Probabilidade 2

Prof. Lorí Viali, Dr.
[email protected]
http://www.mat.ufrgs.br/~viali/
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
KKK
CKK
s
x = X(s )
X
KKC
KCK
0
1
Uma função X que associa a cada
CKC
2
elemento de S (s ∈ S) um número real
KCC
3
CCK
CCC
S
ℜ
X( S )
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
x = X(s) é denominada variável
aleatória.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
O conjunto formado por todos os
valores “x”, isto é, a imagem da
Conforme o conjunto de valores
variável aleatória X, é denominado de
– X(S) – uma variável aleatória
conjunto de valores de X.
poderá ser discreta ou contínua.
X(S) = { x ∈ ℜ / X(s) = x }
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
1
Se o conjunto de valores for finito
ou
então
infinito
enumerável
a
Se o conjunto de valores for
infinito não enumerável então a
variável é dita discreta.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
variável é dita contínua.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
A função de probabilidade (fp) de
uma VAD é a função que associa a cada
xi ∈ X(S) o número f(xi) = P(X = xi)
que satisfaz as seguintes propriedades:
f(xi) ≥ 0, para todo “i”
∑f(xi) = 1
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
A coleção dos pares [xi, f(xi)]
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Suponha
que
uma
moeda
para i = 1, 2, 3, ... é denominada de
equilibrada é lançada três vezes. Seja
distribuição de probabilidade da
X = “número de caras”. Então a
VAD X.
distribuição de probabilidade de X é:
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
2
X
f
KKK
CKK
KKK
0
KKC
KCK
CCK
CKC
KCC
CCC
x
S
f
X
0
1
0
2
0
3
1
ℜ
[0;1]
f (x)
CKK
0
1/8
KKC
1
3/8
2
3/8
3
1/8
ℜ
[0;1]
KCK
CCK
CKC
KCC
CCC
S
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
x
f (x)
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Como X((a, b)) = a + b, o conjunto
Suponha que um par de dados é
lançado. Então X = “soma do par” é
uma variável aleatória discreta com o
de valores de X é dado por:
X(S) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12}
seguinte conjunto de valores:
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
A função de probabilidade f(x) =
P(X
=
x),
associa
a
cada
x ∈ X(S), um número no intervalo
[0; 1] dado por:
f(x) = P(X = x) = P(X(s) = x) =
= P([x ∈ X(S) / X(s) = x})
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Desta forma:
f(2) = P(X = 2) = P{(1,1)} = 1/36
f(3) = P(X = 3) = P{(1,2), (2, 1)} = 2/36
...............................................................
f(11) = P(X=11) = P{(6, 5), (5, 6)} = 2/36
f(12) = P(X = 12) = P{(6, 6)} = 1/36
A distribuição de probabilidade será:
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
3
A distribuição de probabilidade de
X será então:
Através de:
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ
f(x)
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
1
uma tabela
uma expressão analítica (fórmula)
um diagrama
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
x
f(x)
0
1/16
1
4/16
2
6/16
então:
moedas honestas. Então
3
4/16
a distribuição de X é a
4
1/16
da tabela ao lado.
Σ
1
f : X(S) →
ℜ
x
→ (x - 1)/36 se x ≤ 7
(12 - x +1)/36 se x > 7
Seja X = “número
de caras”, obtidas no
lançamento
de
4
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Considere X = “soma do par”, no
lançamento de dois dados equilibrados,
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
(a) Expectância, valor esperado
(Expectation)
0,18
0,16
0,14
µ = E(X) = ∑ x.f(x) = ∑ x.P(X = x)
0,12
0,10
(b) Variância (Variance)
0,08
0,06
2
2
σ 2 = ∑ f(x )(x − µ ) = ∑ x 2f(x ) − µ =
0,04
0,02
0,00
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
12
= E( X 2 )-E(X)2
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
4
(iii) Desvio Padrão
(Standard Deviation)
σ = ∑ f (x)(x −µ) 2 = ∑ x 2f (x) − µ 2 = E( X 2)-E(X) 2
(iv) O Coeficiente de Variação
(Variation Coeficient)
γ = σ/µ
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Seja X uma VA. O momento
central de ordem “k” de X é o valor
E[(X – E(X))k] = E[(X – µ)k] , se esse
valor convergir.
Obs.: (i) A variância é o segundo
momento central;
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Seja X uma VA. O momento de
ordem “k” de X é o valor E(Xk) = µk,
se esse valor convergir.
Obs.: A expectância é o primeiro
momento.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
(ii) O primeiro momento central é
sempre zero;
(iii) O terceiro momento central é
utilizado para determinar a assimetria
de uma distribuição;
(iv) O quarto momento central é
utilizado na determinação da curtose
de uma distribuição.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Se X é um VAD então o k-ésimo
momento de X é dado por:
∞
µ k = ∑ x ikf ( xi )
i =1
e o k-ésimo momento central de X é
obtido por:
∞
µ k = ∑ (x i −µ )kf ( x i )
i =1
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Considerando que o momento de
ordem “k” de X é E(Xk) = µk, pode-se
expressar a expectância e as demais
medidas em função desse resultado.
Tem-se, então:
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
5
(a) Expectância, valor esperado
(v) Curtose
µ1 = E(X)
(b) Variância
γ2 = E[(X - µ)4]/σ4 – 3 =
= [µ4 – 4µ1µ3 + 6µ12µ2 – 3µ14]/σ4 - 3
σ2 = V(X) = E(X2) – E(X)2 = µ2 – µ12
(c) Assimetria
γ1 = [µ3 – 3µ1µ2 + 2µ 13]/σ3
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Calcular o valor esperado, a
variabilidade da variável
X =
“número de caras” no lançamento de
quatro moedas honestas.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
x
0
1
2
3
4
f(x)
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
x.f(x)
0
4/16
12/16
12/16
4/16
Σ
1
2
x2f(x) x3f(x) x4f(x)
0
0
0
4/16
4/16
4/16
24/16 48/16 96/16
36/16 108/16 324/16
16/16 64/16 256/16
5
14
42,5
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
(iv) Curtose
µ1 = 2; µ2 = 5; µ3 = 14 e µ4 = 42,5
Assim:
(i) E(X) = µ1 = 2 caras
(ii) σ2 = µ2 – µ12 = 5 – 4 = 1 cara
γ2 = [µ4 – 4µ1µ3 + 6µ12µ2 – 3µ14]/σ4 - 3
= 42,5 – 4.2.14 + 6.4.5 – 3.16 – 3 =
= 42,5 – 112 + 120 – 48 – 3 = 2,5 – 3
= -0,50
(iii) γ1 = [µ3 – 3µ1µ2 + 2µ13]/σ3 =
=14 – 3.2.5 + 2.8 = 30 – 30 = 0
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
6
Da expectância ou valor esperado
Moda
(i) Linearidade
mo = 2 caras
E(aX +b) = aE(X) + b
(ii) Lei da espectativa total, ou lei da
espectativas iteradas ou lei da torre
Mediana
me = 2 caras
E[E(X/Y)] = E(X)
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Da variância
(iii) Não multiplicativa
(i) V(a) = 0
E(XY) ≠ E(X)E(Y), em geral
(ii) V(aX + b) = a2V(X)
(iv) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)
(iii) V(X ± Y) = V(X) + V(Y) se X e
Y forem independentes.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
A
Três
dados
honestos
são
partir
momentos,
determinar:
lançados. Seja X = produto dos
(i) A expectância
resultados. Determine a distribuição
(ii) A variância
de X e calcule os momentos até a
(iii) A assimetria
quarta ordem.
(iv) A curtose
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
dos
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
7
Propriedades da FD
Seja X uma variável aleatória
(a) 0 ≤ F(x) ≤ 1;
(discreta ou contínua). A função de
(b) F(x1) ≤ F(x1) se x1 < x2
distribuição
(c) lim F(x) = 0
(acumulada)
ou
simplesmente “função de repartição” é
definida por: F(x) = P(X ≤ x).
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Determinação de probabilidades a
partir da FD
(i) P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a);
(ii) P(X > a) = 1 – F(a) e
x →− ∞
(d) lim F(x) = 1
x →+∞
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
VAD e FD
Seja X é uma variável aleatória
discreta (VAD) então a FD é a função
em escada dada por:
F(x) = ∑ P(X = x i)
(iii) P(X < b) = F(b)
x i ≤x
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
A Função de Distribuição
Seja X = número de caras no
lançamento de uma moeda. Então a
1
q =1− p
FD de X é:
⎧0
⎪
F(x) = P(X ≤ x) = ⎨p
⎪1
⎩
se x < 0
se 0 ≤ x < 1
se x ≥ 1
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
p
0
1
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
8
Observação:
Seja X é uma variável aleatória
discreta (VAD) com FD F(x), então:
P(X = xi) = f(xi) = F(xi) − F(xi−1)
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Uma fonte de informação gera símbolos
ao acaso a partir de um alfabeto de quatro
letras { a, b, c, d } com probabilidades f(a) =
½, f(b) = ¼ e f(c) = f(d) = 1/8. Um esquema
codifica esses símbolos em binário da
seguinte forma: a → 0, b → 10, c → 110, d
→ 111. Seja X a VA que representa o
tamanho do código, isto é, o número de
dígitos binários (bits).
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
(a) Qual é o conjunto de valores de X?
(b) Assumindo que a geração dos símbolos
são independentes, encontre: P(X = 1),
P(X = 2), P(X = 3) e P(X > 3).
(c) Determine a FD de X.
(d) Represente a FD graficamente.
Seja
X
uma
variável
aleatória
(discreta ou contínua). A função geradora
de momentos (fgm) de X, é dada por:
φ(t) = E(etX), para todo t, - ∞ < t < ∞, em
que a expectância é finita.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Se X é uma VAD então a fgm de X
é dada por:
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Suponha que uma VAD assuma
valores no conjunto {1, 2, ..., n } com
∞
φ(t) = E(e tX) = ∑ e t x jf ( x j)
j=1
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
probabilidade f(x) = 1/n. Determine a
fgm de X.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
9
Sabe-se que:
n e tj
∞
φ(t) = E(e tX ) = ∑ e t x jf ( x j) = ∑
=
j=1
j=1 n
t ( nt − 1)
1
= (e t + e 2t + ... + e nt ) = e e
n
n(e t − 1)
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! ... e que
essa série converge para qualquer x.
Assim:
etx = 1 + tx + (tx) 2/2! + (tx)3/3 + ...
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Assim:
Derivando φ(t) em relação a t tem-se:
φ(t) = E(etX) = E(1 + tX + (tX)2/2! + ... ) =
φ’(t) = E(X) +tE(X2) + t2E(X3)/2! + ...
= 1 + tE(X) +t2E(X2)/2! + t3E(X3)/3! + ...
k − 1E ( k )
∞
∞ µ k t k −1
X
φ '(t ) = ∑ t
= ∑
=
k =1 (k − 1)!
k = 1 (k − 1) !
Então:
∞ t kE(Xk)
φ(t) = ∑
k!
k=0
∞ µkt k
= ∑
tk
E ( X k +1)
k =0 k !
∞
= ∑
k=0 k!
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Tem-se:
∞ µK+1tk
∞ tk
φ'(t) = ∑
E(Xk+1) = E(X) + ∑
k=0 k!
k=1
k!
Fazendo t = 0, segue que: φ’(0) = E(X).
Assim,
prova-se,
que
Assim:
a
primeira
derivada da fgm, calculada em t = 0, fornece
a expectância da VA X.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Calculado a segunda derivada em relação
a t, tem-se:
φ’’(t) = E(X2) + tE(X3 ) + ... + tk-2E(Xk)/(k-2)! + ...
Fazendo t = 0, segue que:
φ’’(0) = E(X2)
Ou seja, a segunda derivada da fgm, em t
=0, é igual ao momento de segunda ordem.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
10
Suponha que uma VAD assuma
De modo geral, tem-se:
φ(n)(t) = E(Xn) + tE(X1+ n) + ... + tk-nE(Xk)/(k-n)! + ...
valores no conjunto {1, 2, ..., n} com
probabilidade f(x) = 1/n. Sabendo que a
Fazendo t = 0, segue que:
t ( nt − 1)
fgm de X é: φ(t) = e e t
n(e − 1)
φ(n)(0) = E(Xn)
Determine a expectância e a variância de
X.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
φ '(t) =
φ(t) =
1 t 2t
et (ent − 1)
(e + e + ... + e nt ) =
n
n(e t − 1)
Derivando essa expressão, tem-se:
1
φ '(t) = (et + 2e 2t + ... + n ent)
n
1
n +1
(1 + 2 + ... + n) =
µ1 = φ '(0) =
n
2
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
A variância será então:
=
Derivando a expressão acima, uma
segunda vez, segue que:
φ ''(t) =
1 t
(e + 4e 2t + ... + n 2e nt )
n
Substituindo t por zero, tem-se:
Substituindo t por zero, tem-se:
2
σ 2 = µ 2 − µ1 =
1 t
(e + 2e 2t + ... + n e nt )
n
2
(n +1)(2n +1) ⎛ n +1 ⎞
−⎜
⎟ =
6
⎝ 2 ⎠
(n + 1)(2n + 1) (n +1)2 n 2 − 1
−
=
6
4
12
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
µ 2 = φ ''(0) =
1
(n + 1)(2n + 1)
(1 + 4 + 9 + ... + n2) =
n
6
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Suponha que o momento de uma
VAD seja dado por: E(Xk) = 0,8 para
k = 1, 2, ...
(a) Encontre a fgm.
(b) Encontre P(X = 0) e P(X = 1) .
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
11
(a) Por definição, tem-se:
φ(t) =
φ(t) = ∑ e txf (x) = 0, 2 + 0,8e t
= 1 + tE(X) + t 2E (X 2 ) / 2!+ t 3E (X 3 ) / 3!+ ... =
= 0, 2e 0.t + 0,8e1.t
= 1 + 0, 8t + 0,8t 2 / 2!+ 0, 8 t 3 / 3!+ .... =
= 1 + 0, 8(t + t 2 / 2!+ t 3 / 3!+ ...) =
Assim:
∞ k
∞ k
= 1 + 0, 8 ∑ t = 0, 2 + 0, 8 ∑ t =
k =1 k!
k = 0 k!
P(X = 0) = f(0) = 0,2 e
= 0, 2 + 0,8 e t
P(X = 1) = f(1) = 0,8
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
VAD
No caso discreto a função característica
Seja X uma
(discreta
ou
variável aleatória
contínua).
A
função
característica (fc) de X, é a função
complexa:
é dada por: ϕ(t) = E(e itX) = Σe itxf(x).
Note-se
que ϕ(t)
é obtida pela
substituição de t por it em φ(t) se ela existir.
ϕ:R → C
Assim a função característica apresenta
t → E(eitX)
todas as propriedades da fgm.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Propriedade
A partir da função característica
| ϕ(t) | = | E(e itX) | = | Σeitxf(x) | ≤
pode ser mais simples a obtenção dos
≤ Σ | eitxf(x) | = Σ | f(x) | = 1
momentos de qualquer ordem. Uma
Assim
a
função
característica
relação útil é obtida pela substituição de
sempre existe mesmo se a fgm não
eitx
existir.
de potências.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
pelo seu desenvolvimento em série
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
12
2
3
itx = 1 + itx + (itx) + (itx) + ... =
e
2!
3!
utilizada na determinação dos momentos de
∞ (itx) k
= ∑
k=0
A função característica também pode ser
uma VA. Supondo que o n-ésimo momento
k!
exista a função característica pode ser
Assim
∞ µ k (it) k
itx
ϕ(t) = E(e ) = ∑
k=0 k!
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Observações:
diferenciada n vezes de modo que:
E( X n ) = i n ϕ(n)(0)
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Exemplo:
(i) A função de distribuição é determinada
unicamente
pela
função
característica.
(ii) Dados as FD F(x), F1(x), F2(x), ... com
as funções características correspondentes
ϕ(t), ϕ1(t), ϕ2(t), ... então Fn(x) → F(x) nos
pontos de continuidade de F(x) se e só
Seja X uma VAD com valores:
x1 = -1 e x2 = 1 e com probabilidades
f(x1) = f(x2) = 0,5.
Determinar a função característica
de X.
ϕn(t) → ϕ(t) para cada t.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Solução:
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Referências
Tem-se:
http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/charact.htm
ϕ(t) = 0,5e−it + 0,5eit =
= 0,5(e −it + eit ) =
= cos(t)
http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/inverse.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_entropy_
probability_distribution
(Entropia)
http://www.mtm.ufsc.br/~andsol/portugues/mat/
00fun2/provas.html
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instit uto de Mate mática - De partame nto de Estatística
13