Lista 4: Coordenadas Polares e Parametrizações Engenharia

Lista 4: Coordenadas Polares e Parametrizações
Engenharia Mecânica - Professora Elisandra Bär de Figueiredo
1. Transforme os pontos dados em coordenadas cartesianas para coordenadas polares, representando-os gracamente.
√
(c) B( 3, 1)
(a) P (1, 1)
(d) C(4, 0)
(b) A(2, −2)
(e) D(0, −3)
cartesianas.
2. Transforme os pontos dados em coordenadas polares para coordenadas
(
)
(
π)
2 )
(
49π
(b) −2,
6
−5π
3
( π)
(d) D 0,
9
(e) E(7, π)
(c) C 3,
(a) A 1,
3. Determine as equações cartesianas das curvas abaixo dadas em coordenadas polares e represente geometricamente.
(e) sin θ = cos θ
(a) r cos θ = 3
2
(f) r =
(b) r = 2
3 sin θ − 5 cos θ
(g) r = 1 − 2 sin θ
(c) r = 2 cos θ
1
(d) r = 2 sin θ
(h) r = + cos θ
2
4. Identique as curvas abaixo, desenhe a região R do plano simultaneamente interior as curvas e determine
os pontos de
interseção.
√
(e) r = cos(3θ) e r = sin(3θ)
(a) r = 4 3 cos θ e r = 4 sin θ
(f) r = 3 cos θ e r = 1 + cos θ;
(b) r = 4 e r = 4 cos θ
√
√
(g) r = cos(2θ) e r = sin(2θ);
(c) r = 3 e r = 3 cos(2θ)
(h) r = 2 (1 + sin θ) e r = 2 (1 + cos θ) .
(d) r = 2 + 2 sin θ e r = 2
5. Nas Figuras 1 e 2 estão representadas algumas das curvas dadas em coordenadas polares pelas equações:
• C1 : r = 2;
• C2 : r = 2 + 2 cos θ;
• C3 : r = −4 cos θ;
• C4 : r = 2 sin(3θ);
• C5 : r = 2 sin θ;
• C6 : r = cos(3θ);
• C7 : r = 2 − sin θ
• C8 : r = 1 − 2 sin θ.
(a) Determine as curvas que estão representadas na Figura 1 e os pontos A e B em coordenadas polares
e cartesianas.
(b) Determine as curvas que estão representadas na Figura 2 e descreva a região hachurada.
6. Represente gracamente a área da região simultaneamente interior às curvas r = sin(2θ) e r = sin θ e
determine os pontos de interseção destas curvas.
7. Represente gracamente a área da região simultaneamente interior às rosáceas r = sin(2θ) e r = cos(2θ)
e determine os pontos de interseção destas curvas.
8. Determine as equações polares das curvas abaixo, dadas em coordenadas cartesianas:
(c) x + 2y = 4
(a) x2 + y 2 = 4
2
2
(d) x2 + (y + 1)2 = 3
(b) (x − 2) + y = 1
2
B
A
Figura 1:
Figura 2: (b)
(a)
9. Parametrize as seguintes curvas.
(a) x2 + y 2 = 16
(b) 3x2 + 5y 2 = 15
(c) y = 3x2
(d) x2 − 4y 2 = 16
(e)
(f)
(g)
(h)
x = y2 + 2
x2 + y 2 = 2x
x2 + y 2 = 4y
2
2
x3 + y 3 = 1
10. Determine a equação cartesiana e identique as seguintes
curvas:
{
{
(a)
{
(b)
{
(c)
{
(d)
x = 4 cos(t)
y = 9 sin(t)
(e)
x=t
y = et
(f)
x = 1 − 2 cos t
y = 2 + 3 sin t
(g)
x = 2 + cos(2t)
y = − sin2 (2t)
(h)
{
{
{
y = 2 sec(t)
x = 4 tan(t)
y =t+3
2
x = t 2−4
y = 3 + 2 cot(t)
x = −1 − 4 csc(t)
x = 1 + sinh(2t)
y = 2 + 4 cosh(2t)
11. Identique as curvas abaixo e desenhe a região R simultaneamente interior as curvas:
{
(a) C1
(b) C1
(c) C1
(d) C1
(e) C1
{
x = 4 cos(t)
x = 3 cos(t)
:
e C2 :
y = 4 sin(t) + 4
y = 3 sin(t)
{
{
x = cos(t)
x = 3 cos(t)
:
e C2 :
y = sin(t)
y = 1 sin(t)
{
{
x = 1 + 2 cos(t)
x = 3 cos(t)
:
e C2 :
y = 2 sin(t)
y = 2 + 2 sin(t)
{
{
x=t
x=t
:
e C2 :
y = t2 − 1
y = −t2 + 4
{
{
x = 1 + 1 cos(t)
x = t2 + 1
:
e C2 :
y = −1 + 1 sin(t)
y=t
3
Respostas:
1. .
