Atividade 2 Raciocínio lógico em geometria

GEOMETRIA PLANA E DESENHO GEOMÉTRICO
Primeiro semestre de 2003
Profa. Sandra Augusta Santos
MA520Z
Sala IM111
Atividade 2
Raciocínio lógico em geometria
Introdução e objetivos
Esta atividade trabalha com vários processos de argumentação lógica por meio de situaçõesexemplo, com base na apresentação feita no capítulo 2 de Clemens et. al.1. Concentramos as
definições e informações genéricas na preparação, ilustradas com exercícios específicos. No
laboratório, por meio de construções dinâmicas, buscamos elementos para uma exploração
prática de algumas proposições lógicas. Tanto no relatório para entregar, quanto na preparação,
a linguagem escrita é nosso apoio para a organização do raciocínio e para a detecção dos pontos
que eventualmente causaram dificuldades, buscando subsídios para tentarmos superá-las.
Palavras-chave: generalização indutiva; generalização falsa e contra-exemplo; argumentação
dedutiva; proposição se-então; recíproca, inversa e contra-recíproca; proposições equivalentes.
Preparação
i. Escreva um roteiro para a construção, com régua e compasso, de um triângulo equilátero.
ii. Estude o texto a seguir, respondendo às questões formuladas e procurando explicitar suas
dúvidas. Parte da aula teórica de terça-feira, dia 11 de março, será reservada para discussões
destes tópicos.
A. O raciocínio por meio de generalização indutiva pode ser resumido em dois passos:
(1) Observa-se que uma determinada propriedade é verdadeira em uma série de casos. (2) Sendo
verdadeira em todos os casos verificados, conclui-se que a propriedade é verdadeira em todos os
demais casos e estabelece-se uma generalização.
Exemplo:
O triângulo ABC é isósceles e o
____
segmento CD bissecciona o ângulo C.
____
Qual a relação entre os segmentos AB e
____
CD ?
1
S. R. Clemens, P. G. Daffer & T. J. Cooney, Geometría con aplicaciones y solución de problemas,
Mexico(D.F.): Addison Wesley Iberoamericana, 1998, 600p.
O triângulo XYZ é isósceles e o segmento
____
MZ bissecciona o ângulo Z. Qual a relação
____
____
entre os segmentos MZ e XY ?
Generalização: A bissetriz do vértice oposto à base de um triângulo isósceles é ___________
à base. (complete!)
B. A figura ao lado é um contra-exemplo para
a seguinte generalização falsa:
Se duas retas se interceptam, então elas
formam ângulos retos.
Para qual das seguintes proposições a figura ao lado
seria um contra-exemplo?
(a) Quando todos os lados de um quadrilátero
têm a mesma medida, todos os ângulos
também têm a mesma medida.
(b) Quando todos os ângulos de um
quadrilátero têm a mesma medida, todos os
lados têm a mesma medida.
(c) Quando um par de lados de um
quadrilátero é congruente, o segundo para
também o é.
Para qual das seguintes proposições o polígono XYZW ao
lado seria um contra-exemplo? Suponha que XY=WZ=1cm
e XW=ZY=2cm.
(a) Um polígono com lados congruentes é um polígono
regular.
(b) Um polígono com ângulos congruentes é um
polígono regular.
(c) Um quadrilátero com ângulos congruentes é um
quadrilátero convexo.
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C. O raciocínio por meio de argumentação dedutiva pode ser resumido em três passos: (1) Iniciase com as hipóteses dadas. (2) Usa-se a lógica, definições, postulados ou teoremas provados
previamente para justificar uma série de proposições ou passos necessários para se chegar ao
resultado desejado. (3) Afirma-se o resultado (conclusão).
Um dos objetivos de um curso de geometria é proporcionar uma certa prática com o
raciocínio lógico aplicado a situações da vida cotidiana. Em nosso dia-a-dia, algumas
vezes chegamos a conclusões com pouca ou nenhuma sustentação. Aceite a seguinte
estória como uma representação adequada de algo que realmente aconteceu:
O pequeno Luis de Souza estava sentado em um banquinho, comendo um pedaço de
panetone. Enfiou o dedo na massa, retirou uma uva passa e exclamou: “Como sou
um menino de sorte!”
Quais das conclusões a seguir são aceitáveis, ainda que de forma implícita, ao ler-se a
estória?
(a)
Luis comia panetone.
(b)
Luis percebeu que tinha sorte.
(c)
Luis era uma criança.
(d)
Era dia de Natal.
(e)
Luis estava de castigo sentado em um banquinho.
Leia novamente a estória. Quais das conclusões acima são aceitáveis baseando-se
unicamente nas informações proporcionadas pela estória?
