Capítulo 2a

o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
Conceitos fundamentais
Paulo R. de Souza Mendes
Grupo de Reologia
Departamento de Engenharia Mecânica
Pontifícia Universidade Católica - RJ
agosto de 2010
tensão e gradiente de velocidade
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Sumário
o fluido como um meio contínuo
a hipótese de meio contínuo
campo
o campo de velocidade
escoamentos permanente, transiente, 1-D, 2-D, 3-D
linhas notáveis
tensão e gradiente de velocidade
a hipótese de Cauchy
tensão
taxa de deformação e vorticidade
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
a hipótese de meio contínuo
meio contínuo: a massa é
distribuída continuamente no
espaço.
∆m/∆V
massa específica:
ρ
domínio
de validade
da hipótese
de meio
contínuo
∆m
ρ = lim
∆∀→0 ∆∀
para efeito da hipótese de
meio contínuo, considera-se
∆∀ = 0 quando ∆∀ = ∆∀0
0
∆V'
∆V
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
o conceito de campo
seja x o vetor posição e t o instante de
tempo. Campo é qualquer função f de x e t:
f (x, t)
A posição x pode ser escrita em diferentes
sistemas de coordenadas:
x = xı̂ + y ̂ + z k̂
θ
r
r
x = r êr (θ) + z êz
x = r êr (θ, φ)
logo,
f (x, t) = f (x, y , z, t) = f (r , θ, z, t) = f (r , θ, φ, t)
φ
θ
y
z
z
x
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
exemplos de campos
campos escalares
• massa específica ρ(x, t)
• temperatura T (x, t)
• pressão p(x, t)
campos vetoriais
• velocidade V (x, t)
• aceleração a(x, t)
• força F (x, t)
campos tensoriais
• tensão T (x, t)
• gradiente de velocidade ∇v(x, t)
• taxa de deformação γ̇(x, t)
tensão e gradiente de velocidade
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
o campo de velocidade: casos particulares
• Escoamento permanente: V = V (x). No caso contrário
(i.e. no caso genérico V = V (x, t)), o escoamento é
transiente.
• Escoamento
• Escoamento
bidimensional (2-D): V
só depende de duas
coordenadas espaciais.
unidimensional (1-D): V
só depende de uma
coordenada espacial.
V = V(x,y) = u(x,y)i +v(x,y)j
V = V(r) = vz(r)ez
vz(r)
r
z
y
u(y)
x
V = V(y) = u(y)i
u(x,y)
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 1-D permanente: escoamento em tubo
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 1-D transiente: placa em movimento
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 1-D transiente: placa em movimento
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 2-D permanente: escoamento sobre placa
plana
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo 2-D transiente: escoamento em torno de
cilindro
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
trajetória, linha de tinta, linha de corrente
tempo fixo t
partícula
trajetória da partícula
V
trajetória é a linha
formada pelos
pontos no espaço
visitados por uma
dada partícula ao
longo do tempo.
linha de tinta é a
linha ocupada pelas
partículas que
visitaram um dado
ponto no espaço ao
longo do tempo.
partículas que visitaram P
ponto fixo P
linha de tinta
partículas
linha de corrente
V
linha de corrente em
um dado instante de
tempo, é a linha
formada por pontos
no espaço ocupados
por partículas cujas
velocidades lhe são
tangentes.
em regime permanente, as três linhas coincidem
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de sup. curva
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de aerofólio
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. sobre placa plana
trajetórias erradas! (as partículas se afastam da placa)
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de cilindro
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de cilindro
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de cilindro
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: esc. em torno de cilindro
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
O vetor tensão
t
o vetor tensão t é a força de contato por
unidade de área que o material externo
a ∀(t) faz sobre o material dentro de ∀(t)
n
dA
M = const
V(t)
V
Hipótese de Cauchy: t = t(n̂)
Balanço de força no tetraedro:
t(n̂)dA + t(−ı̂)(n̂ · ı̂)dA+
k̂
n̂
t(−̂)(n̂ · ̂)dA + t(−k̂ )(n̂ · k̂ )dA = 0
da 3a. lei de Newton (ação e reação),
t(−n̂) = −t(n̂), t(−ı̂) = −t(ı̂), etc.
t(nˆ)
h
ĵ
dA
î
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
O tensor tensão
t(n̂) = (n̂ · ı̂)t(ı̂) + (n̂ · ̂)t(̂) + (n̂ · k̂ )t(k̂ )
ou
h
i
t(n̂) = n̂ · ı̂t(ı̂) + ̂t(̂) + k̂ t(k̂ ) ≡ n̂ · T
onde T é o tensor tensão.
Nota-se que
t(ı̂) = ı̂[ı̂ · t(ı̂)] + ̂[̂ · t(ı̂)] + k̂ [k̂ · t(ı̂)]
t(̂) = ı̂[ı̂ · t(̂)] + ̂[̂ · t(̂)] + k̂ [k̂ · t(̂)]
t(k̂ ) = ı̂[ı̂ · t(k̂ )] + ̂[̂ · t(k̂ )] + k̂ [k̂ · t(k̂ )]
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
h
i
T = ı̂t(ı̂) + ̂t(̂) + k̂ t(k̂ )
= ı̂ı̂[ı̂ · t(ı̂)] + ı̂̂[̂ · t(ı̂)] + ı̂k̂ [k̂ · t(ı̂)]
k̂
+̂ı̂[ı̂ · t(̂)] + ̂̂[̂ · t(̂)] + ̂k̂ [k̂ · t(̂)]
t(kˆ)
t(-ˆ
i ) =
- t(ˆ
i)
+k̂ı̂[ı̂ · t(k̂ )] + k̂̂[̂ · t(k̂ )] + k̂ k̂ [k̂ · t(k̂ )]
t(-ˆ
j ) =
- t(jˆ)
î
logo, a matriz de T