2. .
π)
6
(d) (4, 0)
(
)
3π
(e) 3,
2
π)
(a)
2,
4 )
(
√ 7π
(b) 2 2,
4
(c) 2,
(a) (0, 1)
√
(b) (−1, − 3)
(
3. .
(
(√
(d) (0, 0)
(e) (−7, 0)
(c)
√ )
3 3 3
,
2 2
(a)
(b)
(c)
(d)
x=3
x2 + y 2 = 4
x2 + y 2 = 2x
x2 + y 2 = 2y
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Duas circunferências; (0, 0) e (2 3, π/3)
Duas circunferências; (4, 0)
Uma circunferência e uma rosácea de 4 pétalas; (3, 0), (3, π), (3, π/2), (3, 3π/2)
Um cardióide e uma circunferência; (2, 0) e (2, π)
√
√
√
Duas rosáceas de 3 pétalas; ( 2/2, π/12), (− 2/2, 5π/12) e ( 2/2, 3π/4)
Uma circunferência e um cardióide; (0.5, π/3) e (0.5, 5π/3)
√
√
Duas lemniscatas; ( 2/2, π/8) e ( 2/2, 9π/8)
√
√
2 cardióides; (2 + 2, π/4) e (2 − 2, 5π/4)
4. .
⇔
⇔
(x − 1)2 + y 2 = 1
x2 + (y − 1)2 = 1
√
(e) y = x
(f) 3y − 5x = 2
√
(g) Limaçon com laço; x2 + y 2 = x2 + y 2 − 2y
(h) Limaçon sem laço; x2 + y 2 =
√
x2 +y 2
2
+x
4
y
y
π/3
y
x
x
x
(a)
(c )
(d)
(b)
(e)
(f)
(g)
(h)
5.
6.
7.
8. .
(a) r = 2
(b) r2 − 4r cos θ − 3 = 0
9. .
(a)
(b)
(c)
(d)
10. .
{
x = 4 cos(t)
y = 4 sin(t)
√
{
x = √5 cos(t)
y = 3 sin(t)
{
x=t
y = 3t2
{
x = 4 sec(t)
y = 2 tan(t)
(c) r(cos θ + 2 sin θ) = 4
(d) r2 + 2r sin θ − 2 = 0
{
y=t
x = t2 + 2
{
x = 1 + 1 cos(t)
(f)
y = sin(t)
{
x = 2 cos(t)
(g)
y = 2 + 2 sin(t)
{
x = cos3 (t)
(h)
y = sin3 (t)
(e)
5
y2
x2
+
= 1 ⇒ elipse
16 81
(b) y = ex ⇒ exponencial
(x − 1)2 (y − 2)2
(c)
+
= 1 ⇒ elipse
4
9
2
2
(x + 1)
(y − 3)
(d)
−
= 1 ⇒ hipérbole
16
4
(a)
11.
y 2 x2
−
= 1 ⇒ hipérbole
4
16
y 2 − 6y + 5
(f) x =
⇒ parábola
2
(g) y + 1 = (x − 2)2 ⇒ parábola
(y − 2)2
(h)
− (x − 1)2 = 1 ⇒ hipérbole
16
(e)