Os potenciais de uma carga pontual em movimento no MKS

Os potenciais de uma carga pontual em movimento no MKS
Vou introduzir os cálculos dos potenciais de Liénard & Wiechert, escalar e vetorial, de uma partícula carregada
executando um movimento com trajetória dada. Como queremos os campos causados pela partícula, utilizamos
as soluções retardadas dos potenciais no calibre de Lorentz:
|r−r0 |
0
Z
ρ r ,t − c
1
φ (r, t) =
d3 r0
4πε0 V∞
|r − r0 |
e
A (r, t)
µ0
4π
=
0
J r ,t −
Z
d3 r0
|r−r0 |
c
.
|r − r0 |
V∞
Para uma carga q descrevendo uma trajetória r0 (t) , temos
ρ (r0 , t0 )
qδ (3) (r0 − r0 (t0 ))
=
e
J (r0 , t0 )
= qv (t0 ) δ (3) (r0 − r0 (t0 )) ,
para quaisquer r0 e t0 , onde
v (t0 )
dr0 (t0 )
.
dt0
=
Assim, o potencial escalar, por exemplo, fica
φ (r, t)
1
4πε0
=
qδ
Z
(3)
0
|r−r0 |
r − r0 t −
d3 r0
V∞
|r −
r0 |
|r−r0 |
c
.
O problema é integrarmos
δ
Z
(3)
0
r − r0 t −
d3 r0
|r −
V∞
c
.
r0 |
Para tal proeza, há um truque: é óbvio que a integral acima pode ser escrita como
Z +∞
Z
(3)
(r0 − r0 (t0 ))
|r − r0 |
0
3 0 δ
0
dt
d r
δ t −t+
|r − r0 |
c
−∞
V∞
e, portanto, integrando sobre a variável r0 , obtemos
|r−r0 |
(3)
0
Z
δ
r − r0 t − c
d3 r0
|r − r0 |
V∞
Z
+∞
=
dt0
|r−r0 (t0 )|
0
δ t −t+
c
−∞
|r − r0 (t0 )|
A seguir tomamos como fixos r e t e introduzimos a função
f (t0 )
= t0 − t +
Portanto, temos a seguinte integral para calcular:
Z +∞
−∞
dt0
|r − r0 (t0 )|
.
c
δ (f (t0 ))
.
|r − r0 (t0 )|
Das propriedades da função delta de Dirac, podemos escrever
Z +∞
X Z +∞
δ (f (t0 ))
dt0
δ (t0 − t )
0 k ,
dt0
=
0 df (t ) |r − r0 (t0 )|
−∞
−∞ |r − r0 (t )| 0 k
dt
1
t0 =tk
.
onde os tk ’s são os instantes de tempo em que f (tk ) = 0. Em outras palavras, queremos os instantes de tempo
tk ’s tais que
tk
|r − r0 (tk )|
.
c
= t−
O fato é que só há um instante de tempo para essa relação valer. Para vermos isso, suponhamos que existam
dois instantes, t1 e t2 , com t1 6= t2 , tais que
t1
= t−
|r − r0 (t1 )|
c
t2
= t−
|r − r0 (t2 )|
.
c
e
Sem perda de generalidade, suponhamos que t2 > t1 . Logo,
c (t2 − t1 )
=
|r − r0 (t1 )| − |r − r0 (t2 )| .
Mas,
|r − r0 (t1 )| − |r − r0 (t2 )| 6
=
|r − r0 (t1 ) − (r − r0 (t2 ))|
|r0 (t2 ) − r0 (t1 )| .
Assim,
c 6
|r0 (t2 ) − r0 (t1 )|
,
t2 − t1
implicando que a partícula deveria ir de r0 (t1 ) até r0 (t2 ) com uma velocidade média maior ou igual à velocidade
da luz no vácuo. Como, por hipótese, estamos considerando uma partícula massiva, de massa m > 0, concluímos
que há, no máximo, um instante de tempo em que a equação
tk
= t−
|r − r0 (tk )|
c
vale e definimos esse instante como o tempo retardado:
tR
= t−
|r − r0 (tR )|
.
c
O resultado da integral acima pode ser escrito em termos do tempo retardado como
Z +∞
Z +∞
δ (f (t0 ))
dt0
δ (t0 − t )
0 R
dt0
=
0
0
df (t ) |r − r0 (t )|
−∞
−∞ |r − r0 (t )| 0 dt
=
1
0 |r − r0 (tR )| dfdt(t0 ) .
t0 =tR
Calculemos, explicitamente, a derivada temporal da função f :
df (t0 )
d
|r − r0 (t0 )|
0
=
t
−
t
+
dt0
dt0
c
1 d |r − r0 (t0 )|
= 1+
.
c
dt0
2
t0 =tR
Notemos que
d |r − r0 (t0 )|
dt0
2
=
=
=
=
=
1
d |r − r0 (t0 )|
2 |r − r0 (t0 )|
dt0
1
d [r − r0 (t0 )] · [r − r0 (t0 )]
2 |r − r0 (t0 )|
dt0
0
0
[r − r0 (t )] d [r − r0 (t )]
·
|r − r0 (t0 )|
dt0
0
[r − r0 (t )] dr0 (t0 )
−
·
|r − r0 (t0 )|
dt0
0
[r − r0 (t )]
−
· v (t0 ) .
|r − r0 (t0 )|
Portanto,
Z
+∞
dt0
−∞
δ (f (t0 ))
|r − r0 (t0 )|
1
|r − r0 (tR )| − [r − r0 (tR )] ·
=
.
v(tR ) c Como |v/c| < 1, temos
Z
+∞
dt0
−∞
δ (f (t0 ))
|r − r0 (t0 )|
1
=
|r − r0 (tR )| − [r − r0 (tR )] ·
v(tR )
c
e os potenciais podem ser escritos como
φ (r, t)
=
1
q
4πε0 |r − r0 (tR )| − [r − r0 (tR )] ·
A (r, t)
=
qv (tR )
µ0
,
4π |r − r0 (tR )| − [r − r0 (tR )] · v (tR )
v(tR )
c
e, analogamente,
onde
|r − r0 (tR )|
.
c
Esses são os chamados potenciais de Liénard-Wiechert. Para simplificar a notação, definamos
tR
= t−
r − r0 (tR ) ,
R =
= |R| ,
R
R̂ =
v
R
,
R
=
v (tR )
dr0 (tR )
=
dtR
= ṙ0 (tR )
e
v
.
c
Com essas definições, podemos simplificar as expressões dos potenciais assim:
1
q
φ (r, t) =
,
4πε0 R − R · β
β
A (r, t)
=
=
µ0 c
qβ
4π R − R · β
e
tR
= t−
3
R
.
c
Calculando o Campo Indução Magnética e o Campo Elétrico
Vamos agora calcular os campos B e E. Comecemos com o cálculo de B:
∇×A
B =
ou, em termos de componentes,
Bi
3 X
3
X
=
εijk ∂j Ak ,
j=1 k=1
onde εijk é o tensor de Levi-Civita, que é dado por


