Nível 2

Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Nível
7ª e 8ª séries (8º e 9º anos)
do Ensino Fundamental
2ª FASE – 24 de outubro de 2009
2
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que
contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e
que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
INSTRUÇÕES
1. Verifique se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso as infor­
ma­ções não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para
ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na
folha de rascunho.
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro abaixo.
Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho
e deixando um espaço em branco entre cada palavra.
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você
apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas
as questões.
3. Lembre-se de assinar o quadro abaixo e a lista de presença.
8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou
qualquer fonte de consulta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala
de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova,
entregue-a ao aplicador.
10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador.
11. Não escreva nos espaços sombreados.
“Espera, espera, tive uma idéia e uma idéia não se deixa fugir.”
Homenagem da OBMEP ao grande escritor brasileiro Euclides da Cunha, por ocasião do centenário de sua morte.
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
Complemento
Bairro
Cidade
UF
CEP
Endereço eletrônico (email)
DDD
Telefone
DDD
Telefone (outro)
Assinatura
ha
Preenc
e confira
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acima c ão!
tenç
muita a
Correção Regional
Correção Nacional
1
2
3
4
5
6
Total
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
Correção
Regional
1
2
3
4
5
6
Total
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
Correção
Nacional
2
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(1) Um número inteiro positivo esconde outro número quando,
apagando alguns de seus algarismos, aparece o outro. Por exemplo,
o número 123 esconde os números 1, 2, 3, 12, 13 e 23, mas não
esconde 32, 123 e 213.
(a) Qual é o maior número de três algarismos escondido por 47239?
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
(b) Qual é o menor número que esconde simultaneamente 2009 e 9002?
(c) Ache um múltiplo de 2009 que esconde 2009 e cujo algarismo das unidades é 3.
total
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
3
(2) Ana quer colorir as bolinhas das figuras 1, 2 e 3 de azul (A), preto (P) ou vermelho (V)
de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a figura 1 e duas maneiras diferentes de colorir a figura 2:
A
V
P
A
V
P
A
V
A
V
P
A
V
A
(a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 1?
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
(b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 2?
(c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 3?
total
4
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(3) Um polígono convexo é elegante quando ele pode ser
decomposto em triângulos equiláteros, quadrados ou ambos,
todos com lados de mesmo comprimento. Ao lado, mostramos
alguns polígonos elegantes, indicando para cada um deles uma
decomposição e o número de lados.
4 lados
5 lados
6 lados
7 lados
Em um polígono
convexo todos
os ângulos
internos são
menores
que 180 º.
(a) Desenhe um polígono elegante de 8 lados, indicando uma decomposição.
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
(b) Quais são as possíveis medidas dos ângulos internos de um polígono elegante?
A soma dos
ângulos internos
de um polígono
de n lados é

(n − 2) × 180º .
c) Mostre que um polígono elegante não pode ter mais que 12 lados.
(d) Desenhe um polígono elegante de 12 lados, indicando uma decomposição.
total
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(4) O polígono ABCDEFGHIJKL é regular e tem doze
D
E
C
F
lados.
(a) Qual é a medida dos ângulos internos do polígono?
B
M
5
Em um polígono
regular todos os
lados têm o mesmo
comprimento e
todos os ângulos
internos têm a
mesma medida.
A
G
Correção
Regional
H
Correção
Nacional
L
K
I
J
(b) O ponto M é a interseção dos segmentos AE e DK. Quais são as medidas dos
 e DME
 ?
ângulos MDE
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
 ?
(c) Qual é a medida do ângulo CBM
(d) Prove que os pontos B, M e F estão alinhados.
total
6
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(5) Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos a, b e c tais que a b c e n = a 2 + b 2 − c 2 .
Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 1 = 4 2 + 7 2 − 8 2 e 2 = 5 2 + 11 2 − 12 2 .
(a) Verifique que (3 x 1) 2 (4 x 2) 2 (5 x 2) 2 é igual a 2 x 1, qualquer que seja x.
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
Correção
Regional
Correção
Nacional
(b) Encontre números inteiros m e n tais que (3 x m ) 2 (4 x n ) 2 (5 x 5) 2 2 x , qualquer que seja x.
