Nível 3

Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Nível
Ensino Médio
2ª FASE – 24 de outubro de 2009
3
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que
contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e
que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
INSTRUÇÕES
1. Verifique se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso as infor­
ma­ções não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para
ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na
folha de rascunho.
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro abaixo.
Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho
e deixando um espaço em branco entre cada palavra.
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você
apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas
as questões.
3. Lembre-se de assinar o quadro abaixo e a lista de presença.
8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou
qualquer fonte de consulta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala
de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova,
entregue-a ao aplicador.
10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador.
11. Não escreva nos espaços sombreados.
“Espera, espera, tive uma idéia e uma idéia não se deixa fugir.”
Homenagem da OBMEP ao grande escritor brasileiro Euclides da Cunha, por ocasião do centenário de sua morte.
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
Complemento
Bairro
Cidade
UF
CEP
Endereço eletrônico (email)
DDD
Telefone
DDD
Telefone (outro)
Assinatura
ha
Preenc
e confira
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acima c ão!
tenç
muita a
Correção Regional
Correção Nacional
1
2
3
4
5
6
Total
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
1
2
3
4
5
6
Total
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
2
NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(1) Em uma caixa foram colocados um cartão no qual está escrito o número 1, dois cartões nos quais está escrito o
número 2, três cartões com o número 3 e assim por diante, até dez cartões com o número 10.
(a) Quantos cartões foram colocados na caixa?
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
(b) Explique como escolher 19 cartões da caixa sem que três deles tenham o mesmo número.
(c) Qual é o menor número de cartões que pode ser retirado da caixa, ao acaso, para que se tenha certeza que cinco deles
têm o mesmo número? Justifique sua resposta.
total
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
3
(2) Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos a, b e c tais que a b c e n = a 2 + b 2 − c 2 .
Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 1 = 4 2 + 7 2 − 8 2 e 2 = 5 2 + 11 2 − 12 2 .
(a) Verifique que (3 x 1) 2 (4 x 2) 2 (5 x 2) 2 é igual a 2 x 1, qualquer que seja x.
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
(b) Encontre números inteiros m e n tais que (3 x m ) 2 (4 x n ) 2 (5 x 5) 2 2 x , qualquer que seja x.
(c) Mostre que o número 4 é simpático.
(d) Mostre que todos os números inteiros positivos são simpáticos.
total
eros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada):
1e6
casas que têm um lado comum
as
as
4
NÍVEL 3
Partida completa
Respostas sem justificativa não serão consideradas.
NÍVEL 1
Respostas sem justificativaJogadas
não serão consideradas
7
1, 2, 4 e 3
1e6
(3) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos,
(6) No jogo
do Troca-Cor
usa-se
um tabuleiro
com duas linhas
e com
quantas colunas quisermos, cujas casas podem
(a)podem
Escreva
as jogadas
de uma
partida
completa
tabuleiros
ao
cujas casas
mudar
da cor
branca
para
cinza enos
vice-versa.
Aslado.
casas da 1a linha são numeradas
a
a
mudar da cor branca para cinza e vice-versa.
As casas da
linha
daas
2
1, 12, 4
e 3 são numeradas com os números ímpares e asCas
a
com os números ímpares e as da 2 linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas adjacentes vizin
mudam
de
has sãο
e,cor.
então,
casa
e as casas
vizinhas
mudam
cor.brancas
Uma partida
completa
com cinzas.
todas as
partida
completa
começa
com todas
as de
casas
e termina
quandocomeça
todas ficam
Veja dois exemplos
Umaessa
casas que têm
casas
brancas
e termina
ficam
cinzas.indicam
Veja dois
exemplos
desem
partidas
completas
(osconsideradas.
Respostas
justificativa
não serão
de partidas
completas
(osquando
númerostodas
acima
das flechas
a casa
apertada
em
cada
jogada):
lado comum.
um
números
das
flechas
indicam
aque
casa
apertada
cada
jogada):
(a) Escreva
as jogadas
de
uma
partida
completa
nos
tabuleiros
ao lado.
post-it: acima
casas
adjacentes
sãο
casas
têm
um ladoem
comum
Tabuleiro
artida completa no tabuleiro 2 × 100 .
