Dissertação

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Gabriel Ferraz Rubinger de Queiroz
UM ESTUDO DIRIGIDO SOBRE A RELATIVIDADE DOS CAMPOS ELÉTRICO E
MAGNÉTICO
Belo Horizonte
2016
Gabriel Ferraz Rubinger de Queiroz
UM ESTUDO DIRIGIDO SOBRE A RELATIVIDADE DOS CAMPOS ELÉTRICO E
MAGNÉTICO
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Lev Vertchenko
Área de concentração: Física
Belo Horizonte
2016
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Q3e
Queiroz, Gabriel Ferraz Rubinger de
Um estudo dirigido sobre a relatividade dos campos elétrico e magnético /
Gabriel Ferraz Rubinger de Queiroz. Belo Horizonte, 2016.
170 f. : il.
Orientador: Lev Vertchenko
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Física - Estudo e ensino. 2. Eletrodinâmica. 3. Relatividade (Física). 4.
Eletromagnetismo. 5. Estudo dirigido. 6. Feynman, Richard P. (Richard Phillips),
1918-1988 - Crítica e interpretação. 7. Vygotsky, Lev Semionovich, 1896-1934. Crítica e interpretação. I. Vertchenko, Lev. II. Pontifícia Universidade Católica de
Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
III. Título.
CDU: 53:37.02
Gabriel Ferraz Rubinger de Queiroz
UM ESTUDO DIRIGIDO SOBRE A RELATIVIDADE DOS CAMPOS ELÉTRICO E
MAGNÉTICO
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Área de concentração: Física
______________________________________________________________
Prof. Dr. Lev Vertchenko - PUC Minas (Orientador)
______________________________________________________________
Profa. Dra. Júlia Esteves Parreira - PUC Minas (Banca Examinadora)
______________________________________________________________
Profa. Dra. Adriana Gomes Dickman - PUC Minas (Banca Examinadora)
Belo Horizonte, 31 de março de 2016.
Ao meu irmão Felipe.
AGRADECIMENTOS
A Deus que, através de pessoas humanas e de Sua Infinita Bondade, amparou-me na
elaboração e finalização deste trabalho.
A todos que, de algum modo, ajudaram-me nesta “maratona”.
RESUMO
Este trabalho aborda um texto de um renomado físico norte-americano, cujo tema é a conexão
intrínseca entre a Teoria da Relatividade Especial (TRE) e o Eletromagnetismo Clássico, isto é,
alguns elementos introdutórios de Eletrodinâmica Relativística. O físico mostra que os efeitos
relativísticos de dilatação temporal e contração de Lorentz estão naturalmente contidos no
contexto da Teoria Eletromagnética, mesmo se a velocidade entre referenciais inerciais for
muito baixa. Assim, sob a ótica da TRE, campos e forças elétricas e magnéticas tornam-se
grandezas e conceitos completamente relativos; porém, as equações de Maxwell se preservam
(não necessitando de correção relativística) em qualquer destes referenciais. A invariância da
carga elétrica elementar, junto ao princípio de conservação da carga (além dos efeitos citados
acima), leva o cientista a concluir pela compatibilidade entre TRE e Eletromagnetismo. Isto é
destacado a partir de abordagem teórica, clássica, das forças atuantes numa carga de prova, em
distintos referenciais inerciais – o que, para curtos intervalos de tempo, está de acordo com os
postulados de Einstein. Nosso propósito consistiu em elaborar um material pedagógico para
estudo dirigido, baseado no texto do cientista, a fim de ser aplicado em curso superior de Física
ou afim. Os pressupostos teórico-pedagógicos adotados provêm de uma obra de importantes
estudiosos da Pedagogia (relacionada ao ensino superior) e também de ideias e pensamentos
atribuídos à Teoria histórico-social e a um de seus principais pensadores. Estes fundamentos
pedagógicos permitiram, por exemplo, justificar a importância de pré-requisitos para o
estudo/leitura do texto do físico, assim como de uma potencial discussão a respeito de noções
significativas deste. O texto, no idioma português, foi aplicado para a leitura em uma “oficina”
com alunos universitários. Nesta, também se passou um material experimental, contendo
questões sugeridas e uma errata daquele. Infelizmente, não houve tempo suficiente para a
tentativa de resolução destas questões – o que se propôs como atividade extraclasse. Mas os
participantes do encontro fizeram a leitura de texto; e se iniciou o diálogo sobre alguns aspectos
relevantes do tema contido. Antes da leitura, foram preenchidos pré-saberes faltantes
relacionados à TRE. Como não se recebeu nenhum conjunto de respostas esperadas às questões
(devido a problemas encontrados), julgou-se útil a produção de questionário a fim de avaliar o
material e a aplicação; este foi respondido apenas por dois participantes. Outras duas pessoas,
que não estiveram na oficina, também auxiliaram neste trabalho, ao fazer a leitura do texto,
resolver parcialmente as questões e responder o questionário. Foram feitas algumas
modificações no material aplicado. Elaborou-se, ainda, um documento suplementar com
respostas às questões sugeridas e considerações sobre importantes aspectos do texto – ou
correlatos –, documento que pode ser valioso para o autoestudo do leitor, para correção das
questões e esboço de discussão com estudantes. Este suplemento foi passado a todos os
participantes da oficina; e também aos (dois) não participantes que contribuíram com este
trabalho. Os resultados (dados) coletados no questionário indicam que o aqui proposto tem
potencial em ser eficiente numa futura aplicação, auxiliando o estudo/compreensão do texto em
questão. Além disso, foram levantadas humildes sugestões para o aprimoramento da oficina e
algumas recomendações para a aplicação do material e discussão de texto.
Palavras-chave: Ensino de Física. Ensino superior. Ensino de ciências e Matemática.
Eletrodinâmica Relativística. Relatividade dos campos elétrico e magnético. Feynman. Teoria
da Relatividade Especial. Eletromagnetismo. Material pedagógico. Estudo dirigido. Bordenave
e Pereira. Vygotsky. Teoria Histórico-social.
ABSTRACT
This work addresses a text of a renowned American physicist, whose theme is the connection
between the Special Theory of Relativity (STR) and the Classical Electromagnetism, that is,
some introductory elements of Relativistic Electrodynamics. The physicist shows that the
relativistic effects of time dilation and Lorentz contraction are naturally inserted in the scope of
Electromagnetic Theory, even if the velocity between inertial frames is very low. Thus, from
the perspective of STR, magnetic and electric fields and forces become completely relative
concepts; however, Maxwell´s equations remain with the same mathematical form (do not
require relativistic correction) in any of these frames. The invariance on the elementary electric
charge and the principle of charge conservation (in addition to the effects mentioned above),
allow the scientist to conclude that STR and Electromagnetism are compatible. This is
highlighted from a classical theoretical approach of the forces acting on a test charge (in
different inertial frames) – which, for short time intervals, is in accordance with Einstein´s
postulates. Our purpose has been to develop a pedagogical material for the study to be guided
by a Professor, material based on the scientist’s text, for use in undergraduate Physics course (or
similar). The pedagogical assumptions are from a work of important scholars of the Pedagogy
(related to higher education) and also from thoughts and ideas of the Sociocultural theory and
one of its leading thinkers. These pedagogical foundations allowed, for example, justify the
importance of prerequisites for study/reading of the text, as well as a potential dialogue about
relevant textual notions. The text, in Portuguese, has been applied for reading during a
“workshop” with university students. The material prepared has also been delivered, containing
errata and proposed questions. Unfortunately, there was not enough time to the attempt to solve
these questions – which has been proposed as homework. However, the text reading has been
made by the meeting participants; and a dialogue on some relevant notions of the text has
started. The prior knowledge, concerning STR, has been exposed before the reading. We have
received no answers to the questions (due to the problems faced); therefore, we have thought it
would be valuable make a questionnaire in order to evaluate the material and the meeting –
which was answered only by two participants. Two other individuals, who were not in the
workshop, have also helped our work: they have read the text, partially resolving the questions
and answering our questionnaire. Some modifications have been done on the applied material.
In addition, it is produced a document with answers to the suggested questions and
considerations about important notions on the text – or correlated –, which may be valuable to
the self-study, to correct questions and help on discussion with students. This supplement has
been delivered to the workshop participants and to the (two) non-participants who contributed
to this research. The information collected from the evaluation questionnaire indicates that our
proposal has potential to be efficient in a future application, assisting the study/comprehension
of the text. Moreover, humble suggestions for the workshop improvement and some
recommendations regarding the material application (and discussion of the text) have been
raised.
Keywords: Physics Education. Higher Education. Mathematics and science Education.
Relativistic Electrodynamics. Relativity of magnetic and electric fields. Feynman. Special
Theory of Relativity. Electromagnetism. Pedagogical material. Bordenave and Pereira.
Vygotsky. Sociocultural Theory.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO…………………...………………...………………………………...….15
1.1 Motivações.........................................................................................................................15
1.2 Justificativas......................................................................................................................17
1.3 O conteúdo desta dissertação...........................................................................................27
2 REFERENCIAIS TEÓRICO-PEDAGÓGICOS..........................................................29
2.1 Justificativas para a escolha de referenciais teórico-pedagógicos...............................29
2.2 Ideias orientadoras de Bordenave e Pereira..................................................................31
2.3 Vygotsky e a Teoria Histórico-social...............................................................................37
3 METODOLOGIA.............................................................................................................43
3.1 A ideia de uma oficina.....................................................................................................43
3.2 Aplicação da oficina.........................................................................................................48
3.2.1 Exposição teórica...........................................................................................................48
3.2.2 Leitura de texto...............................................................................................................63
3.2.3 Discussão do texto (resolução de dúvidas)....................................................................65
3.3 A proposta de um questionário avaliativo.....................................................................68
3.3.1 Elaboração do questionário...........................................................................................69
3.3.2 Aplicação do questionário...............................................................................................70
3.3.3 Análise de dados..............................................................................................................72
3.4 Principais dificuldades encontradas neste trabalho.....................................................74
3.5 Avaliação de respostas do formulário avaliativo e algumas sugestões para o
aprimoramento da oficina...............................................................................................77
3.6 Algumas modificações no material e suas possíveis potencialidades..........................81
3.6.1 Considerações ao estudante............................................................................................81
3.6.2 Questões propostas..........................................................................................................82
3.6.3 Errata..............................................................................................................................85
3.7 Comentários sobre a elaboração do material: algumas justificativas e descrições....86
3.7.1 A Introdução ao estudante...............................................................................................86
3.7.2 Errata..............................................................................................................................87
3.7.3 Questões propostas..........................................................................................................88
3.7.4 Material suplementar......................................................................................................94
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS...........................................................................................97
4.1 Resumo geral....................................................................................................................97
4.2 Considerações sobre a eficácia da oficina.....................................................................99
4.3 Considerações para trabalhos futuros.........................................................................105
REFERÊNCIAS............................................................................................................109
APÊNDICE A – Material elaborado e Suplemento....................................................113
APÊNDICE B – Conjunto de respostas recebidas para o questionário (formulário)
avaliativo elaborado.......................................................................................................163
15
1 INTRODUÇÃO
Esta dissertação discorre a respeito de uma proposta de ensino-aprendizagem, para o
nível superior, que tem como base um texto de Richard Phillips Feynman (1918 - 1988). O
texto aborda elementos introdutórios de Eletrodinâmica Relativística, tema que geralmente
está ausente em várias coleções de Física básica, para o nível abordado. Analogamente, a
literatura disponível – sobre as pesquisas em ensino deste tema –, para o nível superior, é
escassa (ou quase inexistente). Tendo contato com o texto em uma disciplina deste curso (de
Mestrado), o autor julgou-o bem interessante e rico, haja vista a relativa simplicidade e
profundidade da discussão dada pelo físico. Isto atuou, até certo ponto, como circunstância
inicial para este trabalho.
1.1 Motivações
A motivação para o trabalho ocorre devido a alguns fatores. Os principais seriam a
admiração do autor por alguns dos grandes nomes da Física, como Albert Einstein (1879 1955) e Richard Feynman; e, também, o contínuo interesse em temas fascinantes da Física
Moderna – como, por exemplo, a Teoria da Relatividade Especial (TRE) – e em sua história.
Um dos objetivos do Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática é a
elaboração de um material didático – em nosso caso uma proposta para o ensino de Física –
com o intuito de auxiliar, de alguma forma, estudantes e/ou professores. Assim, a
possibilidade de que a proposta, e também esta dissertação, coopere neste sentido é uma
grande fonte motivacional.
Por estar, frequentemente, a ler e estudar livros ou artigos dos físicos matemáticos
anteriormente citados e, de modo análogo, materiais (tanto técnicos como de divulgação)
relacionados à Física Moderna, o autor decidiu, por bem, abordar algum assunto interligado à
Teoria da Relatividade Especial neste trabalho. Embora o autor, atualmente, não tenha
experiência em lecionar o tema, no nível em que é aqui abordado, seu Trabalho de Conclusão
de Curso (de graduação) versou a respeito desta teoria, com a consequente aplicação de uma
proposta – para o ensino médio – em uma escola estadual de Belo Horizonte, Minas Gerais,
no primeiro semestre de 2011. A monografia deste trabalho intitulou-se Ensino de conceitos
fundamentais da Teoria de Relatividade Restrita através de seminários para o Ensino Médio
(Queiroz, 2011). Assim, a presente dissertação e o material a ela relacionado consistem, até
certo ponto, no desejo do autor em dar continuidade, dar uma maior vazão em seus estudos
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sobre tópicos de Física Moderna; o que equivale a dizer que também tem por finalidade um
maior conhecimento de conteúdo, tanto em seus aspectos formais, conceituais, históricos etc.,
quanto ao que diz respeito às noções pedagógicas estudadas.
Dessa forma, o autor espera que o fluxo de estudos dos últimos anos, esta continuação
(em boa parte feita isoladamente, mas com os valiosos ensinamentos e indicações de leitura
de seu orientador), tenha contribuído, de uma maneira ou de outra, na produção de um fruto –
este trabalho em sua totalidade. Enfim, este fruto pode não estar muito bem desenvolvido,
mas a possibilidade de que seja utilizado, adaptado, aprimorado, por outros (e/ou até sirva
como referência, indicação de leitura), já traz satisfação e indicação de sua validade.
Nossa proposta didático-pedagógica consiste em material elaborado para o ensino
superior, direcionado aos estudantes, professores de Física ou a qualquer leitor que deseje
estudá-lo e dele retirar algum proveito. Mas cremos que a proposta seja mais significativa
para o curso superior de Física, o que se deve principalmente ao fato de que (para que o leitor
possa obter algum proveito no material) são necessários pré-requisitos, isto é, conhecimentos
prévios para uma leitura ativa de um texto de Feynman (destacados mais adiante). Estes
conhecimentos – no que se refere à Teoria da Relatividade Especial – são geralmente mais
abordados em cursos de Física e Astronomia, e devem ser preenchidos tanto pelo estudante
quanto pelo professor que desejar utilizar o material com seus alunos.
O texto, aqui enfocado, está presente na coleção Lições de física de Feynman
(Feynman; Leighton; Sands, 2008), em tradução para a língua portuguesa brasileira. Este
texto, denominado ‘A relatividade dos campos magnéticos e elétricos’, está na edição
definitiva (brasileira) desta coleção, no volume II, capítulo 13: Magnetostática; e corresponde
à seção 13-6.
A preparação da proposta também foi estimulante, pois elaborar uma espécie de
material de ensino contribuiu muito nos estudos, leituras etc., do autor deste documento. Dada
a importância do tema do texto em questão – e sua relevância para o ensino –, o que se tentará
justificar adiante, buscou-se estratégia útil, válida, para seu enfoque pedagógico. A que
cremos mais adequada foi uma espécie de estudo dirigido, proposta por Bordenave e Pereira
(2015). Estes autores destacam o claro propósito de fornecer certos elementos orientadores
(mesmo que a título experimental) para o planejamento e escolha de atividades pedagógicas; e
uma das finalidades de seu livro seria contribuir com formas de responder menos
teoricamente, e mais praticamente, às dificuldades do ensino superior.
Enfim, a proposta tem o intuito de que aluno e professor venham a explorar, a
compreender melhor, conteúdo(s) do texto; isto se buscou, principalmente, por meio das
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valiosas ideias dos autores acima (dentre outras), como a leitura ativa de texto básico e
interessante e a sugestão de questões claras e simples – o que deve constituir um desafio à
capacidade analítica do estudante.
1.2 Justificativas
Acreditamos que o texto, que serve como base neste trabalho, é material bem
significativo para estudantes e professores interessados em instigantes e importantes
conteúdos da Física, assim como nos escritos de Feynman. Com efeito, o texto do físico
aborda noções que mostram a conexão íntima entre o Eletromagnetismo e a Teoria da
Relatividade Especial (TRE). Abordar um texto de Richard Feynman, que foi – e ainda é –
um autor bem renomado, não é um grande diferencial neste trabalho. Afinal, poder-se-ia
adotar texto tão bom quanto o de Feynman (ou melhor), mas proveniente de autor
desconhecido do público da área. Porém, cremos que a reputação do cientista e de sua coleção
– assim como suas valiosas contribuições à Física – pode ser um fator pertinente no despertar
do interesse inicial do leitor.
Em boa parte, a coleção de Feynman não é uma obra de introdução à Física – ou,
digamos, uma obra elementar – para o ensino superior. Mas esta contém diversos trechos e
textos que podem ser bem aproveitados em várias disciplinas e níveis do curso de Física (ou
de uma área afim). O texto aqui adotado é básico em muitos aspectos, pois seu nível
matemático é razoável, sem o uso de cálculos complicados de análise vetorial, sistemas de
coordenadas de difícil visualização etc. Também, o conhecimento da TRE e do
Eletromagnetismo Clássico (necessários à leitura ativa do texto) não precisa ser avançado. Em
relação à primeira, apenas saberes mais básicos como as previsões da contração de Lorentz e
da dilatação temporal, o momentum (linear) relativístico – e o entendimento elementar do
conceito de referencial inercial e do Princípio da Relatividade de Einstein – já são suficientes.
Relativamente ao último, é necessário o conhecimento básico das leis de Ampère da
magnetostática e de Gauss da eletricidade (na forma integral). Obviamente, também é preciso
um conhecimento de certas noções básicas do cálculo integral e diferencial.
Apresentamos, assim, os pré-requisitos para uma boa leitura do texto em questão, que
devem ser preenchidos por alunos e professores. Estes saberes prévios, juntamente a uma
percepção do nível matemático do texto, mostram que este é básico para o ensino superior, ou
seja, pode se aplicar em muitos cursos de Física ou afins (a partir de certos níveis, períodos).
E, ainda que Feynman aborde alguns aspectos um pouco intrigantes, sutis, como a diferença
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teórica existente entre a força elétrica e a magnética – mesmo para velocidades relativas muito
baixas entre os referenciais inerciais –, seu texto pode ser denominado básico para o tema em
questão. Isto porque determinados aspectos que conectam o Eletromagnetismo à TRE
realmente têm estas características intrigantes; pelo menos do ponto de vista do autor desta
dissertação.
Sem dúvida, o texto aborda questões relacionadas quase que apenas à Física,
enfocando uma descrição clássica de interação eletromagnética sob o ponto de vista da TRE,
utilizando conceitos de força e apontando importantes noções do formalismo teóricoconceitual do Eletromagnetismo e da TRE – como a de que os efeitos relativísticos de
dilatação do tempo e contração do espaço podem ser “tomados emprestados” pela Teoria
Eletromagnética, a fim de que esta se compatibilize com a TRE. Este aspecto mostra que estes
efeitos já estão contidos no Eletromagnetismo e aponta para a não contradição lógica entre as
duas teorias. Enfim, alguns aspectos significativos presentes no texto, tornam-no interessante
para uma fração significativa de leitores que realmente gostam da Física.
Argumentos, com o objetivo de justificar que o texto de Feynman é interessante e
básico, para o ensino superior, são bastante pertinentes em nossa proposta, pois, como
veremos adiante – em capítulo que discorre sobre referenciais teórico-pedagógicos –, estas
características parecem essenciais para certos autores. Enfim, apontamos já alguns
argumentos que fundamentam a abordagem (leitura ativa) do texto em curso superior de
Física ou afim.
A literatura capaz de fundamentar a ênfase pedagógica no texto adotado (e/ou de
textos semelhantes), ou seja, de apontar a relevância, a validade do(s) tema(s) para o nível
superior, é praticamente inexistente. Buscamos livros e artigos a este respeito; porém, os
escritos encontrados tratam completamente (ou quase) de noções teóricas, experimentais,
históricas e filosóficas de conteúdos que abordam tanto a TRE quanto a Teoria
Eletromagnética. Nenhuma proposta ou experiência didática sobre o tema, em nível superior,
foi encontrada por nós. Assim, elaboramos aqui nossas próprias justificativas para a
abordagem do texto e de assuntos interligados.
Com efeito, sabemos que o planeta está repleto de tecnologia e progresso científico; e
com a evolução da Física Moderna, a Teoria da Relatividade Especial está sendo aplicada e
testada diariamente (TAYLOR; WHEELER, 1992). Esta teoria, também, acaba por tomar
parte – direta ou indiretamente – da vida do homem contemporâneo. A Física Moderna – e
com ela a Relatividade – realmente iniciou uma reviravolta na visão científica (EINSTEIN,
2005), surgindo de tal modo para explicar fenômenos que a Física Clássica não conseguiu (o
19
que engendrou uma nova visão de mundo). Esta Física atendeu (e atende) necessidades que
aparecem diariamente, tornando-se cada vez mais básicas para o ser humano – uma gama de
conhecimentos que vai além dos limites científicos e tecnológicos, na influência de outras
áreas do saber (PINTO; ZANETIC, 1999, p. 1).
Entretanto, o autor desta dissertação sustenta a opinião de que a Física não explica
uma boa parcela dos fenômenos, mas os descreve; em muitos casos, com alta precisão e
beleza. Talvez devido a esta maravilhosa função ela extrapole os limites da ciência,
influenciando outros ramos do conhecimento, como a Filosofia por exemplo. Isto colabora na
justificativa do ensino-aprendizagem da TRE e de conteúdos que a integram a outras teorias –
como o Eletromagnetismo.
E as verificações experimentais da TRE são inúmeras; p. ex., Hewitt menciona que a
dilatação temporal foi várias vezes confirmada em laboratório, através de aceleradores de
partículas. Este autor também fornece um valioso exemplo sobre a participação da
Relatividade na vida do homem atual, ao citar relógios atômicos que orbitam a Terra e tomam
parte no sistema GPS – uma tecnologia atualmente abundante –, mas que necessitam de
correção relativística temporal (HEWITT, 2002). No caso destes relógios satélites, as
diferenças temporais ocorrem devido ao seu movimento relativo a relógios fixos no
referencial terrestre e, também, devido às variações do campo gravitacional (TAYLOR;
WHEELER, 1992).
Observa-se aqui, portanto, apenas um pequeno fragmento da importância da
Relatividade no cotidiano atual; uma teoria que não é, de forma alguma, destituída de
embasamento empírico – sendo seus efeitos observados rotineiramente. Assim sendo,
podemos dizer que a previsão de dilatação do tempo, de certa maneira, se relaciona com a
vida humana, por meio da tecnologia de GPS. Além disso, parte da tecnologia atual está
intrincadamente relacionada aos antigos e modernos satélites artificiais e aceleradores de
partículas, ou pelo menos provém de pesquisas e programas relacionados à construção e
desenvolvimento destes aparatos.
Estes argumentos nos mostram um pouco da significância de certos conteúdos da TRE
e da conexão desta com disciplinas da Física Clássica, com a evolução tecnológica, e até
mesmo com o dia-a-dia humano. Analogamente, a Teoria Eletromagnética também tem esta
importância, haja vista que o seu desenvolvimento experimental e matemático foi
imprescindível no progresso da tecnologia, da Física, das engenharias; e, como cita Einstein
(1999), a TRE só pôde surgir com o advento do Eletromagnetismo e com o consequente
20
aprimoramento da Óptica. Estas são considerações a favor da ênfase, no ensino superior, em
assuntos integradores que, de certo modo, unificam vários aspectos destas teorias.
O autor deste documento crê que, através de uma reflexão atenta e de leituras, é
possível compreender que qualquer ciência séria é uma fração da bagagem cultural humana.
Zanetic (1989) explicita a necessidade de que a Física e, de forma geral, todas as ciências,
sejam compreendidas como parte da cultura. Um ótimo exemplo do relacionamento da TRE
(e também de incoerências surgidas no contexto do Eletromagnetismo) com a cultura
filosófica – à época da juventude de Einstein – se deu na influência da epistemologia de E.
Mach (1838 - 1916) no jovem pensador e, por conseguinte, em sua abordagem inicial da
Teoria da Relatividade Especial. Ramayana Gazzinelli relata que “No início de sua vida
científica, Einstein sofreu forte influência da epistemologia radicalmente positivista de Mach,
mas afastou-se dela na maturidade.” (GAZZINELLI, 2009, p. 20). Segundo as concepções de
Mach, não eram válidas proposições científicas não empiricamente comprovadas, o que –
naquele período – levou-o a rejeitar os modelos para o éter eletromagnético, a ideia de espaço
absoluto etc.; e apesar de que o éter foi pressuposto como real no escopo do
Eletromagnetismo daquela época (GAZZINELLI, 2009), este se mostrou desnecessário,
supérfluo, na formulação da TRE (GAZZINELLI, 2009; EINSTEIN, 2005).
Exemplos da relação entre a TRE, Filosofia e Teoria Eletromagnética também podem
contribuir para justificar a abordagem de temas integradores das teorias. Afinal, a História da
Física e as implicações filosóficas decorrentes de suas teorias são parte integrante da evolução
desta ciência, podendo ser ótimas fontes de inspiração e incentivo para alunos, professores,
pesquisadores etc., no estudo de um conteúdo, na elaboração de uma aula, no estímulo a uma
pesquisa etc. Enfim, até para que o leitor compreenda um texto mais avançado – sobre
aspectos históricos, filosóficos – relacionado à Física, é preciso ter ao menos certo
conhecimento elementar da parte formal e conceitual do tema, teoria(s) em questão. Estas
considerações, a respeito da vigorosa relação entre TRE, Filosofia, Eletromagnetismo etc.,
não são um intuito importante neste trabalho, mas é útil ressaltá-la. Afinal, esta confere
alguma validade ao ensino de aspectos correlacionados às duas teorias físicas, visto que o
conhecimento do formalismo teórico auxilia no entendimento de noções históricas/filosóficas
(e vice-versa) – conforme cremos. Claramente, a validade deste último argumento parece
depender muito de qual tema, teoria, está em questão.
Uma estudante da PUC Minas referiu-se ao relacionamento do Eletromagnetismo com
a TRE, presente no texto de Feynman, como intrigante. Embora esteja fora de nosso escopo,
com o material elaborado, isto parece mostrar (até certo ponto) que conteúdos que integram o
21
Eletromagnetismo à TRE são passíveis de suscitar questionamentos de natureza filosófica;
como se sabe da história da evolução das ideias físicas, a própria TRE forneceu abundante
material para os filósofos. Então, o estudo/leitura de assuntos integradores entre as teorias
poderia ser pertinente para auxiliar no desenvolvimento da habilidade de questionamento, de
julgamento da validade e significado das informações. Este argumento também nos parece
valioso a fim de fundamentar o enfoque nos tópicos que reúnem as duas teorias.
Embora o professor tenha liberdade para discutir temas que apontem a intrincada
relação entre o Eletromagnetismo, a TRE e a Filosofia (ou outro conteúdo da cultura
humana), neste trabalho somente se sugere a discussão de ideias mais essenciais de um ponto
de vista físico, contidas no texto, com os estudantes; a intenção seria tentar promover um
melhor entendimento do texto adotado. Enfim, cremos que somente os aspectos relacionados
à essência das ideias físicas sejam necessários para uma melhor compreensão; noções
filosóficas e históricas (como as citadas anteriormente) entram aqui como justificativas para o
tratamento de conteúdos integradores da TRE e Eletromagnetismo, dada a importância destes
em um melhor entendimento daquelas noções (e vice-versa) – conforme acreditamos.
Ao longo desta dissertação (talvez principalmente no capítulo final) levantamos
algumas ideias, aspectos físicos, que cremos serem mais significativos, isto é, de certa
maneira essenciais no texto de Feynman.
A necessidade do ensino-aprendizagem da TRE, nos cursos de Física, é inegável; e
quase dispensa comentários. O advento da teoria legou uma nova busca de leis físicas gerais,
no sentido de serem válidas em qualquer referencial inercial (EINSTEIN, 1999). A principal
novidade da TRE, talvez, não é a derrocada dos conceitos de espaço e tempo absolutos, mas a
reformulação (ou renovação) de um princípio de simetria para o movimento reto e uniforme.
Pois é evidente que esta teoria põe em evidência leis, constantes, intervalos e propriedades
físicas fundamentais que se mantêm as mesmas, independentemente do movimento relativo
entre observadores inerciais; porém, a teoria também põe em destaque grandezas relativas que
dependem do sistema inercial. Como exemplo de grandezas relativas e invariantes, temos as
forças e campos elétricos e magnéticos – grandezas vetoriais dependentes do referencial
inercial – e a carga elementar, uma propriedade física escalar invariante (contida em um
elétron ou próton). Aqui, é valioso o comentário de Gazzinelli. Segundo este, os postulados da
TRE tornam sem significado as ideias de espaço e tempo absolutos; assim, por vezes destacase o aspecto relativístico da teoria. Mas esta propõe justamente o oposto: a procura por leis
físicas invariantes, que não dependam do sistema inercial escolhido (GAZZINELLI, 2009, p.
26).
22
Com o surgimento da TRE, a reformulação de noções antes consideradas intuitivas
fez-se necessária; talvez principalmente a de que a luz – e os objetos com massa de repouso
não nula – obedecia(m) às composições clássicas de velocidade. Mas a renovação de ideias e
conceitos como estes só se tornou possível com o surgimento empírico e teórico da Teoria
Eletromagnética. Isto equivale a dizer que a própria TRE só pôde advir desta teoria. Pois
assim enfatiza Einstein:
[...] a Teoria da Relatividade (Especial) surgiu da eletrodinâmica e da óptica. Nestes
domínios, ela não modificou muita coisa nos enunciados da teoria, mas simplificou
significativamente o edifício teórico, isto é, a derivação das leis. [...]. Ela tornou a
teoria de Maxwell-Lorentz tão plausível, que teria sido universalmente aceita pelos
físicos mesmo que a experiência não tivesse falado com tanta eloquência em seu
favor (EINSTEIN, 1999, p. 41).
Este é mais um ponto a favor da abordagem de tópicos que se entrelaçam no contexto
destas teorias, em qualquer curso superior de Física. Além disso, Einstein relaciona o
Princípio da Relatividade justamente ao Eletromagnetismo, ao postular que “[...] as mesmas
leis da eletrodinâmica e da óptica serão válidas para todos os sistemas de coordenadas nos
quais valem as equações da mecânica, [...]” (EINSTEIN, 2005, pp. 143-144). As equações da
mecânica – às quais o cientista se refere – são as atualmente chamadas de relativisticamente
corrigidas, pois o físico se mostra ciente desta questão em seu artigo pioneiro sobre a TRE.
Assim, é fácil perceber que o Eletromagnetismo, que forneceu o conhecimento para as
postulações de Einstein, forma, juntamente à TRE, um conjunto teórico que atuou como um
dos pilares da construção da Física Moderna. Portanto, temos já aqui bons argumentos que
indicam a significância dos conteúdos unificadores entre as teorias; e que também apontam a
importância deste edifício teórico na evolução da Física atual.
Também pelo fato de que, certamente, as equações de Maxwell atuaram como diretriz
na busca por outras leis com igual privilégio – o de preservarem suas formas matemáticas em
quaisquer sistemas inerciais –, pode ser válido enfocar assuntos que inter-relacionam à TRE
ao Eletromagnetismo em cursos superiores de Física. John Stachel, na introdução da obra O
ano miraculoso de Einstein: cinco artigos que mudaram a face da física (Einstein, 2005), ao
discutir as transformações de Lorentz, afirma que a TRE as interpretou como elementos de
um conjunto de simetria espaço-temporal pertencentes a uma nova cinemática. Assim, a TRE
garantiu à Física um poderoso guia na procura de novas teorias dinâmicas de campos e
partículas, também colaborando, paulatinamente, numa percepção mais profunda do papel da
simetria na Física (EINSTEIN, 2005, p. 119).
23
Em resumo, dadas as considerações anteriores, como não ressaltar aos graduandos do
século XXI ao menos um pouco da forte conexão entre Eletromagnetismo e TRE, seja a partir
de abordagem teórico-conceitual, histórica e/ou filosófica? Afinal, trata-se de um ramo da
Física que auxiliou como ótimo guia (não apenas o único) na descoberta de outras leis, teorias
– e que reformulou a simetria entre referenciais em movimento relativo retilíneo e uniforme.
Além disso, a partir da TRE, a Teoria da Relatividade Geral pôde ser elaborada; e a
compatibilização da Teoria da Relatividade Especial com a Mecânica Quântica resultou na
Eletrodinâmica Quântica. O autor deste texto não estudou matematicamente a Teoria da
Relatividade Geral e a Eletrodinâmica Quântica, mas sabe que seus fundamentos e princípios
inauguraram novas visões da matéria, da luz, energia, espaço-tempo etc.; e das interações
entre partículas e suas estranhas propriedades.
Percebe-se, então, que a conexão entre a TRE e a Teoria Eletromagnética é realmente
profunda. Também, a Teoria da Relatividade Especial, nos dias atuais, tem grande prestígio
na Física de Partículas, onde se coleta inúmeras confirmações de sua validade (TAYLOR;
WHEELER, 1992).
Relativamente à lei da constância no valor da velocidade da luz (no espaço livre), a
TRE levou a uma interpretação mais moderna deste invariante, isto é, como um fator de
conversão entre espaço e tempo; até hoje, este valor é aceito como limite inatingível de
velocidade para partículas que possuem massa de repouso (TAYLOR; WHEELER, 1992).
Porém, o mais interessante aqui é que esta quantidade para a velocidade luminosa, geralmente
designada por c, surge diretamente das equações de Maxwell, tendo sido calculada por este
cientista (GAZZINELLI, 2009; HEWITT, 2002). Então, percebe-se que o postulado da TRE
(da invariância de c) é na verdade uma lei eletromagnética, mas que precisou de uma
interpretação particularmente difícil.
Nestas últimas páginas percebemos que, com efeito, há um profundo relacionamento
entre Eletromagnetismo e TRE; e a ênfase didática em temas unificadores fica válida e até
vigorosa, dada a importância destes conteúdos (de um modo geral), que aqui foi justificada –
até certo ponto – pelas considerações acima. Enfim, esforçamo-nos na apresentação de
algumas fundamentações que, de certa forma, justificam a significância do arcabouço teórico
composto pelas duas teorias, sua forte conexão e sua validade (geral) no ensino superior – seja
de aspectos integradores formais, conceituais e até histórico-filosóficos.
Com a pretensão de finalizar estas justificativas, apresentamos nossas últimas
argumentações, em boa parte baseadas em um importante documento da Sociedade Brasileira
de Física (SBF). Com razão, a extensão e o aprimoramento do ensino-aprendizado de Física
24
Moderna – e, por conseguinte, da proposta de materiais que possam contribuir para tais fins –
também se justifica pela maior inserção do Brasil no cenário da Física internacional, nas
últimas décadas. A Sociedade Brasileira de Física esclarece, neste documento, que o país
possui “[...] acesso garantido aos principais complexos de pesquisa de altas energias do
planeta.” (SOCIEDADE BRASILEIRA DE FÍSICA, 2011, p. 155). De certa maneira, isto é
de se estranhar, devido à má qualidade educacional da nação (de forma geral).
Mas, afinal, a Física de Partículas e Altas Energias tem relação direta com a TRE e o
Eletromagnetismo. Isto também pode estimular a abordagem de tópicos integradores das
teorias nos cursos de Física (ou, talvez, até de ciências afins), pois certos graduados acabam
por fazer opções de pós-graduação em diversas áreas científicas e/ou tecnológicas. O
documento citado – ao discorrer sobre a ‘Potencial Contribuição Brasileira’ (na área de Física
de Partículas e Campos) – também enfatiza a importância da manutenção de políticas
científicas que proporcionem a contínua participação brasileira em grandes centros de
pesquisa, não apenas de doutores, mas “[...] também de alunos que irão formar a próxima
geração de pesquisadores.” (SOCIEDADE BRASILEIRA DE FÍSICA, 2011, p. 164). Esta
possibilidade é fator positivo para uma provável maior inserção de elementos de Física
Moderna (que têm relação com a Física de Partículas) nos cursos de Física, assim como para a
produção e teste de materiais didáticos – na tentativa de auxiliar neste objetivo.
Sabe-se que todas – ou quase todas – as principais áreas da Física se relacionam à
atual Física de Partículas, algumas mais, outras bem menos. Uma das principais teorias da
ciência contemporânea, a Eletrodinâmica Quântica (intrinsecamente ligada à Física de
Partículas), só se desenvolveu com a participação fundamental da TRE e de todo saber
adquirido sobre a ciência eletromagnética, a Mecânica Quântica etc. Para um bom estudo da
Eletrodinâmica Quântica, obviamente, é necessário (ao menos) um conhecimento básico da
Teoria da Relatividade Especial, do Eletromagnetismo Clássico, Mecânica Quântica etc., e os
temas integradores entre quaisquer destas teorias podem ser muito valiosos.
Outro ponto interessante, destacado pela SBF, é a constatação de que as políticas
ligadas à Ciência, Tecnologia e Inovação (em prol de um desenvolvimento sustentável)
passam pela melhoria da formação de professores e do ensino básico nacional (SOCIEDADE
BRASILEIRA DE FÍSICA, 2011). Noutras palavras, a SBF parece afirmar que o crescimento
científico e tecnológico depende, inevitavelmente, da melhoria educacional em seus aspectos
mais gerais, básicos; ou que a ciência e tecnologia brasileiras estariam em um nível superior
se a política tratasse a educação com mais zelo – principalmente o nível básico.
25
Os argumentos dos últimos parágrafos seriam, então, a favor da extensão de tópicos de
Física Moderna no ensino superior; e, obviamente, da proposta de leitura de textos (que
possam ajudar neste intuito) e de preparação e experimentação de materiais com este possível
potencial. Em resumo, os argumentos deste item da introdução apontam a validade de
conteúdos que unificam a TRE e o Eletromagnetismo.
Em um país que aparenta ganhar mais espaço na Física estrangeira, com acesso (até os
dias atuais) aos melhores laboratórios de alta energia do mundo – apesar de sua deficiente
educação geral –, e que, ao menos nos últimos anos, vem sustentando políticas que
possibilitam a frequente participação de brasileiros nestes centros de pesquisa, é muito
importante e válido o desejo de melhoria do ensino de temas de Física Moderna – ou ao
menos de assuntos que contêm alguns elementos e aspectos significativos desta Física (que
contribuíram e contribuem em sua evolução). Analogamente, é valiosa a elaboração de
materiais e o uso de textos na tentativa de colaborar.
Considerações feitas aqui, na intenção de justificar a pertinência de conteúdos
integradores de quaisquer ramos da Física Moderna e Contemporânea – entre estes e/ou destes
com a Física Clássica –, também justificam, até certo ponto, a significância dos assuntos que
unem a TRE e o Eletromagnetismo, haja vista a enorme importância destes no
desenvolvimento da Física nos últimos duzentos anos e seu profundo relacionamento com
diversas (e bastante importantes) áreas físicas.
Outro argumento para este trabalho, que não é propriamente uma justificativa (mas
uma consideração passível de conferi-lo um pouco mais de significância), é o de que existem
erros no texto – nas edições brasileira e norte-americana aqui usadas. Assim, elaborou-se uma
errata da versão brasileira do texto (comparando-a com uma original em inglês). Sendo que,
futuramente, poderá ser lançada uma edição com os erros parcial ou totalmente corrigidos (se
já não o tiver sido feito), a presença dos equívocos não constitui, de fato, uma justificativa.
Mas como fundamentaremos, estes podem efetivamente prejudicar o leitor mais inexperiente
e/ou desatencioso, e a existência da errata poderia auxiliar numa leitura mais cuidadosa do
texto – caso se use as edições aqui abordadas. Com razão, talvez correções de vários textos da
coleção de Feynman ainda precisam ser feitas, pois, havendo tantos erros em outros textos
desta – como os encontrados pelo autor deste documento em nosso texto base –, não é
possível denominar definitiva, de modo algum, esta edição brasileira. Então, este trabalho
vem, até certo ponto, contribuir nesta divulgação ao leitor, alertando a comunidade científica
(ainda que minimamente) para a questão de erros na edição brasileira de Feynman (2008),
‘Reimpressão 2009’ – que pode ser pior do que se pensa.
26
As políticas citadas pela SBF podem retirar algum proveito de várias pesquisas em
educação (nacionais e estrangeiras), incluindo as pesquisas em ensino de Física. Assim, este
trabalho em sua totalidade – que é apenas uma destas pesquisas – pode, de algum modo, vir a
contribuir (ainda que minimamente) em algum valioso fator; seja estimulando pesquisas
semelhantes; sendo usado, adaptado, aprimorado por um leitor; servindo como referência ou
indicação de leitura; ou apenas por compor mais uma humilde tentativa de contribuição ao
ensino da Física que, somada a tantas outras que foram (e estão sendo) feitas no país e mundo
afora, forma um leque de saberes que não pode ser desprezado.
Afinal, políticas referentes à ciência, inovação, técnica etc., são essenciais para o
crescimento científico-tecnológico, econômico e social de uma nação em desenvolvimento,
dependendo, em boa parte, da pesquisa educacional.
Finalmente, destaque-se a potencial importância deste trabalho para a formação do
professor. O material pedagógico elaborado – e esta dissertação – pode subsidiar o educador
na leitura/estudo do texto de Feynman e na percepção de importantes aspectos deste – assim
como de noções correlatas. O tema envolvido no texto, por vezes, está ausente (ou é pouco
abordado) em várias coleções de livros de Física Básica. Assim, nosso trabalho pode fornecer
auxílio ao docente no estudo introdutório deste tema, que, de certo modo, abarca a integração
entre a TRE e o Eletromagnetismo Clássico. Também, apresentamos certas ideias e conceitos
(de referenciais teórico-pedagógicos adotados) que podem ser guias úteis para contribuir com
outras pesquisas; além do seu potencial em auxiliar o professor na aplicação do estudo aqui
sugerido.
Dentre os elementos pedagógicos, constam algumas orientações de Bordenave e
Pereira (2015) e certos conceitos de Vygotsky e Teoria histórico-social. Em relação aos
primeiros autores, acreditamos que o mais valioso são as potenciais funções positivas
esperadas no estudo dirigido. No que concerne aos últimos, estão elementos teóricos que
remetem à significância de pré-requisitos – e do diálogo professor-aluno – para a leitura e
compreensão de texto.
Por fim, mencione-se a potencialidade desta pesquisa para o professor de ensino
médio. Claramente, o material aqui preparado é inadequado neste nível de escolaridade.
Porém, o texto utilizado enfoca alguns aspectos passíveis de se abordar, de modo simples e
útil, com aluno do ensino médio. Estes são a invariância da carga elétrica elementar, a lei de
conservação da carga e simples noções sobre a relatividade do campo elétrico e magnético.
Assim, o texto de Feynman, mais este trabalho, pode ajudar o docente a preparar boa
discussão (e/ou algum texto) a respeito destes assuntos. O educador pode até mostrar, de
27
alguma forma adequada, adaptada, que o problema inicial do texto leva à conclusão de que
deve haver interação entre cargas elétricas no referencial inercial da partícula carregada, que
apenas pode ser considerada, na perspectiva clássica, como uma força elétrica atuante nesta –
o que requer que o fio (ou uma seção deste) esteja positivamente carregado em S´, apesar de
neutro em S. Enfim, o que se pretende ressaltar é que o professor pode conseguir adequar,
adaptar, estes assuntos para o nível, até mostrando que a TRE se incorpora ao
Eletromagnetismo – permitindo descrição coerente para a interação em ambos os referenciais.
Obviamente, se o educador vislumbrar ser possível a adequação do tema, deve respeitar os
pré-requisitos dos estudantes, em relação à TRE, ao Eletromagnetismo, e no que concerne à
simplificação da matemática, de palavras, conceitos, postulados etc.
De acordo com o usualmente abordado neste estágio de ensino, cremos que o tema
seria mais adequado para o terceiro ano deste; os pré-saberes, devidamente adaptados, devem
ser todos cobertos – caso necessário. Outra colocação contundente é a de que o docente pode
conseguir mostrar a não violação da lei de conservação da carga no texto. Enfatize-se, enfim,
que não estamos a propor o uso do texto de Feynman e do material elaborado no nível médio,
mas apenas a levantar a possibilidade de debate (de conteúdos importantes) e/ou de adaptação
textual. Assim, recomendamos ao professor prender-se somente àquilo que julgar passível de
ser adequado.
As últimas funções positivas deste trabalho, para o docente de ensino médio, seriam a
de auxiliar-lhe no autoestudo do texto enfocado, mas também a de indicar-lhe alguns
elementos pedagógicos valiosos. Embora a obra e as ideias de Bordenave e Pereira (2015),
aqui destacadas, tenham sido direcionadas ao ensino superior, é provável que abarquem
alguns elementos válidos em outros níveis – o que entra como sugestão para a observação e
avaliação do educador.
1.3 O conteúdo desta dissertação
Apresentamos sucintamente, neste item final do capítulo introdutório, as demais partes
deste documento. No segundo capítulo, abordaremos nossos referenciais teórico-pedagógicos,
iniciando com justificativas para a escolha destes, e depois passando por certas ideias
orientadoras de Bordenave e Pereira – nosso principal referencial – e finalizando com
conceitos e ideias de Vygotsky e da Teoria histórico-social. O terceiro capítulo versa a
respeito da metodologia, iniciando com o relato, descrição, de uma espécie de oficina
ministrada para estudantes do ensino superior – realizada com o intuito de se aplicar
28
experimentalmente um material elaborado para auxiliar no estudo do texto de Feynman. Mais
adiante, neste capítulo terceiro, se discorre sobre a proposta de um questionário avaliativo, ou
seja, é explanada a tentativa de avaliar (ainda que minimamente) a oficina e o material
aplicado nesta. Ainda neste capítulo, são abordadas várias dificuldades encontradas na
realização deste trabalho – no que concerne à aplicação, avaliação etc. –, são avaliadas
respostas de formulário avaliativo e apresentadas algumas sugestões para o aprimoramento da
oficina; certas modificações introduzidas no material e suas possíveis potencialidades são
também apresentadas, além de comentários a respeito da produção do material (contendo
justificativas e descrições). Finalmente, no quarto e último capítulo constam nossas
considerações finais, compostas pelas seguintes seções: um resumo geral (que versa sobre
alguns pontos que o autor considerou relevantes nesta pesquisa), argumentos sobre a
eficiência da oficina – que nos esforçamos em correlacionar ao referencial teórico e aos
resultados colhidos em formulário –; e, por fim, apontamentos em relação a trabalhos futuros.
Após o capítulo final encontra-se a lista de referências bibliográficas do corpo do texto
desta dissertação; após esta lista estão os apêndices. O primeiro, apêndice A, contém o
material elaborado – e modificado – seguido do texto do material suplementar. Em diante,
vem o apêndice B com as imagens do conjunto de respostas obtidas para o questionário
avaliativo, finalizando este documento.
29
2 REFERENCIAIS TEÓRICO-PEDAGÓGICOS
Nossos referenciais teórico-pedagógicos são apresentados, justificados e explicitados
neste capítulo. É preciso apresentar os referenciais a fim de justificá-los; assim, as
justificativas (logo adiante) contêm implicitamente a apresentação dos mesmos.
2.1 Justificativas para a escolha de referenciais teórico-pedagógicos
Em pesquisas bibliográficas, feitas no portal da Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior (CAPES) e no buscador Google®, não encontramos textos, artigos,
livros etc. que apontam o enfoque pedagógico, a nível superior, do texto de Feynman e/ou de
assuntos correlacionados; isto equivale a dizer que não se encontrou elementos, fontes, que
enfatizam, mostram, a aplicação didática de livros (textos) técnicos sobre conteúdos
integradores do Eletromagnetismo e TRE – em cursos superiores de Física ou afins. Estas
fontes devem ser raras.
Com efeito, os livros, artigos etc., a respeito do tema, versam bastante sobre aspectos
teóricos, isto é, referentes ao edifício matemático-conceitual destes assuntos unificadores – ou
sobre o rico conteúdo histórico e/ou filosófico da conexão existente entre estas teorias. Outra
constatação é a de que temas a respeito da inter-relação entre a Teoria Eletromagnética e a
TRE estão praticamente ausentes de grande parte dos livros técnicos de Física básica,
incluindo coleções comuns nos cursos superiores afins às ciências físicas. Em sua maioria,
estes livros dão maior significância às partes cinemática e mecânica da TRE.
Assim, achamos por bem procurar referências que abordam a leitura/estudo – a nível
superior – de forma mais abrangente, geral, deparando-nos com a ótima obra de Juan Díaz
Bordenave e Adair Martins Pereira, Estratégias de ensino-aprendizagem (Bordenave; Pereira,
2015). Também se deve apontar que não foram encontradas referências sobre o estudo e
leitura de textos técnicos de Física (de qualquer tema) a nível superior. Estas fontes
apontariam sua importância e dariam fundamentos para a elaboração experimental de material
didático – começando pela leitura.
Segundo os autores citados anteriormente, o ensino superior atualmente enfrenta
diversos problemas; e as opiniões sobre quais são os melhores princípios pedagógicos e
metodologias didáticas para este ensino seriam divergentes. Em seu livro, os autores visam
dois importantes intuitos: proporcionar modos de responder mais praticamente do que
teoricamente a estes problemas, e comunicar as possíveis respostas de forma mais simples do
30
que técnica. Também são propostas, ainda que a título experimental, diversas ideias
orientadoras sobre planejamento de ensino e escolha de atividades didáticas (BORDENAVE;
PEREIRA, 2015). Assim, buscamos certas ideias destes, para tentar elaborar e fundamentar
boa parte de nossa proposta de material didático, com a intenção de proporcionar uma melhor
compreensão do texto de Feynman (tanto da parte do aluno quanto do professor). Os autores,
quando discorrem sobre estudo dirigido, destacam que este “[...] parte da leitura de um texto
escolhido pelo professor, [...]” (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 266). Esta citação
fundamenta, até certo ponto, a utilização de bons textos técnicos no ensino superior; o que
parece não carecer de muita justificativa, dada a significância quase inegável da leitura/estudo
de bons livros, textos, artigos etc. em cursos superiores. Analogamente, as considerações dos
autores de que o texto em questão deve ser básico e interessante, e de que os alunos devem
trabalhar muito na interpretação textual (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 266), também
fundamentam a adoção deste referencial. Isto ocorre porque realmente cremos que o texto de
Feynman preenche tais características, exigindo uma postura mais ativa do estudante.
O livro de Bordenave e Pereira parece bem atual e contextualizado, estando já em sua
33ª edição. Surgiu a partir de diálogos mantidos pelos autores com cerca de quinhentos
professores universitários que participaram do curso de Metodologia de Ensino Superior,
oferecido pelo Instituto Interamericano de Ciências Agrícolas (Iica), em Escolas e faculdades
brasileiras de Agronomia, Veterinária, Zootécnica e Engenharia Florestal, a partir de 1969.
Embora diversos exemplos práticos da obra estejam mais direcionados às ciências agrárias, os
autores afirmam que “[...] os princípios pedagógicos têm aplicação universal e que a
metodologia didática é aqui tratada de forma bastante geral.”. Assim, o livro é também útil
para outras disciplinas (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 9).
Outros aspectos pedagógicos e teóricos, aqui escolhidos, são atribuídos ao cientista
Lev Vygotsky (1896 - 1934) e à Teoria histórico-social (ou histórico-cultural) que, em parte
significativa, surgiu dos estudos deste pensador. A razão para esta escolha ocorre porque estas
noções formam um vasto conjunto científico, macro, sob o qual se encaixam inúmeras
propostas e trabalhos pedagógicos, materiais didáticos, ideias e inspirações para avalizar a
interação entre indivíduos, entre professor e aluno etc.
Enfim, as ideias de Vygotsky (e Teoria histórico-social) conferem significado à
questão dos pré-requisitos, justificam a mediação, a discussão entre professor e aluno,
relacionando desenvolvimento e aprendizagem. Por estes motivos elas são adotadas, embora
tenham menor participação que as de Bordenave e Pereira. O corpo de saberes referentes à
Vygotsky é uma espécie de “guarda-chuva” sob o qual se acomodam vários modos de
31
trabalho em conjunto com alunos ou indivíduos quaisquer; já os primeiros autores estariam
mais próximos de uma espécie de estratégia específica aqui adotada, constituindo nossa fonte
principal.
2.2 Ideias orientadoras de Bordenave e Pereira
No capítulo X do livro destes autores, ‘O desenvolvimento da atitude científica nos
alunos’, encontram-se as principais concepções usadas em nossa estratégia, de elaborar uma
espécie de estudo dirigido para o texto de Feynman.
É útil recordar nossa principal intenção com a elaboração deste material, que consiste
em tentar promover um melhor estudo do texto-base do que um leitor o faria lendo-o apenas
uma vez, sem nenhuma espécie de subsídio.
No início do tópico relativo a este tipo de estudo, os autores enfatizam que se trata de
uma atividade feita pelos alunos, com roteiros indicados previamente pelo professor. A
atividade começa, então, pela leitura de texto escolhido pelo professor; leitura que deve ser
ativa, e não passiva. Assim, num estudo dirigido, utilizando sua própria criatividade em
interpretar e extrapolar o conteúdo textual, “[...] o aluno, seja individualmente, seja em grupo,
terá que trabalhar bastante no texto entregue pelo professor, [...]” (BORDENAVE; PEREIRA,
2015, p. 266).
As utilidades do estudo em questão (se bem elaborado) seriam cinco funções positivas.
Descreveremos estas funções (que têm um papel muito importante em nossa
proposta/experiência) quase que apenas com nossas próprias palavras. Anunciemo-las não na
ordem de Bordenave e Pereira, mas das mais às menos significativas no contexto deste
trabalho – conforme acreditamos.
Primeiramente, as mais pertinentes seriam a de que o estudo dirigido apresenta-se aos
estudantes como um desafio à sua capacidade analítica e criadora – não como leitura a mais –,
e também os motiva, pois, ao se abordar um texto básico e interessante, a curiosidade se
desperta. Em segundo lugar, vem a valiosa noção de que se incentiva o aluno a perceber
lacunas no texto e a julgar a validade de suas afirmações, o que desenvolve a capacidade de
observar e avaliar (consciência crítica) (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 266).
Mas seria bom adotar uma postura pouco menos otimista que a dos autores, e afirmar
que esta espécie de estudo é capaz de motivar os alunos (ou ao menos uma boa parcela
destes), quando se utiliza um texto básico e interessante, tendo potencial em despertar-lhes
curiosidade. Desse modo, o estudo se mostraria – possivelmente para uma boa fração de
32
estudantes – como desafio à capacidade analítica e criadora (e não como leitura adicional
qualquer). Relativamente à segunda utilidade citada, poderíamos dizer que a capacidade de
consciência crítica – em observar, avaliar – tem potencial de se aprimorar, se elevar, ao se
estimular os alunos no julgamento da validade de afirmações e na percepção de lacunas
textuais.
Bordenave e Pereira não esclarecem o que seriam as lacunas de um texto. Ao menos
em várias partes do livro em que se fez a leitura/estudo, não se encontrou descrição, definição
(ou exemplificação) deste termo. Mas, em consulta às acepções do Dicionário eletrônico
Houaiss da língua portuguesa 1.0, encontramos a primeira delas, que se refere a um
significado que pode ser aceito: “espaço vazio, real ou imaginário; falha, falta.”, pois o
primeiro exemplo desta acepção é justamente “um texto com grandes l.” (HOUAISS, 2009).
Daí poder-se-ia interpretar a palavra como trechos ausentes, incorreções, falhas de qualquer
natureza etc., ou até como conteúdo que poderia estar presente para melhor descrição, análise
e exemplificação de alguns trechos.
As demais funções positivas, também importantes como as primeiras aqui
explicitadas, consistem na ideia de que o estudo dirigido desenvolve a capacidade analítica,
pois a compreensão do tema contido no texto básico se alcança pela análise cuidadosa deste;
de que o estudo ensina a integração de ideias, pois se espera que os estudantes organizem suas
ideias na síntese final; e, por fim, de que este “Excita o talento criador ao oferecer
oportunidades de manifestações pessoais de tradução, interpretação e extrapolação.”
(BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 266). Esta última função positiva talvez não seja de
grande significância aqui; no entanto, ela poderá manifestar validade em algum aspecto.
De maneira análoga ao considerado para as duas primeiras funções, é útil ser menos
direto e, de certo modo, menos otimista que Bordenave e Pereira. Daí, ressaltaríamos que um
estudo dirigido não necessariamente desenvolve a capacidade de análise, mas contribui em
seu aprimoramento quando há entendimento do tema do texto – através do esforço, do
cuidado analítico do leitor. Logo, teria o potencial de auxiliar na integração de ideias, pois é
esperada, numa espécie de síntese final, a organização destas pelos alunos.
Alguns argumentos anteriormente apresentados apontam que, realmente, pode se
considerar o texto básico e interessante, características cruciais para nossos autores – pois
atrairia a curiosidade no leitor (BORDENAVE; PEREIRA, 2015). E ainda que a coleção do
cientista não seja introdutória (comparada a outras de Física elementar de nível superior), esta
possui muitos textos, trechos, que podem ser bem aproveitados num curso de Física (ou afim).
33
Com razão, o texto do físico é básico em vários aspectos (seu nível matemático é
razoável, o conhecimento de TRE para a leitura pode ser elementar etc.), ainda que sejam
tratadas algumas noções meio intrigantes – como a de que o fio está neutro num referencial e
carregado noutro. Afinal, determinados aspectos que conectam o Eletromagnetismo à TRE já
têm esta característica intrigante. Isto, de certo modo, é bom para nossa proposta, pois se
encaixa no argumento de Bordenave e Pereira (2015, p. 266), de que “[...] o estudo dirigido é
apresentado aos alunos como um desafio à sua capacidade analítica e criadora, [...]”. Ora, se o
estudo assim pode se apresentar ao leitor, também o texto que lhe serve como base pode fazêlo.
Para alunos e professores que realmente gostam de Física teórica, o texto é, sem
dúvida, interessante, tendo bom potencial em gerar interesse nos que preenchem os prérequisitos para leitura. Pois este versa quase que apenas sobre elementos teóricos, numa
descrição de interação eletromagnética sob a ótica da TRE, usando conceitos clássicos de
força
e
apontando
significativos
aspectos
teórico-conceituais
integradores
do
Eletromagnetismo e da TRE – como o de que a Teoria Eletromagnética já tem formulação
relativística (GAZZINELLI, 2009). A possibilidade do texto de Feynman em despertar
