a filosofia da matemática do quase-empirísmo e história

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FILOSOFIA DA MATEMÁTICA DO QUASE-EMPIRÍSMO E HISTÓRIA DA
MATEMÁTICA: TRAÇANDO ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O
ENSINO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
Gustavo Barbosa1
Universidade Estadual Paulista - UNESP
[email protected]
Renata Cristina Geromel Meneghetti2
Universidade de São Paulo - USP
[email protected]
Resumo: Este trabalho tem como objetivo refletir sobre as abordagens metodológicas
adotadas no curso de graduação em Matemática a partir de duas vertentes: (a) levando
em consideração aspectos filosóficos e históricos da Matemática e (b) focalizando o
método heurístico de Lakatos, ou, sua “Lógica do Descobrimento Matemático”. Os
autores buscam, a partir dessa investigação, traçar algumas reflexões sobre como a
História da Matemática e a Filosofia da Matemática de Lakatos poderiam auxiliar na
compreensão de objetos matemáticos em cursos de graduação em Matemática,
principalmente no que se refere às demonstrações Matemáticas.
Palavras-chave: Filosofia da Matemática; História da Matemática; Lakatos; Heurística;
Ensino e aprendizagem na Graduação.
Introdução
Em sua obra Crítica da Razão Pura, Immanuel Kant (1724-1804) lamentava que
as provas filosóficas carecessem da mesma “armadura” que tinham as provas
matemáticas. Para ele e seus contemporâneos esta armadura parecia-lhes invulnerável.
Entretanto, no início do século XX, devido a vários fatores, como paradoxos da teoria
dos conjuntos, opiniões divergentes com relação aos fundamentos, etc., a tradicional
confiabilidade nas provas matemáticas e em seu rigor conclusivo ficou abalada. Assim
surgia a concepção de que as demonstrações matemáticas estão abertas à críticas, como
qualquer outro raciocínio científico (PERMINOV, 1988).
O escopo deste artigo é abordar como a filosofia da matemática do quaseempirísmo do matemático e filósofo húngaro Imre Lakatos (1922-1974) faz uso da
1
Doutorando em Educação Matemática – UNESP, Campus de Rio Claro, SP. E-mail:
[email protected]
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Docente do Instituto de Ciências Matemáticas e Computação – USP, São Carlos. E-mail:
[email protected]
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História da Matemática para mostrar de que maneira as críticas3 referidas acima
auxiliam o desenvolvimento matemático. Nossa proposta é focalizar o método
heurístico de Lakatos e refletir sobre alguns aspectos concernentes à metodologia do
ensino da Matemática e também a sua heurística nos cursos de graduação em
Matemática.
Entendemos a atividade heurística, de acordo com Balieiro (2004 apud
Puchkin4, 1976, p. 8), como sendo um processo psíquico pelo qual o indivíduo cria,
elabora e descobre um método (até então desconhecido), útil à resolução de um
problema. Grosso modo, a heurística pode ser entendida como a arte de descobrir.
No contexto focalizado neste trabalho, a atividade heurística na Matemática é
um processo que ocorre de forma lenta, e na qual a Matemática não-formal (quaseempírica) ajuda no desenvolvimento da Matemática formal mediante incessante
aperfeiçoamento de opiniões por especulação e crítica, pela lógica das provas e
refutações. Mas de que maneira uma abordagem que leve em consideração tal
desenvolvimento pode auxiliar o ensino da Matemática em nível de graduação? Eis a
nossa pergunta.
Fundamentação Teórica
Este trabalho caracteriza-se como um estudo bibliográfico pautado em duas
vertentes: (a) levando em consideração aspectos filosóficos e históricos da Matemática e
(b) focalizando o método heurístico de Lakatos, ou, sua “Lógica do Descobrimento
Matemático”. Inicialmente foi traçado um panorama geral da Filosofia da Matemática,
no qual percorremos algumas de suas principais correntes com o propósito de
compreender os aspectos históricos a respeito da constituição do conhecimento
matemático e também de contextualizar as idéias de Lakatos. Na seqüência foram
focalizadas aquelas que são consideradas as fontes primárias de nosso estudo, a saber,
as obras Provas e refutações: a lógica do descobrimento matemático (LAKATOS,
3
Num sentido amplo, as “críticas” que Lakatos propôs são contra-exemplos históricos que fizeram com
que os matemáticos desenvolvessem uma prova para a conjectura de Euler, a qual afirma que, para todo
poliedro, vale a relação V – A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o
número de faces do poliedro.
4
Puchkin, V. N. Heurística: A Ciência do Pensamento Criador. Rio de Janeiro: Zahar, 1976.
