θ θ θ θ π θ ω θ θ ω θ ω θ ω = ω α ω ω α ω α ω α = π ω ω ω π α ω

Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.



Introdução:
Em algumas situações em física, não há a
possibilidade de estudar o movimento como se a
partícula fosse um ponto material. Citamos o
movimento de um CD/DVD, o movimento de uma serra
elétrica ou de uma roda gigante. Cada um deles envolve
um corpo que gira em torno de um eixo que permanece
estacionário em relação a algum sistema de referência
inercial. A rotação ocorre em todas as escalas, desde o
movimento de elétrons em torno de átomos até o
movimento de galáxias inteiras.
Desenvolveremos métodos especiais que
analisam o movimento de corpos que giram.
No mundo real, as forças que atuam nos corpos
podem ainda deformá-los, esticando-os, torcendo ou
comprimindo-os. Desprezaremos essas deformações,
supondo que o corpo mantenha sua forma definida e
imutável, cujo modelo denominamos de corpo rígido.

Aceleração angular:


s
r

Unidades:
Radiano:
Grau:
Grado:100 gr – 90°
  rad    


180
Velocidade angular:
 Velocidade angular média:

t
 
 2 1
t2  t1


t
 
 2 1
t2  t1
Unidade: Radiano por segundo ao
quadrado: rad/s².
Aceleração angular instantânea:

t 0 t
d

dt
  lim

   s  r 
Aceleração angular média:


Ângulo θ:

t 0 t
d

dt
  lim
Velocidade angular e aceleração angular
Designamos por eixo fixo aquele que
permanece em repouso em relação a algum referencial
inercial e que não muda de direção.

Unidade: Radiano por segundo: rad/s.
Velocidade angular instantânea:
Observações: No MCU:
  
2
   2 f
T
f: Freqüência. Unidade: Hertz (Hz)
1 Hz = 1/s ou rpm=(1/60)Hz
T: período.
   r
 Exemplo 1 – A figura mostra o volante de um
carro que está sendo testado. A posição angular dessa
roda é:
  2  t 3  rad
s 
3
O diâmetro do volante é igual a 0.36m. Ache:
(a) o ângulo θ, em radianos e em graus, nos
instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s.
(b) Ache a distância percorrida por uma
partícula na periferia do volante nesse intervalo de
tempo.
1
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(c) Calcule a velocidade angular média, em
rad/s e em rev/min (rpm) entre t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s.
(d) Ache a velocidade angular instantânea para
t = 3.0 s.
 Exemplo 2 – Calcule a aceleração angular do
instantânea e a aceleração angular média entre os
instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s do exemplo anterior:
  2  t 3  rad
s 
3

Solução:
d
d d
d 2
 
  2
dt
dt dt
dt
rad
  12  t 2
s
 
 2 1
t2  t1
150  24
rad

   42 2
52
s

Rotação com aceleração angular constante:
    0   t

  0  0  t   t 2

Solução:
1  2  t13  1  2  23  1  16rad


  rad    
    180
180

16
   180  1  920
2
 2  02  2      0 
(a)

2  2  t  2  2  53  2  250rad
3
2

   180

 
(b)
250
180  2  14000

s  r   s  0.18   250  16
s  42m
  1
250 16
(c)   2
 
t2  t1
5 2
rad
rad
rev
  78
   78
 60    740
s
s
min
d
(d)  
   6t2
dt
  6  32    54rad s
 Exemplo 3 – Rotação com velocidade
angular constante. Uma roda de bicicleta está sendo
testada em uma oficina de reparos. A velocidade
angular da roda é 4.00 rad/s no instante t = 0s e sua
aceleração angular é constante e igual a 1.20 rad/s2. Um
raio OP da roda coincide com o eixo Ox no instante t =
0s. (a) Qual a velocidade angular da roda no instante t =
3.00 s? (b) Qual é o ângulo formado pelo raio OP e o
eixo +Ox nesse instante?
2
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
circunferência de raio 0.8m. Vamos supor que o braço
do lançador possa ser tratado como um corpo rígido,
logo, r é constante. Determine o componente vertical e
o componente horizontal da aceleração no instante em
que a velocidade angular é 10 rad/s.

(a)
Solução:
  0   t
3
  4 1.2  3    0.40
(b)

  0  0  t   t 2
rad
s
2
  0  43
 1.20  32    6.6rad
2
 Aceleração tangencial, centrípeta e resultante

Solução:
m
s2
m
acp   2  r  acp  102  0.8  acp  80 2
s
2
2
a  acp  aT
aT    r  aT  50  0.8  aT  40
a  802  402
m
a  89 2
s
 Exemplo 5 – Projeto de uma hélice. Você foi
solicitado para projetar a hélice de um avião que deve
girar a 2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de
75.0 m/s (270 km/h), e a velocidade da extremidade da
lâmina da hélice não pode superar 270 m/s. (Isso é cerca
de 0.8 vezes a velocidade do som no ar. Se as
extremidades das lâminas se deslocassem com a
velocidade do som, elas poderiam produzir uma enorme
quantidade de ruído. Mantendo a velocidade menor que
a velocidade do som obtém-se um nível de ruído
aceitável.)
(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter?
(b) Com esse raio, qual é a aceleração da
extremidade da hélice?