D. Proposições da forma se-então, genericamente escritas “se p então q”, são verdadeiras se,
quando a hipótese é verdadeira, a conclusão também é verdadeira. Por exemplo: se chover então
a grama ficará molhada. Para analisarmos quando uma proposição da forma se-então é falsa
consideremos a seguinte situação: Se o aluno obtiver nota máxima em todas as atividades da
disciplina, obterá nota máxima no final do semestre. A professora procedeu das quatro maneiras
diferentes a seguir. Em qual(quais) dela(s) o estudante foi injustiçado?
(a) Foi obtida nota máxima em todas as atividades (hipótese verdadeira) e foi obtida a nota
máxima no final do semestre (conclusão verdadeira).
(b) Foi obtida nota máxima em todas as atividades (hipótese verdadeira) e não foi obtida a
nota máxima no final do semestre (conclusão falsa).
(c) Não foi obtida nota máxima em todas as atividades (hipótese falsa) e foi obtida a nota
máxima no final do semestre (conclusão verdadeira).
(d) Não foi obtida nota máxima em todas as atividades (hipótese falsa) e não foi obtida a nota
máxima no final do semestre (conclusão falsa).
Apenas no caso (b) o professor cometeu uma injustiça. Assim, uma proposição se-então é falsa
somente se a hipótese é verdadeira e a conclusão é falsa. Vale destacar que, sendo a hipótese
falsa, a proposição é verdadeira, independentemente da validade da conclusão, conforme
ilustrado nas situações (c) e (d) acima
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Em cada caso, escreva a hipótese e a conclusão da proposição da forma se-então. Decida, a
seguir, se a proposição é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(a) Se uma bola é lançada para cima, então ela descerá.
(b) Se algumas maçãs são vermelhas então os cavalos tem quatro patas.
(c) Se duas retas se interceptam então elas não são paralelas.
(d) Se um triângulo é isósceles então ele é eqüilátero.
(e) Se um triângulo é eqüilátero então ele é isósceles.
Em cada caso, escreva a hipótese, a conclusão e formule uma proposição na forma se-então, sem
mudar o significado da afirmação original.
(a) Duas retas são perpendiculares quando se cruzam em ângulo reto.
(b) Você melhorará se trabalhar com afinco.
(c) Um triângulo é isósceles sempre que dois de seus ângulos sejam congruentes.
____
____
____
(d) B é o ponto médio do segmento AC se AB e BC forem congruentes.
(e) Todos os triângulos são polígonos.
E. Tendo uma proposição da forma se-então verdadeira como ponto de partida, podem ser
formuladas outras três proposições relacionadas: a recíproca, a inversa e a contra-recíproca,
resumidas na tabela a seguir:
p→q
Proposição dada
Se p, então q.
Verdadeira (por hipótese)
q→ p
Recíproca
Se q, então p.
Não necessariamente verdadeira
~ p→~q
Inversa
Se não p, então não q.
Não necessariamente verdadeira
~q→~ p
Contra-recíproca
Se não q, então não p.
Sempre verdadeira
Dizer que “p se, e somente se, q” é o mesmo que dizer “se p então q e se q, então p”. Quando este
tipo de proposição é verdadeiro, dizemos que p e q são proposições equivalentes.
Para cada uma das frases a seguir, na forma “se p, então q”, formule a proposição recíproca, a
inversa e a contra-recíproca. Decida, a seguir, se cada uma das proposições formuladas é
verdadeira ou falsa.
(a) Se uma pessoa vive em Salvador então vive na Bahia.
(b) Se um número é positivo, então é maior que seis.
(c) Se dois segmentos têm o mesmo comprimento então são congruentes.
(d) Se uma figura é um polígono regular então todos os seus lados são congruentes.
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No laboratório
1. Trace um triângulo eqüilátero (use o roteiro
da sua preparação). Escolha um ponto P
qualquer no interior do triângulo e trace
perpendiculares aos lados do triângulo
passando por P. Meça os comprimentos dos
segmentos h, a, b e c, indicados na figura ao
lado. Faça o ponto P variar e busque uma
possível generalização.
2. Defina uma reta r e um ponto P não
pertencente a r. Construa uma reta s
perpendicular a r, passando por P. Defina o
ponto Q como a interseção entre as retas r e
s. Defina agora um ponto M genérico sobre a
reta r. Meça os comprimentos dos segmentos
____
____
PQ e PM , e explicite-os usando os
identificadores correspondentes. Faça o
ponto M variar sobre a reta r e observe o que
ocorre com os comprimentos.
Para entregar
I. Explicite a generalização que você obteve no item 1 do laboratório. Qual a sua principal
dificuldade ao trabalhar com este item?
II. Desenvolva uma argumentação lógica para convencer alguém que a distância mais curta
____
entre o ponto P e a reta r é o comprimento do segmento PQ , onde Q está sobre r e r é
____
perpendicular a PQ .
III. Considere a proposição: “se uma figura é um quadrado, tem quatro ângulos retos”.
(a) Formule a recíproca desta proposição.
(b) Formule a inversa desta proposição.
(c) Formule a contra-recíproca desta proposição.
(d) Apresente contra-exemplos para (a) e (b).
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