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1978) e também A crítica e o desenvolvimento do conhecimento (LAKATOS, 1979). As
fontes secundárias constituem-se de todas as outras obras encontradas na bibliografia,
como livros e artigos que auxiliam na sustentação da discussão.
No final, foram traçadas algumas reflexões referentes ao processo de ensino e
aprendizagem em cursos de graduação em Matemática sob a perspectiva do quaseempirismo e da história da Matemática.
Alguns aspectos históricos da Filosófica da Matemática
Segundo Dossey (1992, p. 40, tradução nossa) “as discussões acerca da natureza
da Matemática datam desde o século IV a.C. na Grécia antiga. Entre seus maiores
contribuintes estão Platão e seu aluno Aristóteles”. Ainda, de acordo com este autor,
Platão considerou que os objetos da Matemática têm existência própria, isto é, estão
além de nossa mente, num mundo externo. Dessa forma, Platão criou distinções entre as
idéias da mente e suas representações, que são compreendidas no mundo por nossos
sentidos.
Diferentemente de seu mestre, Aristóteles defendeu uma concepção da
Matemática baseada na própria realidade, onde os conhecimentos eram obtidos através
da experimentação, observação e abstração.
Tradicionalmente, a Matemática tem sido vista como paradigma do
conhecimento. Euclides erigiu há 2.500 anos uma magnífica estrutura lógica com seus
Elementos, servindo como exemplo de certeza e verdade até o final do século XIX.
Newton utilizou a forma dos Elementos em seu Principia, e Spinoza em sua Ética
(ERNEST, 1991, p. 4, tradução nossa).
Descartes desenvolveu o seu “método” acreditando na idéia de que a
Matemática era o conhecimento mais certo e infalível de todos. Esse filósofo tomou a
metodologia da Matemática juntamente com seus critérios de verdade como regra para
toda e qualquer forma de conhecimento. Assim, a Matemática seria então, para
Descartes, fundamentada em princípios racionais e lógicos, opinião que foi
posteriormente compartilhada pelo matemático alemão Leibniz. (MENEGHETTI, 2006,
p. 59).
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No final do século XIX, as novas investigações a respeito da natureza da
Matemática, livres da dependência de experimentação e percepção, logo encontraram
novos problemas com o aparecimento de paradoxos no sistema dos números reais e
também na teoria dos conjuntos.
Em decorrência dessa crise dos fundamentos, três novas correntes filosóficas da
Matemática surgiram para tentar lidar com esses problemas: o Logicismo, o
Formalismo e o Intuicionismo. Tais correntes buscaram fornecer uma sólida
fundamentação para a Matemática, entretanto, em todos os três casos, tal
fundamentação deveria ser absolutamente segura e sistemática, além de reduzir a
Matemática a algo mais simples e evidente. Por esse motivo, o Logicismo, o
Formalismo e o Intuicionismo ficaram conhecidos como correntes “absolutistas”,
“fundacionais” ou até mesmo “justificacionistas” da Filosofia da Matemática.
Apesar de suas diferenças, tais propostas concordaram em reservar à Matemática
o posto único de ciência indubitável. Muitos de seus defensores acreditavam que ao
contrário do que ocorre nas chamadas ciências naturais, a Matemática não está aberta à
falsificação empírica. Contudo, como aponta Meneghetti (2009), essas correntes
falharam em seus propósitos, e a natureza do saber matemático passou a ser novamente
questionada.
A Filosofia da Matemática de Lakatos
Quase-empirismo é o nome atribuído à filosofia da matemática desenvolvida por
Imre Lakatos. Sua visão da Matemática leva em consideração a atividade dos
matemáticos, isto é, o que eles fazem e têm feito, com todas as imperfeições inerentes a
qualquer atividade ou criação humana. O quase-empirismo passou a representar uma
“nova direção na Filosofia da Matemática” (TYMOCZKO5, 1986 apud ERNEST, 1991,
p. 35, tradução nossa), pois prioriza a prática da Matemática.
Influenciado pelos trabalhos de Karl Popper e Thomas Kuhn, Lakatos adaptou a
filosofia da ciência desses filósofos à Matemática fazendo as alterações que ele
considerava necessárias. Em colaboração com Alan Musgrave, Lakatos organizou a
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TYMOCZKO, T. (ed.) New Directions in the Philosophy of Mathematics, Boston, Birkhauser.
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obra intitulada A crítica e o desenvolvimento do conhecimento, que constitui o quarto
volume das Atas do Seminário Internacional sobre Filosofia da Ciência, realizado em
1965 em Londres. Nesse livro, Lakatos desempenha o papel de mediador na discussão
travada entre Popper e Thomas Kuhn a respeito do desenvolvimento científico.