Aceleração tangencial:

Aceleração centrípeta ou normal:
aT    r
acp 

v2
 acp   2  r
r
Aceleração resultante:
a  a a
2
cp
2
T
 Exemplo 4 – Movimento de um disco. O
lançador de um disco gira com aceleração angular  =
50 rad/s², fazendo o disco se mover ao longo de uma

Solução:
f  2400rpm  f 
f  40Hz
2400
Hz
60
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
  2 f    2  40    251.3
rad
s
2  r1 2  r2
r N

 1 1
N1
N2
r2 N2
2 N1

1 N2
(a) Velocidade tangencial de um ponto P na
extremidade da hélice::
vP    r
Velocidade do avião em relação ao ar: vA.
Velocidade total:
v  vA2  vP2  v  vA2   2  r 2
r2 
v 2  vA2
2
r
r  1.03m
2702  752
2512
(b) A velocidade angular da hélice é constante:
A velocidade angular de cada roda dentada é
inversamente proporcional ao número de dentes. Em
uma bicicleta com várias marchas, você obtém a
velocidade angular mais elevada 2 da roda traseira
pedalando com uma taxa 1 quando a razão N1/N2 é
máxima; isso significa que você deve usar a roda
dentada dianteira com maior raio (maior valor de N1) e a
roda traseira com menor raio (menor valor de N2).
acp  2  r  acp  2512 1.03
m
acp  6.5 104 2
s
Força que a hélice exerce:
F  m  acp 
F
N
 6.5 104
m
kg
As hélices são fabricadas de materiais leves e
duros, como ligas de alumínio.
 Exemplo 6 – Engrenagem de uma bicicleta.
Como relacionar as velocidades angulares das duas
rodas dentadas de uma bicicleta com o número de
dentes de cada roda?
Energia do movimento de rotação
Um corpo girando constitui-se de massas em
movimento. Podemos escrever a energia dese
movimento em termos da velocidade angular do corpo:
A energia cinética total do corpo é a soma das
energias cinéticas de todas as partículas do corpo:
N
N
1
1
2
K   mi  vi2  K   mi    ri 
i 1 2
i 1 2
N
1

K    mi  ri 2    2
2  i 1


Momento de Inércia
Definimos como momento de inércia, o
produto pela massa com o quadrado de sua distância ao
eixo de rotação. A palavra momento dá a idéia de que I
depende da maneira como que a massa do corpo é
distribuída no espaço.
N
I   mi  ri2
i 1

Unidade: kg.m2.
K
1
I 2
2
Exemplos associados a momento de inércia:

Solução:
v1  v2  1  r1  2  r2
2 r1

1 r2
A condição de que o espaçamento entre os
dentes é o mesmo nas duas rodas dentadas é dado por:
4
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 Exemplo 7 – Momento de inércia em relação
a diferentes eixos de rotação. Um engenheiro está
projetando uma parte de uma certa máquina que
consiste em três conectores pesados ligados por suportes
leves,. Os conectores podem ser considerados como
partículas pesadas conectadas por hastes com massas
desprezíveis.
(a) Qual é o momento de inércia desse corpo em
relação a um eixo perpendicular ao plano do desenho
passando no ponto A?
(b) Qual é o momento de inércia desse em torno de
um eixo que coincide com a haste BC?
(c) Se o corpo gira em torno de um eixo
perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com
velocidade angular  = 4.0 rad/s, qual é a sua energia
cinética?