interesse concorda plenamente com uma das funções positivas de Bordenave e Pereira (2015),
ao motivar os alunos.
Outra consideração importante, nesta pesquisa, refere-se ao fato de que – para a leitura
ativa – são necessários pré-requisitos, seja da parte do estudante ou do professor. Bordenave e
Pereira, no capítulo II de sua obra (intitulado ‘O que é aprender’), abordam um pouco desta
temática no estudo de casos, partindo da observação real de situações de aprendizagem; e
esclarecem:
Observa-se também nos exemplos acima que toda aprendizagem se baseia em
aprendizagens anteriores. Fonseca não poderia aprender a inseminar uma vaca se
não conhecesse previamente vários aspectos da anatomia animal, bem como a
existência de diversos tipos de instrumentos. Dias não poderia entender o assunto de
estatística matemática se não conhecesse centenas de conceitos e princípios que
intervêm no assunto atual (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 25, destaque do
autor).
Apenas relacionando estes fatos às valiosas ideias experimentais de nossos principais
referenciais pedagógicos, concluímos que o estudante ou professor não compreenderá o texto
(ou, pelo menos, não o entenderá bem) se não tiver o conhecimento prévio introdutório de
certos elementos, já mencionados.
34
Os autores abordam esta temática (relativa aos saberes prévios, ou aprendizagens
anteriores), pois ela é um dos pontos-chave para fornecer possíveis respostas do problema da
aprendizagem, ou seja, em que consiste (a aprendizagem) e como se poderia facilitá-la. Eles
partem de mensurações reais do procedimento (segundo sua orientação), procurando discernir
seus elementos, processos, que seriam os pontos-chave que vêm à tona pela observação de
experiências (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, pp. 23-24). Enfim, a abordagem destes é mais
prática, empírica; e no que diz respeito aos pré-requisitos, será aqui complementada com
certos elementos da teorização de L. Vygotsky e Teoria histórico-social.
Passemos, agora, à descrição das orientações de Bordenave e Pereira (2015) no tocante
ao planejamento de estudo dirigido. No item ‘Como planejar o estudo dirigido’ os autores
indicam três etapas: síncrese, análise e síntese. Na primeira, uma visão sincrética, global do
texto, seria solicitada do aluno, por intermédio de simples normas dadas pelo professor;
também, títulos e subtítulos seriam observados, com o fim de se adquirir uma visão estrutural
ou de organização do trabalho a se estudar. Na segunda etapa (análise) seriam propostas
questões claras e simples a serem feitas – seja interpretando ou associando ideias, as intenções
do autor, desenvolvendo a criatividade e exercitando o raciocínio e imaginação. Enfim, a
etapa final (síntese) deveria propor a resolução de problemas práticos, baseando-se no que o
estudante leu e assimilou. Ainda nesta, o professor solicitaria “[...] conclusões do aluno,
sobretudo quando for possível a pesquisa complementar.” (BORDENAVE; PEREIRA, 2015,
p. 267).
Preferimos crer, em relação à etapa de síntese, que problemas práticos basear-se-iam
no que o aluno provavelmente assimilou, pois não parece fácil postular até que ponto (em
média) a assimilação ocorre (a não ser que se faça pesquisa adequada). Mas atividades
práticas não têm muito significado em nosso contexto, pois a ênfase do texto é quase
puramente teórica; uma experiência de pensamento idealizada, aproximada, que não enfoca
aplicações mais técnicas, de engenharia etc. Assim, a última etapa não é abordada neste
trabalho, a não ser em relação ao fato de que a ideia de pesquisa complementar foi, de certo
modo, elaborada; no sentido de que se produziu um material de suplemento para questões
sugeridas no material – contendo algumas considerações sobre aspectos correlacionados à
TRE, ao Eletromagnetismo e ao texto de Feynman. Também, as etapas não foram seguidas
com rigor, pois dependem significativamente do tema, texto, da disponibilidade de condições
ao professor e aluno etc. Por estas razões, referimo-nos à proposta de material não
propriamente como um estudo dirigido (segundo estes autores), mas como uma espécie deste.
35
A ideia a respeito da observação de título, subtítulos etc., para perceber a estrutura,
organização, pode ser útil ao texto de Feynman – tomado isoladamente –, haja vista que seu
único título já nomeia um aspecto valioso do tema integrador entre a TRE e o
Eletromagnetismo. Esta ideia também pode ter utilidade na obtenção desta percepção se
aplicada ao material em sua totalidade.
As últimas ideias orientadoras, de Bordenave e Pereira (2015), em referência ao estudo
dirigido, são as do quarto item: ‘Como elaborar um estudo dirigido’. Praticamente não se fez
uso destas ideias, devido a uma falha meio grosseira presente no livro, somente percebida
(pelo autor deste texto) após elaboração e aplicação do material para certos estudantes; e,
inclusive, depois de preparar um tipo de questionário avaliativo – que foi respondido por
alguns. Acreditamos que a falha pode ter prejudicado a preparação e até a aplicação da
proposta. Ela é um pouco complicada de se perceber, pois o item quatro está fora do seu
devido lugar, além de não ter a formatação que o destaque – diferentemente dos outros três.
Com efeito, este item está inserido em um quadro (que contém o primeiro exemplo de estudo
dirigido dado pelos autores), constando como quase todo o texto da ‘IV Parte’ do primeiro
exemplo. Esta parte se caracteriza pelo termo: Painel de correção. Porém, logo abaixo deste
vem o título do quarto item – citado acima –, que versa apenas sobre aspectos passíveis de se
aplicar em qualquer estudo, aparentemente sem menção específica ao referido painel (e ao
exemplo sobre domesticação de animais) (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, pp. 269-270).
Os aspectos do item, que podem atuar como noções muito valiosas para a avaliação do
material (já que não se procurou segui-las), estão divididos em cinco seções: objetivos;
seleção de texto; análise do texto; elaboração das questões; e, por fim, análise do estudo
dirigido pelo próprio docente, antes de aplicar. Nestas seções, as ideias são sucintamente
delineadas pelos autores, e agiriam como questionamentos – que o professor pode responder
enquanto prepara o material para estudo. A primeira (objetivos) apresenta apenas duas
perguntas, a saber: “que informações desejo que meus alunos adquiram?” e “que habilidades
intelectuais eles precisam desenvolver?” (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 269).
A segunda (seleção de texto) já nos aponta mais ideias, relativas ao questionamento do
seguinte: o que há no texto a fim de satisfazer os objetivos selecionados; o que este possui
para gerar interesse nos estudantes; o que o texto tem relacionado à unidade e às necessidades
dos alunos; como deveria ser passado a eles (impresso ou no próprio livro etc.); se a
linguagem textual se adéqua ao público; e, por fim, de o texto ter sido escolhido entre os
melhores sobre o tema (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 269). Cremos que este último
aspecto, sobre escolha do texto, é muito importante. Ao destacar estas ideias com nossas
36
próprias palavras, estamos, até certo ponto, tentando expressá-las melhor que Bordenave e
Pereira.
Em relação à terceira seção (análise do texto), estes apontam que o professor deve
proceder na avaliação de determinados elementos, a saber: termos novos; novos
conhecimentos (tanto dos que vêm à tona de forma clara quanto dos que precisam de
explicação); possibilidades para que associações e relações sejam feitas pelos estudantes, e
também para que raciocinem; extensão textual; necessidade de adaptação, reestruturação ou
condensação (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 270).
A questão da análise de termos e conhecimentos novos é bem valiosa. Realmente,
vários conceitos, ideias etc. – relativas à Física – surgem frequentemente com nomes
distintos, o que, até certo ponto, pode ser considerado um novo saber – no sentido de que o
leitor amplia seu horizonte de vocabulário. Isto é significativo no que diz respeito ao
estudante.
Quanto à elaboração de questões (quarta seção) de Bordenave e Pereira (2015, p. 270),
estes enfatizam, primeiramente, que a leitura deve ser orientada quanto à “terminologia, fatos,
conceitos, classificação, análise, crítica.”. Em segundo lugar, destacam que a assimilação de
conhecimento e o desenvolvimento de habilidades deve se orientar por intermédio da
elaboração de perguntas que exijam: respostas elaboradas mentalmente, revisão de
classificação, formulação de esquema e/ou relação entre fatos; explicação de termos;
formulação de conceitos próprios e/ou extrapolação; interpretação gráfica, de símbolos e/ou
legenda; crítica ou avaliação; e, finalmente,
[...] conhecimentos apresentados no texto e, mais ainda, a associação de
conhecimentos adquiridos anteriormente requerendo o uso de habilidades
intelectuais. Podem ser usadas questões abertas, ordens diretas, perguntas de
múltipla escolha, perguntas verdadeiro-falso, ou a técnica de lacunas
(BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 270).
Percebe-se que os autores mantêm uma postura abrangente no último quesito, isto é,
eles abarcam muitos elementos orientadores. Obviamente, pautar-se em todos estes na
preparação de questões é praticamente impossível, pois dependem do texto (de seu tema,
extensão, linguagem etc.), das necessidades dos alunos e da disponibilidade de diversas
condições. Isto implica que, para certo texto básico – como o de Feynman –, algumas
orientações aplicam-se mais, mas outras não têm muito sentido.
Enfim, na última seção, que consiste em análise do estudo (pelo professor) antes de
aplicar, Bordenave e Pereira (2015) propõem que o educador resolva as questões, verificando-
37
as em relação à clareza e compreensão. A disposição destas questões e o tempo gasto na
resolução também devem ser analisados; e, por fim, partindo-se dos objetivos, devem ser
preparados meios de avaliação do estudo dirigido. A correção pode se dar de várias maneiras,
ou seja, de modo global, individual, em grupo, cruzada, em painel etc.
2.3 Vygotsky e a Teoria Histórico-social
Foram já citados Vygotsky e a Teoria histórico-social, nas justificativas para a escolha
de nossos referenciais teórico-pedágicos; nestas, ressaltamos que esta teoria (junto aos estudos
do cientista) compõe uma área científica abrangente, no sentido de que se insere em diversas
formas de trabalho, materiais didáticos, com alunos – ou outros indivíduos –, fundamentando
a interação com estes. Ao nos referirmos à mencionada teoria (histórico-social) de Vygotsky,
importa-nos o que foi (e é) aplicado no ramo educacional, usualmente entendido como
provindo de Vygotsky e/ou do desenvolvimento de suas ideias. Enfim, tentaremos expor,
relacionar, ideias que, por vezes, livros e artigos associam ao pensador e à sua teoria.
Segundo Ferrari (2008), Vygotsky atribuía um papel essencial às relações sociais no
processo de desenvolvimento intelectual e cognitivo, isto é, as interações sociais dos
indivíduos entre si e com o meio no qual habitam são cruciais nestes amadurecimentos. O
autor desta dissertação considera este elemento muito importante.
Embora a noção acima possa parecer (para alguns) bastante óbvia, os conteúdos
relacionados à Psicologia educacional, com razão, são bem complexos. Vygotsky, citado por
Toassa (2013, p. 65), estava ciente da complexidade do tema há mais de oitenta anos atrás, ao
afirmar que a “[...] psicologia pedagógica lida com fatos e categorias de caráter e ordem mais
complexos que uma reação ou um reflexo isolado e, em geral, que tudo aquilo pesquisado
pela ciência atual sobre a atividade nervosa superior do ser humano.”. Esta crença
possivelmente se estende, em parte, para a atualidade, apesar de que também se sabe que as
pesquisas sobre a mente e cérebro humanos – e os aspectos cognitivos relacionados –
sofreram enormes avanços desde a época do pensador.
Outra concepção relevante de Vygotsky diz respeito às zonas de desenvolvimento. Na
proposta de estudo aqui desenvolvida, parte-se do pressuposto de que os alunos já se
encontram na zona de desenvolvimento real (ZDR), um conceito parcialmente descrito na
obra A formação social da mente, de Vygotsky (Vigotski, 1998). Talvez este conceito – e o
referente à zona de desenvolvimento proximal (ZDP) – sejam os mais conhecidos e
divulgados (atribuídos à Vygotsky), além de serem amplamente adotados em teorias
38
educacionais, psicológicas etc.; fato que facilmente se percebe em disciplinas pedagógicas da
graduação e em livros, artigos sobre o assunto.
Segundo Vygotsky, o aprendizado deve se combinar de algum modo com o nível de
desenvolvimento de uma criança. O nível em que a criança se encontra é denominado nível de
desenvolvimento real. Daí, a zona de desenvolvimento seria uma espécie de distância entre
este nível real – conhecido a partir da solução independente da criança – e um nível de
desenvolvimento potencial, conhecido pela solução de problemas sob a orientação de um
adulto e/ou de colega mais adiantado (VIGOTSKI, 1998). Portanto, a zona de
desenvolvimento proximal (ou potencial) determina-se por problemas que a criança não é
capaz de resolver independentemente, fazendo-o apenas com assistência; assim, encontram-se
nesta zona funções ainda não amadurecidas, mas em processo de maturação. Noutras
palavras, Vigotski (1998) defende que o desenvolvimento mental retrospectivamente se
caracteriza pela zona real, enquanto o desenvolvimento prospectivamente é caracterizado pela
zona proximal.
Estas concepções foram estendidas, aplicadas, por pesquisadores da educação, aos
indivíduos adultos, como se percebe nitidamente em livros e artigos sobre o tema. É bem
interessante a interpretação de Carlos Fino, ao ressaltar que a ZDP é, essencialmente, uma
área de dissonância cognitiva, correspondente ao potencial do aprendiz; este autor afirma:
Representando a ZDP a diferença entre o que o aprendiz pode fazer individualmente
e aquilo que é capaz de fazer com a ajuda de pessoas mais experimentadas, [...], esta
formulação de Vygotsky reforça, simultaneamente, a importância do princípio de
prontidão, que implica a necessidade do aprendiz ter alcançado um determinado
estado de aptidão para apreender determinado material cognitivo (FINO, 2001, p.
281).
A elaboração de Vygotsky pode ser interligada às ideias de Bordenave e Pereira.
Vimos que estes últimos confirmam a necessidade de pré-requisitos (o que denominam
aprendizagens anteriores) para o ensino superior, partindo do estudo de casos, ou seja, da
experimentação real de aprendizagem. Estas pré-aprendizagens estariam relacionadas, então,
ao estágio de aptidão – ou a uma espécie de princípio de prontidão, como destaca Fino (2001)
– alcançado pela criança ou adulto, e que caracteriza a ZDR. O desenvolvimento retrospectivo
da estrutura mental (inter-relacionado ao que a pessoa resolve, soluciona, independentemente
do auxílio de outros) consistiria, desse modo, nas funções, conhecimentos, aprendizagens etc.
já amadurecidas e conectadas à zona real de um indivíduo.
39
Aplicando estes argumentos ao texto de Feynman, conclui-se que o conhecimento
prévio introdutório de determinados conteúdos (já citados) é imprescindível para uma boa
leitura ativa do texto, errata etc., e também para a resolução de questões. Caso os prérequisitos não estejam bem amadurecidos na estrutura cognitiva real do leitor (compondo sua
ZDR), é bem possível que a leitura ativa seja prejudicada, pois o leitor provavelmente não
produzirá o devido esforço necessário ao estudo – usando-o na interpretação textual. Daí, de
forma análoga, a tentativa de resolução das questões se prejudicará, uma vez que o leitor será
incapaz – ou pouco capaz – de bem interpretar ideias, intenções do autor etc., exercitando o
raciocínio.
Sobre o fato de que as concepções de ZDR e ZDP se aplicam aos adultos, Seth
Chaiklin (2011), por exemplo, ao enfatizar que a ZDP atualmente aparece em muitas obras de
Psicologia geral – bem como na maioria dos manuais de Psicologia do desenvolvimento e
educação –, cita que o conceito tem sido amplamente empregado ou citado em estudos sobre
ensino-aprendizagem nas mais variadas áreas do conhecimento; em distintas populações de
alunos (inclusive crianças com dificuldades de aprendizagem, déficit intelectual); em adultos;
em pesquisas sobre tecnologia de informação; em discussões sobre a formação de professores
e de profissionais de enfermagem etc. Também Deborah W. Kilgore (1999) aplica a zona de
desenvolvimento próximo em adultos, e Myriam N. Torres (1996) a emprega em discussões a
respeito da formação de professores, ou seja, em pessoas adultas; estas duas últimas são
citadas por Chaiklin (2011). Kilgore, p. ex., propõe uma teoria de aprendizagem coletiva que,
como crê a autora, é mais adequada que teorias individualizadas no estudo de pessoas e
grupos engajados em ação coletiva de defesa e promoção de uma visão social em comum.
Enfim, se a ZDP é aplicável nos adultos – e, portanto, nos estudantes de ensino superior –,
também a ZDR o é, pois os dois conceitos estão intrincadamente relacionados, sendo
mutuamente dependentes.
Então, certas noções teóricas de Vygotsky têm larga validade e aplicação em pesquisas
educacionais (bem como na Psicologia); estas concepções, de certa forma, complementam
alguns relatos empíricos de Bordenave e Pereira (2015) (sobre a pré-aprendizagem, aqui
mencionados), dando mais significado aos pré-requisitos e apontando a relevância do
desenvolvimento cognitivo real – a fim de que o indivíduo avance no desenvolver de
habilidades, saberes etc. Assim, a questão dos pré-saberes é de grande importância no estudo
dirigido aqui proposto, de uma maneira geral.
Segundo Ivan Ivic (2010, pp. 12-13), a teoria de Vygotsky compõe um paradigma
importante da psicologia do desenvolvimento, ao insistir nos aportes da cultura, nas interações
40
sociais e na dimensão histórica do desenvolvimento mental; este paradigma – assim como a
teoria de Jean Piaget (1896 - 1980) – é uma notável teoria do desenvolvimento mental. Ainda
de acordo com Ivic, Vygotsky também elaborou terminologia passível de exprimir um corpo
teórico original por ele criado. E a especificidade de sua teoria deveria ser definida, ao menos,
por certos termos essenciais: interação social, signo e instrumento, sociabilidade humana,
funções mentais superiores, cultura e história etc.; em resumo, poder-se-ia denominar este
conjunto de teoria sócio-histórico-cultural do desenvolvimento das funções mentais superiores
(IVIC, 2010, pp. 14-15).
Sirgado (1991) afirma que a psicologia histórico-social de Vygotsky concebe o
psiquismo como construção social, e encontra na mediação semiótica um importante conceito,
correspondente à ideia da intervenção de fatores, elementos terceiros que possibilitem
interação entre dois outros termos de uma relação. Dessa forma, como ressaltam Tunes, Tacca
e Júnior (2005), é comum identificar o professor como um mediador, atribuindo-se esta ideia
à Teoria histórico-social. Estes autores (ao discorrerem sobre o professor e sua atuação no
ensino) destacam que existe o imperativo de penetrar e interferir no psiquismo do aluno –
notadamente em seu pensamento – quando o professor se empenha em estimular a
aprendizagem; esta necessidade antecederia a tudo, orientando a escolha dos modos de
ensinar.
Estas concepções, citadas nos últimos parágrafos, compõem um leque de conceitos,
ideias e inspirações passíveis de fundamentar, avalizar, a interação entre professor e aluno –
que é uma interação social. Ora, na teoria de Vygotsky, o ser humano é caracterizado pela
sociabilidade primária, o que equivale a dizer (mais categoricamente) que as pessoas são
geneticamente sociais – como afirma Henri Wallon, citado por Ivic (2010, p. 15). Hoje, esta
tese é quase confirmada por recentes observações do desenvolvimento social na primeira
infância, sendo, em parte, orientada geneticamente (IVIC, 2010).
Cremos que alguma espécie de discussão do professor com estudantes, até certo ponto,
poderia auxiliar na compreensão textual. Nesta proposição, parte-se do pressuposto de que o
professor se engaje na aprendizagem de seus alunos, tendo o intuito (ainda que inconsciente)
de penetrar-lhes os psiquismos – isto é, os pensamentos –, e também de que o docente,
conjuntamente aos estudantes, constitui um significativo grupo social interativo. As citações,
concepções, ideias, anteriormente colocadas, fundamentam estes nossos argumentos.
Ivic (2010, p. 16) afirma que, na teoria vygotskyana, o ser humano necessariamente
possui seu prolongamento nos outros; mas considerado em si, não estaria completo. Esta ideia
é bastante valiosa, segundo a opinião do autor deste texto, e parece valer em diversos aspectos
41
da vida humana (talvez em quase todos), o que, grosso modo, reforça a tese histórico-social
do desenvolvimento mental. Também segundo este autor, “Encontramos, ainda em Vygotsky,
mas sob uma maneira diferente, o fenômeno do interpsiquismo: do ponto de vista psicológico,
o indivíduo tem seus prolongamentos, de uma parte, nos outros, e de outra, nas suas obras e
na sua cultura [...]” (IVIC, 2010, p. 20).
Assim, pode-se dizer que um conjunto interativo social, formado por professor e
estudantes, compõe-se numa relação de termos (pessoas) com seus prolongamentos
psicológicos, seja do professor no aluno e vice-versa; e de cada um destes com o produto
cultural, ou seja, o(s) conteúdo(s), matéria em questão. Continuando sua apresentação da
extensão psicológica do indivíduo humano, Ivic (2010, p. 20) enfatiza que, deste modo, o
desenvolvimento não se restringe apenas às alterações interiores na pessoa, mas que também
se mostra como desenvolvimento passível de assumir duas formas diferentes: criação de
instrumentos exteriores para produzir mudanças psicológicas internas; elaboração de
auxiliares externos enquanto tais. Em relação ao primeiro (instrumentos exteriores), Ivic cita
que há uma diversidade destes – orientados ao próprio homem – que podem ser usados no
controle, coordenação etc. de suas próprias capacidades. Dois destes instrumentos, na opinião
do autor desta dissertação, seriam os mais importantes da História ou estariam entre eles, isto
é,“[...] a língua escrita e falada [...]” (IVIC, 2010, p. 20).
E, em nosso contexto, é precisamente a língua falada o principal instrumento exterior
na proposta de discussão entre professor e estudantes – sobre ideias/aspectos mais essenciais
presentes em um texto (explícitas ou implícitas). Então, retomando a percepção de Tunes,
Tacca e Júnior (2005), o professor seria associado, de certo modo e até certo ponto, a uma
espécie de mediador que – tendo feito um bom esboço de discussão e refletido sobre ideias
significativas – possui o imperativo de adentrar, influir, a estrutura do pensamento de seus
alunos. Nesta intenção, a discussão oral iniciada e estimulada pelo educador teria
possibilidade de produzir modificações internas na psique, por meio da língua falada como
instrumento, elemento terceiro, externo, dirigida aos próprios participantes da discussão – os
termos da relação.
Enfim, isto pode ser útil para melhor compreensão de texto pelo aluno, dado o papel
essencial que, de acordo com Ferrari (2008), Vygotsky garantia às relações sociais – no
desenvolvimento intelectual e cognitivo. Noutras palavras, a interação social professor-aluno
com um produto da cultura (um texto, suas noções importantes etc.) é passível de estimular a
aprendizagem (que se correlaciona ao amadurecimento cognitivo, intelectual), ao gerar
mudanças psicológicas nas estruturas mentais.
42
43
3 METODOLOGIA
No presente capítulo, discorremos sobre uma proposta de oficina com o objetivo de
aplicar o material elaborado para estudo dirigido. É também apresentada nossa proposta de
avaliação do material. Obviamente, as argumentações, considerações deste capítulo, podem
ser concatenadas aos referenciais teórico-pedagógicos, às justificativas (dentre outros
aspectos) anteriormente constantes – ou ainda a certas ideias, fundamentações, julgadas úteis.
3.1 A ideia de uma oficina
A oficina, devidamente combinada com o Coordenador do curso de Física da PUC
Minas – Professor Flávio de Jesus Resende –, ocorreu em uma quinta-feira, 14 de maio de
2015, tendo início às 15 horas e 20 minutos (no campus Coração Eucarístico). A sala utilizada
abarcava perfeitamente atividades feitas com um máximo em torno de 15 a 20 alunos.
O título da oficina foi ‘Conexão entre a Relatividade Especial e o Eletromagnetismo –
A relatividade dos campos magnéticos e elétricos de Richard P. Feynman.’. Preparou-se um
pequeno banner (cartaz) formal – em papel A4 – para o encontro, com o fim de ser exposto e
auxiliar em sua divulgação; este é mostrado na Figura 1, na página seguinte.
44
Figura 1 – Cartaz preparado para a divulgação da oficina
Departamento de Física e Química
Curso de Física
OFICINA:
Conexão entre a Relatividade Especial e o Eletromagnetismo
- A relatividade dos campos magnéticos e elétricos de Richard P. Feynman
A oficina abordará texto de R. P. Feynman que trata da relação entre a Teoria da
Relatividade Especial e o Eletromagnetismo. Feynman demonstra que os efeitos
relativísticos de contração do espaço e dilatação do tempo estão presentes no contexto da
Teoria Eletromagnética, mesmo se a velocidade entre referenciais inerciais for muito baixa.
Sob o ponto de vista da Relatividade Especial, os campos e as forças elétricas e magnéticas
tornam-se grandezas e conceitos completamente relativos, mas as equações de Maxwell se
preservam (não necessitam de correção relativística); a lei de invariância/conservação da
carga elétrica e os Postulados de Einstein são satisfeitos.
Gabriel Ferraz Rubinger de Queiroz
Graduado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – PUC Minas (2011).
Tem experiência nas áreas de Ensino de Física. Atualmente é mestrando do Programa de Pós Graduação em
Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas
Serão sorteados quatro livros:
Sobre as leis da física, de R. Feynman; O ano miraculoso de Einstein: cinco artigos que mudaram a face da física e A Teoria
da Relatividade Especial e Geral, de A. Einstein; Teoria da relatividade especial, de Ramayana Gazzinelli.
Pré-requisito: Fundamentos do Eletromagnetismo
Quinta-feira 14 de maio de 2015 às 15h20min
Laboratório A - sala 120 do prédio 34
Inscrições: [email protected] (até 10 de maio)
Fonte: Arquivo pessoal
45
No banner – formatado pelo Prof. Flávio de Jesus Resende –, procuramos já apontar o
tema textual (de modo bem geral), se assim se pode dizer, isto é, a conexão entre a Teoria da
Relatividade Especial e o Eletromagnetismo. Com efeito, é possível que o título do texto não
seja muito propício para descrevê-lo, haja vista que Feynman vai além da questão da
relatividade dos campos, produzindo uma discussão relativamente curta e profunda sobre a
relação existente entre ambas as teorias. Assim, acreditamos valiosa uma breve citação de
alguns aspectos textuais importantes neste cartaz, o que pode ter gerado no participante ao
menos uma ideia (ainda que vaga) de assunto contido explícita ou implicitamente no texto.
É interessante fazer um paralelo do banner com uma proposição da fase de síncrese de
Bordenave e Pereira (2015), isto é, a de que estudantes devam observar títulos, subtítulos,
adquirindo uma visão estrutural, organizacional, do trabalho a estudar – na primeira etapa de
um estudo dirigido. Neste trabalho, a leitura do aluno da descrição textual no cartaz entraria
como uma espécie de proposta até certo ponto complementar à de Bordenave e Pereira.
Obviamente, a informação em um cartaz de divulgação deve ser objetiva, organizada,
possivelmente sucinta, até para que os potenciais participantes tenham vontade de lê-lo.
Claramente, a preparação de um banner é diferente do sugerido pelos autores acima; porém,
tal instrumento pode fornecer, grosso modo, uma sucinta visão global do tema e/ou espécies
de “subtítulos” de certos aspectos, conteúdos relevantes do texto – ou correlacionados.
O banner foi enviado via e-mail, pelo Prof. Flávio de Jesus Resende, para diversos
estudantes do curso de Física da PUC Minas. No que concerne aos pré-requisitos – tendo em
conta dificuldades encontradas –, foi realmente necessário solicitar apenas a matéria referente
aos fundamentos de Eletromagnetismo, disciplina em que os estudantes têm, pelo menos, um
contato introdutório com as leis fundamentais desta teoria – em sua forma integral. O cartaz
também foi exposto no prédio 34 (onde circulam inúmeros estudantes de ciências exatas,
informática etc.), com o objetivo de reforçar o convite e também estendê-lo a possíveis
participantes destes cursos, interessados no tema.
A abordagem de diversas dificuldades (com as quais nos deparamos nesta aplicação
experimental) será feita posteriormente nesta dissertação; também serão produzidas
considerações, sugestões etc., com a intenção de que o professor procure contorná-las.
Nosso propósito original era o de convidar somente alunos que preenchessem todos os
pré-requisitos aqui descritos. Inclusive, as questões propostas foram elaboradas a partir desta
pressuposição. Quanto ao conhecimento de determinados elementos (básicos) de cálculo
integral e diferencial, cremos que estava já implícito nos fundamentos da Teoria
46
Eletromagnética, ou seja, os estudantes que cursaram esta matéria já tiveram contato, ao
menos, com certas noções e aplicações destes cálculos. Além disso, a resolução de questões
matemáticas, em nosso material, não exige saberes avançados do cálculo, mas consiste em
exercícios mais básicos que possuem simetria geométrica cilíndrica – de campos estáticos
relacionados a um condutor cilíndrico (fio) reto e infinito. Estes exercícios são geralmente
feitos por muitos alunos das ciências físicas, engenharias e cursos afins.
A ideia de sorteio de livros veio do autor deste documento. Como justificaremos
adiante, houve o problema referente ao público, isto é, verdadeiramente se deparou com a
possibilidade da falta de quorum. Além dos quatro livros listados no cartaz, sorteou-se ainda
um quinto, que não precisa ser citado; o sorteio não teve influência em nossa proposta de
estudo, de oficina e no que já foi aqui considerado etc. Também, nenhum participante
mencionou-o ou cobrou-o. Este se fez apenas após a oficina, e somente o autor deste texto
dele se recordou. Porém, é válido crer que pode ter estimulado a participação de um ou outro
aluno.
Participaram sete estudantes da PUC Minas, seis homens e uma mulher
(aparentemente todos com idades entre 20 e 32 anos, pelo que se constatou nos perfis de
alguns, na rede social Facebook®). Dentre estes, cinco do curso de Física, um rapaz da
Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação e outro rapaz que não solicitou inscrição ao
Prof. Flávio de Jesus Resende. Após o encontro, o autor desta dissertação contatou os seis
participantes identificados, pela rede social acima, solicitando-lhes informação sobre o
sétimo; no entanto, não o identificamos. Tendo lhes questionado (logo antes do início da
oficina) quais os seus cursos de graduação, permanece apenas a lembrança de que este último
era aluno de algum curso de engenharia. Os nomes dos alunos, seus respectivos cursos e emails acadêmicos foram enviados ao e-mail pessoal do autor deste texto pelo Prof. Flávio
Resende – até a noite anterior à oficina.
Consideramos útil preparar um texto introdutório, uma espécie de apresentação de
nossa proposta de estudo do texto de Feynman, da errata, das questões etc. Este texto foi
denominado ‘Considerações ao estudante’. Nosso propósito inicial era enviá-lo por e-mail
(com certa antecedência) aos alunos, solicitando-lhes, por gentileza, sua leitura atenciosa
antes do encontro; porém, devido a problemas com os prazos de inscrição e disponibilidades
de tempo, foi praticamente inviável enviar-lhes o documento antes da oficina. Isto poderia ter
sido realizado, mas somente na véspera do encontro.
As ‘Considerações ao estudante’ foram passadas aos alunos junto à errata do texto e às
questões elaboradas (mais as devidas referências bibliográficas destas partes e algumas folhas
47
em branco para respostas/resolução). Isto consistiu no material impresso entregue ao aluno.
Obviamente, também se disponibilizou o texto de Feynman (em português).
Sabia-se de antemão que não haveria tempo para a leitura das ‘Considerações ao
estudante’ durante a oficina. Assim, os participantes foram advertidos a este respeito, e lhes
solicitamos a leitura desta parte em casa. Foram realizadas modificações nas ‘Considerações
ao estudante’, após a aplicação experimental. Com efeito, este documento estava meio longo,
com certos trechos possivelmente desnecessários. Cremos que isto poderia repelir alguns
leitores. A tentativa de mudança inspirou-se em Bordenave e Pereira (2015), autores que
exemplificam estudos dirigidos mais concisos – além de outras atividades com esta
característica. Porém, o encurtamento do texto introdutório ao estudante não foi bem
sucedido; provavelmente isto ocorreu devido ao esforço do autor deste em ressaltar todos os
aspectos, no texto, julgados pertinentes para o estudo. Também, deve ser tomada em conta a
prolixidade deste autor (por vezes excessiva).
Citamos, anteriormente, a real possibilidade de falta de quorum. Uma alternativa para
o problema, vislumbrada em reunião previamente combinada na PUC Minas (com o
Coordenador do curso de Física, o autor deste texto e seu orientador), foi solicitar apenas o
pré-saber de disciplina relativa aos fundamentos de Eletromagnetismo – em que, conforme
mencionado, estariam já implícitas noções básicas de cálculo. Daí, vimo-nos obrigados a
tentar (de algum modo eficaz) cobrir os pré-saberes referentes à Teoria da Relatividade
Especial. Pedir aos alunos o estudo independente do tema seria inviável na prática, haja vista
o caráter voluntário da oficina, o relativamente curto intervalo de tempo (do dia desta reunião
até o encontro) e o não conhecimento de texto, material etc. – bem sucinto e de qualidade –,
capaz de explanar os saberes prévios da TRE (de modo elementar ao universitário)
necessários à boa leitura do texto. Mesmo que se encontrasse tal material, ou preparássemos
algum adequado, ter-se-ia falhado em tal processo, pois muitos alunos atrasaram as inscrições.
De fato, suspeitamos que os atrasos ocorreriam, e estipulamos a data limite de
inscrição, 10 de maio – como está no cartaz (banner) anterior –, mais como uma estratégia
para estimular e adiantar inscrições do que propriamente um prazo limite. Enfim, se resolveu
que o conteúdo referente à TRE devia ser exposto (no início da oficina e antes da leitura
textual) pelo autor deste documento. Isto se fez através de uma aula razoavelmente curta –
utilizando exposição visual em quadro e oral.
48
3.2 Aplicação da oficina
Passemos, agora, a seções que se referem à aplicação feita durante o encontro,
principalmente no que diz respeito à abordagem teórica de conteúdos da Teoria da
Relatividade Especial (pré-requisitos faltantes), à leitura do texto de Feynman e à breve
discussão (diálogo) – em sala de aula – sobre algumas importantes noções textuais.
3.2.1 Exposição teórica
Com o objetivo de ganhar tempo, o autor deste texto deixou já preparada, no quadro, a
maior parte da exposição visual relativa à TRE, além de separar previamente, para cada
possível participante, doze conjuntos do material impresso com o texto de Feynman (que lhes
foi disponibilizado) e mais algumas folhas em branco para respostas. A aula foi preparada,
pensada, e algumas notas de aula produzidas, contendo quase tudo o que se expôs no quadro.
É importante ressaltar que se perguntou aos participantes se já haviam visto disciplina que
aborda a TRE ou, ao menos, se sabiam a maior parte dos elementos básicos (contração
espacial, dilatação temporal, Princípio da Relatividade de Einstein etc.) a nível elementar.
Como apenas dois alunos levantaram as mãos, partiu-se para a exposição do conteúdo – o que
se deu no começo do encontro.
Os estudantes se atrasaram um pouco, e a oficina teve início cerca de 10 a 15 minutos
após o previsto; o autor deste texto decidiu aguardar ao menos a presença de quatro
participantes para começar – a fim de se ter um público razoável, mas também porque dois
alunos mais adiantados informaram que outros já estavam por vir. Os demais (dois ou três)
atrasaram-se apenas mais alguns minutos.
Destaque-se que, em relação aos pré-saberes da TRE, se cometeu um erro: foi
esquecido o momento linear relativístico, isto é, não se atentou para o fato de que este
também deveria ter sido abordado na oficina. Inclusive, nas ‘Considerações ao estudante’,
impressas e entregues, esqueceu-se de citá-lo como pré-conhecimento pertinente para a leitura
ativa; entretanto, isto foi feito em novo documento dirigido ao aluno – quando foram feitas
alterações no material, mais discutidas adiante. A exposição de assuntos da TRE ocorreu
basicamente de acordo com o descrito adiante, iniciando-se pelo efeito de dilatação do tempo.
Fez-se um desenho do relógio de luz, uma experiência de pensamento bastante
enfocada em livros técnicos de Física sobre a teoria. O desenho consistia simplesmente em
dois referenciais inerciais, S e S´ (a mesma simbologia usada por Feynman), no qual se
49
considera S´ como em movimento uniforme e reto relativamente à S, e S é tomado como “em
repouso”. Para isso, introduziu-se um vetor velocidade u em S´, desenhando-se os eixos y´ e y
(paralelos) relativamente afastados um do outro, e x´ e x quase coincidentes (x´ muito pouco
acima), apenas com a finalidade de visualização. Marcou-se as origens O e O´ dos sistemas
coordenados; desenhou-se os espelhos superior e inferior, estacionários em S´ e paralelos aos
eixos x´ e x; marcou-se um ponto – no espelho inferior, à meia distância de seus extremos –
donde seria emitido e detectado (recebido) um raio luminoso (ou um fóton), após sua reflexão
no espelho superior.
Assim, o autor deste texto afirmou que começaria abordando este fenômeno (dilatação
temporal), fazendo uso de experiência pautada nesta espécie de relógio pensado. Descreveu-se
o par de referenciais, seus eixos coordenados etc., e o movimento como relativo, isto é, partiase do ponto de vista de que estávamos no referencial S em “repouso”, e que S´ se movia em
relação à nós com velocidade u constante (o movimento ocorrendo apenas ao longo de x e x´).
Mas, para um observador fixo em S´, é o sistema inercial S que se movimenta em sentido
contrário, com velocidade –u. Afirmou-se bem que S´ apenas se movia ao longo do sentido
positivo do eixo x com velocidade constante, mas que também se podia considerar a
perspectiva contrária (devido à relatividade do movimento). Também se deixou claro que os
eixos x e x´ deveriam ser tomados como coincidentes.
O autor deste documento cometeu uma pequena falha em relação à descrição do
conceito de referencial inercial (um de nossos pré-saberes), pois somente após citar o termo
por vezes atentou-se para a necessidade de sua descrição. Este foi bem descrito, mas apenas
de forma mais elementar, isto é, como referenciais em movimento reto uniforme (MRU) um
relativo ao outro, nos quais é possível desprezar quaisquer forças gravitacionais. Também foi
bem destacado que determinadas áreas da superfície terrestre podem ser aproximadamente
tomadas como bons referenciais inerciais – devido ao campo gravitacional relativamente fraco
e às suas variações muito sutis em certas regiões superficiais da Terra. Foi rapidamente
enfatizado que na existência de interação (e/ou variação) gravitacional significativa – e/ou
quando os referenciais são acelerados – deve se considerar a Teoria da Relatividade Geral,
que incorpora a gravidade e/ou referenciais acelerados. Além disso, afirmou-se que o termo
inercial provinha do fato de que, neste tipo de referencial, a lei de inércia de Galileu deve ser
válida.
Muito do que foi falado aos alunos, assim como os rascunhos de aula, baseou-se em
autores como Gazzinelli (2009), Hewitt (2002), Taylor e Wheeler (1992) e Einstein (1999).
Preocupamo-nos em destacar certos assuntos da TRE apenas de modo introdutório, estando
50
cientes de que o conteúdo físico apresentado contém aproximação, abstração, sutilezas etc.,
podendo ser expresso de modos ainda melhores, mais detalhados etc.
Na continuação da exposição, destacou-se que o relógio luminoso possui mecanismo
simples, facilitando a comparação dos intervalos de tempo Δt (em S) e Δt´ (em S´)
(GAZZINELLI, 2009). Esta consideração de Gazzinelli é pertinente, pois o relógio indica de
forma elegante e prática a previsão de dilatação temporal, aplicando a lei da constância no
valor da velocidade da luz no espaço livre e a ideia de evento (neste caso, a emissão e a
recepção da luz num mesmo ponto do espelho inferior, por meio de um foto emissor-detector
imaginário). Adiante, são mostrados nas Figuras 2 e 3 os primeiros rascunhos de aula:
51
Figura 2 – Frente da primeira folha do rascunho
Fonte: Elaborado pelo autor
52
Figura 3 – Verso da primeira folha do rascunho
Fonte: Elaborado pelo autor
Continuando a descrição da simplicidade deste relógio, o autor ressaltou que este é
assim chamado, pois, mede intervalos de tempo periódicos, iguais ao tempo gasto pela luz em
sua viagem de ida e volta, ou melhor, o tempo necessário para que, após o instante da
emissão, a luz se reflita no espelho superior e retorne ao emissor-detector. Isto foi bem
53
enfatizado a fim de se chegar à ideia de eventos, isto é, destacar que na TRE geralmente se
trabalha com este conceito (evento) que, a priori, é definido por uma posição e um instante de
tempo – medidos em certo referencial inercial (EINSTEIN, 1999). Assim, os eventos tomados
seriam a emissão e a posterior detecção da luz no emissor-detector; o que também se ressaltou
bem.
Dos rascunhos anteriores, apenas os desenhos, títulos (‘Dilatação do tempo’, ‘O
relógio de luz, experiência de pensamento’) e a frase que explicita o ponto de vista abordado –
de S´ em movimento relativamente à S em repouso, com velocidade constante para a direita –
foram passados na lousa.
Iniciou-se, então, a descrição do fenômeno, ao dizer que o intervalo de tempo medido
por um observador em S´, entre os dois eventos, iria diferir do medido por observador em S,
entre os mesmos dois eventos. Fez-se, aqui, uso do termo de Feynman, afirmando-se que, na
comparação de intervalos temporais entre dois referenciais inerciais, os intervalos devem ser
correspondentes – ou seja, mensurados entre os mesmos dois eventos. Esta declaração foi
previamente pensada, é claro; o autor deste texto julga ser este o melhor termo (em português)
para se referir aos intervalos de tempo na TRE, que somente encontrou no texto de Feynman
(2008, p. 13–11).
Começou-se a dedução da equação, que relaciona Δt e Δt´, pelo termo cΔt´ ; explicouse que este é a distância total (velocidade multiplicada pelo intervalo de tempo em S´ )
percorrida pela luz em seu caminho de ida e volta, medida em S´. Daí partiu-se para a
explanação da Figura 3 dos rascunhos (acima), a perspectiva do observador em S, ressaltando
ao aluno que, neste referencial inercial, S´ move-se uniformemente para a direita junto ao
relógio que ali está estacionário. Assim, a trajetória correspondente do raio consiste em duas
linhas retas em diagonal, uma para a ida do raio e outra para seu retorno ao foto emissordetector. Assim, do ponto de vista de S, a luz tem a componente de valor constante u de
velocidade ao longo do eixo x; logo, deve se mover diagonalmente em S.
Neste momento, enfatizou-se a lei da invariância no valor de velocidade da luz no
espaço livre. Afirmou-se que este valor c é sempre o mesmo, em quaisquer referenciais
inerciais; noutras palavras, se apontou que o módulo desta velocidade não depende do
movimento relativo uniforme entre a fonte (emissor) e o observador, sendo igual para todas as
frequências eletromagnéticas. É interessante notar que todos pareciam concordar com esta lei.
A constância de c – que, por vezes, é considerada um dos postulados de Einstein – pode ser
tomada como saber já presente na estrutura cognitiva de alunos, quando estes preenchem os
pré-requisitos da TRE. Pois, cremos que indivíduos que têm conhecimento da dilatação
54
temporal, momentum linear relativístico etc., também conhecem tal lei – que é muito mais
simples. Mas, em nossa exposição, foi cauteloso incluir este saber, uma vez que boa parte dos
estudantes não preenchia os assuntos referentes à TRE. Enfim, a citada lei foi bem descrita; é
preciso pouco tempo para tal.
A esta altura, mais ou menos, um aluno fez perguntas confusas sobre o movimento
relativo do relógio, os pontos de vista dos observadores etc. Explicitou-se, então, que o
relógio está fixo em S´, e se deve pensar como este é observado neste referencial inercial
(próprio ou de repouso), mas também como seria visto em S – um referencial onde o relógio
está em movimento (relativo). A confusão do aluno serviu para esclarecer um pouco estas
ideias. Até este momento haviam decorrido entre 10 e 15 minutos de oficina. Pelo o que se
conseguiu captar, o estudante não havia percebido a relatividade do movimento, os distintos
pontos de vista etc. Aparentemente, o aluno captou certas noções após a descrição acima.
O autor deste documento confessa que, nestes minutos iniciais, estava meio ansioso e
também preocupado com o tempo disponível. Por isto, talvez tenha se apressado um pouco na
exposição, não se mostrando, de certo modo, aberto aos questionamentos. Recorde-se que a
maioria da exposição visual foi previamente passada na lousa, incluindo partes dos rascunhos
mostrados e a maior parte da dedução da equação referente à dilatação temporal. Isto facilitou
muito, pois a descrição, até certo momento, consistiu apenas em apontar elementos no quadro.
Apesar de que a exposição inicial possa ter sido um pouco apressada, o autor se preocupou em
transmitir certas informações objetivas – que foram pré-pensadas, planejadas, escritas.
Retornando ao relato da aula, informou-se que apenas interessava o módulo de
distâncias, velocidades, intervalos temporais, em cada referencial inercial. Portanto, não era
preciso considerar o vetor u para a luz, em S, bastando-se aplicar a lei da constância de c no
espaço livre. Assim, a distância total percorrida pelo raio, em S (os dois trajetos em diagonal),
é cΔt. Sendo o movimento uniforme e reto, estas diagonais são iguais e valem cΔt /2 cada
uma; já a distância total percorrida pelo emissor-detector, na perspectiva de S, é uΔt. Sendo a
metade desta uΔt/2, aplicamos o teorema de Pitágoras nos triângulos equivalentes da Figura 3,
sabendo que o cateto transverso ao movimento (a distância entre os espelhos) iguala cΔt´ /2
(metade da distância viajada pela luz, em S´, em seu trajeto total neste referencial).
Certas conclusões, do parágrafo anterior, foram ressaltadas um pouco rapidamente aos
alunos; afinal, estas envolvem mais raciocínio geométrico do que conhecimento físico.
Portanto, seguindo-se a matemática, obtemos a equação Δt = γ Δt´, mostrada na Figura 4:
55
Figura 4 – Frente da segunda folha do rascunho
Fonte: Elaborado pelo autor
Boa fração destes cálculos já constava na lousa, bastando explicá-los. O restante se
deduziu facilmente. A matemática envolvida é muito simples, de tal modo que,
aparentemente, não houve problema em sua compreensão. Após deduzir a equação, partiu-se
para sua descrição; explicitou-se o fator de Lorentz γ, descrevendo-o como variável
dependente apenas do valor de velocidade relativa u entre dois referenciais inerciais, sempre
maior ou igual a um. Enfatizou-se que, quando u = 0, γ = 1, isto é, os intervalos temporais
entre dois eventos são iguais, pois não há movimento uniforme relativo; há apenas um
referencial inercial nesta situação. Destacou-se bem que, nas velocidades relativas cotidianas
(inclusive de aviões a jato), na prática, não existe diferença significativa entre os intervalos de
tempo, pois os valores de velocidade são muito pequenos se comparados a c. Logo, u2 /c2 é
ainda menor, e γ tende a um.
56
Cremos que foi útil explicitar
1
, e fazer alguns comentários sobre este, pois está
u2
1
c2
assim escrito em boa parte das equações do texto de Feynman. Também se apontou que a
equação mostra que Δt é maior do que Δt´ quando γ é maior que um, mas que as diferenças
temporais somente são apreciáveis se a velocidade u é significativa em relação a c.
Relembrou-se, rapidamente, que os intervalos de tempo comparados devem ser
correspondentes, ou seja, medidos entre os mesmos dois eventos.
Neste ponto, vem uma consideração interessante. Afirmou-se que, no texto a ser feita a
leitura, a velocidade relativa entre os referenciais inerciais é muito baixa; por conseguinte, do
ponto de vista prático, os intervalos temporais podem ser considerados iguais nos dois
referenciais. Mas teoricamente, a diferença temporal (dilatação do tempo) é uma previsão
relativística que pode ser tomada no Eletromagnetismo, a fim de se mostrar que esta teoria se
concilia (é compatível) com a TRE, não havendo contradição lógica entre ambas.
Finalizando a dilatação temporal, introduziu-se o conceito de intervalo de tempo
próprio (ou local ou de repouso). Ressaltou-se que este intervalo, entre dois eventos
determinados, é o tempo decorrido em um referencial inercial no qual os eventos ocorrem
numa mesma posição. Este corresponde ao menor tempo possível entre os eventos em
questão; assim, é uma quantidade matemática invariante. Estas considerações foram feitas
recordando-se o exemplo de relógio de luz – no qual é fácil perceber que o tempo próprio
ocorre em S´ –, ainda que o desenho referente à perspectiva de S´ já houvesse sido apagado.
Também, pelo desenho do panorama observado em S, destacou-se que, neste referencial, os
eventos (emissão e detecção) ocorrem em posições diferentes – embora no mesmo emissordetector pensado. Dessa maneira, tem-se, em S, um intervalo de tempo denominado relativo,
sempre maior que o tempo próprio. O autor se recorda de enfatizar que o maior tempo relativo
(Δt) pode ser percebido pelo maior trajeto total viajado pela luz, em S, o que é feito com o
mesmo valor de velocidade c (GAZZINELLI, 2009; TAYLOR; WHEELER, 1992; HEWITT,
2002). Estas últimas colocações, previamente pensadas, estudadas (nas vésperas do encontro),
baseiam-se principalmente nestes autores.
Adiante, nas próximas páginas, estão dois desenhos (Figuras 5 e 6) que exemplificam
a previsão de dilatação temporal. Um refere-se ao referencial inercial S´ de repouso (ou
referencial próprio) do relógio de luz – no qual o relógio se encontra estacionário; o outro já
mostra a perspectiva em um referencial S no qual o relógio (fixo em S´ ) se move para a
direita, um referencial inercial em que se mede um intervalo de tempo maior do que o próprio
57
(entre os dois eventos considerados). Pode-se imaginar S como certa região “plana” da
superfície terrestre (um laboratório científico) que se comporta muito aproximadamente
como sistema inercial; S´ pode ser pensado como o próprio relógio luminoso que movimentase em relação ao laboratório (S) “em repouso”. Estes desenhos não foram utilizados na oficina
(foram preparados após esta), mas são valiosos como instrumento didático ao leitor/docente e
para ilustrar melhor a experiência de pensamento enfocada no encontro:
Figura 5 – O ponto de vista de um observador inercial em S´
Fonte: Elaborado pelo autor
58
Figura 6 – O ponto de vista de uma observadora inercial em S (figura girada em 90
graus no sentido anti-horário)
Fonte: Elaborado pelo autor
Ao fazer um paralelo com o texto de Feynman, o autor deste documento mencionou,
rapidamente, que distintos intervalos temporais, em dois referenciais inerciais, aparecem no
59
texto. Porém, o conceito de evento não é estritamente necessário, pois, no enfoque da
interação eletromagnética abordada é preciso atentar-se, grosso modo, para a duração da força
em cada referencial inercial, que se compõe de intervalos muito curtos.
Daí partiu-se para a apresentação da previsão de contração espacial. Enfatizou-se que
o espaço se sujeita a um efeito tão estranho quanto o relacionado ao tempo, mas que é, de
certa maneira, mais fácil de descrever. Para um objeto em repouso, medir-se-á o comprimento
de repouso deste – o maior comprimento possível para o objeto, medido no referencial
inercial em que o objeto se encontra estacionário. Mas, havendo movimento uniforme relativo
a um observador, este medirá o objeto contraído na direção de movimento. Descreveu-se o
caso de uma régua, uma simples situação de pensamento, com a finalidade de exemplificação.
Obviamente, estas considerações sobre a contração de Lorentz são muito simples; todavia,
destacou-se que, na verdade, não são os objetos que se contraem quando em MRU relativo,
mas o próprio espaço. Noutras palavras, não é a matéria em si que sofre a contração. A
realidade é que os objetos estão espacialmente estendidos (EINSTEIN, 1999). Assim
podemos vislumbrar melhor esta previsão relativística. Se um observador inercial se move, o
espaço se contrai na direção de seu movimento – em consequência, os objetos estariam
contraídos. A concepção de que não é a matéria que se contrai, mas o próprio espaço no qual
esta se estende, foi bem destacada aos estudantes.
Também se explicitou a equação L = L´ /γ, ressaltando que, ao contrário do intervalo
de tempo próprio, o comprimento próprio (de repouso) L´ se divide pelo fator de Lorentz, o
que resulta em comprimentos relativos L menores que L´ (quando γ > 1). No caso do tempo
próprio ocorre o oposto, pois os tempos relativos Δt – entre dois eventos – resultam maiores
que Δt´ (se γ > 1). Foi afirmado brevemente que, para a contração relativística, não é preciso
considerar-se conceitos de evento (no nível em que se abordava) para uma descrição
introdutória do assunto. Ao menos assim crê o autor desta dissertação.
Em diante, partiu-se para a exemplificação. Citou-se que as melhores confirmações
experimentais da TRE se encontram na Física Contemporânea relacionada às partículas. O
único exemplo dado foi o do múon (partícula μ), ressaltando-se o valor de sua vida média de
repouso Δt´, ou seja, o intervalo de tempo (médio) para a existência da partícula, num
referencial inercial no qual o múon está em repouso. O valor médio de Δt´, segundo
Gazzinelli (2009, p. 30), é cerca de 2 x 10–6 segundos. Citou-se, então, que esta partícula é
instável (GAZZINELLI, 2009), isto é, se forma e desintegra, solicitando ao participante que
imaginasse o múon fixo no referencial de um laboratório terrestre; se o cientista detecta sua
formação e desintegração numa mesma posição, é medido um intervalo de tempo próprio
60
(pois a partícula está estacionária), uma vida de repouso da partícula. Porém, se é planejado
experimento para detectar a formação e a consequente desintegração do múon, em um
referencial inercial no qual este se move (p. ex., utilizando acelerador linear de partículas),
observar-se-á um intervalo de tempo relativo maior (vida relativa) para μ. Este tempo depende
de γ, isto é, da velocidade entre o múon e o laboratório (os referenciais inerciais), assumindose que esta velocidade é sempre constante. Mencionou-se que isto devia ser tomado apenas
como experiência pensada, pois o autor deste texto não sabia se o procedimento (como
relatado) realmente poderia ser feito com múons.
Foi escrita a vida média de repouso desta partícula, destacando-se que, na velocidade
de aproximadamente 0,998c – em relação à Terra –, μ apresenta vida média relativa Δt de
cerca de 30 x 10–6 s (GAZZINELLI, 2009, p. 31). Não se fez cálculo a este respeito, no intuito
de salvar tempo; afinal, tratava-se somente de um simples exemplo numérico de evidência
observacional da previsão. Além disso, recordou-se rapidamente que certas regiões da
superfície terrestre podem ser tomadas como um bom referencial inercial. Um aluno
questionou se a experiência do relógio de luz já havia sido realizada. O autor deste texto disse
acreditar que não, pois nunca leu nada sobre corpos macroscópicos acelerados até velocidades
significativas em relação à c.
Para exemplificar a comprovação da contração do espaço, mencionou-se um fato
também referente ao múon. Isto foi interessante, pois um rapaz conhecia o fenômeno,
chegando a expressá-lo em parte. Enfim, apenas enfatizou-se bem que, no referencial da
Terra, cientistas observam múons serem formados em certas altitudes atmosféricas; porém, a
vida média de repouso (≈ 2 microssegundos), classicamente, não é suficiente para que a
partícula alcance a superfície do planeta, tendo velocidade aproximada de 0,998c em relação a
este. Segundo a dilatação temporal, a vida média relativa (tomada no referencial terrestre) é
suficiente para que μ alcance a superfície. Mas agora interessa o efeito de contração espacial;
de acordo com este, o espaço atmosférico – no referencial próprio (de repouso) do múon –
está contraído. Neste referencial inercial, sua vida média de repouso é capaz de fazê-lo
alcançar a superfície (GAZZINELLI, 2009).
Decidiu-se não esboçar, na lousa, dados numéricos sobre a contração de comprimento
para esta partícula, como planejado em rascunhos (abaixo), pois o tempo disponível estava
meio abreviado. Enfim, a maioria das considerações feitas na oficina foi realmente pensada,
estudada previamente. Também se ressaltou que as experiências citadas, com relógios de luz e
réguas, deviam ser tomadas apenas como experimentos de pensamento; e foi dado, na
61
intenção de que o participante estudasse em casa, o melhor valor atualmente aceito para c. De
acordo com Taylor e Wheeler (1992), c = 299.792.458 m/s.
Adiante, nas Figuras 7 e 8, encontram-se os últimos rascunhos de aula:
Figura 7 – Verso da segunda folha do rascunho
Fonte: Elaborado pelo autor
62
Figura 8 – Última página do rascunho
Fonte: Elaborado pelo autor
Foi cortada a maior parte da metade inferior da Figura 7, onde havia equívocos que se
rabiscou e desprezou. A última página contém a porção bem inferior rabiscada,
posteriormente ao encontro; trata-se de dados sobre a contração de Lorentz no referencial de
63
repouso do múon, não explicitados no quadro e nem oralmente, devido ao tempo faltante.
Além disso, tentou-se resumir certos fragmentos das últimas duas páginas, a fim de ganhar
tempo (ainda que minimamente), não usando grifos nem certos parênteses, trocando palavras
ou omitindo-as, não usando destaques em valores, resultados etc. É útil ressaltar isto, pois a
questão referente ao tempo foi um dos maiores empecilhos na aplicação experimental do
material.
A última consideração feita, antes da leitura do texto, diz respeito ao Princípio da
Relatividade de Einstein; destacou-se que este e a lei da constância de c no espaço livre
compõem os postulados da TRE (ou postulados de Einstein). Afirmou-se que o princípio pode
ser assim enunciado: a forma matemática das equações fundamentais da Física é independente
do referencial inercial, ou seja, é a mesma em qualquer destes sistemas. Ainda se ressaltou,
grosso modo, que “a cara” destas equações não depende do sistema inercial; estas se
preservam, mantêm seu formato. Destacou-se bem que, por exemplo, as equações
fundamentais do Eletromagnetismo (equações de Maxwell) obedecem ao Princípio de
Relatividade einsteiniano. Entretanto, a Mecânica newtoniana não o obedece, e necessitou de
correção relativística. Apesar disto, para baixas velocidades, esta descreve muitos fenômenos
de maneira excelente.
3.2.2 Leitura de texto
Em diante, solicitou-se aos participantes a leitura atenciosa do texto de Feynman.
Enfatizou-se bem a existência de erros no texto em português entregue, para o qual se
disponibilizava a errata. A ideia original, do autor deste documento, seria solicitar a leitura do
texto sem a errata, pedindo ao aluno que tentasse descobrir estes equívocos e que, de algum
modo, destacasse seus trechos suspeitos; em seguida seria passada a errata, para conferência e
correção textual. Isto se inspirou na orientação de Bordenave e Pereira (2015, p. 266), já aqui
citada, em estimular os alunos a julgar a validade de informações e a captar lacunas em um
texto – o que, segundo estes autores, ajuda a desenvolver a habilidade de observar e avaliar
(consciência crítica). Também, esta primeira opção possivelmente não interromperia o fluxo
de leitura; daí, conforme cremos, seria mais adequada.
Mas estando breve o tempo, julgou-se melhor solicitar ao participante que assim o
fizesse ou que lesse o texto concomitantemente à errata. Pediu-se que desprezassem as
‘Considerações ao estudante’, pois sabíamos de antemão que não haveria tempo para tal
leitura. A leitura do texto se iniciou aproximadamente uma hora após o começo do encontro,
64
já com todo o material impresso necessário. É válido destacar que um e outro estudante
captaram alguns erros no texto em português – uns dois ou três equívocos –, pois os relataram
ao autor desta dissertação que, conferindo a errata, confirmou-os. Podemos crer que estes
realmente perceberam os erros sem consulta prévia à errata.
A leitura transcorreu tranquilamente, silenciosamente; alguns alunos pareciam, de vez
em quando, trocar ideias sobre o texto. Julgou-se útil um período em torno de 25 - 30 minutos
para uma leitura atenciosa – até para que se pudesse reler algum trecho não compreendido
etc., mas também porque, num estudo dirigido, o aluno deve trabalhar bastante no texto,
segundo a recomendação de Bordenave e Pereira (2015). Enfim, não se pretendeu, em
momento nenhum, apressar a leitura; isto estaria na contramão da nossa proposta e em
desacordo com o principal referencial teórico-pedagógico.
Uns vinte minutos após o início da leitura, o autor deste documento (que observava
equações do texto) reparou que, em seus rascunhos, a simbologia matemática referente ao
comprimento estava distinta da de Feynman (2008). Enquanto nós e o cientista utilizamos L
para o comprimento relativo do fio, em S´, foi utilizado L´ na lousa para seu comprimento de
repouso, em S, ao passo que Feynman (2008) utiliza Lo para este. No texto, tanto na edição em
português quanto na original em inglês (aqui utilizadas), alguns símbolos são usados
confusamente; p. ex.: na figura 13–11 (b), L´ indica o comprimento relativo do condutor (em
S´), enquanto no corpo do texto este se indica por L (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS,
2008, p. 13-9; FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 1964, p. 13-8). Além desta, existem certas
confusões no texto brasileiro, que constam na errata.
Assim, percebendo que poderia haver mais confusão, ressaltou-se aos alunos que Lo
representa o mesmo que L´, escrito no quadro, explicitando que a equação L = L´/γ equivale à
L = Lo /γ; daí, desta última temos L =
Lo
, que por sua vez, equivale à equação
1
1
v2
c2
13.22 usada por Feynman (2008, p. 13-9): L = Lo 1 
v2
. Estas quatro últimas equações
c2
foram explicitadas no quadro.
A esta altura, já se percebia que não haveria tempo para que os alunos procedessem na
tentativa de resolução das questões. Como ressaltado, não se podia apressar-lhes a leitura
neste intuito, pois se solicitou que a fizessem com cuidado, atenção. Também, como orientam
Bordenave e Pereira (2015, p. 266), “a compreensão do tema contido no texto básico é
65
alcançada pela análise cuidadosa do mesmo.”. Assim, apressar (ou até interromper) a leitura
entraria em contradição total com esta proposta.
3.2.3 Discussão do texto (resolução de dúvidas)
Partiu-se, então, após a leitura, para uma breve discussão sobre aspectos pertinentes
do texto, conforme cremos. Um destes já havia sido destacado durante a exposição anterior à
leitura, ou seja, o que diz respeito ao Princípio da Relatividade de Einstein. Ressaltou-se que
este é por vezes denominado (em outras obras) um dos postulados da TRE (ou de Einstein),
não importando muito se chamado de primeiro ou segundo postulado – o que é apenas uma