Molina (2001) argumenta que, segundo Lakatos, não haveria diferenças entre o
desenvolvimento das ciências naturais e o desenvolvimento da Matemática, ou seja, não
pode existir uma epistemologia própria da Matemática, fora da epistemologia geral das
ciências empíricas. Desta forma, Lakatos estende o falsificacionismo popperiano à
Matemática. Popper propôs uma lógica da descoberta científica, na qual ele argumenta
que a ciência avança através de processos de conjecturas e refutações. Mas, enquanto
Popper considerava as refutações das teorias empíricas como definitivas, Lakatos
afirmava a possibilidade de defender sempre uma teoria Matemática contra uma
possível refutação. Ele expôs sua metodologia explicitamente na obra Provas e
Refutações: a lógica do descobrimento matemático, que foi postumamente publicada. A
Epistemologia da Matemática apresentada nesse trabalho não pode ser concebida à parte
da História da Matemática. Lakatos apresenta suas concepções epistemológicas como
sendo uma reconstrução racional da História da Matemática. O cerne dessa
Epistemologia está no método de provas e refutações, um método de heurística
Matemática.
Sob o atual domínio do formalismo, é-se tentado a parafrasear Kant: a
história da Matemática, à falta da orientação da filosofia, tornou-se
cega, ao passo que a filosofia da matemática, voltando as costas aos
fenômenos mais curiosos da história da Matemática, tornou-se vazia.
(LAKATOS, 1978, p. 15, grifo do autor)
Nesta obra, este autor apresentou o seu método de provas e refutações que, em
sua opinião, forneceria as bases para uma correta interpretação da História da
Matemática.
O método de Lakatos é ilustrado através de uma interpretação histórica da
conjectura de Euler, a qual afirma que para todo poliedro vale a relação V – A + F = 2,
onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do
poliedro. São apresentados contra-exemplos para tal conjectura surgidos ao longo dos
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anos, o que fez com que as hipóteses fossem reformuladas, ou, “lapidadas”, isto é,
limitadas de modo a evitar tais contra-exemplos. Sob essa dinâmica, a prova, ou o
percurso da prova, parece corresponder a um esforço mútuo que levou anos para chegar
a sua formulação final.
Segundo o método de provas e refutações, a aparição de contraexemplos a uma conjectura leva a uma análise mais acurada da prova
da conjectura, a fim de identificar os lemas ocultos que não são
satisfeitos pelos contra-exemplos. Estes lemas são agregados como
condições à conjectura primitiva, dando origem, assim, a uma
conjectura melhorada. Pelo contrário, outras atitudes face à aparição
de contra-exemplos revelam-se estéreis. A rendição, isto é, face à
aparição dos contra-exemplos, declarar simplesmente que a conjectura
é falsa, não leva ao progresso da Matemática, fecha o caminho ao
aprimoramento da conjectura.
(MOLINA, 2001, p. 149)
Na utilização de seu método, Lakatos enfatiza a importância de se considerar os
fatores históricos para o desenvolvimento da Matemática:
A forma dialogada deve refletir a dialética do caso; significa conter
uma espécie de racionalidade reconstruída ou história “destilada”. A
verdadeira história aparecerá nas notas de pé de página, a maioria
das quais, portanto, deve ser tomada como parte orgânica deste
ensaio.
(LAKATOS, 1978, p. 18, grifo do autor)
O interesse dominante na Filosofia da Matemática parece se mover para além do
programa absolutista descrito anteriormente, pois torna necessário o abandono da
pretensão de ditar à Matemática regras de comportamento, para abordá-la como um
esforço humano para organizar sua experiência no mundo. Nesta tarefa, os filósofos da
Matemática não podem mais ignorar a história dessa ciência, pois o conhecimento
matemático como nos é transmitido não é todo concentrado no momento presente, mas
sim distribuído ao longo dos séculos. A proposta é de que as inquietações próprias da
Filosofia da Matemática devem incluir questões externas como seu contexto social e
suas origens históricas, além de questões internas relativas ao seu conhecimento,
existência e justificação. Como a história ilustra, o conhecimento em cada disciplina,
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incluindo a Matemática, se dá por uma constante mudança de estado. A epistemologia
não fornece uma adequada explicação para o conhecimento se este se concentra apenas
numa formulação estática e ignora a dinâmica de seu crescimento. A Matemática é
multifacetada, e da mesma forma que um corpo de conhecimentos proposicionais, pode
ser descrita através de seus conceitos, características, história e prática.
A visão falibilista considera o conhecimento matemático como falível e
corrigível, e este nunca deve ser considerado livre de correções. Sendo assim, a proposta
falibilista da natureza da Matemática reconhece que os erros nos levam a reconsiderar a
teoria e conseqüentemente a um crescimento do conhecimento.