(c) Mostre que o número 4 é simpático.
(d) Mostre que todos os números inteiros positivos são simpáticos.
total
eros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada):
1e6
casas que têm um lado comum
as
as
Partida completa
Respostas sem justificativa
Jogadasnão serão consideradas.
NÍVEL 1
NÍVEL72
7
Respostas sem justificativa não serão consideradas
1, 2, 4 e 3
1e6
as
Cas
(6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos,
has sãο
(6)
No jogo
do Troca-Cor
usa-se
um tabuleiro
com duas
linhas
e com
quantas colunas
quisermos, cujas casasvizin
podem
a
(a)
Escreva
as
jogadas
de
uma
partida
completa
nos
tabuleiros
ao
lado.
cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1 linha são numeradas
a
a
que
mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da
linha
e assda
2 têm
1, 12, 4
e 3 são numeradas com os números ímpares casa
com os números ímpares e as da 2a linha com os números
pares.
Em cada jogada aperta-se uma casa
lado com
ummudam
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas adjacentes
deum.
e,cor.
então,
casa
e as casas
vizinhas
mudam
cor.brancas
Uma partida
completa
com cinzas.
todas as
partida
completa
começa
com todas
as de
casas
e termina
quandocomeça
todas ficam
Veja dois exemplos
Umaessa
casas
brancas
e termina
ficam
cinzas.indicam
Veja dois
exemplos
desem
partidas
completas
(osconsideradas.
Respostas
justificativa
não serão
de partidas
completas
(osquando
númerostodas
acima
das flechas
a casa
apertada
em
cada
jogada):
números
acima
das
flechas
indicam
a
casa
apertada
em
cada
jogada):
(a)
Escreva
as
jogadas
de
uma
partida
completa
nos
tabuleiros
ao
lado.
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum
Tabuleiro
artida completa no tabuleiro 2 × 100 .
2×3
Partida completa
Jogadas
6
1
1 e quantas
6
(6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com
colunas quisermos, c
1e6
a
mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1 linha são numeradas com os números
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas ad
cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinza
1
2
4
3
casa
em cada jogada):
1,
4ee33
2 . de partidas completas (os números acima das flechas indicam a 1,
artida completa no tabuleiro 22××100
2,2,4apertada
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum
Tabuleiro
Jogadas
Partida
Jog
(a) EscrevaTabuleiro
as jogadas de uma partida completa
noscompleta
tabuleiros
ao lado.não serão considerad
Respostas
sem justificativa
(a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.
artida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.
2×3
1
(6) No101
jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colun
artida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 ×
a
1, 2,c
2 ×da
2 .cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1Correção
mudar
linha sãoCorreção
numeradas
Regional
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, Nacional
então, essa ca
cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando t
Expliquecomo
comojogar
jogaruma
umapartida
partidacompleta
completa de
no partidas
tabuleirocompletas
(b)(b)
Explique
no
tabuleiro
22 × 100
100.. (os números acima das flechas indicam a casa apertada em
Tabuleiro
Jogadas
(a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabu
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum
sível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro Tabuleiro
2 × 101.
Partida completa
2×3
Correção
Regional
sível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.
Correção
Nacional
..
Expliquecomo
comojogar
jogaruma
umapartida
partida
completa
com
exatamente
51
jogadas
no
(b) Explique
como
jogar
uma partida
notabuleiro
tabuleiro 222××101
100
(c)(c)
Explique
completa
com
exatamente
51completa
jogadas
no
tabuleiro
101.
2×2
TOTAL
Tabuleiro
Jogadas
(a) Escreva as jogadas de uma partida
TOTAL
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.
Correção
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2Regional
× 101.
Correção
Nacional
(b) Explique
comocom
jogar
uma partida
no tabuleiro
tabuleiro 22 × 100
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida
completa
menos
que 51completa
jogadas no
101..
Correção
Regional
Correção
Nacional
TOTAL
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabule
total
Correção
Regional
Correção
Nacional
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabul
rascunho
Operacionalização: