GEOMETRIA PLANA

Aula 20 - Baiano
GEOMETRIA PLANA
GEOMETRIA PLANA
Triângulos
Definição: Um polígono de três lados ou figura geométrica
determinada por três vértices não colineares é chamado de
triângulo ou trilátero.
Classificação
Lados
Ângulos
Equilátero - 3 lados iguais
Acutângulo - 3 ângulos agudos
Isósceles - 2 lados iguais
Retângulo - 1 ângulo reto
Escaleno - 3 lados diferentes
Obtusângulo - 1 ângulo obtuso
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Triângulos
Exemplo 1: UFMG | Na figura, ABCD é um quadrado e BCE é
um triângulo equilátero. A medida do ângulo AEB, em
graus, é:
a. 30
x x
b. 49
30º + 2x = 180º
c. 60
2x = 150º
d. 75
30º
x = 75º
e. 90
60º
Gabarito: d
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Triângulos
Exemplo 2: Classifique o triângulo de lados 6, 7 e 8 quanto
aos seus ângulos.
6
α
8
Lei dos cossenos
8² = 7² + 6² - 2.7.6.cosα
...
7
cosα>0
cosα<0
cosα=0
0º<α<90º
90º<α<180º
α = 90º
Triângulo acutângulo
Triângulo obtusângulo
Triângulo retângulo
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Triângulos
Teorema de Clairault
Sendo a o maio lado do triângulo
a² < b² + c²
Acutângulo
a² = b² + c²
Retângulo
a² > b² + c²
Obtusângulo
Exemplo 2: Classifique
o triângulo de lados 6,
7 e 8 quanto aos seus
ângulos.
8² < 7² + 6²
64 < 49 + 36
64 < 85
acutângulo
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Triângulos
Propriedades dos Triângulos
Lados
Ângulos
β
α
b
c
γ
Si = α + β + γ = 180º
Se = 360º
a
|b – c| < a < b + c
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Triângulos
Exemplo 3: Um triângulo possui lados 2 e 6. Quantos
valores inteiros pode assumir o terceiro lado?
|b – c| < a < b + c
6
2
a
|2 – 6| < a < 2 + 6
4<a<8
a = {5, 6 e 7}
Gabarito: 3
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Triângulos
Ângulos X Lados
β
b
c
γ
α
a
Lado maior - Oposto ao ângulo maior
Lado menor - Oposto ao ângulo menor
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Triângulos
Ângulo Externo
α + β + γ = 180º
θ + γ = 180º
β
α
γ
θ
α+β+γ=θ+γ
α+β=θ
Ângulo Externo - É a soma dos ângulos internos
não adjacentes a ele
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Triângulos
Exemplo 4: FUVEST | Na figura AB = BD = CD. Então:
a. y = 3x
b. y = 2x
c. x + y = 180
y = x + 2x
d. x = y
y = 3x
x
e. 3x = 2y
2x
2x
Gabarito: a
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Triângulos
Pontos Notáveis
Baricentro - Ponto de encontro das medianas
Incentro - Ponto de encontro das bissetrizes
C ircuncentro - Ponto de encontro das mediatrizes
O rtocentro - Ponto de encontro das alturas
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Triângulos
Cevianas
Segmento de reta que tem uma extremidade no vértice de
um triângulo e a outra extremidade na reta suporte do lado
oposto a este vértice
Mediana - Segmento de reta que une um vértice ao ponto
médio do lado oposto.
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Triângulos
Exemplo 5: UFSC | Em um triângulo retângulo a mediana
relativa ao ângulo reto forma com a hipotenusa um ângulo de
40º, conforme figura abaixo. O valor do menor ângulo agudo
desse triângulo é 20º.
β
β
α
40º
140º
α
2α + 140º = 180º
2α = 40º
α = 20º
Verdadeiro
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Triângulos
Cevianas
Bissetriz - Segmento de reta que divide o ângulo ao meio e
vai até o lado oposto.
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Triângulos
Cevianas
mediatriz
Mediatriz - Reta perpendicular ao meio de cada lado.
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Triângulos
Cevianas
altu ra
Altura - Segmento de reta que parte de cada vértice e
forma 90º com o lado oposto.
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Triângulos
Exemplo 6: UDESC | Considere um triângulo ABC isósceles em
A, onde este mede 40º. Qual o menor ângulo formado pela
bissetriz relativa ao vértice C e a mediatriz relativa ao lado AB?
A
40º
α + 90º + 35º = 180º
α + 125º = 180º
α = 55º
α
C
70º
35º
70º
35º
B
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Triângulos
Casos Particulares dos Pontos Notáveis
Escaleno
Reta de
Euler
B
O
I
C
Coplanares
Isósceles
Equilátero
BC
I
O
B, I, C, O
Colineares
Coincidentes
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FIM