Apostila de Matemática 06 – Trigonometria

Apostila de Matemática 06 – Trigonometria
1.0 Triângulo Retângulo
1.1 Introdução
Quanto mais o ângulo ou o índice, mais
íngreme o triângulo retângulo é.
Altura
Afastamento
ÍNDICE
Área do Triângulo Retângulo:
A
b.h
2
1.2 O Triângulo Retângulo
ABC = Ângulo
A + B+ C = 180º
 = 90º
B+C=A
B + C = 90º
a ² b² c ²
a, b, c = Lados
a = Hipotenusa.
b = Cateto Oposto
c = Cateto Adjacente
1.3 Seno, Cosseno e Tangente
Seno
sen
c
C. A.
OU
a
H.
Altura
b
C.O.
OU OU
Percurso
a
H.
sen
Cosseno
cos
Afastamento
c
C. A.
OU OU
Percurso
a
H.
Tangente
tg
Altura
b
C.O.
OU OU
Afastamento
c
C. A.
b
C.O.
OU
a
H.
cos
sen
cos
tg
c
C. A.
OU
b
C.O.
cos
sen
1.3.1 Relação Fundamental Entre Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo
sen²
cons ²
1
sen
cos
tg
1.4 Tabela dos Ângulos Notáveis
45°
30°
60°
sen
2
2
1
2
3
2
cos
2
2
3
2
1
2
1
3
3
3
tg
2.0 Quaisquer Ângulos
2.1 Introdução
A, B, C = Ângulos
a, b, c = Lados
O = Centro da Circunferência
R = Raio
Área de um triângulo qualquer:
área
S
1
b c sen A
2
2.2 Seno e Cosseno de Ângulos Agudos
Serve para calcular senos e cossenos maiores que 90°:
sen
sen(180
)
cos
cos(180
)
2.3 Lei dos Senos e Cossenos
Lei do Seno: Normalmente usado quando a questão dá 2 ou 3 ângulos.
a
senA
b
senB
c
senC
2R
Lei do Cosseno: Normalmente usado quando a questão dá 1 ângulo e 2 ou 3
lados.
a ² b² c ² 2.b.c.cos A
b² a ² c ² 2.a.c.cos B
c ² a ² b² 2.a.b.cos C
3.0 Conceitos Básicos
3.1 Introdução
Arco: Parte de uma circunferência formada
por dois pontos.
Ângulo: Todo arco tem um ângulo central.
Raio: Uma reta que vai do centro do círculo
até o final deste.
3.2 Comprimentos e Medidas
Comprimento da Circunferência: C
.r
Comprimento do Arco: l
π rad = 180°
π rad = 10800’ (minutos)
1° = 60’
0,1° = 0,6’
Transformando de Grau para Rad:
180
2 r
rad
minutos
rad (transforma o grau
10800
em minutos e soma com os minutos já existentes)
180
Transformando de Rad para Grau:
Transformando de Grau e minutos para Rad:
3.3 Circunferência Trigonométrica
O raio é igual a 1 e o sentido é anti-horário.
Quadrantes
3.4 Arcos Côngruos (Congruentes)
Em graus:
k.360 , com k Z.
Sendo k = número de voltas.
Em rad: x k.2 , com k Z.
3.5 Definindo o Menor Arco
Pede-se para definir o menor arco quando ângulo dado passa de 1 volta.
Em graus:
k.360
y
Se o ângulo for negativo: Depois de achar o ângulo, faz: 360° – α.
Em Rad:
x k .2
y
s
Divide-se por 2π (360°), sendo ele na mesma base que o y. Depois, corta-se o π
e o denominador (s) e divide. No final, coloca-se na resposta o π e a base.
Se o ângulo for negativo: Depois de achar o ângulo, converte para graus, faz:
360° – α, e converte novamente para rad.
x k .2
y
s
Converte tudo em graus.
Se o ângulo for negativo: Depois de achar o ângulo, faz: 360° – α.