ı̂ · t(ı̂)

[T ] =  ı̂ · t(̂)
ı̂ · t(k̂ )
é:

̂ · t(ı̂) k̂ · t(ı̂)

̂ · t(̂) k̂ · t(̂) 
̂ · t(k̂ ) k̂ · t(k̂ )
t(jˆ)
ĵ
t(ˆ
i)
t(-kˆ) =
- t(kˆ)
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Notação usual:
T = ı̂ı̂σxx + ı̂̂τxy + ı̂k̂ τxz
k̂
+̂ı̂τyx + ̂̂σyy + ̂k̂ τyz
+k̂ı̂τzx + k̂̂τzy + k̂ k̂ σzz
σzz
σyy
τzx
τxz
τzy
τxy
σxx
a matriz de T fica:

σxx

[T ] = τyx
τzx
î
τxy
σyy
τzy

τxz
τyz 
σzz
σzz
τyx
τyz
σyy
ĵ
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Logo,

σxx τxy τxz
[T ] =  τyx σyy τyz 
τzx τzy σzz


ı̂ · t(ı̂) ̂ · t(ı̂) k̂ · t(ı̂)


=  ı̂ · t(̂) ̂ · t(̂) k̂ · t(̂) 
ı̂ · t(k̂ ) ̂ · t(k̂ ) k̂ · t(k̂ )
k̂

σzz
σyy
τzx
τxz
τzy
τxy
σxx
î
τyx
τyz
σyy
ĵ
σzz
ou seja, na notação σxx , τxy , etc., o primeiro índice indica a
face do cubo em que a tensão atua, o segundo indica a direção
da tensão.
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
Exemplo: compressão isotrópica
T = − ı̂ı̂p − ̂̂p − k̂ k̂ p
k̂
= −p ı̂ı̂ + ̂̂ + k̂ k̂
-p
-p
a matriz de T fica:


−p 0
0
[T ] =  0 −p 0 
0
0 −p
-p
-p
-p
î
t(n̂) = n̂ · T = −pn̂ · ı̂ı̂ + ̂̂ + k̂ k̂
= −p (n̂ · ı̂)ı̂ + (n̂ · ̂)̂ + (n̂ · k̂ )k̂
|
{z
}
=n̂
ou
t(n̂) = −pn̂
ĵ
-p
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
o gradiente de velocidade
t = const.
dV = dr · ∇V
V
em coord. cartesianas,
r
dr
V +dV
dr = ı̂dx +̂dy +k̂ dz; V = ı̂u+̂v +k̂ w
r+dr
∇V = ı̂ı̂
∂u
∂v
∂w
+ ı̂̂
+ ı̂k̂
∂x
∂x
∂x
∂u
∂v
∂w
+̂ı̂
+ ̂̂
+ ̂k̂
∂y
∂y
∂y
+k̂ı̂
∂u
∂v
∂w
+ k̂̂
+ k̂ k̂
∂z
∂z
∂z

∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂x



[∇V ] = 


∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂y





∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∂z
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
exemplo
U
V = ı̂u(y )
ĵ
∇V = ̂ı̂
∂u
∂y
dy
î
dx
u(y)
se dr = ı̂dx,
dV = dx
∂u
ı̂ · ̂ı̂ = 0
∂y
se dr = ̂dy ,
dV = dy
∂u
∂u
̂ · ̂ı̂ = dy
ı̂
∂y
∂y
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
taxa de deformação
o
1n
∇V + ∇V T
{z
}
|2
∇V =
+
taxa de deformação
taxa de deformação:
D≡





[D] = 



∂u
∂x
vorticidade
o
1n
∇V + ∇V T
2
n
o
1 ∂v
∂u
+
2 ∂x
∂y
1
2
n
∂u
∂y
+
∂v
∂x
o
1
2
∂u
+
∂w
∂x
∂z
o
1n
∇V − ∇V T
{z
}
|2
∂v
∂y
1
2
n
∂v
∂z
+
∂w
∂y
o
1
2
∂w
1
2
n
∂x
∂w
∂y
+
∂u
∂z



o 

+ ∂v

∂z



∂w
∂z
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
taxas de deformação angular e linear
∆γyx ≡ α + β =
du∆t
dv ∆t
+
∆y
∆x
= du.∆t = (∂u/∂y)∆y∆t
u(y)
∆εxx ≡
ε̇xx
du∆t
∂u
=
∆t
∆x
∂x
∆εxx
∂u
= lim
=
= Dxx
∂x
∆t→0 ∆t
β
α
= dv.∆t = (∂v/∂x)∆x∆t
∆x
y
v(x)
x
= dv.∆t = (∂v/∂y)∆y∆t
t
t+∆t
v(y)
∆y
γ̇yx
∆γyx
∂u ∂v
=
+
= 2Dyx
= lim
∂y
∂x
∆t→0 ∆t
∆y
∂v
∂u
∆t +
∆t
=
∂y
∂x
= du.∆t = (∂u/∂x)∆x∆t
∆x
u(x)
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
vorticidade
o
1n
T
∇V + ∇V
{z
}
|2
∇V =
o
1n
T
+
∇V − ∇V
{z
}
|2
vorticidade
taxa de deformação
vorticidade:
W ≡





[W ] = 



o
1n
∇V − ∇V T
2
1
2
0
1
2
n
∂u
∂y
−
∂v
∂x
o
1
2
∂u
−
∂w
∂x
∂z
n
∂v
∂x
−
∂u
∂y
o
0
1
2
n
∂v
∂z
−
∂w
∂y
o
1
2
∂w
1
2
n
∂x
−
∂u
∂z



o 

∂v
∂w

∂y − ∂z



0
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
taxas de rotação
= du.∆t = (∂u/∂y)∆y∆t
∆x
u(y)
1
du∆t dv ∆t
(α + β) = (
−
)
2
∆y
∆x
1 ∂u ∂v
= (
−
)∆t
2 ∂y
∂x
α
y
v(x)
x
∆θyx
1 ∂u ∂v
= (
−
) = Wyx ≡ −ωz
2 ∂y
∂x
∆t→0 ∆t
θ̇yx = lim
t
t+∆t
∆y
∆θyx ≡
β
= -dv.∆t = (-∂v/∂x)∆x∆t
o fluido como um meio contínuo
o campo de velocidade
tensão e gradiente de velocidade
significado físico de D e W
• os componentes Dxy = Dyx , Dxz = Dzx e Dyz = Dzy são
taxas de deformação angular do elemento de fluido nos
planos xy , xz e yz, respectivamente.
• os componentes Dxx , Dyy e Dzz são taxas de deformação
linear do elemento de fluido nas direções x, y e z,
respectivamente.
• os componentes Wxy = −Wyx = ωz , Wxz = −Wzx = −ωy e
Wyz = −Wzy = ωx são taxas de rotação (velocidades
angulares) médias do elemento de fluido em torno das
direções z, y e x, respectivamente.
• ω = ωx ı̂ + ωy ̂ + ωz k̂ é o vetor vorticidade.