X - ICEB-UFOP

Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Variáveis Aleatórias
(revisão)
Rodrigo Luiz Pereira Lara
[email protected]
1
Roteiro
I)
Introdução
II)
Variáveis Aleatórias Discretas

Função de probabilidade (f.p.)
III) Variáveis Aleatórias Contínuas

Função densidade de probabilidade (f.d.p.)
IV) Esperança Matemática e Variância
V)
Função de Distribuição Acumulada
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I) Introdução
Fato: um espaço amostral não precisa ser
necessariamente representado por números.
Exemplo 1: seja o seguinte experimento aleatório
E e seu respectivo espaço amostral S :
E : Três lançamentos de uma moeda
S : { ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk }
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Embora determinados experimentos possuam
espaços amostrais que não são representados por
números, muitas vezes estamos interessados em
alguma função do resultado, e não do resultado
em si.
Definição: uma função que associe a cada
elemento a pertencente a S um número real X(a),
é denominada variável aleatória.
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Vamos considerar o experimento anterior
referente a três lançamentos de uma moeda. E
seja X a função número de caras obtidas.
Então podemos fazer a seguinte associação:
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Note que:
X(ccc) = 3
X(cck) = X(ckc) = X(kcc) = 2
X(ckk) = X(kck) = X(kkc) = 1
X(kkk) = 0
Portanto conseguimos associar cada elemento do
espaço amostral S a um número real. Ou seja, a
quantidade de caras obtidas em três lançamentos
de uma moeda é uma variável aleatória.
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II) Variável Aleatória Discreta
Definição: Seja X uma variável aleatória. Se a
quantidade de valores possíveis para X for finita,
ou infinita enumerável, então X é uma variável
aleatória discreta (v.a.d).
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A função que atribui cada valor da variável
aleatória à sua probabilidade de ocorrência é
denominada função de probabilidade (f.p).
A notação utilizada é:
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A distribuição de probabilidade também
relaciona os possíveis valores da v.a. X com suas
respectivas probabilidades de ocorrência.
x
x1
x2
x3
...
xk
p(x)
p1
p2
p3
...
pk
𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 = 𝑝 𝑥𝑖 = 𝑝𝑖
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Note que o exemplo visto anteriormente trata-se
de uma v.a.d, onde sua função de probabilidade é
dada por:
21
E a distribuição de probabilidade pode ser
representada pela seguinte tabela:
x
0
1
2
3
p(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
22
E a distribuição de probabilidade pode ser
representada pela seguinte tabela:
x
0
1
2
3
p(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
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E a distribuição de probabilidade pode ser
representada pela seguinte tabela:
x
0
1
2
3
p(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1/8 = p(kkk)
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E a distribuição de probabilidade pode ser
representada pela seguinte tabela:
x
0
1
2
3
p(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1/8 = p(kkk)
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E a distribuição de probabilidade pode ser
representada pela seguinte tabela:
x
0
1
2
3
p(x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1/8 = p(kkk)
3/8 = p(ckk) + p(kck) + p(kkc)
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III) Variável Aleatória Contínua
Definição: Seja X uma variável aleatória. Se X
puder assumir todo e qualquer valor em algum
intervalo 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 , onde a e b podem ser
respectivamente −∞ e +∞ , então X é uma
variável aleatória contínua (v.a.c).
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A função que denotaremos por 𝑓(𝑥) ,
definida para 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 será chamada função
densidade de probabilidade (f.d.p), se satisfizer
as seguintes condições:
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Observações:
i) Para valores c e d pertencentes ao intervalo
[𝑎, 𝑏], tem-se:
𝑑
𝑃 𝑐≤𝑋≤𝑑 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑐
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Graficamente:
30
Graficamente:
31
Graficamente:
32
ii) Para um valor fixo de x , por exemplo 𝑥 = 𝑥0 ,
temos que:
33
ii) Para um valor fixo de x , por exemplo 𝑥 = 𝑥0 ,
temos que:
Desse modo, as probabilidades seguintes são
todas iguais:
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iii) A função densidade de probabilidade não
representa probabilidade. Somente quando a
função for integrada entre dois limites, ela
produzirá uma probabilidade, que será a área sob
a curva da função entre os valores considerados.
iv) Se o conjunto dos valores de x não estiver
contido no intervalo [𝑎, 𝑏] , então tem-se
𝑓 𝑥 = 0.
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IV) Esperança Matemática
A esperança matemática representa o valor
que, em média, a variável aleatória assume.
Para X v.a.d:
Para X v.a.c:
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Variância
É a medida que quantifica a dispersão dos
valores em torno da média. Uma fórmula prática
de calcular a variância é:
Para X v.a.d:
Para X v.a.c:
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V) Função de Distribuição Acumulada
1 - Definição:
Seja X uma variável aleatória. Define-se a
função de distribuição acumulada em um ponto
x como a probabilidade da v.a. assumir um valor
menor ou igual a x, isto é,
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2 - Propriedades da 𝐹(𝑥)
i) 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1 ∀ 𝑥 ∈ 𝐼𝑅
ii) Se 𝑥1 < 𝑥2 , então 𝐹 𝑥1 ≤ 𝐹 𝑥2
Obs.: Note que 𝐹(𝑥) é uma função crescente e não necessariamente
estritamente crescente.
iii) lim 𝐹(𝑥) = 0 e lim 𝐹(𝑥) = 1
𝑥→−∞
𝑥→+∞
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3 - 𝐹 𝑥 para v.a.d:
A função de distribuição acumulada de
uma v.a.d. em um ponto x é a soma das
probabilidades dos valores 𝑥𝑖 menores ou iguais
a x. Isto é:
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4 - 𝐹 𝑥 para v.a.c:
No caso anterior (v.a.d.), podemos somar
os valores da f.p. para obter a FDA. O
procedimento é análogo no caso contínuo, onde
substitui-se a soma por integrais, e obtemos:
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Graficamente:
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Note a mudança de variável nos eixos (x para t),
uma vez que x foi fixado.
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Note a mudança de variável nos eixos (x para t),
uma vez que x foi fixado.
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Note a mudança de variável nos eixos (x para t),
uma vez que x foi fixado.
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Note a mudança de variável nos eixos (x para t),
uma vez que x foi fixado.
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