convenção. Julgou-se valioso apontar isto, porque o aluno poderia conhecê-lo somente por
denominação similar (e não por ‘Princípio da Relatividade’, como está no texto). Enfim,
recordou-se rapidamente este princípio. Daí, uma das colocações mais relevantes é a de que,
no texto, o princípio pode ser assim “vislumbrado”: ao obter expressão para a força
magnética, em S, Feynman parte de uma equação já obtida pela lei de Ampère da
magnetostática. Analogamente, ao obter equações para força e campo elétricos, em S´, o físico
também toma uma expressão obtida previamente (para o campo eletrostático), que vem da lei
de Gauss da eletricidade. Ora, estas leis de Gauss e Ampère não necessitaram de correção
relativística. Os estudantes pareciam interessados nestes apontamentos.
A discussão seguiu-se com a questão: foi perguntado aos participantes se conseguiam
captar que, se no referencial inercial S é observada interação atrativa de natureza
eletromagnética (entre o portador de carga e o fio condutor), também em S´ deve ser
observada uma interação atrativa de mesma natureza. Consequências logicamente absurdas
foram destacadas – caso a partícula elétrica não se aproximasse do fio em S´ –, como p. ex., se
esta permanecesse em movimento relativo uniforme ao fio neste referencial, ou ainda se fosse
repelida em S´, ao passo que no referencial S é sempre atraída. Também se mencionou
rapidamente que a força, nos dois referenciais, deve ser de natureza eletromagnética, pois a
interação gravitacional entre a partícula e o condutor é muitíssimo pequena, e pode ser
desprezada; as interações nucleares, por sua vez, atuam apenas em distâncias muito curtas,
comparáveis ao diâmetro de núcleos.
Todos pareciam concordar com estas colocações e percebê-las razoavelmente.
Afirmou-se que a abordagem do texto é válida apenas em intervalos de tempo muito curtos,
pois, uma vez que a força atua na partícula de prova, esta acelera e o movimento relativo não
mais é uniforme; assim, os referenciais deixam de ser inerciais. Mas, em intervalos temporais
66
muito curtos, cada qual medido em seu referencial, os sistemas são muito aproximadamente
inerciais (e a TRE pode ser aplicada).
Também, destacou-se que a força magnética depende da velocidade; portanto, no
referencial inercial próprio da partícula não pode haver força magnética, pois a carga desta
está em repouso ali. Em certo momento, rabiscou-se no quadro a equação para a força
magnética, F = qv x B, afirmando-se que, em S´, o vetor v da partícula é nulo. Assim, a força
(em S´) deve ser uma força elétrica e o fio deve estar carregado neste referencial, enquanto
está neutro em S. Logo, a força em S é devida ao campo magnético, ao passo que em S´ se
deve ao campo elétrico. Também há campo magnético em S´, mas este não age na carga de
prova, pois, a velocidade desta neste referencial é nula. Então, concluímos que campos e
forças elétricas e magnéticas são totalmente dependentes do referencial inercial.
Uma estudante não captava o fato de um fio eletricamente neutro em um referencial
inercial, mas carregado noutro. Ela colocava certas questões, de certo modo, similares à
seguinte: ‘Só porque o observador se move relativamente ao fio, em S´, deve observá-lo
eletricamente carregado? A participante ainda aparentava estar confusa com noções a respeito
do conceito de velocidade, como a de que a velocidade inicial da partícula era igual à de
arraste dos elétrons de condução. Isto foi valioso para se recordar que Feynman enfoca o caso
especial no qual estas velocidades se igualam. Assim, solicitou-se à moça que imaginasse a
partícula elétrica adentrando o campo magnético de S, tal como está no texto; se a partícula
tem velocidade em relação ao campo, o único presente em S (e a velocidade não é paralela a
este), há apenas força magnética na partícula. Daí pediu-se à participante imaginar ter
velocidade igual à da partícula, estando junto a esta. Dessa forma, a velocidade da carga, neste
sistema S´, é zero – por conseguinte, não há interação magnética. Todavia, a partícula também
deve aproximar-se do fio em S´, pois seria ilógico vê-la ser atraída no referencial S do fio em
repouso, mas exibindo comportamento de partícula livre no referencial da carga em repouso.
O autor desta dissertação crê que a descrição para a carga líquida não nula em S´, que
envolve a relatividade da simultaneidade para os elétrons livres do fio, poderia confundir
mais a aluna. Dessa maneira, limitou-se a dizer que a partir do efeito de contração espacial em
S´ (e utilizando a matemática), o físico mostra que deve existir campo elétrico neste
referencial inercial. O experimento de pensamento, capaz de descrever esta carga líquida
diferente de zero (e, portanto, o campo elétrico do referencial S´), consiste na seguinte
constatação: um observador inercial está estacionário, em S´, juntamente aos elétrons livres do
fio. Porém, neste referencial, o fio se move para a esquerda – observe a figura 13–10 (b) do
texto; assim, a base direita do fio condutor se aproxima do observador em repouso na posição
67
da carga q em S´, de tal modo que “se vê” um elétron sair por esta base (direita) antes que
outro entre pela base esquerda, que se afasta do observador. Em consequência, surge um
vácuo eletrônico (a ausência de uma unidade de carga elementar negativa) que consegue
descrever a carga líquida positiva em S´. Obviamente, esta ideia é uma abstração, pois, na
prática, há um grande número de elétrons livres. Então, pode-se também pensar que em um
intervalo de tempo muito curto, decorrido em S´, uma quantidade média de elétrons sai pela
direita antes que aproximadamente a mesma quantidade penetre pela esquerda.
Um aluno tentava descrever algumas noções para a garota. Enfim, acredita-se que ela
as percebeu parcialmente, mas não as aceitava. Com efeito, certos aspectos envolvidos no
texto são intrigantes; o autor deste documento, por exemplo, julgou que a conservação da
carga era violada no texto. Mas com o auxílio de seu orientador (e leitura adicional), percebeu
que isto não procede. O que ocorre é que a carga elétrica líquida – em qualquer sistema
eletricamente isolado – se conserva. O sistema do texto, como um todo, não pode ser formado
apenas pelo fio condutor, mas deve conter uma fonte de voltagem (e possivelmente outros
elementos de circuito). Assim, se o fio – ou uma porção deste – é percebido como
positivamente carregado por um observador inercial em S´, o restante do sistema fica
carregado com igual módulo de carga negativa neste referencial. Ora, se uma quantidade de
elétrons sai do fio antes que outra penetre, existe um excedente de elétrons na outra parte (no
restante) do sistema – a partir da perspectiva de S´. Se a carga líquida (total) em S é nula no
sistema eletricamente isolado, também será nula em S´, uma vez que as cargas líquidas não
nulas (neste referencial inercial) se compensam: a carga positiva na estrutura do fio balanceia
exatamente a negativa – contida no resto do sistema.
As considerações do parágrafo acima nos remetem a um questionamento interessante:
o que provém a carga líquida positiva (no fio) e negativa (no restante do sistema), do ponto de
vista de S´ ? Estas cargas líquidas apenas se manifestam devido à presença da bateria – ou de
uma voltagem qualquer –, que fornece a energia necessária para a corrente. Sem a bateria não
haveria corrente em nenhum dos referenciais. Em S, o fio continuaria neutro; em S´ –
referencial da carga de prova – o fio estaria contraído, mas esta contração se manifestaria
igualmente para os núcleos atômicos e elétrons, e as densidades líquidas de carga positiva e
negativa se balanceariam. Noutras palavras, caso não houvesse bateria, o simples movimento
do fio – em S´ – não o tornaria carregado. As partículas de cargas opostas se encontrariam
estacionárias umas em relação às outras, em ambos os referenciais. Não só a corrente seria
nula nestes referenciais inerciais, mas também não haveria nenhum campo interagindo com a
partícula de prova; esta se comportaria como partícula livre.
68
A percepção de aspectos significativos, contidos no texto, parece melhor à medida que
se reelabora as ideias sobre o tema e conteúdos correlacionados. Enfim, talvez tenha sido um
erro não tentar explanar as considerações anteriores sobre a relatividade da simultaneidade
para elétrons livres em S´, sobre o fato de que o sistema não pode ser composto apenas pelo
fio mostrado por Feynman, e de que a carga líquida (total) deve se conservar no sistema em
sua totalidade. De qualquer modo, não haveria tempo para uma boa descrição dessas noções;
o autor deste texto, também, ainda não havia bem elaborado suas ideias a respeito.
No fim do encontro, enfatizou-se que o texto envolve abstração, idealização etc., mas
é útil para mostrar, teoricamente, que efeitos da TRE – como contração espacial e dilatação
temporal – podem ser tomados no Eletromagnetismo, ou seja, esta teoria já possui formulação
relativística, sendo compatível com a Teoria da Relatividade Especial. Isto implica que não
há contradição lógica interna entre ambas. O fim do diálogo, principalmente com a aluna,
pode ter sido valioso para afirmar alguma noção textual não captada por alguns participantes;
afinal, estes estavam em silêncio e pareciam atentos ao debate, que terminou por volta de 17
horas e 10 minutos. Por esta hora, boa parte dos alunos aparentava desejar ir embora; com
razão, alguns deviam ter compromissos. Assim, solicitou-se que procedessem nas questões
propostas em casa (consultando o texto), entregando-as depois ao Professor Flávio Resende.
Insistiu-se nisto, dizendo-lhes que as resoluções eram importantes para um trabalho de
Mestrado. Aparentemente, eles concordaram. Além disso, lhes foi disponibilizado o texto em
língua inglesa, e prometida a entrega de material suplementar (com resoluções e respostas
comentadas e considerações sobre o texto e aspectos correlatos), para autocorreção e/ou para
refazer as questões, após tentativa(s) com consulta ao texto. Combinou-se que este poderia ser
enviado via internet. Por fim, fez-se o sorteio dos cinco livros como prometido. Ninguém o
cobrou ou mencionou-o, mas todos permaneceram para este.
3.3 A proposta de um questionário avaliativo
Os itens (seções terciárias) adiante versam sobre o formulário (questionário) de
avaliação, preparado e disponibilizado na própria internet. Primeiramente, são feitas
considerações a respeito da preparação do mesmo; em seguida, é discutida sua aplicação e
feita uma simples análise de alguns dados.
69
3.3.1 Elaboração do questionário
Foi elaborado um questionário utilizando o aplicativo JotForm®. Nosso propósito
inicial era preparar um documento para avaliar o material e a oficina, partindo-se da crença de
que todas as atividades seriam feitas, ou seja, de que haveria tempo hábil a fim de que os
alunos tentassem resolver as questões. Assim, fez-se um rascunho, um razoável esboço deste
primeiro – anteriormente à oficina –, que foi abandonado.
Foram feitas tentativas no intuito de que os estudantes resolvessem as questões em
casa, retornando-nos suas respostas. Mas não se obteve sucesso. Dessa forma, percebeu-se a
necessidade de elaboração de um novo questionário (adaptado à realidade vivenciada).
Produziu-se um documento mais breve, curto, para se responder na própria internet.
O aplicativo citado, JotForm®, é facilmente encontrado pelo buscador Google®. É uma
ferramenta grátis de qualidade razoável, mas útil, pois o link referente ao questionário pôde
ser enviado via e-mail e facilmente postado nos perfis de Facebook® dos participantes. Além
disso, as respostas são automaticamente enviadas ao e-mail do autor do formulário. O
questionário em branco está disponível em: https://form.jotformz.com/51476541085659.
A intenção do questionário foi a de coletar informações capazes de auxiliar-nos na
avaliação da proposta como um todo, isto é, do material experimental preparado e do
encontro. Cientes do problema referente à disponibilidade de tempo, julgamos bem valioso
elaborar algo a respeito, como se percebe na terceira pergunta. Nesta, enfatiza-se o tempo
insuficiente para a continuação de discussão e tentativa de resolução das questões sugeridas,
solicitando-se sugestões para que isto pudesse realizar-se com maior proveito. É importante
reparar que – na pequena introdução ao questionário – deixou-se claro que sugestões e críticas
poderiam ser feitas no corpo das respostas. Tentamos, assim, obter informações passíveis de
auxiliar na proposta de sugestões para contornar problemas, fazer-nos perceber equívocos,
falhas, possíveis alternativas (e até propor melhorias, modificações, no material em questão).
Sendo o texto interessante e básico, como propõem Bordenave e Pereira (2015) (e
como se tentou justificar), abordando relevantes aspectos da relação intrínseca entre TRE e
Eletromagnetismo, achou-se conveniente elaborar uma questão (primeira questão) para o
relato de aspectos, conceitos etc., que mais despertaram interesse, atenção e/ou se mostraram
como novidades para o leitor. Esta questão pode ser válida a fim de se obter alguma ideia do
que foi compreendido pelo leitor e/ou até de seu nível de conhecimento sobre o tema.
O intuito da segunda pergunta consistiu em tentar captar do leitor a percepção ou não
da conexão entre as duas teorias em questão, de modo mais direto. O relacionamento,
70
compatibilidade, entre ambas é o tema do texto de Feynman, até certo ponto; no mínimo, é
um dos aspectos mais globais e significativos deste, sendo uma de suas principais intenções.
Isto se evidencia quando o físico propõe: “Mas vamos ver o que nosso conhecimento da
relatividade pode nos dizer sobre as forças magnéticas se supusermos que o princípio da
relatividade pode ser aplicado – e ele pode – ao eletromagnetismo.” (FEYNMAN;
LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–7). Também no fim do texto, Feynman (2008, p. 13–11)
conclui e enfatiza que – considerados em conjunto – eletricidade e magnetismo se conciliam
com a TRE. Portanto, a segunda pergunta é valiosa neste trabalho.
Já se comentou a terceira pergunta. A quarta e última (que se compõe de dois itens)
versa a respeito da utilidade, importância, de grande parte do material elaborado. Questiona-se
o leitor sobre a relevância da tentativa de resolução das questões (e da análise da errata) em
contribuir para a compreensão textual etc. – e até para a própria resolução, ao se tratar da
errata.
3.3.2 Aplicação do questionário
Já se apresentou o questionário (avaliativo) e foram comentados certos aspectos
referentes a este. Neste item, destacaremos alguns problemas enfrentados em sua aplicação e
faremos considerações sobre respostas, apenas a título retrospectivo, ou seja, tentar-se-á
concatenar algumas respostas que possam ser pertinentes para o já escrito nesta dissertação.
Determinadas dificuldades, encontradas neste trabalho, já foram levantadas. O
problema da disponibilidade de tempo também ocorreu no período de aplicação do
questionário, após o encontro, e não apenas durante este (que consistiu na aplicação relatada)
e antes deste – a fase preparatória do material e da oficina. Também, houve o quorum
relativamente baixo de sete alunos, enviando-se o questionário aos seis identificados. A
expectativa de recebimento de respostas deste foi muitíssimo pequena, para não dizer quase
nula.
Outra dificuldade contundente diz respeito ao fato de que os estudantes estavam
próximos ao período de provas finais, entrega de trabalhos etc.; em várias disciplinas, isto já
se inicia na segunda quinzena de maio e começo de junho. A atividade acadêmica, para
diversos alunos e professores, torna-se mais acelerada nesta época. Somando-se a
voluntariedade de nossa proposta, a chance em se obter retornos diminui ainda mais.
Claramente, a proximidade de atividades, provas, finais, relaciona-se à disponibilidade de
tempo dos participantes. Além disso, destaque-se que alguns alunos, nos últimos períodos de
71
graduação, já lecionam. Isto foi confirmado pelo orientador do autor deste texto, e checado
em certos perfis de rede social. Ainda, a moça participante do encontro mencionou a escola
em que lecionava, durante conversa informal após a oficina.
O questionário avaliativo foi-lhes enviado no dia 29 de maio de 2015, via e-mail e
perfil de Facebook®. Um mês após a oficina, havíamos recebido apenas a resposta (de
formulário avaliativo) de A, aluno do curso de Física, que a enviou logo no dia seguinte, 30
de maio. Repare-se que este, um rapaz, aparentava ser o mais interessado no encontro. Quase
dois meses após a oficina, o autor desta dissertação esteve muito preocupado, pois se solicitou
aos alunos a tentativa de resolução das questões em casa – disponibilizando-lhes o texto (em
português e em inglês), sua errata, questões propostas etc. Também, foi enfatizado no fim do
encontro que não necessariamente todas as questões deveriam ter respostas/resolução; a
proposta era tentar resolvê-las consultando o texto e errata. Além disso, informou-se que as
respostas, resoluções, de questões poderiam ser enviadas por meios eletrônicos – caso
desejassem –, e que se procuraria contatar todos. Mas, passados uns cinquenta dias do
encontro, ninguém as havia entregado (como informalmente combinado). Tampouco foram
enviadas ao e-mail ou perfil pessoal de Facebook® do autor deste texto.
Percebeu-se então que, muito possivelmente, não receberíamos mais retornos de
formulário avaliativo, muito menos de questões do material sugerido. Afinal, os alunos já
estavam de férias. Logo, o autor deste texto insistiu um pouco, pela rede social, para que ao
menos o documento de avaliação fosse respondido. Afirmou-se que as questões (do estudo
dirigido) não necessariamente precisavam ser enviadas, entregues, mas que apenas fossem
feitas junto à leitura texto, respondendo o formulário avaliativo em seguida. Assim se fez,
pois, havia pouca esperança de retorno de resoluções do material. E o tempo para
continuação/produção desta dissertação já estava breve.
Mas esta pequena insistência foi razoável, pois se recebeu o questionário avaliativo de
B, aluno da Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação. Este, inclusive, antes de enviar o
formulário, enviou e-mail ao autor deste texto com algumas dúvidas sobre o texto de
Feynman. Seus questionamentos foram respondidos rapidamente, mas com cuidado.
Com tão poucas respostas de questionário avaliativo, considerou-se valioso enviá-lo
para algumas pessoas selecionadas que não participaram da oficina. Obviamente, escolhemos
possíveis participantes que preenchiam todos os pré-requisitos, mas que também não fossem
“especialistas” no tema do texto. Estes possuíam o livro em português ou ao menos tinham
acesso a ele (como consultado); assim, foram-lhes enviadas eletronicamente as
‘Considerações ao estudante’, a errata, questões propostas etc. – o mesmo material impresso
72
entregue aos alunos na oficina. Também lhes indicamos um site, do California Institute of
Technology (Caltech), em que está disponível – para domínio público – a coleção de
Feynman original, no idioma inglês, apenas para leitura; neste, não há nenhum dos erros
encontrados (no texto) nas edições brasileira e norte-americana avaliadas. Esta informação
lhes foi passada, junto a outras sobre os equívocos contidos no texto. Foi informado, ainda,
todo o necessário para localizar o texto na obra, como título, volume, páginas etc.,
encaminhando-se o link para o questionário avaliativo.
Como estes não tomaram parte no encontro, pediu-se lhes que, no campo
Curso/período, informassem sua formação acadêmica e que desprezassem o trecho ‘[...] e na
introdução dada pelo professor’ da primeira pergunta. Em relação à terceira pergunta,
ressaltamos a falta de tempo para terminar a discussão e resolver as questões em uma oficina,
solicitando-lhes somente alguma opinião, ideias, a fim de produzir um encontro com bom
proveito. Finalmente, lhes informamos que poderiam enviar apenas as respostas do
formulário; as resoluções/respostas de questões – propostas no material – ficariam a critério
de quem as quisesse enviar.
Esta atitude foi boa, conforme cremos, porque recebemos formulários de mais dois
indivíduos, C e D. Destes, um homem jovem com pouco mais de trinta anos, recém-formado
em Física na PUC Minas, e uma ex-colega de Mestrado do autor deste documento, de
cinquenta e poucos anos. O aplicativo JotForm® agrupou as quatro respostas, que depois
foram inseridas como imagens no apêndice B.
3.3.3 Análise de dados
Poucos questionários avaliativos foram obtidos, apesar do esforço e insistência; assim,
não faremos análise de discurso baseada em autores que dela tratam. Afinal, quatro
formulários compõem uma amostra bem fraca a fim de se obter conclusões pertinentes mais
gerais. Dessa maneira, as respostas adquirem caráter mais pessoal, não representando ideias,
conclusões, que poderiam ser, até certo ponto, atribuídas a uma coletividade; o que se reforça
pelo fato de termos formulários de dois participantes da oficina e de dois não participantes.
Além disso, recorde-se que não se recebeu nenhum conjunto de respostas às questões do
material.
Em relação às considerações retrospectivas sobre as respostas do formulário, destaquese, de início, o mencionado por A na primeira pergunta. Este considera interessante “[...] a
forma como a teoria eletromagnética já continha, em seu cerne, a teoria da relatividade
73
espacial (sic).”. O jovem aponta justamente um dos aspectos mais significativos do texto, já
aqui citado – ainda que com outras palavras, mas que remetem à mesma conclusão. Como se
apontou, a conexão, conciliação, entre estas teorias é, de certa forma, o tema do texto; ou ao
menos uma das principais intenções de Feynman.
Em segundo lugar, aponte-se o citado por B, que escreve em resposta à terceira
pergunta do formulário: “Como a agenda de todos em uma universidade é corrida, [...]”.
Claramente, este trecho não abarca o conteúdo da resposta e o contexto da questão, mas é útil
para destacar um dos problemas encontrados mais contundentes: a disponibilidade de tempo
nas universidades (em nosso caso, da parte dos estudantes). A menção de B vale
particularmente para o período posterior ao encontro – próximo a provas e trabalhos finais.
Some-se a isto a voluntariedade da proposta. Contudo, é claro que sua citação não é geral; ele
apenas esclarece que, para muitos, o ritmo acadêmico é apressado em vários períodos.
Em terceiro lugar, apontemos duas menções de C, que não participou da oficina. A
primeira é sua resposta completa para a segunda pergunta: “Sim. A questão da relatividade
das forças e campos elétricos e magnéticos (que dependem de um referencial inercial) e a lei
da conservação da carga elétrica.”. Nesta, são destacados mais dois aspectos valiosos do texto.
Com efeito, o primeiro destes toma parte no título do texto e é bem importante, pois, sob a
ótica da TRE, conceitos de força e grandezas de campo (elétrico(a) e magnético(a)) são
completamente dependentes do referencial inercial, apesar de que as equações fundamentais
do Eletromagnetismo se preservam em qualquer um destes – sem correção relativística e em
concordância com o Princípio da Relatividade einsteiniano. Este aspecto, por exemplo, foi
resumido no banner. O segundo destes diz respeito à invariância/conservação duma
propriedade inerente da natureza, fonte da luz e que independe da velocidade relativa e da
energia da partícula elétrica, o que é muito bem exemplificado por Feynman. Em suma, C
destaca duas significativas noções textuais, que também são intenções do físico.
A outra importante menção desta pessoa, segundo cremos, é a de que “Ler repetidas
vezes o texto facilita sua compreensão, ajuda na resolução das questões [...]”. Esta consta no
item (b) da quarta pergunta. De certa forma, isto remete à proposição de Bordenave e Pereira,
ao defenderem que a compreensão de tema em um texto básico se alcança pela cuidadosa
análise do mesmo, o que auxiliaria a desenvolver a capacidade analítica (BORDENAVE;
PEREIRA, 2015). O autor desta dissertação concorda plenamente com esta citação de C, pois,
em sua experiência pessoal com o texto, nos dois últimos anos, percebeu claramente que suas
ideias sobre este se aprimoraram a partir de releituras. Obviamente, a reelaboração, reanálise,
74
destas ideias, também se deve ao estudo de outros textos e assuntos correlatos; porém, não se
pode negar a grande utilidade da releitura/análise do texto nesta cooperação.
O questionário avaliativo também é parte integrante desta pesquisa, embora não sejam
possíveis conclusões mais abrangentes, dado o pequeno número de respostas, como
ressaltado. Até certo ponto, já se tentou relatar algumas impressões obtidas sobre a reação e as
respostas (de participantes e não participantes) com as atividades propostas, tanto na oficina
como após.
Colocamos certos arquivos em anexo, ao invés de explicitá-los neste texto, pois são
um tanto longos. Disponibilizar o link para o formulário avaliativo, em branco, confere certa
fidelidade ao que se fez. Assim, o leitor tem acesso a conteúdo que ainda está na internet, caso
o aplicativo responsável esteja ainda online. Havendo disponibilidade ao livro-texto de
Feynman, o estudante ou professor que queira ler/estudar e contribuir com esta proposta,
poderia até enviar o formulário – o que poderia ser útil, p. ex., numa hipotética
complementação, melhoria, deste trabalho.
Finalizando este item, façamos duas considerações: primeiramente, poderia ter sido
útil incluir um campo para a idade do indivíduo no formulário, o que pode ser pertinente em
pesquisa educacional. Em segundo lugar, a solicitação de período aproximado (para o curso)
ocorre, pois, recorrentemente alunos de Física e engenharias se atrasam em algumas matérias,
terminando por cursar disciplinas de vários períodos no mesmo semestre letivo. Ao menos,
esta é a impressão do autor deste documento, quando aluno de graduação.
3.4 Principais dificuldades encontradas neste trabalho
Foram apresentadas, nesta dissertação, certas dificuldades em todo o processo deste
trabalho. Façamos, então, uma análise pouco mais detalhada destas, a fim de se captar como
foram desfavoráveis, o que se poderia fazer para evitá-las etc.
Em relação à disponibilidade de tempo dos participantes, já se enfatizou praticamente
tudo: a agenda universitária acelerada, o iminente período de provas finais, os compromissos
de trabalho etc. Estas desvantagens são claras. Imagine-se, em comparação, se o estudo
dirigido é aplicado em um grupo sem iminentes atividades acadêmicas e compromissos de
trabalho, com folga em suas agendas etc. A possibilidade de se obter respostas/resoluções das
questões elaboradas – assim como de formulários – seria maior.
No que concerne à nossa tentativa de aplicação, provavelmente nada (ou quase nada)
poderia ter sido feito para evitar os problemas do parágrafo anterior. Pois desde fins de 2014,
75
o autor desta dissertação trabalhava e estudava a fim de produzir algum material relacionado
ao texto de Feynman – com a ajuda de seu orientador. Mas sendo humano e falível, a primeira
proposta ficou difícil para os possíveis alunos, além de um tanto longa; esta não foi
aplicada/testada e logo percebemos sua inadequação. O processo precisou quase que ser
reiniciado; além disso, o autor deste trabalho já havia se deparado com os erros do texto em
língua portuguesa, tendo sido necessária a preparação de errata. A elaboração desta foi meio
cansativa, devido ao cuidado, atenção especial, para não confundir a simbologia que utiliza a
“linha” (S´, ρ´ etc.) com a que não o faz (S, ρ etc.). E ainda julgamos útil fazer uma
comparação dos erros no texto em português com algum original em língua inglesa; a versão
em inglês optada foi uma mais antiga, de 1964, por ser talvez ainda mais usada e difundida.
Assim, o material relacionado ao estudo dirigido, possivelmente adequado para
aplicação/teste, apenas ficou pronto no final de abril, início de maio de 2015. Mas as
expectativas iniciais eram de que assim estivesse em fins de janeiro, início de fevereiro
daquele ano; desse modo, nada pôde ser feito para contornar os problemas citados.
Outro fator agravante foi a produção das ‘Considerações ao estudante’. Não que a
proposta deste documento seja ruim, mas porque precisa de tempo considerável para se
elaborar. Enfim, a fim de que um professor evite as dificuldades mencionadas no início deste
item, a sugestão é de que se aplique o estudo logo no início do semestre ou ano letivo. E a fim
de se evitar a indisposição de participantes em responder o formulário avaliativo na internet,
pode ser válido aplicá-lo impresso na oficina (durante um primeiro encontro ou posterior).
A voluntariedade da nossa aplicação experimental foi outro empecilho, que dispensa
comentários sobre seu caráter desfavorável. Em uma hipotética e futura oficina, a sugestão,
então, é que a atividade seja pontuada. Claramente, aqui importam alguns fatores relevantes,
como a disciplina em que se deve encaixá-la. Cremos que o mais adequado seria alguma que
aborda conteúdos da TRE ou ao menos os fundamentos do Eletromagnetismo na forma
integral. Obviamente, se deve atentar para todos os pré-requisitos, preenchendo-os antes da
aplicação.
O relativamente pequeno quorum, em nosso encontro, também foi desfavorável, pois
um número maior de estudantes aumentaria a expectativa de formulários entregues (e de
respostas/resoluções das questões sugeridas). Por outro lado, um maior quorum também
exigiria um tempo mais longo de discussão e resolução de dúvidas – após a leitura – a respeito
do texto e seu tema. Desse ponto de vista, isto seria desfavorável em nossa aplicação – dada a
escassez de tempo enfrentada. Em um hipotético encontro, sugeriríamos que o professor
tentasse adequar o tempo disponível para diálogo de acordo com a quantidade média de
76
participantes esperada – caso seja possível estimá-la. É um pouco difícil especular um bom
número de alunos para aplicação e avaliação da proposta. Caso se consiga a resolução das
questões em sala, acreditamos que algo em torno de 12 a 15 alunos estaria razoavelmente
bom. Assim sendo, seria também pertinente uma solução para que todos (ou quase todos)
respondessem o formulário avaliativo.
Opções para contornar o problema de baixo quorum, em nosso caso, foram realmente
escassas. Primeiramente, ressalte-se o pequeno número de estudantes atualmente presentes em
cursos de Física. Referências a este respeito são dispensáveis, pois o fato é facilmente notável
na pequena quantidade de formandos nestes cursos ou quando se compara esta a certos cursos,
com número bem maior de estudantes. Até a presente data, o número de alunos em cursos de
Física é relativamente pequeno em grande parte das universidades/faculdades brasileiras
(comparado aos formandos e graduandos de determinados cursos). Em segundo lugar, para
atrair mais estudantes de cursos afins, possivelmente seria necessário um tempo maior de
divulgação e uma propaganda mais vigorosa da oficina. Ora, no relativamente curto período
(da reunião com o coordenador até o encontro) fez-se praticamente tudo para evitar o baixo
comparecimento – inclusive o sorteio de livros. O Professor Flávio Resende (Coordenador)
enviou e-mails com o banner a praticamente todos os alunos da Física que preenchiam os
requisitos prévios; este também foi exposto no Instituto de Ciências Exatas e Informática
(ICEI), a fim de atrair outros estudantes. Somando-se o caráter voluntário da proposta, cremos
que seria ingênuo esperar um número maior de participantes, digamos, de 12 a 15 alunos. De
certo modo, houve sorte com sete estudantes – o que poderia ter sido menor.
A fim de se evitar o baixo quorum, em futura aplicação, poder-se-ia pontuar a
atividade. Porém, este problema também pode ocorrer pelo pequeno número de alunos em
cursos de Física; assim, se determinada disciplina tem poucos matriculados, uma solução
poderia consistir na junção de disciplinas distintas, desde que se atente para os pré-saberes.
Como exemplo, alunos de disciplina que abarca assuntos da TRE se juntariam aos do
Eletromagnetismo.
Mas o problema mais sério, enfrentado por nós, foi o tempo faltante para a tentativa de
resolução das questões do material de estudo, o que prejudicou sua aplicação experimental –
não sendo possível a análise das respostas deste (e as possíveis conclusões, ainda que parciais,
sobre estas). A seriedade do problema se evidencia pela pergunta (no formulário) a fim de
avaliá-lo, isto é, de que ideias, propostas etc., fossem colocadas na intenção de evitá-lo.
Tentou-se contatar os participantes a fim de combinar um segundo encontro. Com
efeito, ao sugeri-los informalmente o novo encontro, no fim da oficina, muitos se
77
manifestaram favoravelmente. Uma destas tentativas fez-se via Facebook®, enviando
mensagens privadas com o objetivo de marcar dia e horário – conveniente para todos ou quase
todos. Mas apenas uma aluna enviou resposta, informando sua disposição para um novo
encontro, na intenção de discutir a intrigante questão relacionada ao Eletromagnetismo.
Também, dois estudantes se manifestaram, ao orientador deste trabalho, favoráveis à
continuação. Porém, ninguém enviou confirmação, disponibilidade de horário etc., nem via email ou rede social, apesar de uma pequena insistência. Isto ocorreu, provavelmente, devido à
escassa disponibilidade de tempo dos alunos (seus compromissos acadêmicos, de trabalho, e a
agenda já apertada para muitos – naquele momento). Vimo-nos, então, obrigados apenas a
solicitar-lhes que tentassem responder/resolver as questões, acompanhados do texto, e que
respondessem ao formulário. Cremos que não havia nada mais a se fazer na tentativa de
continuar a oficina. Além disso, o prazo para a produção desta dissertação se abreviava; se
houvesse o novo encontro (ou outra aplicação experimental) no segundo semestre de 2015,
não haveria tempo para escrevê-la. Isto consistiu em uma dificuldade inevitável.
3.5 Avaliação de respostas do formulário avaliativo e algumas sugestões para o
aprimoramento da oficina
Façamos uma avaliação das respostas à terceira pergunta do formulário, que podem
indicar possíveis soluções para o problema do tempo durante a oficina (e talvez para outros
problemas) e/ou sugestões para sua melhoria. A resposta de A, participante, é um pouco
confusa; este aparenta sugerir, no início, um segundo dia de encontro, desde que os alunos
resolvam as questões previamente. Acreditamos que seria uma ótima opção para contornar o
problema em nossa aplicação, se pudéssemos fazê-lo na segunda metade de 2015. Também
cremos que a continuação da oficina teria sido ótima para progredir no debate de aspectos
importantes do texto, apenas iniciado na aplicação experimental. Além disso, sabemos que os
estudantes não fariam todas as questões em casa, mas tentariam fazer o que conseguissem.
Pois não são poucas as questões propostas; algumas exigiriam, possivelmente, uma não
pequena capacidade crítica, de análise, abstração, raciocínio – além do fato de que, muitas
vezes, é completamente natural precisar recordar-se de algum conceito, denominação, lei etc.
(ainda que se tenha feito um bom curso teórico).
Então, podemos sugerir que uma boa alternativa de continuação (para nosso caso ou
outro parecido) seria solicitar a releitura cuidadosa do texto em casa, seguida da tentativa de
resolução das questões – consultando-se o texto sempre quando preciso. Daí, o professor
78
continuaria a discussão neste segundo encontro, solicitando aos participantes que tentassem
progredir na resolução, fornecendo-lhes subsídios objetivos. Uma espécie de correção – ou
pré-correção – poderia ser feita. Assim, o professor atuaria apontando e concatenando alguns
elementos, ideias etc., para que os próprios alunos elaborassem respostas, corrigissem e/ou
resolvessem questões. Se a continuação só puder ser feita em semestre/período letivo
posterior, seria proveitoso o professor insistir na releitura atenciosa e dar boa ênfase no
prosseguimento da discussão, inclusive na recordação de alguns conhecimentos prévios.
As sugestões acima nos remetem à orientação de Bordenave e Pereira (2015, p. 266),
de que o aluno deve esforçar-se bastante no estudo de texto, no uso de sua própria criatividade
interpretativa e de extrapolação de conteúdo. Pois solicitar-se releitura, progressão, avanços
na resolução etc., mais a ideia de que o educador apenas indique e recorde conceitos, leis (sem
resolver as questões, mas auxiliando objetivamente na obtenção de resultados), põe em
destaque o trabalho do aluno. Cabe aqui também a valiosa orientação de que o professor deve
“resolver ele mesmo as questões elaboradas [...]” (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 270),
o que seria uma parte da análise do estudo pelo docente, antes de aplicá-lo, como defendem
estes autores. Possivelmente, apenas assim uma eficiente “pré-correção” será feita. O autor
deste documento resolveu/respondeu por duas vezes, antes da oficina, todas as questões do
material, pois os participantes poderiam requerer o seguimento da oficina em algum dos dias
seguintes, a fim de auxiliá-los na resolução e formulação de respostas.
A “segunda parte” da resposta de A para a terceira pergunta, isto é, “[...] caso não seja
possível a realização de um segundo dia de oficina, ao invés de tratar a parte das
transformações de Lorentz, abordar diretamente a discussão que se sugere sobre a relação do
electromagnetismo e a TRE”, sugere que a discussão de texto se faça diretamente, sem o
enfoque do conteúdo referente à TRE. Ora, isto não foi possível em nossa experiência, pois
certos alunos não possuíam este conhecimento – como confirmado ao questioná-los logo no
início do encontro. E o participante se confunde, pois equações de transformação de Lorentz
(para coordenadas espaciais e instantes temporais de um evento qualquer) não foram
abordadas na oficina, talvez nem citadas; este aparenta se referir às relações entre intervalos
temporais e espaciais, nos dois referenciais inerciais. Todavia, se os alunos contemplassem
todos os pré-requisitos, a ideia inicial seria ir diretamente para o debate, após leitura do texto
e sua errata.
A resposta de B para a terceira pergunta também é interessante. Este propõe
disponibilizar previamente o material para a oficina, possivelmente referindo-se ao texto de
Feynman. Isto pode ser útil, p. ex., se o professor o disponibiliza solicitando sua cuidadosa
79
leitura em casa; e antecipa que uma discussão e estudo importantes serão feitos em sala.
Desse modo, o educador pode até estimular uma leitura mais atenta. Também, pode-se já
advertir os alunos sobre os erros, pedindo-lhes que tentem percebê-los e que destaquem
trechos suspeitos. Assim, posteriormente seria entregue a errata para conferência e análise, o
que pode se fazer junto à releitura ativa do texto – atentando-se mais nos trechos incorretos,
tentando melhor captar seus significados e as intenções do autor. Outra opção é
disponibilizar-se o texto (livro) juntamente à errata; neste caso, o professor poderia sugerir a
opção de leitura/estudo acima ou que se fizesse a leitura textual concomitantemente à da
errata. Em qualquer caso, é ótimo solicitar a leitura atenciosa, cuidadosa, a ser feita quantas
vezes necessárias – obviamente, dentro do tempo disponível. Chamar a atenção para estas
considerações pode ser valioso principalmente para os mais interessados.
Os últimos argumentos são consistentes com o proposto por Bordenave e Pereira: que
a compreensão do tema de texto básico se alcança pela cuidadosa análise do mesmo; que no
estudo dirigido o estudante deve trabalhar muito neste texto (BORDENAVE; PEREIRA,
2015, p. 266). Ora, leitura e releituras cuidadosas, atenciosas, naturalmente abarcam um
cuidado analítico, assim como a ideia de se perceber (e conferir) erros em certa versão do
texto. Isto também implica uma maior participação e esforço dos alunos. Em todo o processo,
as questões referentes à pontuação, ao tempo, número de estudantes etc., devem ser bem
analisadas pelo educador.
Seguindo-se o acima exposto, seria feito um diálogo, ressaltando-se algumas noções
importantes do texto – o que B aparenta chamar de debate. O “tira dúvidas” destacado por
este estaria já contido nesta discussão, debate. Enfim, as questões seriam passadas em diante,
ficando quase que a título experimental, pois o retorno que delas se obteve – através de
formulários avaliativos – é escasso. Estas colocações, assim como outras apresentadas, são
humildes sugestões para o melhoramento da aplicação. A resposta de B para a terceira
pergunta (segundo crê o autor deste documento) ressalta bem o esforço que se faz necessário
da parte do estudante.
De certa forma, tentamos interligar certas respostas dos formulários a algumas ideias
(se possível construindo relações com nossos referenciais teóricos), na intenção de sugerir
melhorias tanto para experiência similar à nossa quanto para outras. Vejamos a resposta de D
(que não participou na oficina) à terceira pergunta. Esta guarda certa semelhança com a de B,
ao sugerir que “[...] para maior proveito da matéria, o texto deveria ser dado numa semana e a
discussão deveria ser feita noutra.”. A semelhança está em se sugerir a disponibilização prévia
do material ao aluno. Enfim, ambos parecem recomendar a leitura de texto previamente à
80
oficina. Dessa perspectiva, a resposta de D não é inovadora em relação às outras já
apresentadas; sua ideia de que a discussão ocorra em semana posterior concorda com B,
quando este propõe que “[...] a palestra poderia ser direcionada a um debate ou tira dúvidas.”,
após a disponibilização do texto.
Contudo, disponibilizar o texto de Feynman antecipadamente exige que todos os prérequisitos sejam respeitados. Afinal, este aborda conhecimentos anteriores muito importantes
em seu entendimento. Solicitar sua leitura sem respeitar estes conhecimentos nos remete à
Bordenave e Pereira (2015), que orientam que o texto em questão deve ser básico e
interessante. Ora, se o leitor não contempla os requisitos prévios, o texto não pode ser
considerado básico – muito menos interessante. A leitura com requisitos prévios faltantes é
capaz de desmotivar o leitor, pois as características textuais exigidas (básico e interessante)
não mais se manifestam. Daí, a curiosidade do aluno possivelmente não se desperta, o que
contradiz a primeira função positiva, para um estudo dirigido, enunciada por Bordenave e
Pereira (2015, p. 266): a de ser capaz de motivar os estudantes, pois o uso de texto básico
interessante lhes desperta a curiosidade. Também, a leitura com pré-requisitos faltantes estaria
na contramão do que é chamada de leitura ativa por estes autores.
A resposta de C (não participante do encontro), também à terceira pergunta, sugere a
realização duma mesa-redonda. Aurélio Buarque de Holanda Ferreira define este termo como
a “Reunião de pessoas entendidas ou abalizadas que discutem ou deliberam, em pé de
igualdade, sobre determinado assunto.” (FERREIRA, 1999, p. 1322). De forma parecida,
Houaiss (2009) define a palavra como “discussão ou conferência em que todos aqueles que
dela participam estão em pé de igualdade”. Mas cremos que esta ideia não tem validade em
nossa proposta; em rápidas pesquisas (em sites e artigos na internet), constata-se que a
denominada mesa-redonda aproxima-se mais de uma espécie de reunião de especialistas em
certo tema. Assim, não seria adequado estender a ideia a um grupo formado por um professor
e sua turma. Relativamente à sugestão de “Outras oficinas ligadas ao tema.”, mencionada
ainda por C na terceira pergunta, acreditamos que se enquadra em recomendações já citadas
por outros que responderam o formulário. Aliás, esta sugestão levantou a questão do que vem
a ser uma oficina, ou seja, se existe definição, descrição, para o termo.
Neste trabalho, o termo oficina é utilizado simplesmente como uma espécie de
sinônimo de reunião com alunos, para aplicar experimentalmente um material dirigido ao
estudo. Bordenave e Pereira (2015) definem como laboratório ou oficina (workshop) uma
reunião de pelo menos doze indivíduos sob a orientação de especialistas, de natureza bem
prática, aplicada, cujos objetivos são, com efeito, muito específicos – e definidos a partir do
81
que as pessoas aprenderão a melhor executar na oficina. A lista de pessoal necessário na
preparação de um bom laboratório (oficina) evidencia a complexidade da técnica; de fato, é
preciso ao menos cinco espécies de pessoas – inclusive especialistas consultores. Os
participantes devem se dividir em equipes, cada uma com local, materiais adequados e um
instrutor-assessor acompanhante. A proposta inclui também palestras de especialistas
consultores, discussão em pequenos grupos e em plenário, exercícios práticos etc.
(BORDENAVE; PEREIRA, 2015, pp. 200-201). Mas esta técnica é demasiadamente
complexa para nossa proposta e desnecessária para o material de estudo aqui sugerido, uma
vez que envolve pessoas e atividades totalmente dispensáveis, além de uma natureza
eminentemente prática e com finalidades bem específicas – algo inadequado para o estudo do
texto em questão. Portanto, o termo oficina entra aqui apenas como mera denominação
“técnica”, referindo-se ao encontro com os alunos universitários, para o qual se tentou propor
sugestões de melhorias.
3.6 Algumas modificações no material e suas possíveis potencialidades
Consideremos, adiante, algumas alterações produzidas no material de aplicação
experimental, isto é, nas ‘Considerações ao estudante’, nas questões propostas e errata.
Levantemos, também, algumas potenciais funções positivas do material.
3.6.1 Considerações ao estudante
Certas modificações, feitas no primeiro material, dizem respeito às ‘Considerações ao
estudante’, um documento que consistia numa espécie de introdução para o aluno – uma
apresentação de nossa proposta de estudo do texto de Feynman.
Acreditamos que alguns leitores poderiam sentir-se repelidos pelo documento, pois o
texto introdutório era de tamanho significativo; daí se tentou encurtá-lo. A depender do tempo
disponível, é até possível ler a nova introdução no início de uma oficina. Pode-se especular
que a não leitura de um texto introdutório, em nossa aplicação, foi desfavorável, pois estaria
em desacordo com a orientação de Bordenave e Pereira (2015), de que na primeira fase de
estudo deve se solicitar do aluno uma visão global do texto (através de normas dadas pelo
professor). Assim, títulos e subtítulos seriam observados, captando-se a estrutura do trabalho a
ser feito. Como o texto de Feynman tem apenas um título, esta última ideia não deveria valer
para este. Mas uma introdução ao leitor pode fornecer-lhe uma “visão” mais geral, global, do
82
texto em estudo e da proposta; ainda, pode ser capaz de gerar alguma perspectiva sobre esta.
Enfim, destaque-se que as alterações feitas nas ‘Considerações ao estudante’ dizem respeito,
principalmente, à tentativa de encurtar este documento.
3.6.2 Questões propostas
Não se fez nenhuma alteração na primeira questão do material de aplicação
experimental. Ressaltemos primeiramente uma modificação realizada na segunda e na quinta
questões. Com efeito, tentamos descrever as mudanças na ordem numérica das questões, mas
certa alteração produzida nestas duas é de igual natureza. Logo, é mais prático relatá-las
juntamente.
Com razão, Feynman não utiliza nenhum sistema de coordenadas vetoriais, ainda que
vetores sejam representados em figuras, em negrito no corpo do texto, e as equações vetoriais
de força magnética (para o referencial inercial de repouso do fio) e relativística de movimento
sejam escritas, nos textos em português e em inglês americano aqui estudados. A segunda
questão solicitava a obtenção de expressões para o valor do campo magnético B e para o vetor
força magnética F atuante na partícula elétrica, no referencial inercial S do fio. A quinta
solicitava expressões para o valor do campo E´ e para o vetor F´ atuantes nesta partícula, no
referencial desta.
Mas o autor desta dissertação percebeu que obter resultados vetoriais destas forças
quase não possui utilidade, apenas complicando as questões. Pois é fácil captar, por regras
mnemônicas da mão direita, que a força magnética em S somente pode estar em direção
contida no plano da página da figura 13–10 do texto, perpendicular ao eixo longitudinal do fio
e apontando para este. O mesmo ocorre com a força elétrica na partícula negativa, em S´, a
partir do raciocínio de que o fio está positivamente carregado com densidade de carga
uniforme neste referencial. Podemos concatenar estas alterações à orientação de Bordenave e
Pereira (2015, p. 267), de que o professor formule “[...] questões claras e simples para serem
respondidas seja com base no texto, seja interpretando a ideia ou intenção do autor,
associando ideias, exercitando o raciocínio [...]”. Ora, solicitar resultados vetoriais não auxilia
em nada para a compreensão do tema que, até certo ponto, consiste na compatibilidade e
relacionamento entre Eletromagnetismo e TRE – além de alguns aspectos relevantes e
integradores destas teorias. Assim, a complicação vetorial discorda de Bordenave e Pereira
(2015), no que diz respeito à simplicidade de questões.
83
Poder-se-ia elaborar desnecessariamente algum sistema vetorial, o que não estimula a
interpretação de ideia ou intenção de Feynman. Isto poderia prejudicar um pouco a aplicação
do estudo, no caso em que os alunos tentem resolver as questões, gastando tempo
desnecessário naquelas duas. Portanto, podemos enxergar possíveis potencialidades nestas
modificações. Porém, quem muito valoriza estes entes matemáticos pode discordar deste
argumento, crendo, por exemplo, que auxiliam o aluno a lidar com sistemas vetoriais. Mas
este tipo de auxílio não toma parte em nossos objetivos.
Como Bordenave e Pereira (2015) destacam a clareza de questões, introduzimos nos
enunciados da segunda e quinta o fato de que o fio deve ser considerado infinito para os
cálculos, pois Feynman aparenta não explicitar isto no texto – pois pode tê-lo feito em seções
anteriores. Os desenhos adaptados, também, podem sugerir que o raio e diâmetro do fio reto
seriam significativos em relação ao seu “comprimento”; poder-se-ia pensar que as
considerações de simetria não seriam aplicáveis. Logo, resolveu-se esclarecer, na segunda
questão (o que também é válido para a quinta), que se mostra apenas uma seção do condutor –
e que este deve ter características tais para ser considerado infinito.
Julgou-se útil uma pequena alteração no enunciado da terceira questão, incluindo-se
que a velocidade média de arraste (dos elétrons de condução) também é denominada
velocidade de migração em outras obras; p. ex., em Serway e Jewett (2008, p. 770). Também
se incluiu o termo “de repouso”, ao citar o referencial S do fio de cobre, a fim de ressaltar que
a velocidade de arraste destas partículas é válida neste referencial inercial.
Alterou-se a pergunta ao final da redação da quarta questão, ainda no interesse da
clareza, enfatizando-se o questionamento sobre a existência de carga líquida não nula. No
primeiro material questionava-se apenas sobre carga líquida; logo, o aluno poderia responder
“sim”, tendo em mente uma carga líquida nula ou não nula – e a resposta não ficaria
explícita.
De fato, há carga interna líquida (positiva) no fio, do ponto de vista de S´. Mas no
texto, isto pode aparentar ser paradoxal com a lei de conservação da carga elétrica. Com
efeito, Feynman apresenta ρ´ diferente de zero após ótimas considerações sobre a lei da
invariância/conservação da carga, numa experiência de pensamento, idealizada e aproximada
(o que se nota no fato de que os intervalos de tempo devem ser bem curtos, em seus
respectivos referenciais). Também, antes da expressão para ρ´, lê-se no texto em português:
“[...] um fio neutro, com uma corrente passando, deve parecer carregado quando colocado
em movimento.” (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–8, destaque nosso).
Analogamente, no original em idioma inglês, não aparenta estar claro que o fio, de fato, se
84
encontra carregado em S´ (ao menos para o autor desta dissertação), o que pode trazer a
impressão de que este somente parece como carregado em S´ – mas, na verdade, não está.
Digamos, enfim, que o trecho pode suscitar dúvidas a este respeito.
As considerações do parágrafo acima provêm de dúvidas que surgiram no autor deste
documento, ao produzir as questões. A sutileza do experimento, a ótima exemplificação do
físico sobre a conservação da carga líquida, mais o trecho citado, pode levar-nos à conjectura
de que ρ´ > 0 é apenas um resultado teórico para mostrar a relatividade dos campos elétrico e
magnético e a compatibilidade da TRE com o Eletromagnetismo.
Tudo isto justifica a alteração na pergunta da quarta questão, não só para torná-la
clara, mas também para tentar incrementar seu potencial em levantar dúvidas semelhantes no
leitor, levando-o a debater com o professor ou até mesmo a conclusões corretas. Mais adiante,
argumenta-se a fim de mostrar que não existe incoerência entre o enfoque do texto e a lei de
conservação da carga. De qualquer modo, o assunto deveria ser posto em discussão pelo
professor.
Fez-se uma pequena alteração no enunciado do item (b) da quinta questão,
destacando-se que as equações eletromagnéticas, mostradas em questões, não necessitaram de
correção relativística para serem aplicadas no texto. Esta nova redação tem potencial em
recordar o fato de que equações atribuídas à Maxwell preservam iguais formas matemáticas
nos dois referenciais inerciais (ou em qualquer outro).
Na sexta questão, incluiu-se a palavra ‘inercial’ na terceira linha do enunciado, no
interesse da clareza. Também nesta intenção, julgamos pertinente incluir o termo
‘correspondentes’ (para os intervalos temporais) na redação da sétima, pois a igualdade na
variação de momentum relativístico transverso (em ambos os referenciais inerciais) ocorre
apenas nestes intervalos – tomados entre os mesmos dois eventos. Assim, é possível que a
modificação auxilie a perceber este aspecto, até porque Feynman utiliza o referido termo,
além de poder contribuir na recordação de que Δt = γ Δt´ vale somente para estes intervalos
de tempo.
No item (a) da oitava questão, julgou-se relevante alterar o trecho “[...] podem se
relacionar matematicamente? Para o pequeno valor [...]” por “[...] se relacionam
matematicamente, de acordo com a previsão teórica? Na prática, para o pequeno módulo
[...]”. Até certo ponto, esta mudança foi feita por causa do próprio texto de Feynman, que
indica diferença entre o previsto teoricamente e o que se pode considerar, na prática, nas
velocidades relativas muito baixas imaginadas pelo cientista.
85
Com efeito, Feynman (2008, p. 13–10) afirma que ao se comparar o módulo de F´ com
o de F, observa-se que as forças são quase idênticas nos dois sistemas inerciais; na realidade,
temos F´ = γF. Isto destaca a previsão teórica, que é válida, pois em uma experiência real em
velocidades tão medíocres (como da ordem de 10
–4
m.s –1) as previsões relativísticas devem
ser esperadas – mesmo que indiretamente e levando-se em conta efeitos que possam
influenciar os resultados. Todavia, para vários efeitos práticos, as forças se igualam nas muito
baixas velocidades do texto; a diferença entre F e F´ é tão ínfima que pode ser desprezada
deste ponto de vista. De fato, v2/c2 é da ordem de 10 –25 para a velocidade que se calcula na
terceira questão; em uma simples calculadora científica, γ iguala um. Enfim, a modificação
pode indicar os dois enfoques em questão (teórico e prático), tornando o item (a) mais de
acordo com a ideia de Bordenave e Pereira (2015): em se preparar questão clara a ser
resolvida a partir do texto, da interpretação e associação das ideias, da intenção do autor etc.
Ainda na oitava questão, foram substituídos os termos ‘valores’ e ‘valor’ por
‘módulos’ e ‘módulo’, o que não é muito importante para o entendimento dos enunciados,
mas pode ser válido a fim de que estes fiquem mais coerentes com as mudanças na segunda e
quinta questões (sobre a natureza vetorial das forças). Também, alterou-se bastante a redação
do item (c), mantendo o cerne da pergunta. O novo enunciado consiste em:
O obtido em (a) e (b) mostra a previsão relativística, que é válida, entre as forças do
texto; ambas, cada qual atuando em um referencial inercial, se compatibilizam com
o Eletromagnetismo Clássico e a Teoria da Relatividade Especial. Qual efeito
relativístico pode ser considerado na explicação da diferença prevista entre estas
forças? Tente descrever, interpretar, a correlação deste efeito com as forças.
Esta alteração ocorre, pois, cremos que os antigos trechos “mesmo diferentes” e “[...]
da diferença entre estas forças?” não concordavam com o modificado no item (a), podendo
estar dissonantes com os argumentos a respeito da diferença teórica e igualdade prática das
forças em baixas velocidades. A nova redação aponta ao leitor que a diferença é uma previsão
válida que, de alguma maneira, mesmo indireta, se confirmaria.
3.6.3 Errata
Outras possíveis potencialidades do material aqui elaborado dizem respeito à errata. A
significância desta, para o estudo em questão – caso este se faça com alguma das edições aqui
utilizadas –, está no auxílio que é capaz de prestar ao leitor na compreensão textual, para a
resolução de questões, interpretação de intenções e ideias de Feynman etc. Em suma, a errata
86
tem potencial em contribuir para que se trabalhe bastante no texto, concordando, portanto,
com a recomendação de Bordenave e Pereira (2015).
As alterações neste documento consistem no seguinte: primeiramente, se incluiu um
oitavo erro presente numa figura do texto – nas duas versões adotadas –, encontrado após a
aplicação da oficina. Em segundo lugar, julgamos relevante fazer uma alteração no texto
inicial da errata (logo após a ‘Introdução ao estudante’), ressaltando que os três volumes
originais – em inglês – da coleção de Feynman, que contém o texto do estudo, foram lançados
pelo California Institute of Technology (Caltech) e pelo ‘The Feynman Lectures Website’ em
um endereço eletrônico, mostrado em nota de rodapé da ‘Introdução ao estudante’. Cremos
que mencionar o conteúdo eletrônico é pertinente para o mundo globalizado, em que a
internet tem importância indiscutível. Afinal, este pode ser muito bem aproveitado em leitura
do texto enfocado ou de vários outros importantes capítulos e textos da obra. Posteriormente,
serão feitas mais considerações sobre a errata.
3.7 Comentários sobre a elaboração do material: algumas justificativas e descrições
A seguir, façamos comentários a respeito da produção das seções do material,
principalmente no intuito de justificá-las e descrevê-las.
3.7.1 A Introdução ao estudante
Assim como as ‘Considerações ao estudante’, nas quais fizemos algumas
modificações, a ‘Introdução ao estudante’ – que substituiu aquela – é igualmente uma
apresentação de nosso material de estudo do texto de Feynman, uma espécie de introdução ao
leitor. A inspiração para tentar encurtar o primeiro documento, que originou o segundo, veio
de Bordenave e Pereira (2015) – que exemplificam estudos dirigidos e diversas atividades
didáticas mais concisas.
Produziu-se o novo documento informando a localização do texto na obra, breves
dados biográficos do físico, uma sucinta e informativa descrição a respeito do texto, a
existência de erros (e a capacidade destes em prejudicar o leitor) e as atividades que cremos
serem as mais importantes: leitura ativa e questões sugeridas. Uma introdução ao leitor pode
lhe fornecer alguma perspectiva mais geral do texto, global, numa informativa e concisa
descrição de importantes elementos textuais. Esta nova descrição textual, na ‘Introdução ao
estudante’, é quase cópia de parte do nosso banner. Também, o texto introdutório pode ser
87
capaz de gerar alguma visão sobre a proposta – ao informar a respeito das questões sugeridas,
errata etc.
Finalmente, ressalte-se que a nova introdução ficou somente um pouco mais curta que
a primeira; o que possivelmente ocorre devido à prolixidade do autor desta dissertação que, ao
mesmo tempo em que tentou minimizar este fator, procurou garantir um material que informa
elementos pertinentes para o estudo.
3.7.2 Errata
Com efeito, o texto de Feynman (nas edições estudadas) possui erros que podem
confundir e prejudicar o leitor. Pois não são erros tipográficos que mal atrapalham a leitura,
como a ausência (e/ou grafia incorreta) de palavras pouco importantes. Feynman aborda dois
referenciais inerciais, e estes equívocos – em boa parte – trocam um pelo outro, invertendo
seus atributos. Por exemplo, S é trocado por S´ (e vice-versa) e a simbologia referente à
densidade de carga é confundida.
Isto justifica a produção da errata e sua relevância para o estudo, caso este se dê com
alguma das versões aqui utilizadas. Na verdade, não se fez errata para estas duas edições, mas
apenas para a brasileira; porém, os erros do texto, encontrados nesta, foram comparados com
um original em inglês de 1964 – uma antiga versão que ainda pode ser mais encontrada e
utilizada do que outras mais recentes. A comparação consistiu em verificar se os equívocos
constavam ou não no original; nem todos estão presentes neste. Corrigimos os erros
procurando detalhá-los, isto é, explicando porque estão incorretos, fornecendo as devidas
correções e apontando se estão ou não no original citado. Não se fez errata do texto em língua
inglesa, pois o tempo disponível para elaborar o material, aplicá-lo e redigir esta dissertação
esteve sempre abreviado. Contudo, breves recomendações para adaptar a errata, caso se utilize
o original citado, são passadas posteriormente.
Tanto em aplicação na qual o professor fizer uso deste original, quanto da edição
brasileira, o material eletrônico lançado pelo Caltech pode ser muito útil. Imagine-se o caso
em que os alunos não resolvem/respondem boa parte das questões em um hipotético encontro,
por falta de tempo e/ou por outros fatores; se os livros devem ser recolhidos, o educador pode
propor a continuação do estudo em casa. E se uma grande fração dos participantes não tem
acesso ao livro, mas lê em inglês, a ideia torna-se valiosa. Para os que não leem este idioma e
não possuem acesso ao livro em português, uma continuação em sala junto ao texto brasileiro
88
deve ser propiciada. Isto também justifica a alteração na errata – incluindo-se a menção ao
conteúdo eletrônico – e a ‘Introdução ao estudante’, na qual se cita o endereço deste.
3.7.3 Questões propostas
Em relação à primeira, formulou-se algo com a intenção de tentar despertar mais o
leitor para o que, conforme cremos, é o problema inicial do texto, a saber: “[...] no sistema S´
não pode haver nenhuma força magnética na partícula, porque sua velocidade é zero. Será
que, com isto, ela permanecerá parada? Veríamos coisas diferentes acontecendo nos dois
referenciais?” (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–7). Transformando as
indagações de Feynman em afirmações, obtemos possíveis respostas para esta questão inicial,
ou seja, a partícula ficaria estacionária em seu referencial inercial, comportando-se como
partícula livre, e o Princípio da Relatividade de Einstein seria violado. Esta questão concorda
muito bem com uma preciosa orientação de Bordenave e Pereira (2015): a de se formular
questões claras e simples para serem respondidas interpretando ideia, intenção, do autor,
associando ideias, exercitando o raciocínio e a imaginação etc. Assim, esta possui o potencial
em estimular o aluno na análise do problema em questão, na integração de certas ideias (ou de
distintas maneiras de expressá-las), no pensamento crítico etc.
Dessa forma, a primeira questão pode alavancar a percepção do problema inicial,
ajudar no julgamento da validade das indagações do cientista (e, portanto, do referido
problema) e contribuir no preparo da estrutura cognitiva – a fim de que outras ideias sejam
mais bem relembradas, reelaboradas. Estas considerações baseiam-se em certas funções
positivas, do estudo dirigido, descritas por Bordenave e Pereira (2015). Vale citar o retorno
positivo sobre a primeira questão, dada por D no questionário avaliativo: “Resolvi apenas a
primeira e concordo que foi importante na compreensão do texto.”.
A segunda questão é simples, do ponto de vista da aplicação da lei de Ampère da
magnetostática para obtenção dos módulos de campo e força magnéticos no referencial
inercial S do fio. Envolvendo certo cálculo, a situação abarca ótima simetria – num exercício
básico resolvido em vários cursos de engenharia e afins –, na qual há um campo estático (mas
não uniforme) circundando um fio cilíndrico bem longo conduzindo corrente constante. Os
produtos escalar e vetorial, nesta questão, são muito simples para obter módulos – e a
orientação de F obtém-se facilmente com alguma regra mnemônica da mão direita. Além
disso, a abordagem de Feynman vale somente em intervalos de tempo muito curtos; assim,
para a força e campo magnéticos atuantes na partícula elétrica, em S, é preciso preocupar-se
89
apenas com seus módulos e orientações instantâneas (iniciais). Analogamente, estes
argumentos valem para a quinta questão, em que se solicita módulos de força e campo
elétricos atuantes na partícula, em S´. As diferenças mais significativas são a orientação do
campo E´ e o fato de que a fonte deste campo interagente não é a corrente constante existente
em S´, mas a densidade de carga líquida uniforme e diferente de zero. Também, o sentido de
F´ é mais facilmente vislumbrado, mas igual ao de F.
Os apontamentos do parágrafo acima nos levam a crer que estas duas questões de
resolução matemática são simples, podendo contribuir, por exemplo, para exercitar o
raciocínio – como propõem Bordenave e Pereira (2015). A quinta questão pode ser
razoavelmente útil na associação, retomada, de ideias e conceitos, um fator importante
destacado por estes autores. Pois no cálculo de módulos de E´ e F´ (com termos iguais aos de
Feynman) se deve retomar o conceito de densidade de carga, substituindo-se a carga interna,
em S´, por ρ´AL´; além disso, a densidade líquida não nula ρ´ (de S´), a princípio, já teria sido
obtida na quarta questão – daí se pode obter expressão com termos iguais ao do texto.
Até aqui, as considerações sobre a quinta questão referem-se apenas ao item (a). O
objetivo é produzir nossas colocações na ordem das questões; entretanto, como as
modificações feitas na segunda questão também dizem respeito ao item (a) da quinta,
achamos útil considerá-las conjuntamente.
No item (b) da quarta pergunta do formulário, a resposta de B vem como retorno
positivo a respeito das questões (e possivelmente das já aqui abordadas):
As questões propostas foram interessantes, sim. Pude perceber que foram colocadas
questões em que se tinha de obter equaçoes do eletromagnetismo, questões de
destinadas a se fazer uma breve explicação sobre a relatividade e o fator de Lorentz
e questões de física mais simples. Elas ajudam a fixar as idéias desenvolvidas no
texto e a comprova - las. Porém, um material com as respostas seriam também
interessantes ao final da proposta (sic).
As colocações do estudante, que participou da oficina, nos remetem a proposições de
Bordenave e Pereira (2015), como a de que as questões sejam respondidas com base no texto,
interpretando ideias do autor etc. Cremos que a segunda e o item (a) da quinta são mais
facilmente resolvidos se o leitor analisa figuras, leis e equações, e algumas explanações do
texto. Ou seja, não basta o saber prévio das leis eletromagnéticas envolvidas e de certos
elementos de cálculo. O leitor comum possivelmente precisará do texto não apenas nestas
questões, mas também em outras.
90
Passemos à terceira questão. Esta tem o intuito de levar o leitor a perceber que, em
geral, os módulos de velocidade clássica de elétrons condutores são bem baixos em finos fios
ordinários do cotidiano (de cobre (Cu), por exemplo) –, se comparados às velocidades da
maioria dos objetos macroscópicos do dia-a-dia. Cremos que todos os dados e condições
necessárias para o cálculo se encontram na terceira, podendo-se considerar a questão clara e
simples.
Caso não obtenha expressão que estime esta velocidade, o leitor provavelmente
consultará o texto, onde se explicita que a corrente, em S, pode ser dada por ρ_vA. Pela
análise de texto e figuras, vê-se que v = v_ e se obtém uma equação para v_. O cálculo
envolve algum raciocínio, pois a densidade de átomos (igual à de elétrons livres) deve ser
convertida de cm3 para m3 e multiplicada pela carga por elétron – o módulo invariante da
carga elementar. Ou seja, acreditamos ser útil calcular ρ_ primeiramente; também, é preciso
cautela com as unidades, por exemplo, em relação ao diâmetro do fio. Por conseguinte, podese crer que a questão atende proposições de Bordenave e Pereira (2015), estando clara,
simples e passível de contribuir no exercício do raciocínio e na consulta ao texto.
A quarta questão tem a possibilidade de estimular a capacidade de análise. Pois, se a
carga líquida em um objeto eletricamente isolado se conserva, compreende-se que a densidade
desta pode variar quando há contração relativística do espaço – e que há uma relação geral
entre as densidades de repouso e relativa de carga elétrica. A capacidade analítica e de
raciocínio entraria na obtenção de equações entre densidades de carga para os elétrons livres e
para os átomos positivamente carregados (fixos na estrutura do condutor), pois cada relação
envolve os dois referenciais em questão.
O mais contundente, nas respostas de B, é sua crença de que as questões, em geral,
auxiliam a fixar ideias do texto e a comprová-las, isto é, ajudam a retomar ideias, intenções,
do físico, auxiliando na verificação teórica – o que cremos ser bem válido para a quarta
questão. Pois esta é capaz de mostrar matematicamente o aspecto da relatividade de campos
elétricos e magnéticos, a contração de Lorentz (aplicada no cômputo da densidade líquida de
carga em S´) e o fato de que o fio realmente surge carregado neste referencial inercial. Estas
respostas de questionário avaliativo são aqui analisadas mais como opiniões pessoais, não
conclusões gerais; o retorno dos questionários é insuficiente para tais conclusões. Mesmo
assim, a resposta do aluno tem sua relevância.
Discutimos, anteriormente, a modificação feita na pergunta da quarta questão – o
questionamento sobre a carga líquida não nula no corpo do fio, em S´ – e as possíveis
potencialidades desta. Um ótimo argumento que mostra que ρ´ > 0, em S´, não viola a
91
conservação da carga, é o fato de que o fio reto não é o sistema físico do texto, que também
deve incluir uma fonte de voltagem (e possivelmente outros elementos de circuito). E, no
sistema como um todo, eletricamente isolado, a carga líquida é invariante; sendo nula em S, o
será em S´. Isto não invalida a abordagem de Feynman, pois, se o fio (ou uma seção deste)
está positivamente carregado em S´, o restante do sistema (neste referencial) possui carga
líquida negativa e de igual módulo. Apresentamos neste terceiro capítulo, no item 3.2.3, uma
ideia que descreve este fenômeno.
As considerações anteriores indicam, até certo ponto, a significância da pergunta na
quarta questão, pergunta que pode se concatenar a uma função citada por Bordenave e Pereira
(2015): estimular o desenvolvimento da capacidade de observar e avaliar (consciência crítica),
ao se tentar despertar a captação de lacunas no texto e o julgamento da validade de suas
afirmações. Em suma, a pergunta é passível de estimular esta função, ao menos minimamente
e a depender do leitor. As lacunas contidas no texto diriam respeito, então, à dúvida que pode
surgir em relação à carga no fio em S´ e à lei de conservação, que não pode ser e não é
violada na experiência do texto. Pode ser valioso que o educador (após a leitura ativa e antes
de entregar as questões) suscite a reflexão sobre estas lacunas, sem explicitar a resposta da
pergunta da quarta questão – a fim de estimular o estudante a pensar. Pode-se interligar esta
reflexão à orientação de Bordenave e Pereira (2015, p. 267): elaborar questões a serem feitas a
partir da associação de ideias, exercício do raciocínio etc. Enfim, o professor atuaria no
auxílio à integração de alguns elementos.
Na redação do item (b) da quinta questão introduz-se o fato de que Feynman aplica
cada lei eletromagnética, envolvida no texto, em determinado referencial, sem corrigi-las
relativisticamente – o que pode ser válido para indicar, relembrar, que as equações de
Maxwell já têm formulação relativística, mantendo suas formas inalteradas em qualquer
referencial inercial. Também são ressaltadas as constantes μo e εo, presentes nas formas das
equações apresentadas por nós, enfatizando-se que estas constantes se correlacionam a outra
importante quantidade física. Destacar a permissividade elétrica e a permeabilidade
magnética, para o espaço livre, é uma tentativa de recordar o leitor da simples correlação
matemática entre estas e a constante c, uma correlação idêntica em qualquer sistema inercial.
A redação de introdução também confere certa clareza às perguntas seguintes, que
discorrem principalmente sobre a velocidade da luz no espaço livre, a quantidade implícita na
introdução do item. Esta invariante está explícita em grande parte das equações do texto, tanto
para grandezas de S quanto de S´, o que pode ser útil para mostrar teoricamente sua
invariância. Visualizamos c, também, em boa parte das equações que relacionam quantidades
92
eletromagnéticas e que contêm o fator γ – oriundo da aplicação da contração de Lorentz. Isto
destaca um pouco a união entre Eletromagnetismo e TRE, por meio de matemática simples.
Esta união indica que o postulado de Einstein, da invariância de c, é uma lei naturalmente
presente no Eletromagnetismo. Enfim, cremos que se satisfaz a ideia de Bordenave e Pereira
(2015) ao se solicitar, em perguntas do item (b) da quinta, a análise cuidadosa do formalismo
matemático (com um questionamento claro a se responder com base no texto). Além disso, é
preciso alguma habilidade em associar ideias e de raciocínio, para uma boa resposta
discursiva relacionada à lei da constância da velocidade luminosa no espaço livre, à
correlação intrínseca entre esta e os invariantes μo e εo, e/ou sobre alguma noção correlata.
A sexta questão poderá demandar um maior esforço, no que concerne ao
encadeamento do raciocínio matemático para o cálculo, à associação de algumas ideias, à
percepção da intenção de Feynman em mostrar que “[...] temos o mesmo resultado físico
quando analisamos o movimento de uma partícula movendo-se ao longo de um fio num
sistema de coordenadas em repouso com respeito ao fio, ou num referencial em repouso com
respeito à partícula.” (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–11). Um maior
esforço do leitor não contradiz Bordenave e Pereira (2015); pelo contrário, uma vez que estes
consideram o estudo dirigido como atividade que exige muito esforço na extrapolação e
interpretação do conteúdo textual – usando criatividade própria (BORDENAVE; PEREIRA,
2015, p. 266). E esta ideia não se opõe à formulação de questões simples, pois a simplicidade
proposta por estes autores não significa facilidade, mas que as questões podem ser bem
aproveitadas por quem preenche os pré-saberes de um modo mais elementar, e se interessa,
esforça, na leitura e consulta ao texto (e a possíveis auxiliares, como a discussão com o
professor e/ou a errata).
A relação solicitada na sétima questão é muito simples, e consiste na equação 13.33 do
texto: Δt =
t´ . Porém, interpretar o resultado, tentar descrevê-lo dando-lhe algum
v2
1
c2
significado, não é tão simples no caso do texto em questão – pois se lida com uma interação
de natureza eletromagnética em intervalos temporais muito curtos, em seus respectivos
referenciais inerciais. Não é utilizada a ideia de evento que, a priori, se define por um instante
de tempo e uma posição em cada referencial inercial (EINSTEIN, 1999). Feynman pode ter
concluído que esta ideia complicaria seu simples tratamento matemático. Também, não há um
fenômeno para o qual existe um tempo próprio médio, como para partículas que são formadas
e se desintegram (por exemplo, o múon, mencionado na oficina). Dessa forma, interpretar
93
Δt = γ Δt´, descrevendo a dilatação temporal em uma experiência pensada, é um pouco
complicado. Então, acreditamos que a sétima se encaixa na proposta de Bordenave e Pereira –
que também justifica a questão –, de que o aluno deve trabalhar bastante no texto, “[...]
usando sua própria criatividade na interpretação e na extrapolação do conteúdo [...]”
(BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 266).
Isto abarcaria interpretar e associar ideias e intenções do físico, raciocinar e imaginar
que um evento, para a partícula elétrica, pode ser vislumbrado como uma coordenada
transversa – que é invariante. Assim, após as atuações das forças durante curtíssimos
intervalos temporais correspondentes, cada força em seu referencial, a variação de momentum
transverso da partícula será igual para uma mesma coordenada y = y´ (o evento final). Para o
evento inicial, poder-se-ia considerar y o = y o´ = 0. E, sendo Δt > Δt´, F deve assumir um
módulo menor que o de F´, para que um impulso de igual módulo se comunique à partícula,
em S e em S´ – e sua variação de momentum transverso seja a mesma.
Na oitava questão, é possível crer que (ao menos para boa parte dos leitores) será
preciso consulta e releitura atenciosa em fragmentos do texto, para conferir o explicitado em
enunciados, analisar equações, integrar ideias etc. A questão, assim como outras, também
exige algum esforço do aluno na interpretação e, até certo ponto, extrapolação de conteúdo. O
efeito de dilatação temporal, na experiência estudada, é bem sutil. Porém, este efeito explica a
diferença prevista para as forças, pois, para que se tenha o mesmo momentum transverso, as
forças devem equacionar-se de forma oposta à prevista para o tempo, mantendo igual valor
para o fator de Lorentz – uma vez que o módulo da velocidade entre S e S´ é constante. Então,
F´
t , o que seria uma possível resposta matemática para o item (c) da última questão.
=γ=
F
t´
Enfim, as considerações para descrição, interpretação, da inter-relação entre a
dilatação temporal e a diferença entre as forças podem ser semelhantes às anteriormente
apresentadas para a sétima questão. A distinção (do último item) da oitava para a penúltima
questão é que nesta se solicita a relação entre intervalos de tempo e alguma descrição para a
mesma; já naquele item, se pergunta qual efeito concilia a diferença entre F´ e F. Enfim, os
dois itens são parecidos, e cremos que para interpretá-los, respondê-los, faz-se necessária a
associação de ideias e intenções do autor, trabalhando com os conceitos de força, momentum
linear relativístico, tempos correspondentes etc.
Podemos acreditar que as questões propostas auxiliariam as funções positivas de
Bordenave e Pereira (2015). Ora, o esforço demandado em várias questões – seja na
interpretação, releitura, uso de abstração e extrapolação do tema – passa quase
94
necessariamente pela cuidadosa análise textual, o que pode estimular a capacidade analítica.
Seguindo as ideias destes autores, pode-se afirmar que o trabalho do aluno ainda requer que as
informações do texto sejam bem julgadas e que se tente perceber lacunas ali presentes. Estas
são, ao menos, tentativas de interpretar as proposições destes, uma vez que estas estão postas
de maneira bem concisa e aparentemente muito abrangente. Além disso, pode-se crer que
estão intimamente interligadas umas às outras.
Com efeito, tentamos manter a mesma simbologia matemática de Feynman em nossas
questões. As formas utilizadas para equações de Maxwell, no material sugerido, são comuns
em livros de Física Básica do ensino superior, embora possam diferir razoavelmente das
adotadas por Feynman (em partes anteriores ao texto). Cremos que foram escritas de modo
simples e conhecido dos leitores.
3.7.4 Material suplementar
Preparamos um texto suplementar com resoluções e respostas comentadas das
questões, considerações sobre aspectos que julgamos pertinentes no texto (e algumas noções
correlatas). Este material fica totalmente a título experimental, pois não se aplicou nem se
obteve retorno algum dele, sua leitura não foi feita no encontro, não foi usado em
discussão/correção e nem avaliado em questionário. Ressalte-se que foi completamente
preparado antes da oficina, já com a finalidade de ser entregue aos participantes após esta.
Também foi enviado aos dois não participantes da oficina que responderam o formulário,
aparentemente procederam na leitura do texto e ao menos tentaram iniciar a resolução das
questões sugeridas, contribuindo com esta pesquisa.
Esperou-se um tempo razoável, após a oficina, para enviar o material citado, pela
simples razão de que aguardávamos retornos de respostas/resoluções das questões, ou seja,
era preciso garantir algum tempo para o estudo/leitura. Além disso, esperávamos receber
formulários avaliativos. Enviamos o documento suplementar em 11 de agosto de 2015,
através da rede de mensagens do Facebook® – convertido para um arquivo PDF.
Destaque-se que a intenção do autor desta dissertação, ao elaborar este material, foi a
de auxiliar o leitor na autocorreção e estudo das questões. Este foi feito com cuidado,
imaginando-se, por exemplo, o caso em que o professor não dispõe de tempo para corrigir ou
ajudar os alunos a fazê-lo. E os docentes necessitam de um subsídio para uma espécie de précorreção das questões com os alunos, caso possam e desejem fazê-la. Enfim, não se preparou
95
um texto para especialistas, mas um documento passível de auxiliar qualquer professor de
Física (ao nível superior) que preencha os pré-requisitos do texto de Feynman.
Ainda é possível que o material suplementar ajude o leitor a reelaborar suas ideias (ao
menos minimamente). Esta crença ocorre porque o autor deste documento esforçou-se
bastante na tentativa de concatenar, relacionar, o abordado nas questões com o conteúdo
textual e com relevantes noções. Noutras palavras, se tentou correlacionar alguns elementos
que apontam a integração da TRE e Eletromagnetismo. O professor pode ainda encontrar
auxílio na preparação de discussão; ou ao menos o suplemento pode lhe indicar ou recordar
certas noções que são valiosas em um debate.
Não se fez nenhuma modificação e/ou revisão no documento (nem nas resoluções da
segunda e quinta questões, a respeito do caráter vetorial das forças), pois o tempo para
finalizar este trabalho se esgotava. Ou melhor, a única revisão (e alterações) produzida no
material suplementar é a usualmente feita pelo autor após tudo o que redige. Ao dizermos que
não se realizou alteração/revisão no suplemento, temos em mente as mudanças por vezes
feitas quando já se aplicou, avaliou etc., um texto – e/ou quando o autor reelabora, aprimora,
suas ideias e conhecimento. Assim, a revisão/melhoria do documento fica como proposta
futura.
Por fim, destaque-se uma resposta ao item (b) da quarta pergunta (do formulário), que
contribui na justificativa e aponta a significância deste documento em subsidiar o leitor, pelo
menos na perspectiva pessoal do aluno B: “Porém, um material com as respostas seriam
também interessantes (sic) ao final da proposta.”.
96
97
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste último capítulo, são apresentados alguns pontos – em um resumo bem geral –
que o autor deste documento julgou relevantes (ou que, ao menos, deveriam ser levantados,
recordados, retomados, a fim de concluir). Considerações sobre a eficácia da oficina constam
no segundo item (seção) do presente capítulo. Finalizando, são apontadas possíveis propostas
de trabalhos futuros no terceiro item.
4.1 Resumo geral
Abordamos, neste trabalho, um rico texto do renomado físico norte-americano Richard
Feynman. Este, de certo modo, envolve alguns elementos bem introdutórios sobre
Eletrodinâmica Relativística, colocando em ênfase a relatividade de conceitos de força e
grandezas de campo elétrico e magnético, ao mostrar que as previsões relativísticas de
contração de Lorentz e dilatação temporal podem ser aplicadas ao Eletromagnetismo Clássico
– a fim de conciliá-lo com a Teoria da Relatividade Especial. Noutras palavras, o físico
mostra que o Eletromagnetismo já possui formulação relativística; estas previsões podem ser
naturalmente aplicadas em seu contexto.
Em considerações anteriores, levanta-se a possibilidade de que o leitor seja conduzido
a um paradoxo aparente (no que se refere à conservação da carga líquida), pois o fio – ou uma
seção deste – está neutro em um referencial, mas carregado noutro. Porém, nossos argumentos
mostraram que isto não invalida a abordagem do texto, pois o sistema físico não pode
consistir apenas no fio. Baseando-se em colocações anteriores, poderia ser útil, então, uma
discussão para suscitar a reflexão do aluno a este respeito, estimulando-o a pensar; esta se
daria após a leitura e antes da resolução de questões – sem explicitar respostas ao participante.
Se o professor vier a corrigir as questões, seria valioso enfatizar certos argumentos a respeito,
mostrando claramente que não há incoerência com a lei de conservação da carga elétrica.
Exemplos dados por Feynman, observados no cotidiano, fazem-nos concluir que a
carga elementar não pode depender da velocidade e nem da energia associada às partículas
atômicas. Assim, a carga líquida em um objeto eletricamente isolado se conserva em qualquer
referencial inercial. Este é um aspecto significativo e bem exemplificado no texto; outro, que
está implícito, é o fato de que a forma matemática das leis eletromagnéticas aplicadas (cada
qual num referencial) não precisou de correção relativística. Também, é relevante que a
98
constante c (valor de velocidade da luz no espaço livre) apareça em expressões de grandezas
tanto de S quanto de S´. Estes dois últimos aspectos nos remetem aos postulados de Einstein.
Os três parágrafos acima indicam noções importantes do texto, que poderiam ser
levantadas pelo professor. A sugestão é que, em uma discussão inicial após a leitura e
retificação do texto, o educador suscite o pensamento do aluno sobre estas noções (ou outras
correlatas), sem explicitar-lhe respostas. Em seguida, numa possível correção, poder-se-ia
aprofundar o debate, por exemplo, ressaltando bem os postulados da TRE, recordando que Δt
e Δt´ devem ser bem curtos (para que os referenciais possam ser considerados inerciais),
debatendo o fato de que, em velocidades relativas muito pequenas – como a obtida na terceira
questão –, o Eletromagnetismo Clássico já incorpora a TRE; e esta coerência interna entre as
teorias fornece a descrição clássica para a interação que deve ocorrer em S´.
Apresentamos justificativas que validam abordar o texto e/ou tema semelhante ao
deste, em curso superior de Física ou afim. Por exemplo, as noções apontadas acima indicam
que o texto de Feynman é interessante. Este é introdutório para o tema, com nível matemático
simples, abordando apenas campos estáticos (embora não uniformes); e os pré-conhecimentos
necessários ao seu estudo (e à tentativa de resolução das questões) não precisam ser
avançados. Assim, a orientação de Bordenave e Pereira é satisfeita, pois o texto é também
básico.
Em relação aos referenciais teórico-pedagógicos, cremos que Vygotsky e a Teoria
histórico-social fundamentam bem a discussão professor-aluno. Suas abrangentes ideias
sustentam e se aplicam a um não pequeno número de trabalhos na educação. O diálogo
professor-aluno é aqui apenas sugerido, levantado, mas carrega ao menos algum potencial em
estimular o pensamento do estudante, auxiliá-lo a perceber lacunas textuais e julgar a validade
de afirmações. Até certo ponto, este argumento se interliga à Bordenave e Pereira (2015, p.
266), no sentido de que o diálogo aumente a capacidade do texto – durante e após a resolução
de questões –, e também do material em geral, em despertar a habilidade de consciência
crítica.
Destacou-se detalhadamente o encontro (oficina) planejado para aplicar o material de
experimentação. Foi preciso cobrir pré-requisitos, uma vez que estes são saberes necessários
ao estudo de determinado tema. Acreditamos que se conseguiu abarcar, de modo razoável,
grande parte dos conteúdos planejados. Os participantes fizeram leitura individual e o debate
se iniciou após esta; também, entregou-se a errata para correção. Infelizmente, não houve
tempo para que tentassem resolver as questões. Porém, como ressaltado, esta tarefa lhes foi
solicitada para casa.
99
A ideia de um formulário eletrônico, com intuito de avaliar o material e o encontro, foi
valiosa. Esta se mostra ainda mais pertinente pelo fato de que não recebemos nenhum
conjunto de respostas/resoluções das questões sugeridas. Como o retorno do formulário foi
escasso (apenas duas respostas de participantes), considerou-se útil contatar outras pessoas
para que cooperassem com a pesquisa. Mais dois indivíduos, que não foram à oficina (mas
preenchiam os pré-saberes), responderam o formulário; a estes se enviou todo o material para
o estudo, além de importantes informações. Suas participações também se resumiram em
responder o formulário. Apesar do pequeno feedback, o autor desta dissertação crê que, das
quatro respostas, duas ou três vieram de pessoas que realmente mostraram interesse no texto
de Feynman.
As dificuldades encontradas, como a falta de tempo durante o encontro, a
voluntariedade da atividade etc., com efeito, dificultaram a análise de dados, no sentido de
que não foi possível retirar conclusões mais gerais, mas apenas colher opiniões pessoais –
ainda que significativas. Mesmo assim, conseguimos propor humildes sugestões para melhor
aplicar o material; também, foi possível concatenar, de forma satisfatória, alguns “elementos”
às ideias orientadoras de Bordenave e Pereira.
Com razão, procurou-se justificar e descrever todas as partes integrantes do material.
Estão são mutuamente dependentes, ou seja, a leitura/estudo isolada de cada uma não tem
muito significado no contexto de nossa proposta. Enfim, pode-se crer que, se bem aplicadas
conjuntamente, as partes são capazes de contribuir para melhor compreensão do texto de
Feynman – e até de noções correlacionadas –, em relação à que se teria em única leitura
isolada do texto. Passemos à análise final sobre a eficácia da aplicação do material em uma
futura e hipotética oficina.
4.2 Considerações sobre a eficácia da oficina
Serão elaboradas, neste item, considerações e argumentos sobre a eficiência da oficina
proposta. Tentar-se-á comparar estas colocações com nosso principal referencial teórico e
com os resultados, dados, coletados no formulário.
Pode-se dizer que o material, se bem aplicado, é passível de propiciar uma análise
mais cuidadosa do texto em questão – do que a que seria feita em única leitura isolada.
Bordenave e Pereira (2015) sustentam que a cuidadosa análise leva à compreensão do tema do
texto básico; isto, por sua vez, desenvolve a habilidade analítica. Foram apresentados alguns
argumentos que mostram, por exemplo, que muitas questões sugeridas necessitam de
100
associação de ideias, raciocínio, percepção de lacunas, observação de expressões matemáticas
etc. – o que se daria junto à releitura/consulta ao texto. Outras considerações indicaram que
parte significativa das questões deve ser feita com base no texto e na interpretação de ideias,
intenções, do autor. Ora, estas colocações apontam que as questões propostas podem, então,
contribuir para melhorar a análise textual; por conseguinte, auxiliariam na compreensão.
Mas, e no que diz respeito à aplicação do material, isto é, à proposta de oficina,
encontro com universitários? Como se tentaria aprimorar a aplicação, fazer com que esta seja
mais eficaz? Primeiramente, não existe eficiência total em educação; o planejamento do
ensino de Física, as atividades didáticas etc., podem ser, portanto, sempre mais bem
planejadas e também modificadas a fim de se adaptarem às variações temporais, culturais,
geográficas, tecnológicas, de pensamento e cognição etc.
Em segundo lugar, apontou-se um fator que não pode ser desprezado pelo educador:
os pré-requisitos para aplicação de determinada atividade, texto. Estes foram bem
fundamentados aqui, tanto em relação ao referencial de Vygotsky quanto ao de Bordenave e
Pereira. O primeiro introduz a ideia de uma espécie de estágio de desenvolvimento cognitivo
real, enquanto o segundo nos demonstra – por meio de pesquisas empíricas – a importância
das aprendizagens anteriores. De qualquer modo, é possível perceber que estas préaprendizagens se correlacionam ao estágio de desenvolvimento cognitivo do indivíduo.
Poderíamos afirmar, de certo modo, que os pré-saberes compõem o leque de conhecimentos
bem estruturados na mente de uma pessoa.
Assim, como ressaltado anteriormente (em sugestões de aprimoramento para a
oficina), é muito valioso que o professor não poupe esforços a fim de preencher todos os préconhecimentos para a leitura ativa do texto. Afinal, é fácil captar que o conhecimento
elementar destes é imprescindível para a análise cuidadosa. Caso não sejam respeitados, não
se pode denominar o texto básico e interessante. Além disso, a compreensão do assunto não
seria alcançada. A recomendação, então, é que o professor utilize o máximo tempo possível
para bem cobrir os pré-requisitos, sem retirar tempo das outras atividades. Se for preciso
abarcar muito conteúdo, poder-se-ia fazê-lo em mais de uma aula (exposição) teórica – a fim
de não cansar demasiadamente os estudantes. Também se pode indagá-los sobre seus présaberes e, caso o educador julgue ser útil, pode relembrar-lhes conteúdos já estudados – dos
quais não se recordam bem.
Outro fator importante, para bem aplicar o material, diz respeito à leitura. Antes da
leitura textual, cremos ser valiosa a da ‘Introdução ao estudante’; foram introduzidos alguns
argumentos que apontam sua pertinência. É importante disponibilizar tempo suficiente para
101
leitura cuidadosa de todos os itens, principalmente o texto de Feynman. Afinal, segundo
Bordenave e Pereira (2015), o estudante deve aplicar muito trabalho no texto entregue.
Recorde-se que se levantou a ideia de pedir a leitura de texto sem a errata, solicitando ao
estudante a tentativa de descoberta dos erros e a posterior conferência com a errata, corrigindo
o próprio texto – o que pode estimular o julgamento da veracidade de informações e a
captação de lacunas. Enfim, este procedimento estaria em concordância com Bordenave e
Pereira (2015), podendo auxiliar a capacidade de consciência crítica sem interromper o fluxo
de leitura. Seria também significativo solicitar a releitura de trechos corrigidos, a fim de
melhor compreendê-los.
Assim, enfatizamos ao professor/leitor que não abrevie o tempo de leitura e, se
possível, solicite a releitura cautelosa do texto para casa – por exemplo, na situação em que
uma discussão, seguida da entrega das questões, apenas se dará num encontro seguinte.
Cremos que as considerações deste item são bastante relevantes para se tentar aplicar de modo
satisfatório. Afinal, é adotado um texto cuja experiência de pensamento, idealizada e
aproximada, envolve um intrigante problema inicial – texto em estilo linguístico diferente de
boa parte das obras técnicas. O leitor/estudante comum precisará não apenas de pré-saber
elementar, mas também de tempo para a análise cuidadosa, reflexão, integração de ideias,
percepção de validade e de erros, de intenções e ideias do autor etc. Podemos crer que estas
colocações apontam para a ideia de leitura ativa, indicada por Bordenave e Pereira (2015, p.
266), ao menos para o texto em questão (e até porque baseamo-nos nestes para produzi-las).
Enfim, também a discussão – após a leitura – sobre aspectos significativos, indicados
no início deste capítulo (e também apontados em outros pontos da dissertação), pode ser
capaz de potencializar a análise cautelosa de texto e, portanto, a sua compreensão. A sugestão
é que o professor suscite a reflexão do aluno sobre estes aspectos, auxiliando seu pensamento
(sem explicitar-lhe respostas). Isto pode contribuir ainda mais para que o discente trabalhe
muito no texto, durante o estudo das questões e/ou em releitura futura – usando sua
criatividade própria na interpretação e extrapolação do conteúdo, como sugerem Bordenave e
Pereira (2015). Afinal, o debate a respeito de noções relevantes contidas em qualquer texto
(básico interessante) pode ajudar a despertar a curiosidade, o que, segundo estes autores,
motiva o leitor (BORDENAVE; PEREIRA, 2015, p. 266).
O diálogo sugerido, sobre os aspectos citados, seria apenas em nível elementar.
Noutras palavras, cremos que somente o relacionado à essência das ideias físicas já seria útil
para auxiliar o estudo. Esta proposição se concatena à ideia de que o educador se engaje em
contribuir com o aluno ao discutir, penetrando-lhe o psiquismo; e também de que o docente,
102
mais os estudantes, forma um grupo social interativo. Estas últimas colocações relacionam-se
à Vygotsky e Teoria histórico-social. Assim, sugeriríamos ao professor que reflita sobre as
importantes noções textuais mencionadas (e sobre estas considerações finais) e, se necessário,
elabore um rascunho para discussão. Finalmente, podemos especular que o debate estimulado
pelo docente ajude a produzir alterações internas na psique, através da língua falada – o
instrumento externo, elemento exterior – e dirigida aos próprios interlocutores.
O último dos argumentos, no intuito de dar mais eficiência à oficina, seria o de se
fazer (caso preciso) uma boa correção de questões com os alunos, tentando sempre interligar
elementos contidos nestas com relevantes noções do texto – além de outras relacionadas.
Nossa sugestão é que, nesta tentativa, o professor atue para auxiliar o discente a integrar
ideias, o que concorda com a orientação de Bordenave e Pereira (2015) – de se organizar
ideias numa espécie de síntese final. Para isto, o material de suplemento (além de alguns
trechos desta dissertação) pode ser útil. Mas a proposta de correção fica mais a título
experimental, haja vista que, em nossa oficina, esta nem foi iniciada; e não se fez
leitura/debate utilizando o texto suplementar. Por isto mesmo, entra aqui como humilde
recomendação. Recordamos ao educador que resolva as questões antes de aplicar, como
propõem Bordenave e Pereira (2015, p. 270) para a análise do estudo dirigido pelo próprio
docente.
E no que concerne à nossa aplicação (oficina), o que se poderia dizer sobre eficácia,
eficiência? De fato, quase todos os pré-requisitos foram preenchidos, e cremos que isto foi
feito de maneira razoável. Apenas o conceito de momentum linear relativístico foi esquecido.
Em relação à leitura e retificação textual, disponibilizou-se tempo suficiente. Entretanto, ao
percebermos que o tempo do encontro estava breve, solicitamos a leitura concomitantemente
à errata ou conforme a indicação anterior (de se procurar erros e destacar partes suspeitas,
posteriormente confrontando-as com a errata e retificando o texto). Assim, passou-se o texto
junto à errata. No que diz respeito à discussão, esta apenas se iniciou, como já afirmado.
Logo, o diálogo pensado e planejado em esboço, pelo autor desta dissertação, poderia ter
abarcado mais aspectos pertinentes e, por conseguinte, subsidiado mais o aluno na análise
textual cuidadosa durante hipotética resolução de questões. Sustentamos esta conjectura, pois,
as interessantes noções textuais podem despertar curiosidade; se uma primeira leitura não foi
eficaz neste objetivo, um melhor debate poderia tê-lo feito com mais vigor – o que motivaria
mais o aluno, segundo Bordenave e Pereira (2015).
Alguns argumentos apontam certa ineficácia em nossa oficina. No entanto, isto não
invalida este trabalho nem o faz menos relevante do que se houvesse obtido “sucesso”.
103
Cremos que os resultados de pesquisas e aplicações em educação são, por vezes, complicados
de serem vislumbrados. Obviamente, estes dependem do tipo de pesquisa, material abordado,
dos pesquisadores, público-alvo, metodologia, das experiências anteriores e de outros diversos
fatores. Destaque-se que, aqui, não se lidou com o intelecto humano passivo – para o qual, por
exemplo, se depende apenas de resposta(s) simples, como em pesquisas de intenção de voto
(que requerem pouquíssimo esforço intelectual e tempo do indivíduo). Lidamos, sim, com o
intelectualmente ativo, que precisa mostrar algum esforço, curiosidade, interesse etc.,
disponibilizando seu tempo.
As colocações anteriores, no que se refere ao fato de que foi abordado o intelecto
ativo, são coerentes com Bordenave e Pereira (2015), uma vez que estes orientam que o
estudante se esforce bastante em leitura ativa do texto proposto. Apesar de percebermos certa
ineficácia em nossa aplicação, a proposta ainda poderá ser aplicada e avaliada, aprimorada,
adaptada etc. Além disso, poderá ser valiosa para o autoestudo de docentes, alunos, curiosos
e/ou até para adaptação, recorte – a fim de ser enfocada no ensino médio. Some-se a isto a
crença de que o material possui potencial de ser bem sucedido e avaliado em curso superior
de Física. Em primeiro lugar, esta crença vem de algumas respostas do formulário avaliativo.
Por exemplo, no item (b) da quarta pergunta, A ressalta que as questões sugeridas “[...]
trabalham com aquilo que foi abordado no texto do Feynman.”. Também, este escreve que
“São exercícios que ajudam a enxergar melhor como a TRE se relaciona com o
electromagnetismo.”.
Estas respostas indicam a potencialidade das questões em auxiliar o leitor na
compreensão de tema e de significativas noções textuais. A resposta de B, na primeira
pergunta avaliativa, mostra que foi entendido um importante aspecto do texto: “[...] a não contradição existente na ação dos campos magnético e elétrico quando se muda o referencial
adotado, [...]” (sic). Em outras palavras, B percebeu que a relatividade dos campos citados é
compatível com os resultados esperados. Ainda, na segunda pergunta, este participante
enfatiza que conseguiu captar a conexão intrínseca existente entre TRE e Eletromagnetismo,
garantindo um retorno positivo a respeito da exposição teórica a fim de cobrir pré-saberes:
Sim, foi possível. O que mais me ajudou nesta percepção foi a exposição inicial do
Gabriel, esclarecendo sobre o fator de Lorentz (embora a exposição tenha sido em
pouco tempo para a atividade elaborada), a explicação da relação entre os temas no
texto de Feynman (a exposição matemática e por meio de figuras foi importante) e
[...].
104
A estas colocações de B, adicionem-se suas considerações para a quarta pergunta. O
discente destaca, no item (a), que problemas de entendimento textual se tornam fáceis sem o
auxílio da errata e, no último questionamento, aponta que as questões são interessantes e que
contribuem na confirmação e fixação de ideias, intenções, de Feynman. Logo, o estudante
fornece algumas possíveis funções positivas do material aqui preparado.
Quanto ao respondido por C, não participante da oficina, levantemos suas citações na
primeira pergunta, na qual afirma ser a demonstração de que há um íntimo relacionamento
entre Eletromagnetismo e TRE (em que a primeira teoria abarca as previsões relativísticas de
dilatação temporal e contração espacial) uma noção que lhe despertou interesse, “[...]
apontando para uma compatibilidade entre as teorias, mas que preservam as equações de
Maxwell,
sem
que
haja
nenhuma
modificação
no
formalismo
matemático
do
Eletromagnetismo.”. Já se mencionou, mas é válido recordar, que C destaca (na segunda
pergunta) a noção da relatividade das forças e campos elétricos e magnéticos e o princípio de
conservação da carga. Portanto, esta pessoa indica que o tema do texto, além de elementos
significativos deste, é passível de despertar interesse. Também, C ressalta dois destes
elementos que contribuíram em sua percepção da conexão entre as teorias; isto indica, até
certo ponto, a capacidade do texto em mostrar (de modo simples, através destes aspectos) esta
inter-relação. Mencione-se que C foi colega de Mestrado do autor desta dissertação; assim, é
provável que já possuísse algum conhecimento do texto, pois este foi passado em disciplina
deste curso. Isto não exclui, de nenhum modo, que uma boa releitura tenha lhe motivado uma
melhor (re)análise textual e, por conseguinte, aprimorado sua compreensão – até porque C
relata, no item (b) da quarta pergunta, que embora não tenha feito todas as questões, ainda
pretendia fazê-lo, pois através delas teve “[...] a oportunidade de ler o texto várias vezes, o
que é muito útil. Ler repetidas vezes o texto facilita sua compreensão, ajuda na resolução das
questões e nos mostra claramente a relação existente entre o Eletromagnetismo e a TRE.”.
Dessa forma, C levanta uma possível função positiva das questões, isto é, a de que –
ao menos em parte – devam ser resolvidas com base no texto e na interpretação de ideias do
autor. Isto concorda com Bordenave e Pereira (2015). São valiosas, ainda, suas colocações
sobre a importância da errata (ver resposta ao item (a) da quarta pergunta do formulário).
No que diz respeito a D, cite-se sua menção, na primeira pergunta avaliativa, sobre o
fato de que a carga elétrica é propriedade intrínseca da matéria (o que lhe interessou no texto
e/ou se mostrou como novidade), e também o seguinte fragmento, na segunda pergunta: “É
em virtude das relações entre referenciais é que percebemos um campo elétrico, magnético ou
eletromagnético e é a Teoria da Relatividade que veio formalizar todo fenômeno que possa
105
decorrer, [...]”. Esta citação é indicativa de que D, aparentemente, compreendeu bem a
relatividade destes campos, que fica isenta de contradições ao se considerar a TRE e suas
previsões, postulados. Ainda, é válida sua consideração, ao responder o item (b) da quarta, de
que a primeira questão do material (a única por ele respondida) foi útil para a compreensão.
Enfim, as respostas deste último, mas principalmente as anteriormente apresentadas,
fornecem elementos bastantes para mostrar que o material preparado e proposto tem potencial
para ser bem aproveitado e avaliado, ou seja, há uma boa possibilidade de que uma futura
oficina venha a ser eficaz. Recorde-se também que, devido à escassez de feedback, as
respostas de formulários adquirem uma natureza mais individual do que coletiva. Ainda
assim, estas levantam alguns atributos bem positivos em relação ao texto, às questões
sugeridas e/ou à errata para a edição brasileira abordada. Determinadas respostas, assim como
considerações aqui produzidas, foram até concatenadas às proposições de Bordenave e Pereira
(2015), estando coerentes com estas. Logo, poder-se-ia afirmar que nossa aplicação
experimental obteve, sim, alguma eficácia – embora esta possa ser bem potencializada.
4.3 Considerações para trabalhos futuros
Como enfatizado acima, não se fez revisão do texto do material suplementar, apesar de
que este foi redigido com cuidado e sempre verificando as equações. Esta revisão fica como
possível proposta futura, principalmente se viermos a receber retornos positivos de aplicação
do material. Uma boa revisão seria valiosa para adequar o suplemento às modificações feitas
nas questões. Entretanto, cremos que as mudanças nestas não alteraram substancialmente o
esperado como resposta e/ou resolução, de tal forma que o texto suplementar pode ser bem
aproveitado e avaliado.
Além disso, ressaltou-se que não foi elaborada errata para o texto da antiga edição
norte-americana adotada. Isto também entra como ideia futura, pois a errata somente do texto
em língua inglesa auxiliaria bem na leitura deste. Como prometido, seguem-se orientações
para adaptar a errata preparada, a fim de que possa ser aplicada com o original de 1964.
Primeiramente, recomendamos ao professor deletar os equívocos, relatados na errata, que não
constam no texto norte-americano – renumerando-os. Como apenas se comparou os erros da
edição em português brasileiro com a original, é possível que existam outros erros nesta.
Assim, em detalhada leitura desta, caso o educador encontre mais equívocos, deve incluí-los
no documento, descrevendo-os, isto é, mostrando porque estão incorretos e fornecendo útil
retificação – assim como fizemos em grande parte do arquivo. As citações de trechos
106
incorretos, do livro em português, devem ser trocadas pelas respectivas do texto em inglês. A
extensão e clareza da errata produzida permitem que facilmente se encontrem os trechos
correspondentes em inglês. Ainda, sugerimos retirar as menções a parágrafos (que podem
estar diferentes no original), ao próprio texto norte-americano, e que sejam adaptadas as
referências às páginas. Argumentos sobre as possíveis origens de erros no texto brasileiro
devem ser excluídas. A introdução do documento (logo após a ‘Introdução ao estudante’) que
contém a errata e as questões sugeridas não precisa de nenhuma adaptação. Porém, o curto
texto – após o título que inicia a errata propriamente dita – necessita ser adaptado ou, ao
menos, deletado, uma vez que se refere aos erros do livro brasileiro. Então, sugerimos ao
docente que elabore uma breve introdução, no lugar deste curto texto, apenas destacando que
são apontados e devidamente corrigidos, descritos, os erros deste original. O professor deve
localizar o texto na adaptação, citando capítulo, seção etc.
Outra espécie significativa de trabalho futuro seria a aplicação do material, pelo
próprio autor da dissertação, em curso superior de Física ou afim – o que poderia gerar, em
consequência, a redação de um artigo a respeito. Obviamente, tentar-se-ia evitar ao máximo
as dificuldades encontradas no encontro aqui descrito. Cremos que o maior esforço se daria no
sentido de evitar – ou ao menos minimizar – empecilhos como escassez de tempo,
voluntariedade, ausência de pré-requisitos etc. Também, outra interessante proposta seria
outro professor aplicar nosso material e, consequentemente, redigir alguma espécie de artigo a
respeito. Aliás, a produção do artigo poderia até ser feita juntamente com o autor desta
dissertação. Por exemplo, caso este seja contatado por um educador, interessado no material e
em sua futura aplicação, poderia contribuir na redação. Imaginemos o docente que está a
lecionar a TRE e julga que o material será valioso para estudo dirigido em seu curso – a fim
de introduzir o tema do texto de Feynman. Pode ser preciso preencher alguns pré-requisitos
(ou até recordá-los) antes de abordar a proposta. Ainda, uma discussão com os discentes,
semelhante à sugerida, pode ser preparada; e também uma possível correção. Por fim, o artigo
seria escrito, e a nova experiência poderia até ser comparada a aqui relatada. Cremos que esta
última proposta é mais adequada se o professor fizer a leitura desta dissertação.
Mas, na situação em que o docente aplicador não fez a leitura desta, pode ser preciso a
ajuda do autor para o diálogo com estudantes e/ou para correção de questões. Neste caso,
também acreditamos ser importante o subsídio do autor para elaboração do artigo, a fim de
contribuir com elementos a respeito dos referenciais teórico-pedagógicos e/ou de suas
conexões com a proposta, o texto enfocado, aplicação experimental, dados coletados etc. Em
107
suma, o que se pretende ressaltar é que uma possível aplicação futura e/ou redação de artigo
pode ser feita em conjunto ou isoladamente – pelo autor desta e/ou por outrem.
Também, a ideia de que o autor desta escreva algum artigo versando sobre o tema do
texto de Feynman (e/ou a respeito de elementos interligados) que, de certa maneira, abrange a
relação TRE-Eletromagnetismo, é uma proposta muito válida. Afinal, os assuntos que
conectam estas teorias são bem interessantes e relevantes, não só do ponto de vista teórico,
mas também conceitual, histórico, filosófico, e do que foi legado para o progresso da Física e
do conhecimento humano em geral.
108
109
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Paulo, Faculdade de Educação, São Paulo.
112
113
APÊNDICE A – Material elaborado e Suplemento
INTRODUÇÃO AO ESTUDANTE
Este material para estudo resulta de um trabalho de Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática na PUC Minas (Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais), na área de
Física.
É abordado um texto do renomado físico norte-americano Richard Phillips Feynman
(1918 - 1988), intitulado A relatividade dos campos magnéticos e elétricos. Este texto é parte
de um capítulo da edição definitiva de sua famosa coleção Lições de física de Feynman – em
tradução para a língua portuguesa brasileira (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008); e
consta no volume II, capítulo 13: Magnetostática (a obra completa possui três volumes). Cada
capítulo dos livros se divide em seções; o texto abordado corresponde à seção 13–6. A
paginação da obra não é usual, sendo feita pelo número do capítulo seguido do número da
página do capítulo em questão; assim sendo, nosso texto vai das páginas 13–7 a 13–11. O
texto nesta edição brasileira, que vem da ‘Reimpressão 2009’, contém vários erros – que o
autor deste trabalho encontrou. Desse modo, elaborou-se uma errata deste. Caso exista edição
e/ou reimpressão posterior, alguns (ou todos) erros podem já estar corrigidos. Também
julgamos necessário comparar os erros descobertos nesta versão brasileira com algum original
mais antigo, no idioma inglês; isso ocorre porque estes originais são ainda bem encontrados
na comunidade acadêmica. A edição original adotada data de 1964; nesta, o texto também
está no vol. II, cap. 13: Magnetostatics, correspondendo à seção 13–6: The relativity of
magnetic and electric fields (págs. 13–6 a 13–11) (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 1964).
As referências completas de todos os livros utilizados neste material se encontram no fim
deste.
Esta proposta de estudo destina-se principalmente aos estudantes e professores de
curso superior de Física ou afins, que já possuam um conhecimento introdutório de temas da
Teoria da Relatividade Especial (TRE) e do Eletromagnetismo, a saber: o Princípio da
Relatividade de Einstein, o conceito de referencial inercial, a contração do espaço, a dilatação
do tempo, o momentum linear relativístico, as leis de Ampère da magnetostática e de Gauss da
eletricidade, e alguns fundamentos de cálculo.
O texto a ser feita leitura realmente está numa das mais importantes e renomadas
coleções de livros-texto de Física, bastante reconhecida no meio acadêmico-científico (um
114
clássico da Física dos últimos cinquenta anos). A obra é ainda estudada mundialmente por
físicos iniciantes e experientes, tendo sido vertida para no mínimo doze línguas;
possivelmente nenhuma outra coleção de Física exerceu impacto tão grande e duradouro.
Feynman foi um dos maiores físicos da América e um dos pioneiros da Teoria da
Eletrodinâmica Quântica, dividindo o Prêmio Nobel de Física – em 1965 – com Sin-Itiro
Tomonaga e Julian Schwinger. Elaborou importantes diagramas, usados nas teorias de
partículas. Em 1972, recebeu a Medalha Oersted de Ensino, da qual tinha orgulho e afeto; foi
considerado um grande professor e um visionário da nanociência. (FEYNMAN; LEIGHTON;
SANDS, 2008; FEYNMAN, 2012).
O texto de R. Feynman trata da conexão intrínseca entre a Teoria da Relatividade
Especial (TRE) e o Eletromagnetismo. O físico mostra que os efeitos relativísticos de
contração do espaço e dilatação do tempo já estão presentes na Teoria Eletromagnética,
mesmo se a velocidade entre dois referenciais inerciais for muito baixa. Do ponto de vista da
TRE, os campos e as forças elétricas e magnéticas tornam-se grandezas e conceitos totalmente
relativos, mas as equações de Maxwell se preservam (não necessitam de correção
relativística) – o que equivale a dizer que estas, que tomam parte no formalismo teórico
fundamental do Eletromagnetismo, mantêm a mesma forma matemática, a mesma “cara”, em
qualquer referencial inercial. Também, o texto mostra a lei da invariância/conservação da
carga elétrica e a validade dos Postulados de Einstein.
As atividades mais importantes (segundo cremos) deste material são a proposta de
uma leitura ativa do texto pelo estudante, seguida da tentativa de resolução de questões
sugeridas – acompanhada do texto. Acreditamos que estas questões estão claras e simples – o
que não é sinônimo de facilidade –, devendo ser respondidas com base no texto, numa
cuidadosa tentativa de interpretação de ideias e intenções de Feynman. De certa forma, isto
equivale a dizer que se crê ser muito importante o esforço atencioso, na tentativa de integrar,
reelaborar certas ideias – à medida que se procede na resolução. Além disso, cremos ser
preciso que o aluno trabalhe muito na proposta, exercitando o raciocínio, a observação
cuidadosa, a análise/avaliação da redação de Feynman e de suas equações. Estas últimas
considerações baseiam-se, em boa parte, nas orientações da obra de Bordenave e Pereira.
Grosso modo, podemos dizer que esta proposta assume algumas características de um estudo
dirigido, conforme proposto por estes autores, que indicam que (nesta espécie de estudo) o
aluno “[...] terá que trabalhar bastante no texto entregue pelo professor, usando sua própria
criatividade na interpretação e na extrapolação do conteúdo do texto.” (BORDENAVE;
PEREIRA, 2015, p. 266).
115
Julgamos útil esclarecer ao aluno que os erros no texto da ed. brasileira (aqui adotada)
realmente podem causar confusão, atrapalhando a leitura, a compreensão textual e a resolução
de questões propostas. Isto se deve principalmente ao fato de que Feynman aborda dois
referenciais inerciais no texto; em vários erros, a simbologia usada para estes e seus atributos
é confundida, ou seja, trocada, usando-se a de um no lugar do outro – o que confunde um
referencial com outro e, com razão, possivelmente confunde e prejudica o leitor. Assim, pode
ser valioso que o aluno, durante a leitura e antes de resolver as questões, destaque trechos que
suspeitar como incorretos, conferindo/analisando posteriormente a errata – e corrigindo os
equívocos em seu livro (no caso em que sejam utilizadas as versões brasileira e/ou original
citadas).1 Isto pode ser bem importante para a posterior resolução de questões; também pode
ser pertinente no estímulo à percepção de “lacunas” textuais e no julgamento da validade de
informações, o que segundo Bordenave e Pereira (2015), é passível de auxiliar a capacidade
de observar e avaliar (consciência crítica). Em nota de rodapé abaixo 2, disponibiliza-se um
link que dá acesso à obra completa de Feynman (aqui citada) apenas para leitura, em inglês,
na qual nosso texto não possui nenhum dos erros mostrados na errata.
Por fim, ressalte-se ao aluno que se elaborou o documento ‘Material Suplementar’,
com respostas e resoluções comentadas das questões, considerações sobre aspectos que
julgamos importantes no texto (e certos elementos correlatos). Uma possível potencialidade
deste material de suplemento, segundo cremos, é auxiliar o aluno numa espécie de
autocorreção/estudo das questões sugeridas; acreditamos que o material deve ser utilizado
apenas após a tentativa cuidadosa de se trabalhar em todas as questões – juntamente ao texto
de Feynman. Se seu professor não dispõe de tempo para uma espécie de pré-correção das
questões, o documento pode ser útil a fim de que se refaça e/ou corrija as questões (ou ao
menos como leitura complementar, acompanhada do texto de Feynman). Provavelmente, estas
questões devam ser combinadas com o professor. O material suplementar é a última parte
deste estudo, constando antes das referências bibliográficas deste.
1
O aluno também pode ler o texto concomitantemente à errata; possivelmente, esta questão deverá ser
discutida/combinada com o professor e depende da versão do texto adotada e da disponibilidade de tempo.
Somente foram comparados os erros encontrados nesta ed. brasileira com o original americano mencionado,
verificando se estes constavam ou não neste – e fornecendo correções e explicações para os trechos incorretos;
assim, o original em questão pode conter erros adicionais.
2
O ‘California Institute of Technology’ (Caltech) disponibiliza no site http://www.feynmanlectures.caltech.edu/
os três vol. da obra, somente para leitura, não sendo permitido qualquer tipo de cópia parcial ou completa. O
último acesso foi feito em 17 de junho de 2015. A data de postagem, atualização etc. da obra não estava
claramente indicada até a data do último acesso; de acordo com informação de copyright, no rodapé do site,
esta parece ser de 2013.
116
ERRATA DE UMA EDIÇÃO DO TEXTO BRASILEIRO; QUESTÕES PROPOSTAS AO
LEITOR.
Ao analisar esta errata com cautela, seria útil corrigir os erros em seu texto, tornando-o
confiável para as atividades propostas. Assim, não há o risco de se esquecer das incorreções
em leituras/consultas futuras. A correção, somada à leitura deste documento, pode auxiliar na
análise e compreensão textual. Os três volumes originais em idioma inglês, da obra The
Feynman Lectures on Physics (Feynman; Leighton; Sands), foram lançados pelo California
Institute of Technology (Caltech) e pelo The Feynman Lectures Website em um site na
internet. O conteúdo é de alta qualidade e disponível apenas para leitura; seu endereço consta
na segunda nota de rodapé da Introdução anterior. O texto está no capítulo 13, seção 13–6.
Neste caso, as seções formam links.
Errata do texto A relatividade dos campos magnéticos e elétricos, em tradução para o
português brasileiro; comparação dos erros encontrados na versão brasileira com um
original norte-americano.
Apontamos e corrigimos erros do texto brasileiro de Feynman (2008), comparando-os
com um original de 1964, isto é, verificando se os equívocos ocorrem ou não neste
(FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 1964). Não se comparou o texto brasileiro ao original
do qual a obra foi traduzida, pois não se teve acesso a ele, mas também porque um original
mais antigo ainda pode ser mais utilizado. Edições/reimpressões brasileiras mais recentes do
que a estudada (caso existam) podem estar total ou parcialmente retificadas, no que se refere
ao texto abordado.
Erro 1: Está logo no início do quarto parágrafo: “No referencial S´, claramente existe uma
força magnética na partícula.” (p. 13–7). Correção: Ao invés de S´, leia-se S (sem o símbolo ´
); pois é em S em que claramente existe força magnética na partícula.
Este erro não consta no original em inglês consultado, podendo ser erro tipográfico
surgido na versão brasileira ou noutra edição original posterior.
Erro 2:
No 15º parágrafo: “Esta carga deve ser igual a ρoLoA, porque as cargas são as
mesmas [...]” (p. 13–9). Correção: ρoLoA é igual à ρoLoAo. Feynman se refere à carga Q num
referencial S´ (= ρLAo) e enfatiza que esta deve igualar-se à carga num referencial S (=
117
ρoLoAo), a fim de obter uma relação geral entre as densidades de carga relativa e de repouso
para certo agrupamento de partículas elétricas – que posteriormente é aplicada no
experimento do texto. Isto não é bem um erro, mas uma pequena confusão em símbolos
usados no corpo do texto e na Figura 13–11 (p. 13–9); nesta, se representa a área transversal
do fio por A e seu comprimento relativo por L´, enquanto que no corpo do texto se acham
representações distintas destas grandezas. Mas o importante é compreender que A = Ao e L´=
L < Lo.
No original americano também há esta confusão.
Erro 3: Está no próprio enunciado da Figura 13–11, que se encontra incompleto: “Se uma
distribuição de partículas carregadas em repouso tem uma densidade de cargas ρo as mesmas
cargas terão densidade [...] quando vistas de um referencial com velocidade v.” (p. 13–9).
Correção: As reticências indicam o local em que faltam termos matemáticos no texto, pois
estes estão no original de 1964, e consistem na expressão:
ρ=
o
; isto é provavelmente um erro tipográfico.
v2
1
c2
Erro 4:
No 17º parágrafo, bem no final da pág. 13–9, na seguinte afirmação sobre
densidades de carga negativa: “Na Eq. (13.23) ρo = ρ´_ , porque as cargas têm a densidade ρ´_
quando o fio está em repouso [...]” (p. 13–9). Correção: Recorde-se que a densidade de carga
negativa, em cada referencial inercial do experimento pensado por Feynman, refere-se apenas
à carga somada de todos os elétrons de condução. Está correto que os elétrons livres têm
densidade de carga negativa de repouso ρo = ρ´_ , pois se encontram em repouso no
referencial inercial S´; entretanto, está errado que as cargas destes elétrons têm densidade ρ´_
quando o fio está em repouso, pois, no referencial S deste, a densidade destas é representada
por ρ_. Bastava afirmar-se “Na Eq. (13.23) ρo = ρ´_ para cargas negativas (elétrons de
condução). Temos então que” para um bom entendimento do trecho, pois o que vem antes
deste trecho é suficiente para a interpretação.
Este erro se encontra no original; pode ser um equívoco de tipografia que se propagou ou
um erro de Feynman.
Erro 5: Na pág. 13–10: “Temos, pelo menos, uma força na mesma direção nos dois pontos
de vista; a força elétrica em S possui a mesma direção [...]” (p. 13–10). Correção: Ao invés
de “força elétrica em S ”, leia-se “força elétrica em S´ ”, pois esta força só se manifesta em S´.
O original está correto; talvez, o erro surgiu no texto brasileiro por falha de tipografia.
118
Erros 6 e 7:
Estão na última página do texto, penúltimo parágrafo: “[...] no sistema S
existem linhas de campo elétrico, que não encontraremos passando por nós com velocidade v
no sistema S. No sistema S´ não existe nenhuma linha de campo elétrico!” (p. 13–10).
Correção: No sistema S não existem linhas de campo elétrico, mas somente de campo
magnético; e em S´ existem linhas dos dois campos. Assim, o trecho fica correto com as
modificações: “[...] no sistema S´ existem linhas de campo elétrico, que não encontraremos
passando por nós com velocidade v no sistema S. No sistema S não existe nenhuma linha de
campo elétrico!”.
Estes dois erros deste fragmento não constam no original, e podem ter surgido na ed. em
português aqui utilizada ou num original posterior ao analisado.
Erro 8: Consta na última figura do texto, Figura 13–12 (p. 13–11). Trata-se de algo bem
simples: o sentido dos campos magnéticos B e B´ – em (a) e (b) da figura, respectivamente –
está invertido. Ao invés do sentido anti-horário mostrado (no plano do papel), o sentido
correto é o horário, assim como está na versão online mencionada.
Este equívoco também consta no original de 1964, podendo ser erro do autor ou de
tipografia que se propagou – ou até da edição brasileira.
Caso o leitor possua conhecimentos razoáveis do idioma inglês, talvez outros erros
possam ser identificados em edições norte-americanas – quando já se tem certo conhecimento
do texto, tema e abordagem de Feynman.
119
Questões propostas ao leitor
Apresentamos as seguintes questões, a serem realizadas após a leitura do texto:
1. Esta primeira questão envolve a percepção do problema a ser resolvido: qual seria a
consequência se, na mudança do referencial inercial do fio para o da partícula,
continuássemos a considerar o fio como eletricamente neutro?
2. Obtenha as expressões para o módulo do campo magnético B ao redor do fio e para o
módulo da força magnética F, que atuam na partícula de prova, no referencial inercial
do fio (S). Para isto, use a lei de Ampère da magnetostática, indicada abaixo. Por
simplicidade, adote – assim como Feynman – a velocidade vo da partícula de prova
(no referencial do fio) como igual à velocidade média de arraste v_ dos elétrons de
condução neste referencial.
Obs.: Nas Figuras 1 e 2 destas questões (e também na Figura 13–10 do texto de Feynman) se representa apenas
uma seção do fio reto cilíndrico e infinito – longo o suficiente para que seu diâmetro seja desprezível em relação
ao comprimento.

B ∙ dl = μo i
linha
(A lei de Ampère, na forma de integral, como usualmente apresentada em várias obras de
Eletromagnetismo).
Figura 1 – O referencial do fio
Fonte: Adaptado de Feynman, 1964, p. 13–7
(1)
120
3. Esta questão tem por finalidade fazer uma avaliação do módulo da velocidade média
de arraste (também denominada velocidade de migração) em condutores ordinários,
como finos fios de cobre (Cu) residenciais. Os valores típicos de velocidade para os
elétrons livres da corrente são, geralmente, bem pequenos quando comparados aos
objetos “clássicos” do cotidiano.
Calcule o módulo da velocidade de arraste dos elétrons de condução no referencial S
de repouso de um fio de cobre, cujo diâmetro vale 1,00 milímetro e que conduz
corrente i = 1,00 ampère. Considere a densidade de átomos do cobre equivalente a
8,48 x 1022 átomos/cm3 (em condições normais de temperatura e pressão), e o módulo
de carga elétrica elementar e = 1,60 x 10–19 coulomb; suponha ainda que cada átomo
contribui com um elétron livre na condução.
4. Mostre como o fio, eletricamente neutro em seu referencial de repouso, torna-se não
neutro (carregado) no referencial da partícula de prova. Evidencie a alteração
relativística dos comprimentos nos volumes usados para cálculo de densidades de
carga. Pergunta: Estando o fio eletricamente carregado, do ponto de vista do
referencial S´ (da partícula de prova), haverá carga elétrica líquida não nula no fio?
5.
a) Obtenha as expressões dos módulos do campo elétrico E´ e da força elétrica F´ que
interagem com a partícula de prova no referencial desta (S´ ). Utilize a equação
para a lei de Gauss da eletricidade, abaixo indicada. Na Figura 2 é representada
uma seção do fio reto, considerado infinito.