4.0 Funções
4.1 Relação Fundamental Entre Seno, Cosseno e Tangente
sen²
cons ²
1
sen
cos
tg
4.2 Valores Notáveis do Seno, Cosseno e Tangente
x
0
senx
0
π/6 (30°)
1
2
π/4 (45°)
2
2
π/3 (60°)
π/2 (90°)
π (180°)
3π/2 (270°)
2π (360°)
3
2
1
0
-1
0
x
cosx
0
0
x
0
tgx
0
π/6 (30°)
3
2
π/6 (30°)
3
3
π/4 (45°)
2
2
π/4 (45°)
1
1
2
π/3 (60°)
π/2 (90°)
π (180°)
3π/2 (270°)
2π (360°)
0
-1
0
1
4.3 Outros Valores do Seno, Cosseno e Tangente
Quando o grau está no 2º quadrante:
Seno: sen(180 ) sen
Cosseno: cos(180
Tangente: tg (180
)
cos
)
tg
Quando o grau está no 3º quadrante:
)
sen
Seno: sen(180
Cosseno: cos(180
Tangente: tg (180
)
cos
) tg
Quando o grau está no 4º quadrante:
)
sen
Seno: sen(360
Cosseno: cos(360
Tangente: tg (360
) cos
)
tg
3
π/3 (60°)
π/2 (90°)
não é definida
π (180°)
0
3π/2 (270°) não é definida
2π (360°)
0
4.4 Função do Seno
f :R R
x
f ( x) senx
D( f ) R
Im( f ) ( 1,1)
Condição de existência: 1 senx 1
Função Ímpar: senx = -sen(-x)
Quando o x está no 1ª e 2ª Quadrante, o seno é positivo.
Quando o x está no 3ª e 4ª Quadrante, o seno é negativo.
A curva do gráfico é chamada de senóide.
4.4 Função do Cosseno
x
f :R R
f ( x) cos x
D( f ) R
Im( f ) ( 1,1)
Condição de existência: 1 cos x 1
Função Par: cosx = cos(-x)
Quando o x está no 1ª e 4ª Quadrante, o seno é positivo.
Quando o x está no 2ª e 3ª Quadrante, o seno é negativo.
A curva do gráfico é chamada de cossenóide.
4.5 Função da Tangente
x
2
x
D( f )
R {x R | x
2
k ,k
Z
f ( x) tgx
k ,k
Z}
Im( f ) R
Função Ímpar: tgx = -tg(-x)
Quando o x está no 1ª e 3ª Quadrante, a tangente é positiva.
Quando o x está no 2ª e 4ª Quadrante, a tangente é negativa.
A curva do gráfico é chamada de tangentóide.
3
Quando o x tende aos valores de
e
, ele tende ao infinito e nunca toca
2
2
neles, pois a tangente não se define nesses valores.
3
As retas verticais tracejadas que representam os valores de x
e
são
2
2
chamadas de assíntotas.
4.6 Cossecante, Secante e Cotangente
Cossecante:
cossecx
1
,x
senx
k ,k
Z
k ,k
Z
Secante:
secx
1
,x
cos x
k ,k
Z
2
Cotangente:
cotgx
1
,x
tgx
OU
Tangente
OBS:
cotgx
tg
cosx
,x
senx
1
cotg
k ,k
Z
5.0 Trigonometria – Relações
5.1 Relações Fundamentais
sen²x+cos²x=1
1
cos x
secx
tgx
senx
cos x
cossecx
cotg²x+1=cossec²x
cotgx
1
senx
cotgx
cos x
senx
1
tgx
tg²x+1=sec²x
6.0 Trigonometria – Transformações
6.1 Fórmulas de Adição
6.2 Fórmulas de Arco Duplo
Fórmulas do Seno
Fórmula do Seno
sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosa
sen2a=2.sena.cosa
sen(a-b)=sena.cosb-senb.cosa
Fórmulas do Cosseno
Fórmulas do Cosseno
cos2a=cos²a-sen²a
cos(a+b)=cosa.cosb-sena.senb
cos2a=1-2sen²a
cos(a-b)=cosa.cosb+sena.senb
Fórmulas da Tangente
tga tgb
tg(a+b)=
1 tga.tgb
tg(a-b)=
tga tgb
1 tga.tgb
cos2a=2cos²a-1
Fórmula da Tangente
tg2a=
2.tga
1 tg ² a