Momento de inércia de figuras:
5

Teorema dos eixos paralelos
 Solução:
(a) A partícula no ponto A está sobre o eixo.
Sua distância r é 0. Assim:
N
I   mi  ri2
i 1
2
I  0.1 0.5  0.2  0.42
I  0.057kg  m2
(b) As partículas em B e em C estão sobre o
eixo. Para elas, r = 0. Assim:
N
I   mi  ri2
i 1
I  0.3  0.42
I  0.048kg  m 2
1
2
1
2
(c) K  I  2  K  0.057  42  K  0.46J
Observação: O momento de inércia de um
corpo depende da localização e da orientação do eixo.
I P  I CM  M  d 2
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 Exemplo 9 – Desenrolando um cabo. Um
cabo leve, flexível e não deformável, é enrolado várias
vezes em torno da periferia de um tambor, um cilindro
sólido com um diâmetro de 0.120m e massa igual a 50
kg, que pode girar em torno de um eixo estacionário
horizontal mantido por mancais sem atrito. A
extremidade livre do cabo é puxada por uma força
constante de módulo igual a 9.0 N deslocando-se uma
distância de 2.0 m. Ele se desenrola sem deslizar
fazendo o cilindro girar. Se o cilindro inicialmente está
em repouso, calcule sua velocidade angular e a
velocidade escalar final do cabo.
 Solução:
Existe atrito entre o cabo e o cilindro: é isso
que faz o cilindro girar assim que puxamos o cabo.
Porém, como o cabo não desliza, não existe nenhuma
velocidade relativa de deslizamento entre o cabo e o
cilindro, e nenhuma energia mecânica é perdida em
virtude do atrito. A variação de energia cinética do
cilindro é igual ao trabalho W = F s realizado pela força
F = 9.0 N que atua em um deslocamento s = 2.0 m;
portanto, W = 9.2 = 18J. De acordo com a tabela de
momentos de inércia:
1
I  M  R2
2

1
I  50  0.62  I  0.090 kg  m2
2

Como o cilindro está inicialmente em repouso,
pelo teorema trabalho-energia:
W  K2  K1  W 
1
1
I   2  I02
2
2
Como o corpo está em repouso:
0  0

2W
2 18
 
I
0.090
  20rad s
v    r  v  20  0.06
m
v  1.2
s
 Exemplo 10 – Desenrolando um cabo II. Em
uma experiência de laboratório para testar a
conservação da energia mecânica de rotação, enrolamos
um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço
de massa M e raio R. O cilindro gira com atrito
desprezível em torno do eixo horizontal estacionário.
6
Amarramos a extremidade livre do cabo a um
objeto de massa m e libertamos o objeto sem velocidade
inicial a uma distância h acima do solo. À medida que o
objeto cai, o cabo se desenrola sem deslizar nem se
esticar, fazendo o cilindro girar. Calcule a velocidade do
objeto que cai e a velocidade angular do cilindro no
instante que o objeto atinge o solo.
 Solução:
Inicialmente, o sistema não possui nenhuma
energia cinética (K1 = 0). Consideramos a energia
potencial igual a zero quando o objeto está no nível do
solo. Logo, U1 = m.g.h e U2=0. (Podemos ignorar a
energia potencial gravitacional do cilindro, visto que sua
altura não varia). Assim, o atrito não realiza trabalho,
logo:
WF  U2  K2  U1  K1   0
O cabo não realiza trabalho total, porque em
uma extremidade a força e o deslocamento estão no
mesmo sentido, e na outra extremidade a força possui
sentido contrário ao do deslocamento. Logo, o trabalho
total do cabo é igual a zero. Imediatamente antes de o
objeto colidir com o solo, tanto o objeto quanto o
cilindro possuem energia cinética. A energia cinética
total K2 nesse instante é:
1
1
K2  m  v2  I   2
2
2
1
I  M  R2  cilindro
2
v  R
A velocidade da massa que cai deve ser igual à
velocidade tangencial de um corpo na periferia do
cilindro. Usando essas relações e igualando a energia
total inicial com a energia total final, teremos:
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
U2  K2  U1  K1
1
11
 v 
0  m  g  h  m  v2   M  R2  
2
2 2
 R 
1
1 
m  g  h   m  M  v2
2
2 
v
2
2g  h
M
1
2m
 Exemplo 11 – Uso do teorema dos eixos
paralelos. Uma das partes de uma articulação mecânica
possui massa igual a 3.6 kg. Medimos seu momento de
inércia em relação a um eixo situado a uma distância de
0.15 m do seu centro de massa e encontramos o valor IP
= 0.132 kg.m2. Qual o momento de inércia em relação a
um eixo que passa pelo seu centro de massa Icm?
7
Velocidade angular final:
v

R
Observe que:
M
M
m  v 0
m  v  2g  h
Veja que v não depende do raio do cilindro!