se (i, j, k) for uma permutação par de (1, 2, 3) ,
1,
εijk =
0,
se pelo menos dois dos índices i, j, k forem iguais e


−1, se (i, j, k) for uma permutação ímpar de (1, 2, 3) .
Também utilizemos a notação
∂j
∂
,
∂xj
=
para j = 1, 2, 3. A convenção de Einstein para somas permite que escrevamos
Bi
=
εijk ∂j Ak ,
onde subentendemos que os índices j e k estão somados de 1 a 3, porque aparecem repetidos no mesmo termo.
Temos, assim,
µ0
vk
∂ j Ak =
q∂j
4π
R−R·β
∂j vk
µ0
1
q
+ vk ∂j
=
4π R − R · β
R−R·β
"
#
µ0
vk
∂j vk
=
q
−
(∂j R − β · ∂j R − R · ∂j β) .
4π
R − R · β (R − R · β)2
Também,
∂j vk
dvk
∂j tR
dtR
= ak ∂j tR ,
=
Façamos agora o cálculo de ∂j tR :
∂j tR
= ∂j
R
t−
c
1
= − ∂j R
c
1
= − R̂ · x̂j + R̂ · β∂j tR ,
c
ou seja,
1 − R̂ · β ∂j tR
1
= − R̂ · x̂j ,
c
resultando em
∂j tR
1
R̂ · x̂j
.
= − c 1 − R̂ · β
4
Portanto,
∂j vk
=
=
=
=
=
=
ak
R̂ · x̂j
,
c 1 − R̂ · β
∂j r − ∂j r0 (tR )
dr0 (tR )
x̂j −
∂j tR
dtR
R̂ · x̂j
1
x̂j + v c 1 − R̂ · β
∂j R =
∂j R
−
=
x̂j + β R̂ · x̂j
1 − R̂ · β
1
∂j R2
2R
1
∂j (R · R)
2R
R
· ∂j R
R
= R̂ · x̂j + R̂ · β =
,
R̂ · x̂j
1 − R̂ · β
R̂ · x̂j 1 − R̂ · β + R̂ · β R̂ · x̂j
1 − R̂ · β
=
R̂ · x̂j − R̂ · x̂j R̂ · β + R̂ · β R̂ · x̂j
1 − R̂ · β
=
R̂ · x̂j
1 − R̂ · β
e
∂j β
=
=
=
1
∂j v
c
1 dv
∂j tR
c dtR
a
R̂ · x̂j
,
− 2
c 1 − R̂ · β
onde denotamos
ak
=
dvk
dtR
e
a
dv
.
dtR
=
5
Assim,
∂j Ak
=
=
=
#
"
vk
µ0
∂j vk
(∂j R − β · ∂j R − R · ∂j β)
q
−
4π
R − R · β (R − R · β)2