E´ ∙ dS´ =
sup erfície
Qint erna
o
(A lei de Gauss da eletricidade, na forma de integral, como usualmente apresentada em várias obras de
Eletromagnetismo).
(2)
121
Figura 2 – O referencial da partícula de prova
Fonte: Adaptado de Feynman, 1964, p. 13–7
b) As equações 1 e 2 apresentadas (na 2ª questão e no item (a) desta) são uma das
formas matemáticas de duas leis gerais do Eletromagnetismo, que podem ser
nomeadas lei de Ampère da magnetostática e lei de Gauss da eletricidade,
respectivamente; cada uma destas leis foi aplicada em certo referencial inercial – S
ou S´ – por Feynman. Isto foi feito sem a necessidade de corrigir, modificar,
relativisticamente as equações para estas leis. Elas contêm quantidades físicas, μo e
εo, que podem se definir matematicamente por expressões que contêm outra
quantidade física de enorme importância no advento da Teoria da Relatividade
Especial; na verdade, μo, εo e esta outra quantidade estão intrincadamente
correlacionadas matematicamente.
Perguntas: Analisando cuidadosamente as equações de Feynman, aponte qual é a
outra quantidade física (explícita na maioria das equações de seu texto). Esta
quantidade aparece “igualmente” nas expressões para grandezas de ambos os
referenciais inerciais, isto é, tem igual valor absoluto, tanto em S quanto em S´ ? O
que se pode dizer, inferir sobre ela? O que podemos concluir sobre εo e μo, a
permissividade elétrica e a permeabilidade magnética, respectivamente, para o
espaço livre?
6. O valor do momento relativístico – em um determinado eixo de um referencial inercial
– pode ser dado por p =
m u ; onde v representa o valor de velocidade da partícula
v2
1
c2
no referencial inercial em que se quer determinar o momento, e u o valor da
componente desta velocidade ao longo do eixo escolhido neste referencial. No texto de
122
Feynman, é enfatizado que a variação no valor dos momentos transversos (ou
transversais) da partícula, Δpy e Δpy´ – nos referenciais S e S´, respectivamente –, é a
mesma. Isso equivale a dizer que o momento transverso da partícula é igual
(independente do referencial) em pontos de mesma coordenada transversa y = y´;
prove isto, ou seja, mostre que as expressões para py e py´ são equivalentes (py = py´ ).
7. Qual a relação entre intervalos de tempo correspondentes no referencial inercial do fio
(S) e no da partícula (S´ )? Interprete o resultado, ou seja, tente descrevê-lo de alguma
forma, conferindo significado para esta relação.
8.
a) Como os resultados para os módulos da força elétrica F´ – da 5ª questão – e da
magnética F (obtido para o referencial do fio estacionário (S) na 2ª questão) se
relacionam matematicamente, de acordo com a previsão teórica? Na prática, para o
pequeno módulo de velocidade, calculado na 3ª questão – em concordância com as
pequenas velocidades consideradas por Feynman –, o que se pode dizer sobre estas
duas forças?
b) Use a equação relativisticamente correta do movimento e o resultado da 7ª questão
para obter a mesma relação (entre os módulos de F e F´) encontrada no item (a)
desta questão.
c) O obtido em (a) e (b) mostra a previsão relativística, que é válida, entre as forças
do texto; ambas, cada qual atuando em um referencial inercial, se compatibilizam
com o Eletromagnetismo Clássico e a Teoria da Relatividade Especial. Qual efeito
relativístico pode ser considerado na explicação da diferença prevista entre estas
forças? Tente descrever, interpretar, a correlação deste efeito com as forças.
O autor disponibiliza seu e-mail para contato, [email protected], a respeito de dúvida, crítica,
sugestão, informação de erros etc., sobre este trabalho.
123
MATERIAL SUPLEMENTAR
RESOLUÇÃO COMENTADA DAS QUESTÕES; CONSIDERAÇÕES AOS
ESTUDANTES E PROFESSORES (PARA A CONDUÇÃO DE DISCUSSÕES E
REFLEXÃO).
Introdução
Não se pretende, aqui, com as resoluções, comentários, considerações etc.
apresentadas a seguir, retirar a autonomia do professor em relação aos estudantes; mas, pelo
contrário, desejamos apresentar um material na tentativa de auxiliar o leitor na percepção da
riqueza do texto de Feynman e – obviamente – na correção de nossas questões propostas. O
texto do físico norte-americano mostra que a Teoria da Relatividade Especial pode ser tomada
emprestada a fim de que o Eletromagnetismo se torne coerente na descrição de interação
eletromagnética exemplificada pelo autor. Ele também ressalta a relatividade das grandezas
de campo e conceitos de força elétrica e magnética; o que dá nome ao seu texto. Apesar desta
relatividade, Feynman enfatiza que uma descrição eletromagnética completa é invariante, ou
seja, um fenômeno elétrico e/ou magnético encontra descrição – em concordância com as
mesmas leis fundamentais do Eletromagnetismo (equações de Maxwell) – em qualquer
referencial inercial. Assim, as equações do Eletromagnetismo são válidas em todos os
referenciais inerciais, mantendo sempre a mesma forma matemática em qualquer um deles.
Desse modo, o Princípio da Relatividade de Einstein e a lei da invariância no valor absoluto
da velocidade da luz (no espaço livre) são satisfeitos. Podemos perceber, então, que existe
uma íntima conexão entre a teoria clássica do Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade
Especial.
124
1ª QUESTÃO:
A primeira questão diz respeito a uma contradição que surge se continuamos a
considerar o fio como eletricamente neutro no referencial inercial da partícula (S´ ); o que, na
verdade, trata-se de um paradoxo aparente. A consequência em considerar-se o fio
descarregado (neutro) no referencial da partícula conduz a uma espécie de absurdo físico;
pois se, no referencial do fio em repouso (S), um observador ali estacionário vê a partícula
aproximar-se do fio, também no referencial S´ esta deve aproximar-se deste. Em outras
palavras, um observador estacionário no referencial inercial da partícula vê uma interação
atrativa – entre o fio e a partícula –, assim como outro observador estacionário, desta vez no
referencial inercial do fio, também testemunha uma interação atrativa entre os dois objetos.
Afinal, seria um absurdo lógico um observador, em repouso com respeito ao fio, observar a
partícula adentrar o campo magnético B e paulatinamente aproximar-se do fio, enquanto
outro observador (movendo-se inicialmente junto à partícula) a observasse sempre
estacionária em relação a ele – sem nenhuma força atuante nesta, sem alteração de velocidade
da partícula e sem aproximação do fio. Esta seria a estranha consequência se continuamos a
considerar o fio como eletricamente neutro no referencial S´ da partícula de prova; no
referencial S (do fio), obviamente, temos a atuação de uma força magnética atrativa – devida
ao campo magnético gerado pela corrente –, mas em S´ não teríamos nenhuma força atuando
na partícula, e esta se comportaria, portanto, como uma partícula livre – pois a velocidade da
partícula em S´ é nula. Se, pois, não há força magnética em S´ (v = 0) – e a interação
gravitacional é extremamente pequena em ambos os referenciais inerciais, a ponto de
podermos desprezá-la –, que tipo de força deve atuar sobre a partícula neste referencial S´?
Forças de origem nuclear não podem ser, pois se supõe apenas um ente físico elementar (um
elétron, p. ex.), como partícula de prova, nas proximidades de um fio conduzindo corrente.
Finalmente, na experiência pensada por Feynman (2008), também devemos supor a
inexistência de quaisquer forças resistivas e de interação com partículas, átomos, fótons,
moléculas etc. Em suma, a experiência de Feynman (2008) preocupa-se somente com a
interação existente entre uma partícula negativa elementar e um fio condutor de matéria
ordinária (cobre, por exemplo) conduzindo corrente estática. A interação (força) atuante na
partícula, em S´, só pode ser descrita, portanto, por um formalismo teórico que inclua a teoria
eletromagnética.
Grosso modo, podemos fazer uma analogia com a interação gravitacional: se um
observador – fixo com respeito à superfície da Terra (em um referencial S) – vê um projétil
125
ser abandonado de um avião em movimento reto e uniforme, colidindo com o solo, também
um observador estacionário no interior da aeronave (referencial S´ ) – com velocidade inicial
igual à desta – testemunhará a atração gravitacional. Este exemplo é uma mera analogia; em
ambos os casos, desconsideramos as interações – da partícula elétrica e do projétil – com
moléculas, átomos, fótons etc. e qualquer espécie de força resistiva (de atrito). No texto de
Feynman
(2008),
preocupamo-nos
apenas
com
interações
descritas
pela
teoria
eletromagnética clássica; e, nesta analogia, somente com a interação gravitacional clássica.
Logo, do mesmo modo que seria absurdo observar o projétil – no referencial S´ da aeronave –
permanecendo em repouso relativamente a esta (sem sofrer a ação da gravidade terrestre),
também seria totalmente incoerente observar a partícula elétrica – no referencial S´ do texto
de Feynman – como partícula livre. Em suma, a partícula em S´ não pode permanecer sem a
ação de uma força descrita por teoria que inclua o Eletromagnetismo. Como esta força não
pode ser magnética em S´, pois forças magnéticas são dependentes da velocidade – e a
velocidade da partícula em S´ é nula –, não podemos continuar a considerar o fio como
eletricamente descarregado neste referencial. Então, embora o fio esteja descarregado (neutro)
no referencial inercial S, ele está eletricamente carregado no referencial inercial S´.
Feynman demonstra que existe descrição teórico-conceitual (que intimamente
relaciona o Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade Especial) para a interação na
partícula no referencial inercial S´. Para chegar a esta conclusão, Feynman (2008) se vale de
previsões da Teoria da Relatividade Especial; através de uma destas previsões, ele demonstra
o fato de que o fio condutor, realmente, se encontra carregado no referencial inercial S´ (da
partícula). Também é interessante reparar em um importante aspecto, citado na Introdução
deste material suplementar: em ambos os referenciais inerciais do texto, S e S´, as formas
matemáticas para as equações de Maxwell são as mesmas; ou seja, estas equações
fundamentais do Eletromagnetismo não se alteram, preservando seu formalismo, sua “cara”,
em ambos os referenciais inerciais de Feynman. E mais ainda: as formas matemáticas das
equações de Maxwell se preservam (sendo escritas identicamente) não só nos dois
referenciais do texto abordado, mas em qualquer referencial inercial. Porém, é necessário
atentar para o fato de que existem grandezas nestas equações – como os campos elétrico e
magnético – que podem variar de um referencial inercial para outro, mas também quantidades
físicas constantes (invariantes). Dessa maneira, alguma forma matemática (das equações de
Maxwell) para cálculo de campo elétrico estático pode ser usada (escrita) no referencial de
repouso do fio (S); mas já sabemos, de antemão, que E em S deve ter resultado nulo, pois o
fio está eletricamente neutro neste referencial. E a mesma forma matemática para cálculo de
126
campo elétrico estático também é válida no referencial inercial de repouso da partícula (S´ ),
com a ressalva de que o campo elétrico neste referencial não pode mais ser nulo; pois, como
concluímos, o fio deve estar carregado em S´.
Enfim, não se pretende aqui – para a 1ª questão – dar uma resposta única para a
incompatibilidade gerada como consequência de considerar-se o fio eletricamente
descarregado em S´; mas, o intuito é tornar evidente ao leitor como a percepção deste
problema a ser resolvido é rica, podendo servir até como discussão introdutória. Assim, o
professor pode auxiliar na promoção de uma reflexão inicial em seus alunos, utilizando esta
questão no enfoque da riqueza do “problema de Feynman”. Uma boa e breve discussão do
problema envolvido no texto, por si só, já pode ser capaz de introduzir (de forma bem
introdutória) importantes noções como a relatividade dos campos elétrico e magnético e a
preservação das equações de Maxwell, referente ao fato de que, em todos os referenciais
inerciais, a teoria eletromagnética clássica é aplicável – estando em compatibilidade com a
Teoria da Relatividade Especial.
2ª QUESTÃO:
No cálculo do valor de campo magnético – no referencial do fio (S) –, basta
utilizarmos a lei de Ampère da magnetostática. Sendo este campo estático em S (não variando
no decorrer do tempo t deste referencial inercial), pois a corrente em S é estacionária,
devemos obter uma expressão para seu valor que varie apenas com a distância radial r ao eixo
longitudinal do fio; pois se considera um fio reto, muito longo (que tende ao infinito) e de
formato cilíndrico. A lei de Ampère da magnetostática, na forma integral, é geralmente dada
pela equação 1 do enunciado desta questão. O valor absoluto da velocidade da luz no espaço
livre, c, é uma constante obtida por Maxwell em suas equações, designada por c =
então, μo =
1
 o o
;
1
, e a equação para a lei mencionada – escrita com os termos usados por
 oc 2
Feynman (2008) em seu texto – fica:

linha
B ∙ dl =
i
 oc 2
(3)
127
Este problema exibe simetria cilíndrica, e a integral de linha fechada para o campo
magnético B é feita ao longo de uma circunferência concêntrica ao eixo longitudinal do fio
(cujo plano que a contém corta transversalmente o fio); como B e dl são paralelos e tangentes
em qualquer ponto da circunferência – e o valor de B é constante em todos os pontos desta, a
uma distância radial r qualquer –, a integral no lado esquerdo da equação 3 iguala-se a:
B

dl = B 2πr; onde a integral do elemento dl é o próprio comprimento 2πr da
linha
circunferência. Assim, igualamos este último resultado ao lado direito de 3, e obtemos:
B=
i
2r o c 2
=
  vA
2r o c 2
(4)
Onde a corrente elétrica i – no referencial de repouso do fio (S) – foi substituída pela
expressão dada por Feynman (2008, p. 13–8), i = ρ_vA. O leitor facilmente pode provar que
ρ_vA é dimensionalmente coerente com a unidade de corrente, o ampère [A]. Portanto, ao
obtermos a expressão do valor de B para qualquer distância r ao eixo do condutor, temos uma
equação válida para o valor deste campo, em S, na posição da partícula de prova. O vetor B é
tangente em todos os pontos duma superfície cilíndrica imaginária que simetricamente
envolva o fio – e perpendicular ao eixo longitudinal deste. A direção/sentido de B é dada pela
regra da mão direita para o campo magnético; na posição da partícula de prova q, o vetor B
“entra” no plano do papel. Pode-se tentar visualizar a simetria na figura mostrada no
enunciado.
Para obter o vetor força magnética, F, que atua na partícula de prova, em S, deve-se
tomar a equação:
F = qvo  B
(5)
A equação 5 provém da expressão mais geral para a força eletromagnética Feletromag. =
qE + (qv  B); geralmente atribuída à Lorentz. Em nosso caso de fio neutro em S, a força
atuante na partícula é puramente magnética neste referencial.
Não é necessário, aqui, introduzir um sistema de coordenadas cilíndricas circulares,
com uma base de vetores unitários, para o cálculo de F (magnética); precisamos apenas
respeitar a definição de produto vetorial e a regra de mão direita para determinação da
128
direção/sentido do produto vetorial vo  B, no referencial do fio. Efetuando-se este produto,
na posição da carga de prova, obtém-se uma força magnética F radial ao eixo longitudinal do
fio; assim, introduzimos um unitário r (radial), que aponta no sentido do aumento do módulo
de r (afastando-se do eixo do condutor):
F = qvo
  vA (r) = q  Av 2 (r)
2r o c 2
2r o c 2
(6)
Onde se considerou o valor de velocidade vo igual ao valor de v_ = v (velocidade de arraste
dos elétrons condutores em S), isto é, o caso especial tomado por Feynman (2008, p. 13–8),
em que vo = v. Repare que, sendo a carga q uma propriedade material escalar e, neste caso,
negativa, o sentido de F é contrário ao de um eixo radial que se afasta do fio reto; então, a
orientação desta força é radial apontando para o fio. A regra da mão direita (para
determinação de força magnética) é bem explicada por Serway e Jewett (2008) 3. Relembre-se
que o vetor resultante, em um produto vetorial, é sempre perpendicular aos vetores envolvidos
na operação.
No texto de Feynman, B e vo são perpendiculares, o que, pela definição de magnitude
do produto vetorial, faz com que F tenha seu módulo máximo, igual a
q  Av 2
. O resultado
2r o c 2
obtido em 6 é semelhante ao de Feynman (2008, p. 13–8), expresso na equação 13.21, com
exceção do vetor unitário r. É interessante reparar que, aqui, já aparece uma razão matemática
bastante recorrente na Teoria da Relatividade Especial, v2/c2. Até este ponto do texto,
Feynman ainda não recorreu a nenhum efeito ou previsão relativísticos; entretanto, ele já
discorreu sobre o fato de que o magnetismo não é uma “coisa” independente, como se pode
imaginar. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–7). Noutras palavras, podemos
dizer que este resultado magnético obtido para o referencial do fio em repouso não é absoluto
para o fenômeno em questão; ou seja, este referencial inercial (S) não é privilegiado para a
descrição de campo magnético. E, de modo análogo, para a descrição da força atuante na
partícula elétrica. Na verdade, todos os referenciais inerciais estão em pé de igualdade; isto se
interliga ao fato de que a grandeza de campo magnético é relativa:
3
O autor deste material pôde constatar que, com razão, existem algumas (senão várias) variações do que se
denomina regra da mão direita, inclusive em livros e notas de aula (na internet) para cursos superiores; p. ex.,
para a determinação de produto vetorial, esta regra é – às vezes – chamada de regra do parafuso direito. As
variações parecem ocorrer tanto no nome dado à regra quanto em técnicas mnemônicas envolvendo o polegar
e os outros dedos da mão direita.
129
[...] este vetor dependerá de qual sistema de referência escolhemos para especificar a
velocidade das cargas. Mas não falamos nada sobre qual o referencial apropriado
para se especificar o campo magnético. Verifica-se que qualquer referencial inercial
pode ser usado. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–7).
Sendo o Princípio da Relatividade einsteiniano válido no Eletromagnetismo, devemos
encontrar outras descrições compatíveis com as leis fundamentais desta teoria no referencial
inercial da partícula de prova (S´ ), e em qualquer outro referencial inercial. Assim, os
conceitos de forças e grandezas de campo magnético e elétrico são relativos; mesmo assim,
não há um referencial privilegiado (absoluto) para o Eletromagnetismo e para a propagação da
luz; uma descrição de natureza eletromagnética, em sua totalidade, é invariante. (FEYNMAN;
LEIGHTON; SANDS, 2008; EINSTEIN, 1999).
3ª QUESTÃO:
No cálculo do módulo da velocidade de arraste dos elétrons de condução, em S, vamos
partir da equação dada por Feynman (2008, p. 13–8) para a corrente elétrica, que pode ser
expressa por i = ρ_vA; onde ρ_ é a densidade de carga negativa de condução no referencial do
fio de cobre em repouso, v = v_ é o valor médio da velocidade (do arraste) da distribuição de
elétrons condutores neste referencial, e A é a área transversa do fio – que é invariante, pois as
dimensões transversas ao movimento não sofrem alteração relativística. Isolando v_ , e
escrevendo a área em função do diâmetro d do fio, temos:
v_ =
i
d 
2
(7)
2
 _  
A única quantidade física não conhecida para o cálculo de v_ é ρ_ (para o cobre), sua
densidade de carga negativa de condução no referencial do fio. A quantidade de átomos de
cobre por unidade de volume (nas CNTP) é cerca de 8,48
x
1022 átomos/cm3 (SERWAY;
JEWETT, 2008, p. 770); e, como cada átomo contribui com um elétron livre de corrente, temse (8,48
x
6
3
1022 elétrons de condução/cm3)  10 cm  = 8,48
 m3 
x
1028 elétrons de condução/m3.
Agora, basta multiplicarmos este resultado pela carga elementar – de módulo e = 1,60 x 10–19
C –, o que nos fornece o módulo da densidade negativa de condução: 1,3568 x 1010 C/m3 de
130
densidade absoluta de carga para ρ_. O leitor também pode obter este resultado utilizando a
densidade de massa do cobre, sua massa molar e a constante de Avogadro, que podem ser
dados, respectivamente, pelos valores: 8,96 g/cm3 (a 20 oC = 293 K); 63,54 g/mol e 6,02 x 1023
mol
–1
(RESNICK; HALLIDAY; KRANE, 2007). Finalmente, substituindo os valores
fornecidos no enunciado desta questão para a corrente i, o diâmetro d (= 1,00 mm = 10–3 m), e
o calculado para ρ_ , obtém-se:




C
/
s
v_ =

2 
 10 3   C m 2 
10
1,3568 x 10 x  

3

 2  m
1,00
= 9,38 x 10–5 m/s
(8)
(com três algarismos significativos)
O resultado obtido em 8 é da ordem de grandeza de 10– 4 m.s –1, isto é, um valor de
velocidade média de arraste em torno de apenas um décimo de milímetro por segundo. O
módulo desta velocidade é medíocre quando comparado aos valores cotidianos comuns,
como, p. ex., o de um carro que translada a 110,0 Km/h (≈ 30,6 m/s); o que nos dá uma razão
(da ordem de grandeza) de 10–6 para a velocidade de arraste dividida pela velocidade do carro.
O texto de Feynman demonstra que as previsões da Teoria da Relatividade Especial podem
ser levadas em consideração, no contexto do Eletromagnetismo, até quando os valores de
velocidades entre os referenciais inerciais são da ordem de grandeza – ou próximas – da
calculada acima. Com efeito, Feynman não especifica a composição química, o valor de
corrente e o diâmetro do condutor etc. na proposta de seu texto, mas considera o problema
“para as pequenas velocidades.” (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–10). A
razão entre o módulo da velocidade de arraste calculado e o da luz,
v_
, é muitíssimo
c
pequena, da ordem de grandeza 10–13. Vemos, portanto, que existe a possibilidade teórica de
enfocar a íntima conexão entre o Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade Especial – com
um tratamento matemático razoável – mesmo em velocidades relativas (entre referenciais
inerciais) usualmente menores do que as observadas na vida cotidiana e consideradas em
muitos estudos teóricos de Mecânica Clássica.
131
4ª QUESTÃO:
Em um longo fio reto e cilíndrico, de comprimento próprio Lo em seu referencial de
repouso (S), tem-se densidade de carga – para certa distribuição de cargas no corpo do fio –
dada por ρo =
Q ; onde LoAo é o volume próprio (medido no referencial de repouso) do fio
Lo Ao
e Ao é sua área de seção reta. Em um referencial inercial com velocidade paralela ao eixo
longitudinal do fio reto, o comprimento Lo se contrai por um fator inverso ao de Lorentz, isto
é, por 1/γ (um dividido por gama); o que nos dá um comprimento relativo L:
L = 1 Lo =

Lo
1
v2
1
c2
= Lo 1  v
2
(9)
c2
Este é o resultado 13.22 do texto de Feynman (2008, p. 13–9). Assim, no referencial
inercial em movimento relativo ao fio (S´), este apresenta um comprimento L menor que Lo;
logo, o volume do fio também será menor no referencial da partícula. Lembre-se que o fator
de Lorentz, γ, é sempre um positivo maior do que um (1) quando v é diferente de zero, e seu
inverso fica entre zero e a unidade. O efeito da contração de Lorentz (ou contração do espaço)
é uma previsão da Teoria da Relatividade Especial usada por Feynman (2008) a fim de
concluir que o fio, no referencial inercial S´ de repouso da partícula, possui densidade
volumétrica de carga líquida não nula. É interessante reparar que esta consideração
relativística faz surgir o fator γ nas expressões para os valores de força e campo elétricos – em
S´. Aqui entra uma lei de invariância – e também de conservação – de grande importância no
arcabouço teórico-conceitual do Eletromagnetismo, da Teoria da Relatividade Especial e da
Física em geral; trata-se da questão da invariância (e conservação) da carga elétrica. Podemos
afirmar que a carga líquida associada a qualquer conjunto de partículas (que não recebe nem
perde nenhum portador de carga), digamos alguns prótons e elétrons, é sempre a mesma,
independentemente do movimento relativo entre o conjunto de partículas e um observador;
noutras palavras, a carga líquida contida numa partícula – ou em certa coleção delas – é
sempre uma propriedade escalar invariante que não depende da velocidade, ou seja, uma
quantidade física que se preserva em qualquer referencial inercial. Por exemplo, imagine uma
partícula com carga q que se move em relação à superfície da Terra com valor de velocidade
0,5c (metade do valor da velocidade da luz no espaço livre), o que é simétrico à superfície
132
terrestre mover-se a 0,5 c relativamente a esta partícula “em repouso” no referencial da órbita
da Terra. Um observador estacionário na superfície do planeta mediria sempre o mesmo valor
de carga q da partícula. Porém, as densidades de carga podem variar, pois os volumes do
espaço se alteram quando há movimento relativo entre referenciais inerciais; e, segundo
Feynman (2008), importa somente esta noção (no cálculo de densidades de carga), a de que o
volume de espaço varia devido à contração do comprimento (ou contração de Lorentz). A lei
de invariância da carga elétrica, junto ao efeito de contração do comprimento, permite-nos
deduzir uma expressão geral para densidades de carga de certa distribuição de partículas na
Teoria da Relatividade Especial.
A densidade de carga líquida no fio, no referencial inercial S´ (da partícula de prova), é
chamada por Feynman de ρ´. Vamos obtê-la; assumindo que a carga líquida Q contida em
certo conjunto de partículas (eletricamente isolado) deve ser invariante tanto em um
referencial S quanto num referencial inercial S´, ou em qualquer outro sistema inercial,
podemos obter um resultado geral a ser aplicado ao fio. Primeiramente, a área de corte reta do
fio, Ao, é uma dimensão transversa ao movimento que não se altera. Usando o resultado 9 –
que relaciona os comprimentos relativo L e de repouso (próprio) Lo –, evidenciamos a
alteração relativística do comprimento nos volumes usados no cálculo de densidades (de
carga)
ρo =
Q
Lo Ao
Q
ρ=
e
(10)
v2
Ao Lo 1 
c2
Aqui, ρo e ρ são densidades de carga gerais para qualquer distribuição de partículas
carregadas; sendo ρo a densidade de carga em repouso, ρ a densidade de carga relativa e Q a
carga líquida contida na distribuição (quantidade invariante). Assim, fica evidente a previsão
da contração de Lorentz; e, isolando Q nas equações 10, obtemos a igualdade:
Ao Lo 1 
v2
  o Lo Ao
c2
ou

o
1
(11)
v
c2
2
133
A última igualdade é um resultado mais geral para densidades de carga na Teoria da
Relatividade Especial, no nível de nosso interesse. Ela é dada por Feynman (2008, p. 13–9)
em sua equação 13.23. Vamos aplicá-la ao exemplo do autor. As cargas positivas (prótons
nucleares) estão todas estacionárias no referencial do fio (S); se há um elétron condutor por
átomo (em S), então temos N(Z – 1) elétrons estacionários neste referencial, cujas cargas são
balanceadas por uma idêntica quantidade de prótons. Z é o número atômico do elemento
constituinte do condutor e N é o número total de átomos deste elemento no fio. Assim, não é
necessário contabilizar densidades de carga de N(Z – 1) elétrons mais N(Z – 1) prótons no
referencial S, pois estas partículas estão estacionárias no referencial de repouso do fio (S); e a
densidade e a carga líquida (delas somadas) são nulas neste e em qualquer outro referencial.
Preocupemo-nos, então, somente com a carga elétrica referente a um próton em cada núcleo
do fio mais a carga do conjunto dos elétrons de condução; a densidade de carga líquida destas
partículas é nula – no referencial inercial do fio! –, pois o número de elétrons de condução
iguala-se ao de N prótons, e a carga total destes elétrons divide-se pelo mesmo volume que a
carga total dos prótons – o volume do fio em repouso (em S). Para cargas positivas, a
densidade de carga de repouso ρo – em S – nada mais é do que uma densidade positiva de
repouso ρ+ (referente à soma das cargas de cada próton líquido por núcleo); porém, no
referencial da partícula (S´) (no qual o fio está em movimento), estas mesmas cargas positivas
movem-se com velocidade –v (menos v), tendo-se para elas, em S´, uma densidade positiva
relativa ρ´+; o que, segundo o resultado geral 11, nos dá:
ρ´+ =

(12)
v2
1
c2
Para a distribuição de elétrons de condução, concluímos que estas partículas têm sua
densidade de carga negativa de repouso, ρ´_, no referencial S´ – pois estão estacionárias neste
referencial inercial; contudo, estes elétrons se movem em S, tendo sua densidade de carga
relativa ρ_ no referencial do fio em repouso. Daí,
ρ_ =
 ´_
1
(13)
v
c2
2
134
obtemos o resultado acima, que corresponde à equação 13.25 de Feynman (2008). Somandose as densidades de carga ρ´+ e ρ´_, obtidas para S´, temos a densidade de carga líquida ρ´ no
referencial da partícula de prova:
ρ´ = – ρ+ 1  v
c
2
2
+

=
v2
1
c2
2
 v2 
v
   1     

 c2 
c2
=
v2
v2
1
1
c2
c2
(14)
Onde se substituiu ρ_ por –ρ+ (menos ρ+) em 13, pois estas duas densidades se referem ao
referencial S; e, estando o fio neutro neste referencial inercial, a igualdade ρ+ + ρ_= 0 deve ser
satisfeita. O resultado para ρ´ confirma que o fio condutor tem densidade líquida de carga
diferente de zero em S´; existe, assim, um campo elétrico E´ neste referencial que interagirá
com a partícula que ali está inicialmente estacionária. A relatividade dos campos magnéticos e
elétricos já pode ser vislumbrada nos resultados matemáticos apresentados, uma vez que no
referencial do fio em repouso (S) a soma das densidades de carga positiva e negativa é nula, o
que resulta em um campo elétrico E = 0. Entretanto, a soma de densidades de carga
observadas no referencial inercial da partícula de prova (S´) não é nula (ρ´ ≠ 0), o que faz
surgir um campo elétrico E´ diferente de zero; assim, este tipo de campo existe em S´, mas
não em S. Recorde-se também que, no referencial S do fio, há somente campo magnético; e
este tipo de campo também está no referencial S´ da partícula, mas com valor diferente de B
(em S) – embora B´ e B tenham mesma direção e sentido, como veremos adiante. Mas ficam
os questionamentos: há carga elétrica líquida (no fio) do ponto de vista do referencial inercial
S´ ? Sendo a carga uma quantidade que se conserva, teria o fio carga interna líquida zero em
S´ (referencial da partícula), assim como no referencial S – mesmo havendo densidade de
carga não nula (ρ´ ≠ 0) em S´ ?
Isto suscita uma questão sutil e delicada. Ela não é explicitada por Feynman. Sabendo
que a conservação (invariância) da carga elétrica não pode ser violada, poderíamos suspeitar
que a carga (não a densidade) líquida no corpo do fio – em S´ – seja também nula. Mas não, a
carga líquida no fio, no referencial S´, é diferente de zero; o que não viola a lei de
135
conservação da carga. Aqui entra em cena a noção da relatividade da simultaneidade, que se
refere ao fato de que dois eventos simultâneos em um referencial inercial não são simultâneos
em outro, exceto em um caso específico. Suponha que, no referencial S do fio de Feynman
(como representado na Figura 13–10 (a) (2008, p. 13–7)), que está neutro, um elétron sai pela
base direita do fio ao mesmo tempo em que outro elétron entra pela base esquerda. Com
efeito, sendo a corrente i estática, ρ_ uniforme e a área de corte reta do fio invariante, a
velocidade de arraste dos elétrons de corrente mantém-se a mesma – de acordo com i = ρ_vA.
Assim, em qualquer instante de tempo t do referencial S, igual número de elétrons sai e entra
no fio – o que o mantém neutro. Obviamente, o exemplo de Feynman é idealizado; assim, não
consideramos nenhum efeito, flutuação no valor de grandezas (como ρ_, p. ex.) e perturbações
externas que possam gerar campo elétrico e carga líquida em S. Um observador em
movimento perpendicular ao eixo longitudinal do fio, na Figura 13–10 (a) (2008, p. 13–7), ao
longo da reta que mantém iguais distâncias das bases do fio, também constata a entrada de
um elétron por uma base do fio simultaneamente à saída de outro pela outra base; este é o
caso específico mencionado acima, em concordância com Taylor e Wheeler (1992). Porém,
segundo a Teoria da Relatividade Especial, em outros referenciais inerciais estes dois eventos
(entrada de um elétron por um lado e saída de outro elétron por outro lado) não são
simultâneos; assim, no referencial S´ (da partícula), um elétron sai pela base direita antes que
outro entre pela esquerda, pois o observador se move para a direita; e a distância de percurso
da luz desta base até o observador (em S´) é menor, o que o faz detectar a saída de um elétron
pela direita antes da entrada de outro pela esquerda. Isto origina uma carga líquida positiva no
fio de Feynman, do ponto de vista de S´, o que está de acordo com a densidade ρ´ positiva e
com o campo elétrico E´ que devem existir no referencial S´ da partícula de prova.
Obviamente, a descrição anterior é apenas uma experiência de pensamento. É válido tentar
imaginá-la a partir da Figura 13–10 (b) do texto (2008, p. 13–7); também, na prática, lidamos
com uma quantidade enorme de elétrons livres (o que pode se perceber na resolução da 3ª
questão). Imaginar que um elétron sai do fio antes que outro entre é apenas uma simplificação
útil. Não há nenhum problema mais profundo com o fato de que o fio deixa de estar neutro na
passagem do referencial inercial S para o S´, pois a lei de conservação da carga não é violada.
A conservação da carga elétrica deve ser local, e se relaciona ao fato de que um portador de
carga (em um sistema físico “em repouso”) pode se mover de um local para outro e/ou
permanecer estacionário dentro da fronteira do sistema; mas nunca desaparecer e –
simultaneamente – aparecer em outro lugar do sistema em questão. Se isto ocorresse, um
observador em MRU relativo ao sistema poderia observar a não simultaneidade destes
136
eventos (o desaparecimento e surgimento de um elétron, p. ex.); portanto, este observador
concluiria que, em certo intervalo do seu tempo, o elétron sumiu ou houve um elétron extra.
Assim, a lei de conservação da carga só valeria corretamente no referencial do sistema
considerado em repouso, isto é, deveria haver um referencial privilegiado, absoluto; o que
viola o Princípio da Relatividade. Na experiência de Feynman (2008), obviamente, há um
sistema que contém o fio, uma bateria (ou outra fonte qualquer) e, como é possível imaginar,
outros elementos de circuito. Mas o que mais importa é que a carga líquida interna ao sistema
deve se conservar, estando este isolado (eletricamente); mesmo que a carga líquida no corpo
do fio seja nula em S e positiva em S´. Também, esta lei de conservação no experimento de
Feynman (2008) é compatível com a verificação de que deve ser local; afinal, temos
portadores de carga em movimento e em repouso (em S e S´) na estrutura do fio de Feynman
(2008), da fonte – e talvez em outros dispositivos –, mas não partículas carregadas que
desaparecem e reaparecem em outro local, o que segundo Feynman “[...] é impossível, de
acordo com o princípio da relatividade de Einstein. Logo, é impossível haver conservação não
local da carga. O caráter local da conservação da carga é coerente com a teoria da
relatividade.” (FEYNMAN, 2012, p. 71).
Esta questão é valiosa, pois neste ponto já se vislumbra a relatividade de campos
magnético e elétrico até quando a velocidade relativa entre referenciais inerciais é bem
pequena (da ordem obtida na 3ª questão, ≈ 10– 4 m.s –1). É significativo que o leitor perceba,
no aspecto da relatividade destes campos, a importância da Teoria da Relatividade Especial a
fim de tornar compatíveis (nos dois referenciais inerciais de Feynman) descrições teóricas
provindas da mesma teoria: o Eletromagnetismo Clássico.
Enfim, a partir da consideração de contração espacial, o físico deduz uma expressão de
densidade líquida de carga não nula em S´, e conclui pela existência do campo E´ neste
referencial; também, utilizando a noção de relatividade da simultaneidade, mostramos (de
modo razoavelmente convincente) que há carga líquida positiva no fio em S´. O fator γ

1


1
v2
c2

 na equação obtida para ρ´ não vem de correções relativísticas no formalismo


matemático do Eletromagnetismo, mas sim da Teoria da Relatividade Especial (previsão de
contração do espaço) – que já inclui o Eletromagnetismo no seu arcabouço teórico e
conceitual, sem precisar modificá-lo. Além disso, vimos que a carga elétrica de um sistema
isolado eletricamente se conserva em todos referenciais inerciais; esta é uma lei fundamental
do Eletromagnetismo – e da Física Moderna –, tanto é que Feynman (2012) a denomina um
137
grande princípio de conservação. Afinal, a carga é uma propriedade intrínseca à estrutura de
boa parte da matéria conhecida; Feynman (2008), no texto aqui estudado, explicita duas
observações cotidianas que implicam na invariância (e conservação) dessa propriedade. Uma
aponta que um objeto inicialmente descarregado (em certa temperatura) tornar-se-ia
carregado quando aquecido; a outra nos indica que uma substância qualquer se carregaria na
ocorrência de simples reações químicas. Mas estes efeitos nunca foram observados. As
explicações de Feynman (2008) a este respeito são muito boas, e é válido relê-las com
cuidado e atenção. Repare que a observação referente ao aquecimento de um objeto também é
válida se este for resfriado, de acordo com a explicação de Feynman; em resumo, um objeto
inicialmente neutro – em certa temperatura – tornar-se-ia eletricamente carregado quando sua
temperatura variasse. É claro que, nas observações mencionadas por Feynman (2008), os
objetos – sistemas – devem estar eletricamente isolados. A lei de conservação e invariância da
carga elétrica é um dos aspectos mais pertinentes do texto de Feynman (2008), que tentamos
enfatizar nos comentários desta 4ª questão, juntamente à relatividade dos campos magnético e
elétrico e ao fato de que o efeito da contração de Lorentz pode ser “emprestado” pela Teoria
da Relatividade Especial – a fim de se começar a vislumbrar a relatividade destes campos e a
compatibilização desta teoria com o Eletromagnetismo.
5ª QUESTÃO:
Item (a):
Primeiramente, vamos obter a expressão para o valor do campo elétrico E´, como
indicado por Feynman (2008) em sua equação 13.28. Lembre-se que o campo elétrico
somente se manifesta em S´; e aqui usaremos a equação da densidade líquida de carga ρ´ no
referencial inercial da partícula (S´). Esta equação se encontra no resultado 14.
É bom que se imagine sempre o fio em movimento ao nos referirmos ao referencial S´
da partícula de prova – referencial inercial no qual esta partícula está em repouso, mas não o
fio. Isto é evidenciado na Figura 13–10 (b) (2008, p. 13–7) do texto; assim, em S´, o fio se
move para a esquerda e realmente está positivamente carregado (o que pode se visualizar na
Figura 13–12 (b) (2008, p. 13–11) de Feynman). Poderia ser útil, neste momento, que o leitor
revisse (com atenção) as figuras de Feynman citadas acima – e relesse seus respectivos
enunciados com cuidado –, pois estas se referem ao referencial S´ da partícula elétrica. A
Figura 13–12 (b) (2008, p. 13–11) ilustra razoavelmente bem a relatividade dos campos
magnético e elétrico nos sistemas inerciais S e S´.
138
Antes do cálculo do valor de E´ (no referencial S´), façamos algumas argumentações
sobre as equações indicadas – em enunciados de nossas questões – para duas importantes leis
do Eletromagnetismo. A lei de Gauss da eletricidade escrita para S´ (dada no enunciado desta
5ª questão),

sup erfície
E´ ∙ dS´ =
Qint erna
, eq. 2, é uma das formas de simbolizar-se
o
matematicamente a lei de Gauss da eletricidade. A equação foi escrita para o referencial da
partícula em repouso (S´), ou seja, usamos um símbolo [´] para representar grandezas e
elementos físicos e matemáticos com caráter relativo; e abstemo-nos do símbolo a fim de
apresentar propriedades e quantidades físicas invariantes (constantes). Isto é bem importante –
no nível aqui abordado –, pois, apesar da existência do que se denomina invariante e do se
denomina relativo, a forma matemática da lei de Gauss da eletricidade é a mesma tanto em S´
quanto em S. Grosso modo, podemos dizer que a equação desta lei tem igual “cara” em
qualquer referencial inercial, isto é, não é necessário acrescentar nem retirar nada da equação;
mas apenas avaliar os termos relativos (que podem variar na passagem de um referencial para
outro) e os invariantes. Aliás, não apenas esta lei mantém sua forma em todos os referenciais
inerciais, mas todas as leis fundamentais da teoria eletromagnética (geralmente chamadas de
equações de Maxwell). E mais ainda: todas as leis fundamentais da Física são as mesmas em
qualquer referencial inercial. Este é um dos enunciados do que hoje pode se denominar
‘Princípio da Relatividade de Einstein’ (que deve ser de conhecimento do leitor); que significa
que as equações para as leis fundamentais da Física se preservam, isto é, mantêm seu
formalismo, sua aparência, em todos os referenciais inerciais. Assim, a expressão aqui
descrita para a lei de Gauss da eletricidade também é válida no referencial S do fio em
repouso; todavia, esta lei não precisa ser aplicada neste referencial, pois, de antemão, sabemos
que E é nulo em S. A carga líquida interna ao fio é zero no referencial do fio em repouso (ρ+=
– ρ_); e isto garante não ser preciso aplicar a lei de Gauss para a eletricidade no referencial S.
É interessante apontarmos que, o formato da lei de Gauss da eletricidade (escrito acima),
explicita a carga interna de um sistema – em nosso caso, do fio; recorde-se que a carga
elétrica interna (líquida) ao fio, no referencial S´, não é nula. Discutiu-se isto nas
considerações da 4ª questão utilizando a noção da relatividade da simultaneidade, onde se
concluiu que a Qinterna no fio – em S´ – não pode ser zero; com efeito, esta carga líquida no fio
é positiva no referencial inercial da partícula (S´), mesmo que a Qinterna líquida no fio seja nula
em S. Isto não viola a lei de conservação da carga elétrica; e caso o leitor não se lembre de
nossos argumentos a este respeito, na resolução da questão anterior, é útil a releitura de certos
139
trechos desta. Enfim, como a carga líquida (no fio!) difere na mudança do referencial S para o
S´, podemos usar a simbologia Q´interna no cálculo de campo elétrico em S´; todavia,
preferimos não usar este símbolo na equação dada no enunciado desta questão, para enfatizar
que a carga líquida em uma partícula – ou em um sistema como um todo, eletricamente
isolado – é invariante, independente do movimento. Enfim, aplicando a lei de Gauss da
eletricidade em S´, temos:

E´ ∙ dS´ =
sup erfície
Q´int erna
=
o

E´ ∙ dS´ +
contorno
cilíndrico

E´ ∙ dS´ +
base
esquerda

E´ ∙ dS´
(15)
base
direita
Este cálculo também exibe simetria cilíndrica, e a integral na superfície (área)
cilíndrica fechada, que envolve o fio reto – cujo comprimento pressupõe-se ser bem maior que
o diâmetro –, divide-se em três integrais de superfícies abertas (que formam a superfície total
do cilindro); estas superfícies (áreas) podem ser vistas na Figura 2 deste material, adaptada do
próprio texto de Feynman (1964), isto é, adaptada de figura igual à Fig. 13–10 (b) de
Feynman (2008, p. 13–7). A integral no contorno cilíndrico (o envoltório do cilindro) mais as
integrais de suas bases esquerda e direita nos dá a integral fechada

E´ ∙ dS´ completa na
sup erfície
área cilíndrica do referencial S´. Repare que, nas bases (que nada mais são do que círculos
perpendiculares ao eixo do fio), por argumentos vetoriais, vemos que o campo elétrico E´ é
sempre tangente às superfícies circulares. Lembre-se que o fio considerado é infinitamente
longo, mas é preciso tomar certo comprimento finito L (relativo) no referencial S´; assim, o fio
continua infinitamente além das bases. Então, o campo E´ é sempre perpendicular ao
elemento infinitesimal de área dS´; elemento sempre normal à superfície. Logo, o produto
escalar (interno) E´ ∙ dS´, nas bases circulares, se anula; e as integrais na base esquerda e
direita também se anulam:

base
esquerda
E´ ∙ dS´ = 0
e

E´ ∙ dS´ = 0
(16)
base
direita
Considera-se que a densidade de carga ρ´, no referencial de repouso da partícula (S´), é
uniforme; dessa forma, os argumentos vetoriais mencionados podem ser válidos.
140
Também por argumentos vetoriais – e considerando-se ρ´ uniforme –, pode-se visualizar que
E´ é sempre normal à superfície do contorno cilíndrico e, portanto, paralelo ao elemento dS´.
Assim, o produto escalar E´ ∙ dS´, na integral do contorno, fica igual ao módulo de E´
multiplicado pelo módulo de dS´; e o resultado 15 se torna:

E´ ∙ dS´ =
sup erfície
Q´int erna
=
o

E´ dS´
(17)
contorno
cilíndrico
Sendo que E´ tem sempre o mesmo valor para certa distância r perpendicular ao eixo
do fio (E´ é estático); e como

dS´ = S´ (a área do contorno do cilindro), obtemos:
contorno
cilíndrico
Q´int erna
= E´ S´ = E´ 2πrL
o
(18)
Onde S´ = 2πrL; portanto, o valor do campo elétrico E´, no referencial inercial da partícula de
prova, fica:
E´ =
´ A
´ Ao L
Q´int erna
=
=
2r o
2rL o 2rL o
Obtivemos o último termo (mais à direita) fazendo ρ´ =
(19)
Q´ ; assim, a carga interna Q´
V´
se iguala à ρ´Ao L. O volume relativo V´ do fio, em S´, é dado por V´ = Ao L. Atente-se para o
fato de que a área de seção transversal do fio condutor é representada por Ao = A, pois
Feynman (2008) usa para esta estes dois termos – o que é desnecessário, pois as dimensões
transversais ao movimento relativo entre referenciais inerciais não sofrem alteração
relativística. Calculamos a expressão para ρ´ – que é positiva – em S´ (referencial da
partícula),
2
v
c 2 = ρ´; este cálculo está na 4ª questão e no texto de Feynman (2008). Logo,
v2
1
c2

o termo mais à direita em 19 se torna:
141
E´ =
 A
v2
c2
(20)
v2
2 o r 1 
c2
Esta é a expressão para o valor de campo elétrico E´ – no referencial inercial S´ –
como escrita por Feynman (2008) em sua equação 13.28. Este resultado também mostra a
questão da relatividade do campo elétrico; com razão, como o leitor deve saber, há campo
elétrico em S´, mas não em S. A expressão 20 demonstra que o valor de E´, em S´, não pode
ser nulo; já sabíamos disto de antemão, pois o fio está positivamente carregado no referencial
de repouso da partícula. Obviamente, a relatividade dos campos magnético e elétrico também
se aplica às forças engendradas por estes na partícula elétrica.
Somos já capazes de explorar melhor o aspecto da relatividade do campo magnético
na experiência de Feynman (2008). Este campo está nos dois referenciais inerciais do texto;
em S, ele é devido à corrente estática i neste referencial, uma corrente de elétrons livres; em
S´, o campo magnético se deve à corrente (também estática) i´ que se manifesta neste
referencial: o fio, em movimento no referencial S´, leva consigo uma distribuição de
partículas positivas (prótons), fixas em sua estrutura. A distribuição tem valor de velocidade
v´+ = – v (para a esquerda); reveja a Figura 13–10 (b) do texto de Feynman (2008, p. 13–7) e
repare que esta velocidade é simplesmente o negativo do vetor vo (velocidade da partícula de
prova em S). As cargas positivas são representadas, em S´, pela densidade de carga ρ´+ ; uma
densidade relativa de carga positiva, pois estas se movimentam no referencial S´ da partícula
de prova. Recorde-se que a soma destas cargas (contidas em prótons nucleares) é a carga total
de N prótons, onde N é o número de átomos de certa porção do fio infinito tomada para
estudo. Os demais prótons nucleares também se movem no referencial S´ (junto ao fio), mas
suas cargas (e densidades de carga) não precisam ser contabilizadas, pois se contrabalanceiam
pelas cargas dos demais elétrons atômicos. Em resumo, Feynman preocupa-se apenas com o
total de elétrons livres (que se supôs ser um por átomo na 3ª questão) que concorrem com
igual número de prótons nucleares – também um por átomo (por núcleo); os demais elétrons e
prótons estão em repouso uns em relação aos outros. E na ausência de movimento relativo
entre eles, suas cargas (e densidades de carga) se balanceiam em qualquer referencial inercial.
A equação 12 – ou 13.24 de Feynman (2008) – nos dá a relação entre as densidades de carga
142

positiva em S e S´: ρ´+ =
= γ ρ+; onde a densidade ρ+ é uma densidade de repouso,
v2
1
c2
pois as cargas positivas estão estacionárias em S, e ρ´+ é uma densidade de carga relativa –
pois estas mesmas cargas se movem junto ao fio em S´. Sendo γ =
1
1
maior do que um,
v
c2
2
em nosso caso (v ≠ 0), ρ´+ fica maior que ρ+. O procedimento para cálculo do valor do campo
magnético B´, em S´, é igual ao utilizado no cálculo deste campo em S; isto indica que
podemos usar a mesma forma de equação de Maxwell (lei de Ampère da magnetostática),
usada no referencial do fio (S), para calcular o valor de B´ no referencial inercial da partícula
(S´). Pois as equações de Maxwell se preservam, mantendo sua forma, seu formato, em
qualquer referencial inercial; e devemos apenas analisar quantidades que variam (ou podem
variar) na passagem de um referencial para o outro. Assim, admitindo que o campo magnético
varia – de S para S´ –, pois o valor de corrente varia, podemos escrever a lei de Ampère da
magnetostática para S´,

