Flexão

Capítulo 6:
Flexão
Adaptado pela prof. Dra. Danielle Bond
Diagramas de força cortante e momento fletor
• Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados
perpendicularmente a seu eixo longitudinal são denominados vigas;
em geral são barras longas e retas com área de seção transversal
constante e classificadas conforme o modo como são apoiadas:
Diagramas de força cortante e momento fletor
Exemplos: elementos utilizados
para suportar o piso de um edifício,
a plataforma de uma ponte ou a asa
de um avião, eixo de um automóvel,
a lança de um guindaste e até
mesmo muitos ossos do corpo
humano agem como vigas.
Diagramas de força cortante e momento fletor
• Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas desenvolvem uma
força de cisalhamento interna, força cortante e momento fletor que
variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga.
• As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas
em gráficos denominados
diagramas de força cortante e momento fletor.
• Estes gráficos podem fornecer os valores máximos de V e M; assim
os engenheiros podem, por exemplo, decidir onde colocar materiais
de reforço no interior da viga.
• Utiliza-se o método das seções para determinar o
carregamento interno de um elemento em um ponto
específico.
• As funções de cisalhamento e momento fletor devem ser
determinadas para cada região da viga localizada entre
quaisquer duas descontinuidades de carregamento.
• Direções positivas indicam que a carga distribuída age para
baixo na viga e a força cortante (V) interna provoca uma rotação
em sentido horário; e o momento (M) interno causa compressão
nas fibras superiores.
Exemplo 6.1
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento
fletor para a viga dada.
x1
x2
Exemplo 6.1
Exemplo 6.4
Represente graficamente os diagramas de força cortante e
momento fletor para a viga mostrada na figura.
Exemplo 6.4
Exemplo 6.6
Represente graficamente os diagramas de força cortante e
momento fletor para a viga mostrada abaixo.
Exemplo 6.6
Deformação por flexão de um elemento reto
•
A seguir serão discutidas as deformações que ocorrem quando uma viga
prismática reta, feita de um material homogêneo, é submetida à flexão.
•
Quando um momento fletor é aplicado, as linhas de grade tendem a se
distorcer: as longitudinais se tornam curvas e as transversais verticais
continuam retas, porém sofrem rotação.
Deformação por flexão de um elemento reto
•
A seção transversal de uma viga reta permanece plana quando a viga se
deforma por flexão.
•
Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga e uma tensão de
compressão do outro lado; por consequência, entre essas duas regiões
deve existir uma superfície, denominada neutra, na qual não ocorrerá
mudança nos comprimentos das fibras longitudinais do material.
•
O eixo longitudinal x, que se encontra no interior da superfície neutra, não
sofre qualquer mudança no comprimento.
O eixo z, que se encontra no plano da seção transversal e em torno do qual
a seção transversal gira, é denominado eixo neutro.
•
•
Para mostrar como esta distorção deformará o material, isolaremos um
segmento da viga em x.
Qualquer segmento de reta x localizado na superfície neutra não muda de
comprimento; já s localizado em y acima da linha neutra se contrairá e se
tornará s` após a deformação; .
•
•
Representando essa deformação em termos de localização y do segmento
e do raio de curvatura  do eixo longitudinal do elemento. Visto que
define o ângulo entre os lados da seção transversal:
• Ocorrerá uma contração (-) nas fibras localizadas acima do eixo neutro (+y); e
um alongamento (+) nas abaixo (-y).
• Esta variação da deformação na S.T. é mostrada na figura:
A fórmula da flexão
  E
A fórmula da flexão

Momento de inércia da área da S.T. = I
A fórmula da flexão
• O momento resultante na seção transversal é igual ao momento
produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do
eixo neutro.
 
My
I
σ = tensão normal no membro
M = momento interno
I = momento de inércia
y = distância perpendicular do eixo neutro
Rever:
Cálculo do I e localização da linha neutra
Exemplo 6.15
A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada na figura
abaixo. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e represente a
distribuição de tensão na seção transversal nessa localização.
Solução:
O momento máximo interno na viga é M  22,5 kNm.
Exemplo 6.17
O elemento com seção transversal retangular, Fig.a. Abaixo, foi projetado para
resistir a um momento de 40N.m. Para aumentar sua resistência e rigidez, foi
proposta a adição de duas pequenas nervuras em sua parte inferior Fig.b.
Determine a tensão normal máxima no elemento para ambos os casos.
Vigas compostas
•
Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas
vigas compostas;
concreto
madeira
Vigas compostas
•
Para usar a fórmula da flexão é preciso “transformar” a S.T. da viga em
uma seção feita de um único material.
Se considermos que a viga é feita inteiramente do material 2, menos
rígido, então a seção transversal será :
•
A altura h da viga permanece a
mesma, já que a distribuição de
tensão de deformação deve ser
preservada.
A porção superior da viga tem
que ser alargada, de modo a
poder suportar uma carga
equivalente à suportada pelo
material 1, mais rígido.
Vigas compostas
•
Para isso utilizamos:
O fator de transformação é uma razão entre os módulos dos diferentes
materiais que compõem a viga.
Vigas compostas
•
seção transversal com largura b na
viga original deve ser aumentada
na largura para b2 = nb na região
onde o material está sendo
transformado no material 2
Se o material 2, menos rígido, for
transformado no material 1, mais rígido,
a largura do material 2 será b1=n`b,
onde n`=E2/E1.
• n` será <1, visto que E1>E2.
• Precisamos de uma quantidade
menor do material rígido para
suportar um determinado momento
Vigas compostas
• Uma vez determinada a tensão na seção transformada,
ela deve ser multiplicada pelo fator de transformação
para obter a tensão na viga verdadeira:
Exemplo 6.21
Uma viga composta é feita de madeira e reforçada com uma tira de aço localizada
em sua parte inferior. Ela tem a área de seção transversal mostrada na figura
abaixo. Se for submetida a um momento fletor M = 2 kNm, determine a tensão
normal nos pontos B e C. Considere Emad = 12 GPa e Eaço = 200 GPa.