v
∂
R
−
β
·
∂
R
−
R
R̂
·
∂
β
k
j
j
j
µ0 
∂j vk

−
q 
2
4π
R 1 − R̂ · β
R2 1 − R̂ · β


µ0 
∂j vk
+
q 4π
R 1 − R̂ · β
vk R̂ · ∂j β
vk (∂j R − β · ∂j R) 
2  .
2 −
R 1 − R̂ · β
R2 1 − R̂ · β
Substituindo as derivadas parciais, temos

∂j Ak
vk R̂ · aR̂ · x̂j
−ak R̂ · x̂j
2 −
3
Rc 1 − R̂ · β
Rc2 1 − R̂ · β


2
1 − β R̂ · x̂j
vk
− βj 
,
2  1 − R̂ · β
R2 1 − R̂ · β
µ0 
q
4π
=
−
onde
βj
=
vj
.
c
Em termos vetoriais, podemos escrever

B =
−
R̂ · aR̂ × v
−R̂ × a
2 −
3
Rc 1 − R̂ · β
Rc2 1 − R̂ · β

2
1 − β R̂ × v 
3  ,
R2 1 − R̂ · β
µ0 
q
4π
onde o termo proporcional a β × v se anula. Podemos ainda escrever


2
−a
1
−
R̂
·
β
−
R̂
·
aβ
1−β v 
µ0

q R̂ × 
−
B =
3
3 
4π
Rc 1 − R̂ · β
R2 1 − R̂ · β


2
−a
R̂
·
R̂
−
β
+
R̂
·
a
R̂
−
β
1−β v 
µ0

=
q R̂ × 
−
3
3  ,
4π
Rc 1 − R̂ · β
R2 1 − R̂ · β
onde adicionamos um termo proporcional a R̂ entre colchetes, que não contribui para B, pois é multiplicado
vetorialmente pelo R̂ que aparece fora dos colchetes. Notamos agora que
h
i
−aR̂ · R̂ − β + R̂ · a R̂ − β
= R̂ × R̂ − β × a .
Logo,
B =


h
i



2
R̂
×
R̂
−
β
×
a
1−β v 
µ0
q R̂ ×
3 −
3 .


4π
 Rc 1 − R̂ · β
R2 1 − R̂ · β 
6
De maneira análoga, calculamos o campo elétrico e obtemos

E =
=
=

2
R̂
−
β
1
−
β
R̂
−
β
R̂
·
a
a
1


q
3 +
3 −
2 
4πε0
R2 1 − R̂ · β
Rc2 1 − R̂ · β
Rc2 1 − R̂ · β


2
R̂
−
β
1
−
β
R̂
−
β
R̂
·
a
−
a
1
−
R̂
·
β
1


q

3 +
3
4πε0
2
2
R 1 − R̂ · β
Rc 1 − R̂ · β

h
i
2
R̂
−
β
R̂
×
R̂
−
β
×
a
1
−
β
1


q
3 +
3 
4πε0
R2 1 − R̂ · β
Rc2 1 − R̂ · β
e, portanto,
B =
1
R̂ × E.
c
7