2×3
Partida completa
Jogadas
6
1
1 e quantas
6
(6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com
colunas quisermos, c
1e6
a
mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1 linha são numeradas com os números
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas ad
cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinza
1
2
4
3
casa
em cada jogada):
1,
4ee33
2 . de partidas completas (os números acima das flechas indicam a 1,
artida completa no tabuleiro 22××100
2,2,4apertada
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum
Tabuleiro
Jogadas
Partida
Jog
(a) EscrevaTabuleiro
as jogadas de uma partida completa
noscompleta
tabuleiros
ao lado.não serão considerad
Respostas
sem justificativa
(a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.
artida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.
2×3
1
(6) No101
jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colun
artida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 ×
a
1, 2,c
2 ×da
2 .cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1Correção
mudar
linha sãoCorreção
numeradas
Regional
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, Nacional
então, essa ca
cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando t
Expliquecomo
comojogar
jogaruma
umapartida
partidacompleta
completa de
no partidas
tabuleirocompletas
(b)(b)
Explique
no
tabuleiro
22 × 100
100.. (os números acima das flechas indicam a casa apertada em
Tabuleiro
Jogadas
(a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabu
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum
sível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro Tabuleiro
2 × 101.
Partida completa
2×3
Correção
Regional
sível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.
Correção
Nacional
..
Expliquecomo
comojogar
jogaruma
umapartida
partida
completa
com
exatamente
51
jogadas
no
(b) Explique
como
jogar
uma partida
notabuleiro
tabuleiro 222××101
100
(c)(c)
Explique
completa
com
exatamente
51completa
jogadas
no
tabuleiro
101.
2×2
TOTAL
Tabuleiro
Jogadas
(a) Escreva as jogadas de uma partida
TOTAL
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.
Correção
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2Regional
× 101.
Correção
Nacional
(b) Explique
comocom
jogar
uma partida
no tabuleiro
tabuleiro 22 × 100
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida
completa
menos
que 51completa
jogadas no
101..
Correção
Regional
Correção
Nacional
TOTAL
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabule
total
Correção
Regional
Correção
Nacional
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabul
NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
5
(4) Quatro times, entre os quais o Quixajuba, disputam um torneio de vôlei em que:
•
•
•
•
cada time joga contra cada um dos outros uma única vez;
qualquer partida termina com a vitória de um dos times;
em qualquer partida os times têm a mesma probabilidade de ganhar;
ao final do torneio, os times são classificados em ordem pelo número de
vitórias.
(a) É possível que, ao final do torneio, todos os times tenham o mesmo número de vitórias? Por quê?
Correção
Regional
Correção
Nacional
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Regional
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Nacional
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Regional
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Nacional
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Regional
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Nacional
(b) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com o Quixajuba isolado em primeiro lugar?
(c) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com três times empatados em primeiro lugar?
total
6
NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(5) Dois triângulos retângulos isósceles com catetos de medida 2 são posicionados como mostra a figura 1. A seguir,
o triângulo da esquerda é deslocado para a direita. Nas figuras 2 e 3, x indica a distância entre os vértices A e B dos dois
triângulos.
2
2
2
2
Figura 1
B
A
x
Figura 2
B
A
x
Figura 3
Para cada x no intervalo [0,4], seja f ( x ) a área da região comum aos dois triângulos (em cinza nas figuras).
(a) Calcule f (1) e f (3) .
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
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Nacional
(b) Encontre as expressões de f nos intervalos [0,2] e [2,4] e esboce o seu
gráfico.
(c) Qual é a área máxima da região comum aos dois triângulos?
total
NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
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(6) Uma folha de papel retangular ABCD de 12 cm por 16 cm (figura 1) é cortada ao longo da diagonal AC (figura 2).
O triângulo ABC é dobrado pelo segmento BM (figura 3), sendo M o ponto de encontro das diagonais do retângulo ABCD.
Finalmente, é feita uma dobra ao longo de MP, onde P é escolhido de modo que CM coincida com AM (figura 4).
A
A=C
16 cm
12 cm
B
C
B
C
M
M
D
A
Figura 1
P
B
C
B
P
M
M
A
Figura 2
Figura 3
Figura 4
na figura 4 é reto.
(a) Explique porque o ângulo BMP
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(b) Mostre que o triângulo BMP da figura 4 é semelhante ao triângulo ABC da figura 2.
(c) Calcule a área do triângulo BMP da figura 4.
(d) Calcule a área do quadrilátero ABMP da figura 4.
total
rascunho
Operacionalização: