exemplo 1
Gráfico de
Para construir o gráfico de f escolhemos
alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os
valores de
correspondentes. Veja os pares
ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x
2
0,25
1
0,5
0
1
1
2
2
4
3
8
Gráfico de
.
Para construir o gráfico de g escolhemos
alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os
valores de
correspondentes. Veja os pares
ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x
2
0,25
1
0,5
0
1
1
2
2
4
3
8
Marcando os pontos da última coluna da
tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o
seguinte gráfico:
Marcando os pontos da última coluna da
tabela em um plano cartesiano, podemos construir o
seguinte gráfico:
De um modo geral, o gráfico de uma função
exponencial f, tal que
, com
e
apresentará algumas características. São elas:
Decrescente
Passa pelo ponto
Acima do eixo
abscissas
Obs.1: Repare que
, para todo
. Por isso,
o gráfico de f nunca irá tocar o eixo das abscissas, por
mais que ele se aproxime deste. Quando isso ocorre
com uma curva, dizemos que ela é assíntótica ao eixo
das abscissas.
Exemplo 2
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
I.
Crescente
Passa pelo ponto
das Acima do eixo
abscissas.
das
Todo o gráfico estará contido acima do eixo
das abscissas, pois, sendo
temos
, para todo
.
Página 3
II.
III.
O gráfico sempre passa pelo ponto
, pois
para todo
.
Se
, então o gráfico será crescente e se
, então o gráfico será decrescente.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
3.3. Construa, em
um
sistema de
eixos
perpendiculares
, o gráfico de cada função
exponencial a seguir.
De um modo geral, o gráfico de uma função
com
e
,
será a translação do gráfico da função
em:


B unidades para cima, se
unidades para baixo, se
,
.
Nesses casos, a curva da função f será assintótica à
reta
. Veja exemplo abaixo (
).
a)
b)
TAREFA 3 – Ler páginas de 1 a 5 e fazer o PROPOSTO 1.
AULA 04
Gráficos com Translação
Obs.1: Para auxiliar nos estudos dessa parte, você
deve fazer o download do app "geogebra". Ele é um
aplicativo gratuito.
Como construir um gráfico no geogebra?
Para construir um gráfico no geogebra siga os
seguintes passos:
1. Clique no "campo de entrada"
2. Comece a escrita da função sempre com "y="
3. Depois do igual digite a função desejada,
lembrando que para escrever potência usa-se
o símbolo "^". (por exemplo, para escrever
escreve-se x^3)
Gráficos com reflexão
Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das
funções a seguir.
a)
b)
Observe que o gráfico da função
refletido pelo eixo .
é o gráfico de
De um modo geral, o gráfico de uma função
com
e
,
com
, será a reflexão pelo eixo x do gráfico da
função
.
Veja o exemplo abaixo.
Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das
funções a seguir.
a)
b)
c)
Observe que o gráfico da função é o gráfico de
transladado três unidades para cima e que o gráfico
de é o gráfico de transladado uma unidade para
baixo.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Página 4
Obs.2: Com
a curvatura do gráfico irá se
alterar, porém ele não será refletido.
CASO GERAL
Considere a função
, em
que , e são constantes reais,
e
.
Essa função pode ser considerada como um caso geral
para funções que envolvem exponencial. O gráfico
dessa função é gerado por translações e reflexões do
gráfico da função
.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
4.1. Utilizando translação e reflexão esboce o gráfico
das funções:
a)
b)
c)
Fórmula geral e gráfico
Observe que a fórmula geral da função exponencial
altera o gráfico da seguinte maneira:
REFLEXÃO
TRANSLAÇÃO
Resumidamente:

, não reflete.

, reflete (assíntota ).

, tranlada unidades para cima.

, translada
unidades para baixo.
Conjunto-Imagem
O
conjunto-imagem
da
função exponencial
é limitado pelo valor
assintótico da função, ou seja, se a função tem como
assíntota a reta
, então seu conjunto imagem é

Para determinar em qual dos dois casos está a
situação, basta observar se o gráfico está ou não
refletido.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
4.2. Determine o conjunto-imagem das funções:
a)
b)
c)
4.3.
Seja
a
função
, em que
, com
e
constantes reais.
Sabendo que o conjunto-imagem da função é dado
por
e que
é
correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
e)
TAREFA 4 – Ler páginas 6 e de 11 a 15.
AULA 05
PROBLEMAS
Considere o caso geral da função exponencial
. Encontraremos vários
problemas que envolvem funções desse tipo para
descobrirmos os valores de B, C e k.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
5.1. Um produto tem seu valor dado pela função
, em que x é o tempo em anos
contados a partir de 2003 (
,e
é dado em
reais. Dado que em 2005 esse produto valia 1000
reais, calcule o que se pede nos itens abaixo.
a) O valor do produto em 2003.
b) O valor do produto em 2007.
c) O ano em que o produto valerá 32000 reais.
Ou

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Página 5
Determinação das constantes
Em grande parte dos problemas que envolvem
função exponencial é solicitado (ou é necessário) que
se encontre os valores das constantes. Um dos
principais métodos para se determinar constantes é
substituir valores numéricos. Estes podem ser
encontrados
 No enunciado
 Em gráficos
 Em tabelas
Lembre-se que valores numéricos são objetos do tipo
, por exemplo.
5.2. Para um refrigerador fechado, a sua temperatura
interna segue a lei
, em que é o
tempo em minutos,
é a temperatura em graus
Celsius ( ) e k é uma constante real. Se após 1
minuto, a temperatura interna é de
a
temperatura interna após 3 minutos será de
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.
5.4. Em um experimento com uma colônia de
bactérias, observou-se que havia 5.000 bactérias vinte
minutos após o início do experimento e, dez minutos
mais tarde, havia 8.500 bactérias. Suponha que a
população da colônia cresce exponencialmente, de
acordo com a função
, em que
éa
população inicial, é uma constante positiva e
é
a população t minutos após o início do experimento.
Calcule o valor de
, desprezando a parte
fracionária de seu resultado, caso exista.
Obs.3: A constante é um número irracional também
conhecido como “número de Euler”.
TAREFA 5 – Exercícios propostos 2 a 9, 15, 16 e 22.
AULA 06
INEQUAÇÃO
EXPONENCIAL
Antes de entrarmos no estudo de inequações
exponenciais vamos fazer uma análise que é válida
para qualquer função.
Considere uma função
. Vamos
avaliar o seu comportamento quanto ao
crescimento/decrescimento

Se f é crescente em todo seu domínio, então
para dois valores,
e , pertencentes a ,
temos que

Se f é decrescente em todo seu domínio,
então para dois valores, e , pertencentes
a A, temos que
5.3. Num período prolongado de seca, a variação da
quantidade de água, em litros, de certo reservatório é
dada pela função
, em que e são
constantes positivas,
é a quantidade de água
após t semanas e
é a quantidade inicial de água.
Sabe-se que
gramas dessa substância foram
reduzidas a
em 10 semanas. A que porcentagem
de
ficara reduzida a quantidade de água após 30
semanas:
A)
B)
C)
D)
E)
Obs.2: Nem sempre é possível determinar todas as
constantes que aparecem na situação.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Página 6

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
6.1. Resolva, em , as inequações a seguir.
a)
b)
c)
d)
No estudo das funções exponenciais dividimos
as funções em dois casos de acordo com sua base real
a.
Decrescente
Crescente
e)
f)
TAREFA 6 – Ler páginas de 1 a 4 e fazer os PROPOSTOS 1
a 5, 9, 13 e 17. DESAFIO: 7, 8 e 12
EXTRA
CAIU NO VEST
1. (ITA – 2013) A soma de todos os números reais x
que satisfazem a equação

Assim podemos concluir que
Se
, então
. É igual a:
a) 8. b) 12. c) 16. d) 18. e) 20.
Questões extras
1) A soma das raízes da equação

Se
, então
é igual a
2º) Avalie o valor da base (maior ou menor que )
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
2) A raiz real da equação
(A) Um divisor de 3.
(B) Um múltiplo de 2.
(C) O inverso de 13.
(D) Igual a 15.
(E) Um número primo maior do que 3.
3º) Aplique a respectiva definição feita acima.
3) Se a equação
Como resolver inequações exponenciais
O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de
inequações exponenciais:
1º) Reduza ambos os membros a uma base comum
Note que para reduzir ambos os membros a uma base
comum, pode ser necessário fazer uso dos artifícios.
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soluções os números reais
ser igual a
(A) 1.
é
admite como
e , então
pode
Página 7
(B) 3.
(C) 6.
(D) 8.
(E) 9.
4) O conjunto-solução, em
, é igual a
a)
. b)
. c)
. d)
, da equação
. e) .
5) O
conjunto-solução, em
, da equação
, possui
(A) Dois números reais opostos.
(B) Dois números reais cuja soma é igual a um.
(C) Um único número real cujo valor é maior que
dois.
(D) Um único número real cujo valor é igual a
dois.
(E) Um número negativo.
6) Em uma experiência observou-se que uma
substância se desintegra com o passar dos anos.
Sua massa , existente após anos do início da
experiência, é dada por
, em
que
representa uma massa inicial. Decorridos
anos após o início da experiência, a
porcentagem de massa existente, em relação à
quantidade
é igual a
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
7) A massa de uma população de bactérias, ao final
de
minutos, é dada pela lei
.
Sabendo que ao final de 1 minuto a massa dessa
população era 64 e que ao final de 3 minutos a
massa dessa mesma população era 256, calcule a
massa dessa população de bactérias ao final de 90
segundos.
8) O gráfico a seguir é uma representação cartesiana
do gráfico da função
, em que
, com
e
.
Dado que 1 é raiz de
assíntota de , o valor de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
e a reta
é igual a
é uma
-2.
-1.
0.
1.
2.
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. a) S  7 b) S  21 c) S  0
1 
6 
 6
 5


d) S    e) S    f) S  1  6; 1  6
2.1. a) S  0 b) S  2
3.1. a, e
3.2. a) 4
b)
1
4
c) 3
4.1. Gráficos
4.2. a) 2,   b) 2,  
4.3. B
5.1. a) 500
5.2. C
5.3. E
5.4. 17
6.1.
b) 2000
d) Não existe
c)  ,  2
c) 2015


3
2
a) S  x  | x  3
b) S   x  | x  
c) S   x  | x  2
d) S  x  | x  3
e) S  x  | x  5
f) S   x  | x  0 ou x  2
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Página 8
CAIU NO VEST
1. D
QUESTÕES EXTRAS
1. E
2. B
3. A
4. B
5. D
6. C
7. 64 2
8. C
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Página 9