B´ ∙ dl´ = μo i´, de tal modo a destacar o símbolo [´ ] nas
linha
quantidades que sofrem variação. Como i´ é dada ρ´+ (–v)A (assim como i = ρ_vA), e
substituindo-se μo por
1 (que são todas quantidades constantes), obtemos que o valor de
 oc 2
B´ – após um rápido cálculo – é
B´ =
 ´ vA
. Aqui, o infinitesimal dl´ = dl, pois estes são elementos matemáticos
2r o c 2
transversais; portanto, invariantes ao MRU relativo no texto de Feynman (2008). Também a
circunferência na qual se faz a integral

dl´ possui comprimento invariante, 2πr, pois é
linha
uma circunferência transversa ao movimento (assim como r), que não se altera; e a simetria
para o cálculo é igual à da obtenção do valor de B, com B´ e dl´ paralelos. Optamos por
usar 1 ao invés de μo, a fim de que nossos resultados fiquem semelhantes aos de Feynman.
 oc 2
Podemos comparar o resultado de B´ com o do valor de B, obtido para S; para isto, basta
utilizar a relação entre as densidades de carga positiva (indicada acima e no texto) e a
igualdade ρ+ = – ρ_. Fica, então, como sugestão ao leitor obter B´ = γ B, que é a relação entre
143
os valores dos campos magnéticos, para determinada distância radial r ao eixo (longitudinal)
do fio, nos dois referenciais do texto.
Todos os campos de Feynman (2008), B, E´ e B´, são estáticos; e somente o campo
magnético B´ não atua na partícula de prova, pois a velocidade desta – em seu referencial
próprio – é nula. Não há força magnética em S´. Recorde-se que B (magnético) existe apenas
na perspectiva de um observador em S, enquanto E´ (elétrico) e B´ apenas na perspectiva de
um observador em S´; ou seja, estes campos são totalmente relativos. Embora observemos a
mesma espécie de acontecimento físico nos dois referenciais de Feynman, a atração da
partícula pelo fio, as grandezas de campo usadas na descrição da interação (de natureza
eletromagnética) são completamente dependentes do referencial inercial escolhido. “Forças
elétricas e magnéticas são parte de um mesmo fenômeno físico – a interação eletromagnética
das partículas. A separação desta interação em parte elétrica e magnética depende muito do
sistema de referência [...]”, destaca Feynman (2008, p. 13–11). Isto equivale a dizer que, em
qualquer referencial inercial, observaríamos uma atração entre a carga de prova e cargas no
fio, mas o(s) tipo(s) de campo(s) e força(s) engendrada(s) na partícula elétrica por este
dependem completamente do referencial usado no estudo da experiência de Feynman (2008).
Como ressalta o cientista, em outro referencial que não S ou S´, encontrar-se-ia uma mistura
diferente dos campos elétrico e magnético. Lembre-se que os resultados encontrados para
campos e forças (neste material e no texto) valem para o caso especial em que vo (da partícula
em S) é igual à velocidade de arraste dos elétrons de condução, em S. Também, ao dizermos
que os campos de Feynman são estáticos, eles o são em relação ao tempo de seu respectivo
referencial inercial; cada campo, B, E´, B´, existe apenas em um referencial.
Em relação ao fato de que as equações de Maxwell se preservam em todos os
referenciais inerciais, alguns comentários adicionais são pertinentes. Por exemplo, se em S´
(um sistema com velocidade uniforme vo relativamente à S) tivéssemos um campo magnético
variável em função do tempo t´ – distante do fio de Feynman (2008) –, produzido por corrente
variável em outro fio, a lei de Gauss da magnetostática possuiria a mesma forma neste
referencial S´ ? Sim, esta lei continuaria correta e com igual formalismo matemático; só não
seria mais aplicável nesta situação. Para o cálculo do campo magnético em certo ponto do
espaço e instante, em S´, precisaríamos da lei de Ampère generalizada. Mas o formalismo
matemático associado a estas leis se mantém em qualquer referencial, pois são equações de
Maxwell. Do mesmo modo, a lei de Gauss da eletricidade também é correta e se conserva no
referencial S do fio de Feynman. Esta só não precisa ser aplicada neste referencial inercial,
pois a carga e densidade líquidas são nulas em S. Enfim, todas as equações de Maxwell se
144
preservam em qualquer referencial inercial, sem a necessidade de nenhuma correção
relativística; é necessária, sim, a análise de características do(s) campo(s) em determinado
referencial, isto é, de grandezas e quantidades físicas que lhes originam e de suas possíveis
alterações – que podem se modificar na mudança de referencial inercial ou no próprio
referencial em questão. Assim, podemos estudar quais equações de Maxwell são mais
apropriadas em cada caso.
Para finalizar o item (a) desta questão, vamos obter o vetor força elétrica que age na
partícula de prova – em seu próprio referencial S´; é fácil perceber que este vetor é radial ao
eixo longitudinal do fio, pois o campo elétrico estático (em S´) também é radial a este eixo. As
linhas de campo são retas perpendiculares à superfície do condutor, afastando-se deste,
porque o fio está carregado positivamente no referencial da partícula. Logo, basta inserir um
unitário radial r positivo – na expressão do campo E´ – para obtermos o vetor E´; e como o
campo elétrico, em S´, pode ser dado por E´ = F´/q , temos que
F´ = q E´ = q
 A
v2
c2
2 o r 1 
(r)
(21)
v
c2
2
Onde a carga q, no texto de Feynman (2008), é um invariante escalar negativo. Assim,
percebemos que a força elétrica F´ tem sentido contrário ao de E´, mas está na mesma reta de
ação (radial). O resultado 21 é coerente, pois as forças magnética F e elétrica F´ têm
orientações iguais, cada qual em seu respectivo referencial inercial; o que não poderia ser
diferente, pois a experiência de Feynman envolve uma interação de natureza eletromagnética
atrativa. A atração eletromagnética deve se observar não apenas nos dois referenciais do
texto, mas em qualquer outro; seria um absurdo lógico a partícula elétrica aproximar-se do fio
no referencial de repouso deste (S), mas permanecer estacionária – ou ser repelida, afastandose do fio – em seu referencial próprio e/ou em outro qualquer. Em suma, segundo o Princípio
da Relatividade einsteiniano, não somente as equações fundamentais do Eletromagnetismo
(de Maxwell) são idênticas – preservando os seus formatos matemáticos em quaisquer
referenciais inerciais –, mas todas as leis fundamentais da Física. Estas leis descrevem
acontecimentos físicos (em nosso caso, a interação eletromagnética em S e S´) logicamente
coerentes com as observações experimentais em distintos referenciais inerciais. Enfim, apesar
de que temos conceitos de força diferentes nos referenciais de Feynman (2008), a força
145
magnética (em S) e a elétrica (em S´) nos dão resultados físicos compatíveis – como mostrado
por Feynman e em considerações posteriores deste material. A relatividade das forças
elétricas e magnéticas provém da relatividade dos campos a elas associados; também, na
abordagem de Feynman (2008), vimos que foi possível concluir pela relatividade destas
forças partindo de leis e previsões como a invariância da carga elementar, a contração do
espaço, a variação relativística de densidades de carga etc. E mesmo na existência de tantas
grandezas, quantidades e conceitos relativos, certos resultados físicos devem mostrar-se
iguais, como p. ex., o valor da carga na partícula de prova. As forças F e F´ de Feynman
apenas podem ser relacionadas em sua equação 13.30 porque o valor q é o mesmo
(invariante). Caso a carga contida na partícula dependesse de sua velocidade (e, por
conseguinte, dependesse do referencial inercial), não se poderia equacionar F´ e F como faz
Feynman (2008); assim, os resultados físicos não seriam coerentes em S e S´, estando em
contradição com o Princípio da Relatividade. A medição de carga deve resultar em valores
idênticos, para quaisquer referenciais; esta é uma boa maneira de se enfatizar a lei de
invariância (e conservação) da carga elétrica. Observando o leitor as expressões 13.21 e 13.29
de Feynman – do valor de força magnética e elétrica, respectivamente –, facilmente notará
que estas apenas se relacionam matematicamente se a carga elétrica líquida q da partícula for
um invariante escalar. Isto é verdade para qualquer sistema na natureza, que esteja
eletricamente isolado. Assim, mesmo que haja recebimento/perda de energia pelo sistema
e/ou ocorrência de reações químicas em seu interior, a carga líquida sempre é invariante (se
conserva). A lei de invariância/conservação da carga elétrica é muito importante na ciência;
afinal, como afirma Feynman (2012), a carga é a propriedade fonte do campo
eletromagnético.
Item (b):
A outra quantidade física à qual o enunciado deste item se refere – explícita na maior
parte das equações de Feynman (2008) – é o valor absoluto da velocidade da luz no espaço
livre (vácuo), geralmente designado por c; uma constante para qualquer frequência de onda
eletromagnética – visível e invisível ao olho humano. Podemos dizer que c é mais um
invariante que aparece no sistema teórico interligado ao Eletromagnetismo e à Teoria da
Relatividade Especial, além da propriedade de carga elétrica, das equações de Maxwell,
dentre outros; seu valor mais preciso, atualmente aceito, é 299.792.458 m.s –1, em unidades do
Sistema Internacional (EINSTEIN, 1999; TAYLOR; WHEELER, 1992). Podemos perceber a
invariância (ou constância) de c, no texto de Feynman, pelas seguintes considerações. A
146
velocidade da luz, no referencial S do fio em repouso, aparece já na equação 13.21 para o
valor de força magnética F. Mas, o valor da velocidade luminosa, no espaço livre, que surge
elevado ao quadrado (c2) nesta equação de Feynman (2008), vem diretamente da lei de
Ampère da magnetostática. O leitor pode comprovar isto ao substituir μo por
1 na eq. 1
 oc 2
deste material e fazer o cálculo de campo e força magnética que atua na partícula de prova –
em S. Recorde-se que o valor de c é dado por
1
 o o
. Mas c também surge nas equações
13.28 e 13.29 de Feynman, sempre ao quadrado; desta vez, a quantidade c2 nestas equações
provém da expressão para a densidade líquida (positiva) de carga ρ´, evidenciada na equação
13.27 do texto. Em última instância, c2 aparece nas equações para o valor de campo e força
elétrica, em S´, pois vem da adoção de Feynman (2008) do efeito relativístico da contração do
espaço – expresso em sua equação 13.22. Assim, para que os valores de força elétrica F´ e
magnética F possam ser relacionados em 13.30 – e também para que possamos provar (mais
adiante) que o momento transverso da partícula é invariante em ambos os referenciais
inerciais de Feynman (2008) –, devemos assumir que c tem igual valor absoluto em equações
para grandezas dos dois referenciais do texto. Noutras palavras, c deve possuir o mesmo valor
absoluto na equação 13.29 (para F´ no referencial S´) e na equação 13.21 (para F no
referencial S), para que se possa relacionar estas forças e concluir pela coerência dos
resultados físicos em ambos os referenciais inerciais. Caso c fosse uma quantidade relativa, o
adequado seria usar símbolos e/ou subscritos distintos para esta velocidade nas equações de S
e S´ – assim como faz Feynman para diversas grandezas relativas e variáveis. Porém, c surge
como constante nas equações para grandezas de qualquer referencial inercial, sendo, por
conseguinte, independente do movimento relativo entre estes. E isto é confirmado pela
experiência. Deve ser de conhecimento do leitor, por exemplo, a famosa experiência óptica de
Michelson-Morley (ou outros avanços empíricos que também comprovam a constância de c).
Afinal, se a invariância no valor de velocidade luminosa (no espaço livre) não tivesse provas
da observação, Feynman (2008) não poderia concluir pela compatibilidade entre o
Eletromagnetismo e a Teoria da Relatividade Especial. E, se c não fosse constante, a
permissividade elétrica εo e a permeabilidade magnética μo, para o espaço livre, também não o
seriam; pois εo =
1 e μ = 1 . Dessa forma, poderíamos esperar que o formalismo
o
o c 2
 oc 2
matemático das equações de Maxwell não se preservasse, sendo dependente de um referencial
absoluto, privilegiado; neste caso, o Princípio e a Teoria da Relatividade Especial de Einstein
147
não seriam válidos – juntamente às previsões de dilatação temporal e contração espacial.
Entretanto, c, μo e εo são quantidades físicas invariantes, intrincadamente relacionadas entre si
e às equações de Maxwell.
Pode parecer aparentemente absurdo que a velocidade de propagação da radiação
eletromagnética tem sempre o mesmo módulo no espaço livre, independente do movimento
relativo entre a fonte de luz e o observador. A constante c traz à tona, de certa forma, a
intrincada relação entre as grandezas de espaço e tempo; segundo Taylor e Wheeler (1992), c
pode ser interpretada – ao utilizarmos unidades iguais para as medidas de tempo e espaço –
como um fator de conversão entre estas grandezas. Esta constante também evidencia de certo
modo a conexão íntima entre os formalismos teóricos do Eletromagnetismo e da Teoria da
Relatividade Especial, como se percebe no texto de Feynman (2008), p. ex., ao observarmos
suas equações para densidades de carga – válidas mesmo quando a velocidade relativa entre
dois referenciais inerciais é muito pequena.
6ª QUESTÃO:
Esta, talvez, é a questão mais difícil deste material, no que se refere ao procedimento
de cálculo; entretanto, ela envolve noções interessantes. Em primeiro lugar, deve-se deixar
claro ao leitor que a abordagem em Feynman (2008) insere-se somente no contexto da teoria
clássica do Eletromagnetismo e da Teoria da Relatividade Especial. Podemos desconsiderar
qualquer interação gravitacional; também, desconsideram-se quaisquer efeitos ou previsões
relacionados às teorias quânticas, assim como quaisquer forças de resistência/atrito mecânico.
Enfim, só nos interessam referenciais inerciais, ou melhor, referenciais inerciais bem
aproximados; assim, as variações de velocidade da partícula elétrica de prova q – devido às
forças que nela atuam, cada qual em um referencial – devem ser tomadas como bastante
pequenas, de tal maneira que o referencial S´ de repouso desta partícula (a própria partícula!)
mantenha-se quase que somente em movimento reto e uniforme em relação ao referencial S
(de repouso do fio). Noutras palavras, o movimento entre a partícula e o fio seria, na prática,
muito próximo de um movimento relativo uniforme; e as variações de velocidade da partícula
seriam muitíssimo sutis. Com este propósito, vamos tomar intervalos de tempo – nos
referenciais S e S´ – bem pequenos; ao invés da notação de Feynman (Δt e Δt´ ), utilizemos
elementos infinitesimais de tempo dt e dt´ para os referenciais inerciais S e S´.
148
A partir da equação do enunciado da 6ª questão, p = m u , vamos escrever a
v2
1
c2
expressão para o valor do momento relativístico transverso da partícula em S. A partícula
possui velocidade longitudinal vo neste referencial (que, de fato, é sua velocidade inicial no
referencial S). Devido à força magnética radial – que atua apenas em S (apontando para o fio)
–, temos uma sutil variação na velocidade, de acordo com as considerações acima. Assim, a
partícula tem, após um intervalo de tempo muito curto dt decorrido em S, um pequenino vetor
velocidade uy radial e para baixo. A velocidade resultante da partícula (em S) é a soma
vetorial de vo com uy; mas somente nos interessa v2 (sempre positivo), que é o quadrado do
valor de velocidade v no referencial em questão – primeiramente em S –, dado pela soma dos
quadrados dos valores de vo e uy: vo2 + uy2 = v2. Logo, segundo a equação anterior, o valor de
momento transverso (ou transversal) da partícula, em S, é escrito como
py =
mu y
mu y
=
 v  uy
1  o
 c2

v2
1
c2
2
2




(22)
Onde m é a massa de repouso da partícula negativamente carregada.
Através de considerações semelhantes, escrevemos a expressão para o valor de py´.
Repare que agora, no referencial inercial S´ (da partícula), esta possui apenas uma bem
pequena velocidade radial uy´ – após decorrido um tempo infinitesimal dt´ no referencial S´.
Esta velocidade lhe é conferida, agora, pela força elétrica, que age apenas em S´. Enfim, a
expressão do momento transversal, em S´, fica:
py´ =
mu y ´
v2
1
c2
=
mu y ´
1
(23)
u y ´2
c2
Onde v2 foi simplesmente substituído por uy´ 2, pois o valor de velocidade da partícula, em S´,
é apenas uy´.
149
Escrevendo os valores de uy e uy´ como derivadas temporais, obtemos uy = dy e uy´=
dt
dy´ ; também, sabemos que na existência de movimento relativo entre dois ou mais
dt´
referenciais inerciais manifesta-se o efeito da dilatação do tempo. Esta previsão relativística
nos aponta que relógios em repouso (estacionários) em diferentes referenciais inerciais não
terão o mesmo ritmo (pressupõe-se que todos estes relógios são igualmente construídos).
Noutras palavras, na Teoria da Relatividade Especial – quando os efeitos gravitacionais
podem ser desprezados –, o ritmo do tempo em dois referenciais em movimento retilíneo
uniforme (MRU) entre eles se mostrará diferente.
Aqui, entra um aspecto importante que devemos enfatizar. Assim como Feynman
(2008) toma emprestado o efeito da contração de Lorentz – que pôde ser usado na
contabilidade das densidades de carga elétrica –, ele também se vale do efeito de dilatação
temporal a fim de conciliar a igualdade dos momentos transversos. Vemos aqui que duas
noções relativísticas são explicitamente utilizadas, propiciando descrições eletromagnéticas
clássicas que estão em concordância com as equações de Maxwell e com a Teoria da
Relatividade Especial. A partir da invariância/conservação da carga, da contração de Lorentz
(ou contração do espaço) etc., o texto de Feynman nos permite concluir pela relatividade dos
conceitos de campo elétrico e magnético, pois o fio está carregado em S´ (mas não em S) – e,
como já vimos, as intensidades do campo magnético devem diferir de um referencial inercial
de Feynman (2008) para o outro. De modo análogo, concluímos também pela relatividade das
forças elétrica e magnética, pois em S a força é de natureza magnética e em S´ de natureza
elétrica. E, com a previsão da dilatação temporal, veremos que os resultados físicos previstos,
em concordância com a Relatividade Especial, são compatíveis com nossas descrições
eletromagnéticas. Com efeito, intervalos de tempo Δt e Δt´ correspondentes (entre os mesmos
dois eventos) – medidos em seus respectivos referenciais S e S´ – são relacionados, por
Feynman, pela equação Δt =
t´
v2
1
c2
em 13.33. Como o leitor deve saber,
1
1
é
v
c2
2
geralmente denominado fator de Lorentz, representado pela letra grega γ (gama). Como
optamos por escrever os bem curtos intervalos de tempo como incrementos infinitesimais (dt
e dt´ ), esta equação resulta em dt = γ dt´. Devemos destacar que o que chamamos de
‘eventos’ não são exclusivos de determinado referencial inercial; ou seja, eventos possuem
existência independente no espaço-tempo (TAYLOR; WHEELER, 1992). Na Teoria da
150
Relatividade Especial, geralmente se trabalha com o conceito de evento, acontecimentos aos
quais são definidos (pelo menos teoricamente), em certo referencial inercial, um instante de
tempo e uma posição espacial (EINSTEIN, 1999). Na experiência de pensamento de
Feynman (2008) não são especificados eventos quaisquer; o que não é necessário. Não
precisamos nos preocupar com a introdução de sistemas de coordenadas para definir posições;
porém, sabemos que as coordenadas transversas y e y´ são invariantes (y = y´), não sofrendo
alteração relativística. Assim, também dy = dy´, de tal forma que se pode representar o valor
dy´ dy
=
;
dt´ dt´
e, de dt = γ dt´, ainda obtemos
dy
dy
=
=γuy
dt
dt 
(24)
de velocidade uy´ – como uma derivada – por
dt´
dt

. Então:
uy´ =
Em 24, temos o resultado uy´ = γ uy ; substituindo este no termo mais à direita da eq.
23 do momento transverso py´, em S´, temos:
py´ =
mu y
1
 uy
2
2
(25)
c2
 2u y
Onde o termo 1 –
, no interior da raiz quadrada, é manipulado de tal modo que
c2
2
2
 2u y
 2  2u y
1 –
=

2
c2
c2
2
 1 uy2 
 . Assim, retornando o último resultado para
=  

  2 c2 


2
dentro da raiz quadrada em 25, obtém-se:
mu y
py´ =

1
2

uy
2
c2
=
mu y
 1
2
2
. Neste resultado, o termo mais à direita é
u
vo
 y
c2
c2
equivalente à expressão do momento transverso py, escrita em 22. Portanto:
151
py = py´
(26)
Chegamos à igualdade almejada. Se o valor da componente transversa (ou transversal)
do momento da partícula de prova é invariante, também os valores de variações deste
momento – entre iguais coordenadas y
final
= y´
final
ey
inicial
= y´
inicial
– serão igualmente
invariantes em ambos os referenciais inerciais de Feynman (2008), isto é, Δpy = Δpy´. Neste
contexto, é de grande validade a citação de Feynman, que conclui que:
[...] temos o mesmo resultado físico quando analisamos o movimento de uma
partícula movendo-se ao longo de um fio num sistema de coordenadas em repouso
com respeito ao fio, ou num referencial em repouso com respeito à partícula. No
primeiro caso, a força era puramente “magnética”, já no segundo, puramente
“elétrica”. (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13-11, destaques do autor).
Ou seja, a abordagem de Feynman demonstra que, sob a ótica da Teoria da
Relatividade Especial, podemos mostrar que a teoria clássica do Eletromagnetismo é
compatível com o arcabouço formal e conceitual da Teoria da Relatividade Especial; isto
implica que não existem contradições lógicas internas entre estas teorias, ao menos no nível
em que se está a considerar.
Na passagem do referencial S (em repouso com respeito ao fio) para o referencial
inercial S´ (em repouso com respeito à partícula), ocorre a mudança na descrição do conceito
de força atuante na partícula – primeiramente magnética e depois elétrica. Todavia, as duas
descrições nos dão resultados físicos totalmente coerentes e compatíveis com as teorias
citadas, isto é, com as leis de Ampère da magnetostática e de Gauss da eletricidade, com a lei
da invariância no valor c, com a invariância/conservação da carga, com o Princípio da
Relatividade etc. Apesar de que foram utilizadas duas equações de Maxwell distintas – para
campos estáticos do texto e deste material –, uma para magnetostática e outra para a
eletricidade, sem conexão aparente entre o campo magnético de S e o campo elétrico de S´, na
própria natureza há um íntimo relacionamento entre estes campos, interligado ao Princípio da
Relatividade. Este aspecto é ressaltado por Feynman (2008, p. 13–7), e pode-se percebê-lo no
fato de que as descrições dadas pelos conceitos de força (magnética em S e elétrica em S´ )
fornecem iguais resultados físicos.
152
7ª QUESTÃO:
A relação entre intervalos de tempo Δt medidos no referencial S (do fio em repouso) e
intervalos de tempo Δt´ medidos no referencial inercial S´ (da partícula em repouso) é dada
pela equação 13.33 de Feynman (2008, p. 13–11), Δt =
t´ = γ Δt´. É preciso que o leitor
v2
1
c2
compreenda que estes intervalos temporais – Δt em S e Δt´ em S´ – devem ser
correspondentes, como afirma Feynman: “Precisamos, obviamente, comparar Δpy com Δp´y
para intervalos de tempo correspondentes Δt e Δt´.” (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS,
2008, p. 13–11). Esta correspondência refere-se ao fato de que os intervalos de tempo, em
cada referencial, devem ser mensurados entre os mesmos eventos; como destacado na 6ª
questão, eventos têm existência independente. O leitor pode imaginar, por exemplo, o evento
inicial da experiência de Feynman como a formação (e/ou emissão) da partícula negativa –
um elétron, p. ex. – em um processo nuclear ou atômico capaz de fazê-lo, ou que a partícula
provém de uma fonte qualquer. Obviamente, pressupõe-se que, no evento inicial, a partícula é
emitida com velocidade inicial vo (paralela ao fio) igual à velocidade média de arraste dos
elétrons de condução no referencial S. Os instantes para este evento poderiam ser
especificados por t
inicial
= t´inicial = 0. Como optamos por escrever a equação 13.33 na forma
diferencial (dt = γ dt´ ), pois estamos a tomar intervalos de tempo como elementos
infinitesimais, o evento final poderia ser a observação/detecção da partícula, em coordenada
transversal final y = y´, quando seu momento transverso variou dpy = dpy´. Lembre-se que
esta variação de momentum ocorre após atuação das forças magnética e elétrica, nos
respectivos tempos infinitesimais dt e dt´ – em seus respectivos referenciais inerciais.
Feynman (2008, p. 13–11) destaca que “intervalos de tempo que se referem a
partículas que se movem parecem ser maiores que aqueles no referencial de repouso da
partícula.”. Mas há aí uma incorreção, ou mais provavelmente um descuido do físico nesta
citação, pois os intervalos temporais aos quais se refere não parecem ser maiores, mas
realmente o são. Podemos descrever melhor este fenômeno mencionando a Física de
Partículas; por exemplo, observa-se que a vida média de uma partícula instável qualquer (que
sofre algum tipo de decaimento/desintegração) é maior quando esta se encontra em MRU
relativo ao referencial inercial de um laboratório. Expressando isto melhor: o intervalo de
tempo Δt, medido para a vida média da partícula – por relógios estacionários no referencial
inercial de um “laboratório” –, é maior quando a partícula está em MRU relativamente a este
153
laboratório do que quando ela está em repouso no referencial do laboratório. O que se chama
de laboratório pode ser um moderno acelerador de partículas ou até a própria Terra, pois,
partículas instáveis que são formadas/emitidas na porção superior da atmosfera (com valores
de velocidade próximos de c) são detectadas na superfície terrestre; múons, como exemplo,
vêm da parte atmosférica mais alta, como radiação secundária de raios cósmicos (TAYLOR;
WHEELER, 1992; GAZZINELLI, 2009).
Esta questão é útil para auxiliar o leitor a compreender melhor a citação do texto, pois
intervalos temporais mensurados para a vida média de partículas instáveis – em velocidades
significativas em relação à luminosa – são realmente maiores quando tomados por relógios
estacionários no referencial do laboratório do que quando tomados/calculados para o
referencial da partícula. Outra finalidade desta questão foi descrever a dilatação temporal,
dando alguma interpretação para os distintos intervalos correspondentes Δt e Δt´, e também
citar poucos exemplos de confirmações experimentais. Em suma, podemos afirmar que há um
intervalo de tempo próprio, medido no próprio referencial inercial de repouso da partícula;
este intervalo é sempre menor que o intervalo temporal correspondente medido em qualquer
outro referencial inercial. Para a vida média de uma partícula instável, concluímos, então, que
há uma vida média de repouso, medida no referencial inercial da própria partícula; assim, esta
vida média de repouso, que é um intervalo de tempo próprio, sempre se mostra menor que a
vida média da partícula instável em qualquer outro referencial inercial. Em termos de eventos,
podemos ressaltar: o intervalo de tempo próprio – entre dois eventos – é o intervalo Δt´
medido num referencial inercial (por relógios fixos neste) no qual estes eventos ocorrem na
mesma posição; em qualquer outro referencial inercial o intervalo de tempo Δt, entre os
mesmos eventos, é maior que o intervalo próprio por um fator γ =
1
1
(GAZZINELLI,
v
c2
2
2009; TAYLOR; WHEELER, 1992). Este é o significado da equação Δt = γ Δt´ contida em
Feynman (2008). Logo, no texto do físico, Δt´ pode ser considerado um intervalo de tempo
próprio, pois refere-se ao referencial de repouso da partícula negativa. E embora Feynman
(2008, p. 13–11, destaque nosso) reconheça que “[...] nossa partícula está inicialmente em
repouso em S´ [...]”, ele assume que, para pequenos tempos, podemos esperar Δt = γ Δt´; e
tudo mostrar-se-á correto (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008). Por isto utilizamos
infinitesimais de tempo, para dar uma boa ênfase ao fato de que os tempos tomados – em cada
referencial – devem ser bastante curtos, a fim de que as acelerações produzidas na partícula
de prova (pelas forças, em seus respectivos referenciais) sejam também bem pequenas, sutis.
154
Assim, a variação no valor de momento transversal pode também ser abordada, em nossos
cálculos, como elementos dpy = dpy´. Desse modo, tomamos os referenciais em movimento
relativo como inerciais, com boa aproximação.
8ª QUESTÃO:
Item (a):
A relação matemática entre os valores de força magnética F e elétrica F´ – em seus
respectivos referenciais inerciais S e S´ – pode ser obtida de modo simples. Não nos
preocuparemos com a questão de que alguma ou outra equação de Feynman (2008) possa
resultar em valores negativos, na substituição dos termos nas expressões. Feynman deixa
claro que se está a considerar o módulo destas forças. Também, aplicando uma regra de mão
direita em S, e sabendo que o fio está positivamente carregado em S´, concluímos facilmente
que F e F´ têm igual direção e sentido (radial e “para baixo”, apontando para o fio). Assim,
nos dois referenciais a partícula elétrica é atraída pelo fio, o que não poderia ser diferente,
pois violaria o Princípio da Relatividade. Na 5ª questão, a equação 21 (eq. 13.29 de Feynman
 A
(2008)) contém o valor de força elétrica: F´ = q E´ = q
v2
c2
2 o r 1 
. Temos, portanto, uma
v
c2
2
força puramente elétrica que atua na partícula de carga q, no referencial de repouso desta
(S´ ); sendo ρ+ uniforme e A e v = v_ constantes, o valor de força elétrica que atua em um
elétron de prova, por exemplo, dependerá apenas da distância r ao eixo longitudinal do fio.
Isto pode ser vislumbrado na equação escrita acima. Dada a expressão para F (magnética) –
presente no termo mais à direita da equação 6 deste material, e na equação 13.21 de Feynman
–, e substituindo-se ρ_ por – ρ+ na expressão para F =
F´ = q
v 2 = q  Av 2
2r o c 2
v2 c2
2 o r 1 
c2
 A
q  Av 2  q  Av 2
=
, vamos obter:
2r o c 2
2r o c 2
1
v2
1
c2
= F
1
(27)
v2
1
c2
Onde, segundo o considerado acima, desprezamos o sinal negativo vindo de – ρ+, pois nos
interessam apenas os valores absolutos (módulos) das forças.
155
Repare que, assim como F´, o valor de força magnética (no referencial S) também
depende apenas da distância radial r ao eixo do fio; e, de acordo com o resultado 27, podemos
escrever a relação entre estas forças como F´ = γ F, em concordância com a expressão obtida
por Feynman (2008), na equação 13.30.
A relação F´ = γ F ressalta a relatividade dos conceitos de força elétrica e de força
magnética; no exemplo pensado por Feynman (2008) – um caso especial em que a velocidade
de um portador de carga é igual à velocidade de arraste de elétrons condutores da corrente (no
referencial de repouso do fio condutor) –, vemos que os conceitos de força mudam não apenas
de espécie, mas também em seus valores previstos para uma mesma coordenada transversa y
= y´, na qual temos um mesmo resultado físico. Em outras palavras, as forças elétrica e
magnética (no contexto da teoria eletromagnética clássica) são, de fato, conceitos relativos,
dependentes do referencial inercial utilizado para descrever uma interação eletromagnética; e
a experiência do texto mostra bem este aspecto, pois, como enfatiza Feynman (2008), no
referencial S de repouso do fio a força é puramente “magnética”, ao passo que no referencial
S´ de repouso da partícula a força é puramente “elétrica”. E as forças de Feynman devem
diferir em valor de acordo com a relação acima, mesmo em velocidades medíocres entre os
referenciais inerciais – como a obtida na 3ª questão. Analogamente, vemos que a questão da
relatividade destas forças se relaciona intrincadamente à relatividade dos campos da
experiência de Feynman (2008), pois um campo magnético e um campo elétrico estáticos (em
S e S´, respectivamente) são “os responsáveis” por engendrar as forças na partícula de prova.
Então, podemos enfatizar que, em S, há um campo totalmente magnético, enquanto que, em
S´, temos os dois tipos de campo – muito embora somente o campo elétrico interaja com a
partícula carregada. Estas considerações são suficientes para nos convencermos que os
conceitos de força e as grandezas de campo (do Eletromagnetismo clássico) são, com efeito,
relativos, dependentes do movimento uniforme reto entre sistemas de referência. Recorde-se o
leitor que aqui estamos a tratar uma experiência idealizada de Feynman (2008), na qual os
intervalos de tempo e os valores das variações de momentos transversos da partícula foram
tomados como infinitesimais, em seus respectivos referenciais. Apesar de que os valores de
força são diferentes, de acordo com F´ = γ F, podemos dizer que, no caso de velocidades
relativas tão baixas como a da 3ª questão (da ordem de 10–
2
4
m.s
–1
), as forças elétrica e
2
magnética são praticamente iguais. Pois v /c , na prática, é uma razão que pode se considerar
nula, dada por
de 10–
25
108
(10 4 m.s 1 ) 2
=
; e que resulta na ordem de grandeza
(299.792.458m.s 1 ) 2 8,98755179x 1016
. Desse modo, o fator γ é praticamente igual a um, e as forças se igualam. Daí
156
também a citação de Feynman: “[...] para as pequenas velocidades que estamos considerando,
as duas forças são iguais. Podemos dizer que, para pequenas velocidades, entendemos o
magnetismo e a eletricidade apenas como “duas maneiras de olhar para a mesma coisa”.”
(FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–10).
Isto nos aponta a profunda conexão entre o magnetismo e a eletricidade, ou seja, o fato
de que um campo magnético estático não é absoluto, independente do referencial, assim como
um campo elétrico estático; como aponta Feynman (2008), na própria natureza existe uma
relação íntima entre estes campos. Com efeito, os dois tipos de campo dependem do
referencial inercial, não sendo independentes, mas podendo ser tomados em conjunto,
segundo Feynman (2008), como um único campo eletromagnético.
Enfim, dizer que as forças F´ e F são iguais em ambos os referenciais de Feynman, é
dizer que, do ponto de vista prático, podemos desprezar os efeitos relativísticos em sua
experiência; assim, dois observadores inerciais distintos – um em S e outro em S´ – medirão
praticamente o mesmo valor de força. Entretanto, embora o observador em S´ saiba que, na
prática, sua minúscula velocidade (≈ 10– 4 m.s –1) pode ser desprezada, e o valor de força (em
S´) pode ser calculado usando-se a expressão do valor de força magnética, ele também sabe
que, na verdade, a força em S´ é elétrica (que, no baixo valor de velocidade relativa, se iguala
à magnética de S). Isto equivale a dizer que estamos cientes do fato de que, do ponto de vista
experimental, as duas forças concordam nestas pequenas velocidades – portanto, estas forças
fornecem como que duas formas de perceber a mesma interação eletromagnética atrativa
partícula-fio.
Item (b):
A equação relativisticamente correta do movimento é escrita por Feynman (2008) (no
final da pág. 13–10), sendo dada por F = dp/dt; onde F não representa mais apenas a força
magnética atuante no portador de carga em S, mas a força resultante numa partícula qualquer
em determinado referencial inercial; e dp/dt é a derivada do vetor momentum relativístico da
partícula em relação ao tempo do referencial em questão. Este vetor momentum, em três
dimensões, pode ser definido por p =
mv = mv (GAZZINELLI, 2009). Não
v2
1
c2
precisamos desta equação nesta questão, mas é válido ressaltá-la para que o leitor perceba que
as
equações
da
Mecânica
newtoniana
precisaram
ser
reformuladas/corrigidas
157
relativisticamente, o que não foi necessário para o Eletromagnetismo clássico. Adiante,
argumentaremos um pouco mais sobre este importante aspecto.
Obtivemos a relação entre os valores das forças elétrica e magnética de Feynman
(2008), F´ = γ F, a partir de expressões obtidas para estas. Mas, pela equação dt = γ dt´, e
usando o momento relativístico da partícula de prova de Feynman, podemos obter a mesma
relação entre forças. Repare que, ao considerarmos intervalos de tempo e variações nos
valores de momento transversal da partícula (em S e S´) como infinitesimais, podemos
também tomar as forças F´ e F como tendo praticamente iguais orientações. É bom
destacarmos isto, pois a força magnética em certo ponto do espaço e instante de um
referencial inercial (que age numa partícula carregada de sinal conhecido) é dependente da
direção e sentido da velocidade da partícula em relação ao campo magnético naquele ponto e
naquele instante de tempo. Logo, é fácil visualizar que em intervalos temporais não curtos
(decorridos no referencial S) a direção (e também o valor) da força magnética F varia; porém,
para nossos curtos infinitesimais dt e dt´, consideremos F e F´ com a mesma orientação.
Assim, também desconsideramos o caráter vetorial da força e do momento, pois ambas as
forças atuam somente ao longo da direção transversal ao fio, variando o momentum da
partícula apenas desta componente. Já sabemos que os momentos transversos são iguais (py =
py´) para uma mesma coordenada y = y´; então dpy = dpy´, e aplicando a equação do
movimento relativisticamente correta no valor da força elétrica F´, temos que
F´ =
dp y ´
dt´

dp y
dt 

dp y
dt
 F
(28)
Onde fizemos dt´ = dt /γ e encontramos o valor de força magnética, que pode se representar
por
dp y
dt
= F.
Na verdade, Feynman (2008) usou a equação F = dp/dt a fim de obter a igualdade dos
momentos transversos (em S e S´) e concluir que os resultados físicos se compatibilizam.
Provamos a igualdade destes momentos através de um cálculo, talvez mais convincente,
utilizando uma expressão para o valor de uma componente de momento relativístico.
Esta questão mostra-se útil para explorarmos um pouco a noção de que o
Eletromagnetismo é compatível com a Teoria da Relatividade Especial, embora a Mecânica
newtoniana não o seja – e as forças de Feynman (2008) se transformem na passagem de um
158
referencial para outro. Podemos vislumbrar isto constatando que as equações fundamentais da
teoria eletromagnética clássica – usadas por Feynman no cálculo das expressões para os
valores de campos e forças (B e F; E´ e F´), em seus respectivos referenciais – são a lei de
Ampère da magnetostática e de Gauss da eletricidade. Estas leis, assim como as outras
equações de Maxwell, não precisaram de reformulação/correção com o advento da Teoria da
Relatividade Especial, diferentemente das leis da Mecânica newtoniana. Perceba, no texto de
Feynman (2008), que as expressões obtidas para B e F, E´ e F´, provêm diretamente das leis
eletromagnéticas fundamentais citadas anteriormente. É verdade que nas equações para a


1
força e campo elétricos do texto, F´ e E´, aparece o fator de Lorentz γ 


v2
1

c2



 ; mas este



não vem das equações do Eletromagnetismo mencionadas, mas sim da consideração do efeito
de contração de Lorentz do fio (no referencial S´), que é “tomado emprestado” da Teoria da
Relatividade Especial a fim de propiciar uma descrição eletromagnética (em S´) coerente com
o arcabouço teórico do Eletromagnetismo e com o Princípio da Relatividade. Assim, é obtida
uma expressão para a densidade de carga ρ´ – no referencial de repouso da partícula – que é
diferente de zero e que possui o fator γ. Este fator, por conseguinte, surge na expressão do
valor de força elétrica (repare a equação 13.29 de Feynman (2008)), e assim como foi feito no
item (a) desta questão, os valores das forças são relacionados por F´ = γ F. Isto implica dizer
que, em última instância, γ surge nesta relação porque vem da contração de Lorentz, e não
porque este fator (ou outro termo/fator matemático qualquer) deva ser incluído em equações
de Maxwell. Contudo, vimos que a mesma relação (entre forças) é obtida usando-se dp/dt (em
y = y´) e também a previsão de dilatação temporal (aqui expressa por dt = γ dt´ ), o que nos
leva ao último item desta questão. Em suma, o Eletromagnetismo se preserva, isto é, suas
equações fundamentais (de Maxwell) são válidas em qualquer referencial inercial, sem
necessidade de modificação quando há MRU relativo entre dois ou mais referenciais,
inclusive em velocidades significativas em relação à c. Apesar disso, fica aqui evidente que as
forças clássicas não são invariantes; no caso do Eletromagnetismo clássico, a força pode
variar também em seu tipo (elétrica e/ou magnética).
Item (c):
O efeito relativístico, que pode ser utilizado na descrição da diferença entre as forças
elétrica F´ e magnética F – que atuam na partícula elétrica nos referenciais inerciais S´ e S,
159
respectivamente –, é a dilatação do tempo. Já se enfatizou que o intervalo de tempo próprio
(medido em um referencial inercial no qual dois eventos ocorrem na mesma posição) é o
menor intervalo temporal entre estes eventos – considerando-se somente intervalos
mensurados em referenciais inerciais. A relação entre intervalos de tempo foi escrita por nós
como dt = γ dt´; onde se constata que dt´ representa o tempo próprio mensurado no referencial
de repouso da partícula (S´). Portanto, dt representa o geralmente denominado intervalo de
tempo relativo, pois não é medido no referencial próprio (ou de repouso) da partícula ou dos
eventos – isto é, em referencial inercial no qual os eventos “estão em repouso” (ocorrem na
mesma posição). Como imaginado na 7ª questão, o evento inicial de Feynman (2008) poderia
ser a emissão de um elétron em processo nuclear ou atômico (ou por fonte qualquer) com
velocidade inicial vo (paralela ao fio), no referencial S, igual à velocidade de arraste dos
elétrons de corrente. Definiríamos os instantes deste evento, em S e S´, por t inicial = t´inicial = 0;
e o evento final seria a detecção do elétron (em iguais coordenadas transversas y = y´) em
ambos os referenciais, quando seu momento transversal variou dpy em S e dpy´ em S´. Como
já provamos aqui, “[...] o momento transverso da partícula deve ser o mesmo em ambos os
referenciais S e S´.” (FEYNMAN; LEIGHTON; SANDS, 2008, p. 13–10). Assim, também as
variações deste momento são iguais (dpy = dpy´) após as forças F e F´ atuarem no elétron em
seus respectivos referenciais inerciais, durante distintos intervalos de tempo dt e dt´ – a partir
do evento inicial (instante zero). Ou seja:
F dt = dpy
F´ dt´ = dpy´
(29)
Onde se desconsiderou o caráter vetorial das forças, pois ambas agem apenas
transversalmente nos intervalos de tempo bem curtos. Repare que as equações 29 nada mais
são do que outra forma de se expressar a lei (relativística) de movimento do elétron, em S e
S´, assim como descrita em 28. Pela igualdade dos momentos transversais, vemos que F dt =
F´ dt´; o que é escrito por Feynman (2008) de forma um pouco diferente no último resultado
de seu texto. Podemos descrever a diferença entre F e F´ – através da dilatação temporal – ao
analisarmos bem a igualdade F dt = F´ dt´; ambos os valores de força, tanto magnética F
quanto elétrica F´, variam em função do tempo de seu respectivo referencial inercial. Isto se
dá pelo fato de que os campos estáticos de Feynman não são uniformes; dessa maneira, os
valores F e F´ também não o são, variando em função da distância r (que é a mesma para S e
S´, pois é transversal) ao centro do fio. Em outras palavras, os valores de força F e F´ são
160
inversamente proporcionais à r, aumentando à medida em que o elétron se aproxima do fio;
de tal modo que F (magnética) varia no decorrer do tempo t de S, e F´ (elétrica) varia no
decorrer de t´ de S´. Recorde-se que, para que o intervalo temporal próprio dt´ (medido em S´)
seja menor que o intervalo relativo correspondente dt (medido em S) – de acordo com dt´ =
dt/ γ –, o ritmo do tempo t deve ser mais rápido do que o de t´. Isso implica que, a partir do
evento inicial (quando o elétron é emitido com velocidade vo no referencial S), o valor de
força magnética em S aumenta menos do que o valor de força elétrica em S´, para intervalos
temporais correspondentes. Porém, o menor aumento da força magnética em S é compensado
pelo maior tempo dt de atuação desta em S, ao passo que o maior aumento da força elétrica
em S´ se compensa pelo menor tempo dt´ de atuação desta neste referencial. E, segundo
Feynman (2008), isto acontece após curtos e correspondentes intervalos de tempo dt e dt´ (em
nossa notação), de tal forma que a partícula negativa tenha iguais momentos transversos nos
dois referenciais. Então, para o evento final (detecção do elétron) – que ocorre em igual
coordenada y = y´ –, o valor de F´ tem maior módulo que F, de acordo com F´ = γ F.
Entretanto, a força elétrica age durante o tempo próprio dt´, o menor tempo entre os eventos,
enquanto a força magnética age por um maior intervalo de tempo relativo dt.
Enfim, para v2/c2 na ordem de 10
–25
, a razão aproximada para a bem pequena
velocidade relativa entre os referenciais inerciais (v ≈ 10
–4
m.s
– 1
), como calculada na 3ª
questão – valor típico de velocidade de arraste (ou de migração) para elétrons de condução –,
o fator γ é igual a um (ou melhor, tende a um). Isto dificulta o uso de um exemplo numérico
nesta ordem de grandeza (ou próxima). Mas reforça a afirmação de Feynman (2008) sobre o
fato de que, na prática, a força magnética (em S) e a força elétrica (em S´) – na experiência
por ele pensada – são iguais. Em suma, o texto de Feynman (2008) permite-nos vislumbrar a
íntima conexão entre a Teoria da Relatividade Especial, o magnetismo e a eletricidade, pois,
sob a ótica da Teoria da Relatividade Especial e suas previsões, o físico demonstra o vigoroso
vínculo entre as denominadas força elétrica e força magnética.
Os distintos intervalos de tempo, medidos cada qual em seu sistema inercial,
compensam a diferença entre as forças do experimento de Feynman, preservando resultados
físicos compatíveis com o Eletromagnetismo. Para alcançar estes resultados, Feynman utiliza
a Relatividade Especial, uma teoria coerente com o Eletromagnetismo clássico. Nas palavras
de Gazzinelli: “[...] a eletrodinâmica de Maxwell é uma teoria relativisticamente correta, [...].
Ela não exige modificações, [...] já tem, de fato, uma formulação relativística.”
(GAZZINELLI, 2009, p. 101).
161
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Petrópolis: Vozes, 2015.
CALIFORNIA INSTITUTE OF TECHNOLOGY. The Feynman Lectures on Physics.
Disponível em: <http://www.feynmanlectures.caltech.edu/>. Acesso em: 17 jun. 2015.
EINSTEIN, Albert. A Teoria da Relatividade Especial e Geral. Rio de Janeiro:
Contraponto, 1999. 136 p.
EINSTEIN, Albert. O ano miraculoso de Einstein: cinco artigos que mudaram a face da
física. 2. ed. Rio de Janeiro: Ed. UFRJ, 2005. 224 p.
FEYNMAN, Richard P.; LEIGHTON, Robert B.; SANDS, Matthew. Lições de física de
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FEYNMAN, Richard P.; LEIGHTON, Robert B.; SANDS, Matthew. The Feynman
Lectures on Physics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1964. v. 2. Second printing.
__________, Richard P. Sobre as leis da física. Rio de Janeiro: Contraponto: Ed. PUC-Rio,
2012. Título original: The Character of Physical Law.
GAZZINELLI, Ramayana. Teoria da relatividade especial. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2009.
RESNICK, Robert; HALLIDAY, David; KRANE, Kenneth S. Física. 5. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2007. v. 2.
SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W., Jr. Princípios de física: eletromagnetismo. São
Paulo: Cengage Learning, 2008. v. 3. 2. reimpr. da 1. ed. de 2004.
TAYLOR, Edwin F.; WHEELER, John Archibald. Spacetime physics introduction to
special relativity. 2nd ed. New York: W. H. Freeman and Company, 1992. Eleventh printing.
162
163
APÊNDICE B – Conjunto de respostas recebidas para o questionário (formulário)
avaliativo elaborado
Imagem 1 – Frente do questionário de A
Fonte: Arquivo pessoal
164
Imagem 2 – Verso do questionário de A
Fonte: Arquivo pessoal
165
Imagem 3 – Frente do questionário de B
Fonte: Arquivo pessoal
166
Imagem 4 – Verso do questionário de B
Fonte: Arquivo pessoal
167
Imagem 5 – Frente do questionário de C
Fonte: Arquivo pessoal
168
Imagem 6 – Verso do questionário de C
Fonte: Arquivo pessoal
169
Imagem 7 – Frente do questionário de D
Fonte: Arquivo pessoal
170
Imagem 8 – Verso do questionário de D
Fonte: Arquivo pessoal