c. c. x se x.c )x(f ≤ ≤ − = 0 1 1

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[email protected]
http://www.mat.ufrgs.br/~viali/
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Seja X uma variável aleatória com
É a função que associa a cada
conjunto de valores X(S). Se o conjunto
x ∈ X(S) um número f(x) que deve
de valores for infinito não enumerável
satisfazer as seguintes propriedades:
f(x) ≥ 0
então a variável é dita contínua.
∫ f (x).dx=1
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A
coleção
dos
pares
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Seja X uma VAC. Determine o
valor de “c” para que f(x) seja uma
função densidade de probabilidade (fdp).
(x, f(x)) é denominada de distribuição
de probabilidade da VAC X.
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⎧⎪c.x2
f (x) = ⎨
⎪⎩0
se −1 ≤ x ≤ 1
c. c.
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1
Tem-se:
Para determinar o valor de “c”,
1
2
∫-1 c. x dx =
devemos igualar a área total a um, isto é,
1
1
3⎤
⎡ 3⎤
⎡ 3
= c ⎢ x ⎥ = c ⎢ 1 − -1 ⎥ =
3 ⎦ -1
⎣ 3 ⎦ -1
⎣ 3
devemos fazer:
1
∫-1 f(x)dx = 1
1
∫-1 c.
c ∫-11 x 2 dx =
=
x dx = 1
2
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2
3
c =1⇒ c =
3
2
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b
1,5
P ( a < X < b ) = ∫ a f ( x ) dx
1,0
y
2
f (x) = 3x
0,5
2
a
0,0
-1,5
-1,3
-1,0
-0,8
-0,5
-0,2
0,0
0,3
0,5
0,8
1,0
1,3
b
1,5
a < X < b
-1 ≤ X ≤ 1
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b
P ( a < X < b ) = ∫ a f ( x ) dx
Isto é, a probabilidade de que X
assuma valores entre os números “a” e
“b” é a área sob o gráfico de f(x) entre
os pontos x = a e x = b.
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x
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Se X é uma VAC, então:
P (X = a ) =
a
∫ a f ( x ) dx = 0
P ( a < X < b ) = P (a ≤ X < b ) =
= P (a < X ≤ b ) = P (a ≤ X ≤ b )
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2
Seja X uma VAC. Determine a
probabilidade de X assumir valores no
A probabilidade solicitada é dada por: é:
3 x2
dx
2
P ( − 0 , 5 < X < 0 , 5 ) = ∫-0,5
0,5
intervalo [-0,5; 0,5].
=
0,5
⎧3 x2
⎪
f (x ) = ⎨ 2
⎪0
⎩
se − 1 ≤ x ≤ 1
3 0,5 2
3 ⎡x3⎤
=
=
∫ - 0,5 x dx =
⎢
⎥
2
2 ⎣ 3 ⎦ - 05
c. c.
=
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1
[ (0,5)
2
3
− (-0,5)
3
] = 12 , 50 %
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(iii) Desvio Padrão
(a) Expectância, valor esperado
μ = E ( X) = ∫ xf ( x )dx
σ = ∫ ( x − μ)2 f (x )dx =
= ∫ x 2 f ( x )dx − μ2 = E(X 2) − E(X )2
(b) Variância
(iv) O Coeficiente de Variação
2
σ = V( X) = ∫ ( x −μ ) f ( x) dx =
2
γ = σ/μ
= ∫ x 2 f ( x )dx − (∫ xf ( x) dx ) =
2
= ∫ x 2 f ( x )dx − μ 2 = E( X2 ) − E (X)
2
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Se X é um VAC então o k-ésimo
(c) Assimetria
γ1 = [μ3 – 3μ1μ2 + 2μ 13]/σ3
momento de X é dado por:
μk = E (X k ) = ∫ x k f ( x )dx
(d) Curtose
γ2 = E[(X - μ)4]/σ4 – 3 =
2μ
= [μ4 – 4μ1μ3 + 6μ1
2
e o k-ésimo momento central de X é
– 3μ 1
4]/σ 4
-3
'
k
obtido por: μk = E( Xk) = ∫ ( x −μ) f ( x)dx
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3
Considerando que o momento de
ordem “k” de X é E(Xk) = μk, pode-se
Calcular o valor esperado, a
expressar a expectância e as demais
variabilidade da variável
medidas em função desse resultado.
“número de caras” no lançamento de
Tem-se, então:
quatro moedas honestas.
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Determinar a expectância e o desvio
padrão da variável X dada por:
⎧3 x2
⎪
f (x ) = ⎨ 2
⎪0
⎩
se − 1 ≤ x ≤ 1
c. c.
