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04
Componente Curricular:
Cálculo Diferencial e Integral
FOLHA DE ATIVIDADE
Turno:
Data da Aplicação:
Noturno
Aluno (a):
Nota obtida:
_____/________/2014
Turma:
3° Período/ Sistemas de Informação
Professor (a):
Carlos A. A. Borges
Função Real de uma variável real: Funções Transcendentais (exponencial,
logarítmica, sen(x), cos(x) e tg(x).
Orientações:
- Leia atentamente cada questão e resolva de forma organizada;
- Resolva as atividades de acordo com a data indicada;
- Anote suas dúvidas para que possamos saná-las quando retornarmos na próxima aula;
- Lembre-se: é muito importante o registro dos cálculos ou raciocínio utilizado para a resolução das questões propostas. Para demonstrar como chegou à
sua resposta, poderá utilizar palavras, esquemas ou cálculos.
Referências
STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
FLEMING, D. M & GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limites, Derivações e Integração. 5. ed. São Paulo: Makron Books, 1992.
Função exponencial - Definição
Chama-se função exponencial a função ƒ: R → R+* tal que f(x)= ax em que a ∈ R, 0 < a ≠ 1. (a é chamado de base e o x de expoente).
A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da base. Se a base a for > 1, a função é crescente; Se base a for um
número real entre 1 e 0, (0 < a < 1) a função é decrescente.
Gráfico
É uma curva chamada de curva exponencial.
Aplicações
Funções exponenciais são geralmente utilizadas para representar o crescimento (decrescimento) de uma quantidade ou de uma
população.
Exercícios de Aplicação
(Parte I)
1. Construa o gráfico, determinando o conjunto imagem de cada função exponencial.
𝑎) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
1 𝑥
𝑏) 𝑓(𝑥) = ( )
2
𝑐) 𝑓(𝑥) = 3𝑥
𝑑) 𝑓(𝑥) = 0,5𝑥 − 1
2. O número de bactérias em um meio de cultura cresce aproximadamente segundo a função n(t) = 2 000 . 30,04t, sendo t o número de
dias após o início do experimento. Determine:
a) o número n de bactérias no início do experimento.
b) em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.
3. (MACK/ SP) Na figura temos o esboço do gráfico de y = ax + 1. O valor de 23a – 2 é:
a) 16
b) 8
c) 2
d) 32
Função logarítmica - Definição
Toda função definida pela lei de formação f(x) = log a x, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de
função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
Se a base a for > 1, a função é crescente; Se base a for um número real entre 1 e 0, (0 < a < 1) a função é decrescente.
Características do gráfico da função logarítmica y = loga x
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.
Note que y assume todas as soluções reais, por isso dizemos que a Im (imagem) = IR.
Aplicações
Logaritmos e Funções logarítmicas tem aplicações em astronomia, localizando as posições dos planetas, facilitou enormemente os
trabalhos em navegação (orientação no mar); operações financeiras (como empréstimos), engenharia (construções), a desintegração de
uma substância radioativa e a estimativa de idade de fósseis e artefatos através da datação por carbono.
Na informática...
Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em
bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem
distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:
Dessa forma, os logaritmos claramente assumem um papel fundamental, pois constituem uma ferramenta essencial no contexto da
moderna tecnologia.
(...) Acompanhando o matemático Claude Shannon, o pessoal da Informática prefere contar em potências de 2, ou seja, eles preferem
usar logaritmo em base 2.
Como um exemplo, vejamos a seguinte tabela que dá as mais freqüentemente usadas profundidades de cor associadas às respectivas
quantidades de cores possíveis de representar numa tela ( monitor ) de computador:
Número de cores
Profundidade de cor
16
4
256
8
65 536
16
16 777 216
24
Pede-se:
a).Explicar o conceito de profundidade de cor em termos de logaritmo.
b) Monitores e placas de vídeo de uso profissionais são capazes de reproduzir 4 294 967 296 cores; achar a respectiva profundidade de
cor.
Exercícios de Aplicação
(Parte II)
1. Calcule:
3
𝑎) 𝑙𝑜𝑔2 16
𝑏) 𝑙𝑜𝑔5 √5
𝑑) 𝑙𝑜𝑔5
1
25
𝑐) 𝑙𝑜𝑔7 1
𝑒) 𝑙𝑜𝑔81
1
243
4
𝑓) 𝑙𝑜𝑔10 √1000
2. Use as propriedades dos logaritmos para calcular:
𝑎) 𝑙𝑜𝑔2 80 − 𝑙𝑜𝑔2 5
3. Construa os gráficos das funções 𝑓: ℝ∗+
→ ℝ:
𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1 𝑥
3
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔1 𝑥
2
4. Construa em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥
5. (UFGO) As indicações 𝑅1 e 𝑅2 , na escala Richter, de dois terremotos estão relacionados pela fórmula:
𝑀2
𝑅2 − 𝑅1 = log10 ( )
𝑀1
Onde 𝑀1 e 𝑀2 medem as energias liberadas pelos respectivos terremotos, sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre.
Considerando que ocorreram dois terremotos, um correspondente a 𝑅1 = 6 e outro correspondente a 𝑅2 = 4, determine a razão entre as
energias liberadas pelos mesmos.
Exercícios de Aplicação
(Parte III)
1. Determinar, em radianos, a medida do arco de:
𝑎) 60°
𝑏) 45°
𝑐)135°
𝑑) 300°
2. Converta de radianos para graus:
𝑎)
5𝜋
4
𝑟𝑎𝑑
𝑏) 4𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑐) −
3𝜋
8
𝑟𝑎𝑑
𝑑)
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑
3. Em cálculo, usamos o radiano (abreviado por rad) como medida dos ângulos, exceto quando explicitamente indicado. A tabela a seguir
fornece a correspondência entre medidas em graus e em radianos de alguns ângulos comuns. Complete-a com os graus e radianos que
faltam.
Graus
Radianos
0°
45°
60°
𝜋
6
90°
135°
2𝜋
3
150°
270°
360°
𝜋
4. O ângulo dado por uma revolução completa tem 360°, que é o mesmo que 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. A posição-padrão de um ângulo ocorre quando
colocamos seu vértice na origem do sistema de coordenadas e seu lado inicial sobre o eixo x positivo, como na figura 3. Um ân gulo
positivo é obtido girando-se o lado inicial no sentido anti-horário até que ele coincida com o lado final; da mesma forma, ângulos
negativos são obtidos girando-se no sentido horário, como na figura 4.
Obs.: Ângulos diferentes podem ter o mesmo lado final. Por exemplo: 3𝜋/4, -5𝜋/4 e 11𝜋/4 têm os mesmos lados incial e final.
Desenhe, na posição-padrão, o ângulo cuja medida é dada.
𝑎) 315°
𝑏) − 150°
𝑐) −
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑
5. Determine, com cinco casas decimais corretas, o comprimento do lado chamado de x.
𝑑)
7𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
Funções trigonométricas
Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de
fenômenos periódicos.
Função seno
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Gráfico de f(x) = sen(x)
Associa a cada número real x o número 𝑦
= 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: 𝐷 = ℝ
Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no
intervalo entre esses valores:
𝐼𝑚 = [−1,1]
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2𝜋 . Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os
pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função
portanto o período é 2 .
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), a senóide caracteriza pelo intervalo de 0 a 2𝜋,
Paridade: Dado que sen (-x) = - sen x, a função seno é ímpar.
Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva).
f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa).
Função cosseno
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Associa a cada número real x o número 𝑦
Gráfico de f(x) = cos(x)
= 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: 𝐷 = ℝ
Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no
intervalo entre esses valores: 𝐼𝑚 = [−1,1]
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a
. Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever
os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x, a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a
,
portanto o período é
.
Paridade: Dado que cos (-x) = cos x, a função cosseno é par.
Sinal da Função: Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa positiva).
f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa negativa).
Função tangente
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥)
Associa a cada número real x o número 𝑦
Gráfico de f(x) = tg x
= 𝑡𝑔(𝑥)
Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela não existe quando o valor de
zero), portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno.
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 0 (não
existe divisão por
Conjunto Imagem: 𝐼𝑚 = ]−∞, ∞[
Gráfico: Tangentóide.
Período:
Paridade: Dado que tg (-x) = - tg x, a função tangente é ímpar.
Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência
trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).
f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa).
Exercícios de Aplicação
(Parte IV)
Gráfico da função seno e cosseno
Obs.: Uma propriedade importante das funções seno e cosseno é que elas são periódicas, com um período 2𝜋. Essa natureza periódica dessas funções
torna-as adequadas à modelagem de fenômenos repetitivos, tais como marés, cordas vibrantes e ondas sonoras.
1. Use uma tabela de valores amostrais e construa o gráfico das funções abaixo.
𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑐) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥
2. Construa o gráfico das funções abaixo e dê o seu domínio e a imagem.
𝑎) 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐) ℎ(𝑥) = 1 + 2𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑏) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥
𝑑) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥/2)
"Nada é mais importante que examinar as origens da invenção, que são, a meu ver, mais interessantes que a própria invenção".
(Gottfried Wilhelm Leibniz)
Boa Atividade!