Solução:
I P  I cm  M  d 2
I cm  I P  M  d 2
I cm  0.132  3.6  0.152

I cm  0.051 kg  m 2


Cálculos de momento de inércia.
Quando um corpo rígido não pode ser
representado por massas puntiformes, podemos escrever
a relação integral:
I

r 2dm
corpo
Dependendo de como a massa está distribuída,
podemos definir as densidades:
Densidade Símbolo Definição Unidade
Linear

Superficial

Volumétrica

M
L
M

A
M

V

kg
m
kg
m2
kg
m3
Para o caso unidimensional, podemos definir:

dm
 dm    dl
dl
I   r 2  dl
corpo
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
distância x do ponto O. Assim, se a densidade linear é
uniforme:
Para corpos bi e tridimensionais, veja a tabela a
seguir.
Tabela - Definições de Momentos, Momentos de
inércia e centro de massa.
Corpos
Bidimensionais
(Figuras Planas)
Centro de
Massa
( xm , ym )
xm 
 x   dA
R
  dA
ym 
 y   dA
R
  dA
dm M
M

 dm   dx
dx
L
L
2
I   r dm
corpo
Corpos tridimensionais
L h
xm 
 x   dV
R
I

h
M
M
x
 dx  I 

L
L
2
  dV
I
R
R
( xm , y m , z m )

ym 
 y   dV
R
  dV
R
R
 z   dV
zm 
R
Momentos
Momentos de
Inércia
M y  xm
M xy  z m
M x  ym
M xz  ym
Figuras Planas
 y  dA
2
Ix
R
 x  dA
Iy
R
Io, Iz
 ( x
R
 y 2 ) dA
8
x  h
1
I  M  L2
3
o Se o eixo passar pela extremidade direita: h = L:
1
I  M  L2
3
I
2
 z 2 )  dV
 ( x
2
 z 2 )  dV
 ( y
2
 x 2 )  dV

o Se o eixo passar pela extremidade esquerda: h = 0:
Corpos Tridimensionais
R
2
M x

L 3
o Se o eixo passar pelo centro: h=L/2:
R
2
h
M yz  x m
 ( y
x 2 dx
3 x  Lh

R
Sólido

1
I  M L2  3L  h  3h2
3
  dV
Lâmina
L h
1
M  L2
12
 Exemplo 13 – Cilindro maciço ou oco
girando em torno de seu eixo. A figura mostra um
cilindro oco e uniforme com comprimento L, raio
interno R1 e externo R2 e massa M. Calcule o momento
de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro.
R
 Exemplo 12 – Barra delgada uniforme, eixo
ortogonal ao seu comprimento. A figura mostra uma
barra ou vara delgada uniforme de massa M e
comprimento L. Determine seu momento de inércia em
relação a um eixo passando pelo ponto O, a uma
distância arbitrária h de uma de suas extremidades.
 Solução:
 Solução:
Escolhendo um elemento de massa de uma
seção reta da barra com comprimento dx situado a uma
dm  dV  dm    2  r  L  dr 
I

corpo
r 2dm
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
R2

2
 r   2  r  L  dr 
I
R1
R2
I  2  L  r 3dr
I
  L
4
R1
R
4
2
 R14

8 5 3M
R 
15
4 R3
2
I  M  R2
5
I
Exemplo 14 – Esfera homogênea de raio R e
eixo passando pelo centro. A esfera abaixo poderia ser
uma bola de bilhar. Determine seu momento de inércia.


Solução:
r  R2  x 2
dm   dV  dm     r 2  dx 

I
r 2dm
corpo

M
M

4
V
 R3
3
3M

4 R3
8 5
I
R 
15
 Exemplo 15 – Movimento de um CD/DVD.
Em um compact disc ou digital video disc, as
informações são gravadas digitalmente em uma série de
pits (“buracos”) e flats (regiões de áreas planas) sobre a
superfície do disco, representando uma série de binários
0 ou 1, que serão lidos pelo compact disc player e
convertidos em ondas sonoras. Os pits e as flat areas
são detetados por um sistema de um laser e lentes. O
comprimento de um certo número de zeros e uns
gravados é o mesmo ao longo de todo o disco, próxima
a borda ou próximo ao seu centro. Para que o
comprimento da região gravada de “0s” e “1s” sempre
passe pelo sistema de leitura lentes e laser no mesmo
período, a velocidade linear da superfície do disco na
região de leitura deve ser constante. Em um aparelho de
CD típico, a velocidade de leitura é da ordem de 1.3
m/s. Encontre a velocidade angular do disco quando a
informação está sendo lida do interior (first track) em r
= 23 mm e no exterior (final track) r = 58 mm.

dm      R 2  x 2  dx
Para um disco:
dI 
1
2

1
dI  r 2dm
2
R2  x 2
dI 
 
      R  x   dx
2

2
2

2
 R2  x2  dx
2
   R 2

2
I  2
   R  x 2   dx 
 2 0

I
8 5
R
15

Solução:
9
Física 1 – Capítulo 6 – Rotação de corpos rígidos – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
1.3
rad

i 
 i  56.5
2

v

2.3 10
s
i   
1.3
rad
ri
 
 e  22.4
e

5.8 102
s

56.5

fi 
 fi  8.99 Hz

i

2
fi 

2
 f  22.4  f  3.565Hz
e
e

2

fi (rpm)  f (Hz)  60
 f i  539.4rpm

 f e  213.9rpm
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