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σ =
E (X 2) −
E(X )
3
1
E ( X 2 ) = ∫-1 x 2 . x
2
1
2
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μ = E ( X ) = ∫-11 x.f(x)dx =
1
3 ⎡ 4⎤
3 3
3 2
= ∫-11 x . x .dx = ∫-11 x dx = ⎢ x ⎥ =
2 ⎣ 4 ⎦ -1
2
2
1
3 ⎡ 1 4 -1 4 ⎤
3 ⎡ 1 1 ⎤1
=0
−
= ⎢ −
⎥ =
2⎣4
4 ⎦ -1 2 ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦ -1
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2
O desvio padrão de X será, então:
dx =
3 1 4
∫ x dx =
2 -1
1
⎡x ⎤
3 ⎡1
-1 ⎤
⎢ 5 ⎥ = 2⎢5− 5 ⎥ =
⎣ ⎦ -1
⎣
⎦ -1
5
X =
5
=
3
2
=
3 ⎡1 1 ⎤
3
+ ⎥ =
= 0 , 60
⎢
2 ⎣5 5⎦
5
5
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σ =
=
2
E (X 2) − E (X ) =
0 , 60 − 0 = 0 , 77
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4
É a função F(x) definida por:
Considerando a função abaixo como
a fdp de uma VAC X, determinar F(x).
F(x) = P(X ≤ x) = ∫−x∞ f (u)du
⎧3 x2
⎪
f ( x) = ⎨ 2
⎪0
⎩
A F(x) é a integral da f(x) até
um ponto genérico “x”.
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A F(x) é uma função definida em
todo o intervalo real da seguinte forma:
⎧ 0
⎪
⎪ 3 u2
F ( x ) = ⎨ ∫−x1
du
2
⎪
⎪1
⎩
se
Vamos determinar o valor da
integral em “u”:
F( x ) =
x < -1
3⎤
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Acumulada (FDA) é:
x
∫− ∞
3 ⎡u
= ⎢
2⎣3
x >1
Assim a Função de Distribuição
c. c.
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se − 1 ≤ x ≤ 1
se
se − 1 ≤ x ≤ 1
3u2
3 x
du = ∫−1 u 2 du =
2
2
x
⎥
⎦ −1
=
1 3x
[u ]−1 =
2
3
x +1
2
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F( x ) =
3
x +1
1,0
2
0,8
0,9
0,7
⎧ 0
⎪
⎪ 3 +1
F( x ) = ⎨ x
⎪ 2
⎪ 1
⎩
se
0,6
x < -1
0,5
0,4
0,3
se − 1 ≤ x ≤ 1
0,2
0,1
se
x >1
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0,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
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5
Usando a FDA, teremos sempre
três casos possíveis:
O uso da FDA é bastante prático no
cálculo das probabilidades, pois não é
necessário integrar, já que ela é um
função que fornece a Integral.
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P ( X ≤ x ) = F( x )
P ( X > x ) = 1 − F( x )
P ( x1 < X < x 2) = F( x 2 ) − F( x1)
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Observação:
Se X é uma VAC então o momento
é dada por: ϕ(t) = E(e itX) = ∫e itxf(x)dx
de ordem “k” é dado por:
Note-se que ϕ(t)
E(Xk) =∫xkf(x)dx
φ(t) = E(etX) = ∫ etxf(x)dx
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Seja X uma VAC com fdp dada por:
se
é obtida pela
substituição de t por it se φ(t) existe.
A fgm de X é dada por:
⎧λ e-λ x
f ( x) = ⎨
⎩0
No caso contínuo a função característica
x ≥0
c. c.
Assim a função característica apresenta
todas as propriedades da fgm.
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A fgm de X será dada por:
μ k = E (e tX) = ∫0∞ λ e− λx e tx dx =
=
λ
λ ( t − λ) x ∞
para λ > t
[e
]0 =
λ−t
t-λ
Determine a fgm de X.
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6
Seja X uma VAC com fdp dada por:
⎧λ e-λ x
f ( x) = ⎨
⎩0
se x ≥ 0
c. c.
A fc de uma VAC com fdp dada por:
⎧1- | t |
ϕ( t ) = ⎨
⎩0
Determine a fgm de X.
se
| t | <1
c. c.
Determine a fdp de X.
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A fdp de X será dada por:
f (x ) =
1 ∞
−itx
∫ ϕ( t ) e dt =
2π − ∞
[
]
1 1
1
− itx
−itx
∫ (1 + t ) e dt + ∫0 (1 − t ) e dt =
2π 0
1
1
( 2 − eix − e− ix ) =
(1 − cos x ) =
=
2
2π x
π x2
=
=
1 ⎡ sen ( x / 2) ⎤
2π ⎢⎣ x / 2 ⎥⎦
2
para - ∞ < x < ∞
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