Considerações Finais
As contribuições aqui sugeridas são o resultado das discussões e reflexões
teóricas realizadas pelos autores a partir dos estudos efetuados e da experiência dos
mesmos; um enquanto educador matemático e o outro, na época da realização dessa
pesquisa, enquanto aluno de graduação em bacharelado em Matemática.
Entendemos que a importância de se examinar a História e a Filosofia da
Matemática reside no fato de que toda e qualquer prática, seja ela educativa, científica
e/ou tecnológica – como no caso da Matemática – fundamenta-se em um contexto
cultural que está sujeito a toda sorte de interesses. Para nós, o estudo da Matemática
feito através de seu viés histórico e filosófico reivindica o vínculo da Matemática com
as outras atividades humanas ou mesmo entre as diversas áreas dessa ciência, criando
um rico mosaico no qual ficam evidentes os interesses e preocupações dos matemáticos
ao longo dos séculos.
Além disso, concordamos com Meneghetti (2009) que defende que atualmente o
movimento nas filosofias atuais da Matemática é de se reconhecer (ou recuperar) outros
aspectos importantes na constituição do saber matemático, tais como: a falibilidade; os
caracteres intuitivo, experimental e temporal; os aspectos históricos, culturais e os
advindos com as revoluções científicas. Para essa mesma autora, há a importância de
haver-se um equilíbrio entre os aspectos intuitivo e lógico no processo de constituição
do conhecimento matemático.
Entendendo o intuitivo como um conhecimento de
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apreensão imediata, podendo ou não ter origem na experiência e, o lógico, como sendo
o meio pelo qual sistematizamos/formalizamos o conhecimento.
A partir desses pressupostos, consideramos as idéias de Lakatos como uma
importante fonte de inspiração para abordagens no processo de ensino e aprendizagem
da Matemática na graduação em Matemática, no que se refere ao aspecto lógico do
conhecimento matemático, especificamente para o caso das demonstrações em
Matemática. Vale salientar que as idéias de Lakatos não são auto-suficientes para dar
conta do processo de ensino e aprendizagem de Matemática, sendo que algumas de suas
limitações já foram abordadas por Cardoso (1997). As principais críticas dessa última
autora referem-se à utilização da filosofia da Matemática de Lakatos no ensino
fundamental e médio. Entretanto, na graduação em Matemática e referente ao aspecto
lógico do conhecimento matemático, entendemos que a proposta delineada por Lakatos
em Provas e Refutações muito pode contribuir. Outras ricas contribuições dessa teoria
ao ensino foram também apontadas por Garnica (1996).
Segundo nossa percepção, a forma como Lakatos expõe suas idéias em Provas e
refutações, isto é, como um diálogo Socrático, leva os alunos a terem uma posição mais
ativa e desinibida frente ao desenvolvimento das idéias matemáticas. Compreendemos
que um melhor entendimento da Matemática apresentada na graduação pode ser feito
mediante incessante aperfeiçoamento de opiniões por especulação e crítica, pela lógica
das provas e refutações. Além disso, este processo deve ocorrer de forma dinâmica e
dialética6.
Tal postura evita, por exemplo, uma exposição estática do conteúdo como um
amontoado de axiomas, definições, lemas, teoremas, e suas respectivas demonstrações,
o que muitas vezes faz com que os alunos se percam em tanta informação e acabem
perdendo de vista os seus objetivos, isto é, a essência daquilo que na verdade está por
trás da teoria e que deve de fato ser compreendido ou, como tal teoria se encaixa de
forma mais geral no edifício da Matemática e quais suas possíveis ramificações em
outras áreas do conhecimento.
Do ponto de vista da aprendizagem, justificar a
necessidade da construção dos conceitos, explorar suas propriedades, conectando as
implicações da teoria com diferentes áreas da Matemática, faz muita diferença. Uma
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Empregamos o termo dialética no sentido utilizado por Lakatos, isto é, como um diálogo socrático.
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abordagem histórica permite que a objetividade da Matemática venha à tona, as
definições aparecem como uma necessidade de se superar obstáculos, os contraexemplos permitem se fazer os devidos ajustes na teoria. Ainda do ponto de vista do
rigor matemático, sua necessidade pode ser mais bem compreendida, uma vez que sua
função é lapidar a teoria, buscando sempre evitar as ambigüidades e contra-exemplos, o
que torna clara a necessidade da justeza da linguagem matemática.
Por todos esses fatores, compreendemos que utilizar uma abordagem inspirada
na teoria de Lakatos, sempre que possível, no que se refere ao caráter lógico do
conhecimento matemático acrescentaria muito na construção dos conhecimentos
matemáticos dos graduandos em Matemática.
Referências
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PERMINOV, V. Y. On The reliability of mathematical proofs. In: Revue Internationale
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